中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的简单应用》word练习题
中职数学基础模块下册直线与圆的位置关系
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想想:
直线和圆的位 置有
考虑：
把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
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考虑：
把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
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知识探究： 直线与圆的位置关系的断定
考虑1:在平面几何中，直线与圆的位置 关系有几种？
有三种位置关系 相交、相切、相离
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考虑2:如何根据直线与圆的公共点个 数判断直线与圆的位置关系？
两个公共点
相 交
一个公共点 没有公共点
相 切第八页，共17页。
相 离
考虑3:在平面几何中，怎样根据圆心到直线 的间隔 d与半径r的大小关系来判断直线与圆 的位置关系？
d r
d<r
相 交
直线
圆
圆
直线
8.4 直线与圆的位置关
系
职教中心：聂艳红
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复习提
1、问圆：的标准方程是_(_x_-a_)_2+_(_y_-b_)_2=_r_2_，圆心 坐标是__(a_,_b_) ,半径是_r_;圆心在坐标原点的 圆的标准方程是__x_2+_y_2=_r_2_。 2、圆的一般方程是__x_2+_y_2+_D_x_+_E_y+_F_=_0
〔__其_中_D_2_+_E_2_-4_F_>_0〕_,圆心坐标是_（_-_D2_，__-_E2, ）
D2 E2 4F
半径是_____
Aa+Bb+C
为__d _=___A_2__B__2 __.第二页，共17页。
语文版中职数学基础模块下册8.8《直线与圆的方程的简单应用》ppt课件2
y
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∵A, B, P在圆上，
P2 P
100 10D F 0 100 10D F 0
16 4E F 0
A
A1 A2 O A3 A4
Bx
解得 D=0，E=21，F= –100，
因此，圆的方程为x2+y2+21y–100=0.
令x= –2， 解得y≈3.86. 答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
解：以M为原点O，建立直角坐标系， 设B(n,7)，由|AB|= n2 (7 3)2 5, 解得n=3， 则B(3,7)，易知A′(0,–3) 直线A′B的方程为 y 10 x 3,
3
令y=0，得 x 0.9.
故泵站建在距离M点右侧0.9米处.
y
A MP O A′B NhomakorabeaN x已知点A(－２,１)，B(３,５)，在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最 小.（例１）
某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米. 有一货船，装满货过 桥，顶部宽4米，水面以上高3米， (1)请问此船能否通过？ (2)当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
y
PN
A
OM
Bx
如图，某城市的摩天轮的高度是100米，在离摩天轮约150米 处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑 物顶部看到摩天轮边缘. 你能求出该建筑物的高度吗？
练习练习如图某城市的摩天轮的高度是100米在离摩天轮约150米处有一建筑物某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑物顶部看到摩天轮边缘
§8.8 直线与圆的方程
应用举例
2.画出方程 x 3 4 y2 表示的曲线.
直线和圆的方程精选练习题
直线和圆的方程精选练习题1.直线x+3y-3=的倾斜角是多少？答：倾斜角为π/6.2.若圆C与圆(x+2)+(y-1)=1关于原点对称，则圆C的方程是什么？答：圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=1.3.直线ax+by+c同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足什么条件？答：ab0.4.直线3x-4y-9=与圆x+y=4的位置关系是什么？答：相交但不过圆心。
5.已知直线ax+by+c=(abc≠0)与圆x+y=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形是什么类型的？答：是锐角三角形。
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是多少？答：截距为2/5.7.点(2,5)到直线y=2x的距离是多少？答：距离为1/√5.8.由点P(1,3)引圆x+y=9的切线的长度是多少？答：长度为2.9.如果直线ax+2y+1=与直线x+y-2=互相垂直，那么a的值等于多少？答：a的值等于-1/3.10.若直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行，那么系数a等于多少？答：a的值等于-3/2.11.直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转30度后所得直线与圆(x-2)^2+y^2=33的位置关系是什么？答：直线与圆相交，但不过圆心。
12.若直线ax+y+1=与圆x^2+y^2-2x=相切，则a的值为多少？答：a的值为-1.13.圆O1：x^2+y^2-4x+6y=0和圆O2：x^2+y^2-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是什么？答：垂直平分线的方程为2x-y-5=0.14.以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是什么？答：中垂线的方程为2x+y=7.15.过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的方程是什么？答：由于两条直线平行，所以它们的斜率相同。
直线3x-y+2的斜率为3，所以过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的斜率也是3.带入点(3,4)和斜率3，可以得到直线的方程为y-4=3(x-3)，即y=3x-5.16.直线3x-2y+6在x、y轴上的截距分别是多少？答：当x=0时，直线3x-2y+6的方程化为-2y+6=0，解得y=3，所以直线在y轴上的截距是3.当y=0时，直线3x-2y+6的方程化为3x+6=0，解得x=-2，所以直线在x轴上的截距是-2.17.三点(2,-3)、(4,3)和(5,k)在同一条直线上，求k的值。
《数学(基础模块)下》—第6章 直线与圆的方程
图6-1
1.1 两点间距离公式
由图 6-1 可知
在Rt△ACB 中，由勾股定理得
AC A1B1 x2 x1 ， BC A2B2 y2 y1 ．
图6-3
2.1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角
如图 6-4 所示，在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时，x 轴绕交点按逆时针方向旋转
至与直线重合时所形成的最小正角 称为直线 l 的倾斜角．
图6-4
2.1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，其倾斜角为 0 ；当直线 l 与 x 轴垂直时，其倾斜角为 90 ．因 此，直线 l 倾斜角的取值范围为
请问：你能帮工程师求出 A，B 两个城市之间的距离吗？
1.1 两点间距离公式
如图 6-1 所示，在平面直角坐标系中，设点 A 的坐标为 (x1 ，y1) ，点 B 的坐标为 (x2 ，y2 ) ，从 点 A，B 分别向 x 轴和 y 轴作垂线 AA1 ， AA2 和 BB1 ， BB2 ，垂足分别为
（3）直线过两点 P1(2，1)，P2 (3， 4) ，由斜率公式可得 k y2 y1 4 1 1 ． x2 x1 3 (2)
故直线的点斜式方程为 y 1 1[x (2)] ，
即
y x 1．
2.2 直线的点斜式和斜截式方程
（2）因 45 ，故斜率为 k tan 45 1．
又因直线经过点 P0 (1，6) ，所以直线的点斜式方程为 y 6 1[x (1)] ，
即
y x 1．
(完整word版)直线与圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径)因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解:则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA ．(1）当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ,或2221)14()2(=-+-a (无解），故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x ．（2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解）,故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2224)4()622(=+++-y x ． 说明:对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ,其圆心为)1,2(A ,半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析:欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(,半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：（1)截y 轴所得弦长为2；(2）被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ,∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解:∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决,此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析:首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有:0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得:0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程.练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．解：设切线方程为1(3)y k x -=-,即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，2=，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
中职直线与圆的方程单元测试题
直线与圆的方程单元测试题卷一（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的 四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出，填在答题卡上）1. ()的斜率为，则直线，，，已知AB B A )30()25(-- C.322. ()），则它的斜率为，（的一个方向向量为已知直线1-2=→AB l A. 21-B.21C. 23.()）平行的直线方程为，（），且与向量，（过点4-312=→v P A.0143=-+y x B.0143=--y x C. 01134=-+y x D.01034=--y x4.()垂直的直线方程为的交点且与直线与过直线052302=++=-=+y x y x y xA.012x 3-=++yB.0123=+-y xC.0132=++-y xD.0132=+-y x 5.()轴上的截距分别为的斜率和在直线y y x 01054=--A.454，-B.5-45，C.2-54，D.545-，6.()，则有经过第一、二、三象限若直线01=-+by axA.0,0<<b aB.0,0>>b aC.0,0<>b aD.0,0><b a7.()的值为），则，过点（已知直线k x k y 2-2-)5(3-=- A.74 B. 75 C. 47 D. 578.()平行的条件是与直线122+=++=+a y ax a ay x A. 21=a B. 21-=a C. 1=a D. 1-=a 9.()等于，则的距离为与直线直线C y x C y x 502202=+-=+- A. 7 B. -3 C. -3或7 D. -7或3 10.()，则的距离等于）到直线，（点402432=--y x m AA. 46-==m m 或B. 46==m m 或C. 6=mD. 4-=m11.()），则圆的半径为，的圆心为（圆21-0422=-+++Ey Dx yxA. 6B. 9C. 2D. 312.()的值为轴上，那么的交点在和如果两条直线k y ky x k y x 012032=+-=-+ A. -24 B. 6 C. 6± D. 2413.()轴相切，则圆的方程为），且与，已知圆心在（y 32-A. 4)3()2(22=++-y x B. 9)3()2(22=++-y x C. 4)3-()2(22=++y x D. 9)3-()2(22=++y x14.()平行的直线方程为），且与直线，过点（073213=-+y x A. 0932=++y x B. 0932=-+y x C. 0932=+-y x D. 0923=--y x 15.()外”正确的是在平面上，在直线用符号表示“点αl l AA. α∉∈l l A ,B. α⊄∈l l A ,C. α⊄⊂l l A ,D. α∉⊂l l A , 16.()面的条件是空间中可以确定一个平A. 两条直线B.一点和一直线C. 一个三角形D. 三个点 17.()b a b a 与，那么如果⊥A. 一定相交B. 一定异面C. 一定共面D. 一定不平行18. 是异面直线”是指：“b a ,()上述结论中，正确的是成立平面，平面，能使）不存在平面（；平面，平面）（；，且平面，平面）（；不平行于且）（.4321αααβαβα⊂⊂⊄⊂∅=⋂⊂⊂∅=⋂b a a a b a b a b a b aA. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D. （4）（2） 19.()的位置关系为与相交，那么与，中，三条直线c a c b b a c b a //,, A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面20.()异面的棱共有个长方体中与是长方体的一条棱，这A A A A11A. 3条B. 4条C. 5条 条卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本题共5个小题，每题6分，共30分，请将答案填在答题卡上）21..____________________21-2-6的直线的一般式方程），斜率为，经过点（22..__________________01231平行的直线方程为）且与直线，（过点=+-y x P 23.._____05y )1(02321的值为垂直，则：与直线：直线m x m my x l l =+++=+-24..____________253-2为的距离）到直线，（点d x y A -=25..__________________301的圆的标准方程为），半径为，圆心为（三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，请将答案写在答题卡上） 26..432522）的圆的切线方程，（，求经过圆上一点已知圆的方程是P yx =+27..4-3-2-150）三点的圆的方程，（），，（），，（求过C B A 28.）相交，，（：与圆：为何值时，直线当实数12504322=+=-+yx O m y x l m.32）相离）相切，（（。
第四章 4.2 4.2.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用(优秀经典课时作业练习题及答案详解)
[A组学业达标]1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y －4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝(3－0)2＋(4－0)2＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．答案：C2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是()A.10B.10 2C. 5 D．5解析：由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝10 2.答案：B3．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0 D．不存在解析：过两圆交点的直线就是将两圆方程相减得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0，故选A.答案：A4．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是() A．(－2,39) B．(0,81)C．(0,79) D．(－1,79)解析：两圆的方程可分别化为(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.由两圆相交，得|5－m＋2|＜4＜5＋m＋2，解得－1＜m＜79.答案：D5．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设篷顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．故选B.答案：B6．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4关于直线l对称，则直线l的方程为________．解析：两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)，由题意，知l为线段OC的垂直平分线或线段OC，故其方程为x－y＋2＝0或x＋y＝0.答案：x－y＋2＝0或x＋y＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或6.答案：0或68．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a ＞0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解析：联立方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴两个圆的交点是A (－2,6)，B (4，－2)， ∴|AB |＝(4＋2)2＋(－2－6)2＝10.[B 组 能力提升]10．已知半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36解析：由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36，由题意，得a 2＋9＝5，所以a 2＝16，所以a ＝±4，即圆的方程为(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36.答案：D11．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：数形结合，利用图形进行分析．由y ＝3－4x －x 2得(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，它表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，当直线与圆相切时有|2－3＋b |12＋12＝2，得b ＝1－22；当直线过点(0,3)时，b ＝3，故选D.答案：D12．已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．解析：由已知得C 1(4,2)，r 1＝3，C 2(－2，－1)，r 2＝2，|C 1C 2|＝35＞3＋2，∴两圆外离． ∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝35－3－2＝35－5. 答案：35－513．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．解析：设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝014．已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B . (1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解析：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵P A ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.15．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ， 则t ＝2252－24228＝12(h)．所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h ．。
直线与圆的方程基础练习题
一、直线与方程练习1、直线l 与两条直线1=y ，07=--y x 分别交于P 、Q 两点．线段PQ 的中点坐标为()1 1-，，那么直线l 的斜率是（ ） A ．32 B ． 23 C ． 32- D ． 23- 2.若直线（m-1）x+y=4m-1与直线2x-3y=5互相平行，则m 的值是＿ 3．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A.213,B.--213,C.--123, D.－2，－3 4．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直5．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）（A ）2x －3y ＝0; （B ）x ＋y ＋5＝0;（C ）2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0 （D ）x ＋y ＋5或x －y ＋5＝06．直线x=3的倾斜角是（ ）A.0B.2π C.π D.不存在 7．点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是（ ） （A ）54 （B ）45 （C ）254 （D ）425 8．与直线l ：3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为（ ）（A ）3x ＋4y －5＝0 （B ）3x ＋4y ＋5＝0（C ）－3x ＋4y －5＝0 （D ）－3x ＋4y ＋5＝09．直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）（A ）（0，0） （B ）（0，1）（C ）（3，1） （D ）（2，1）10. ABC ∆中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4求边BC 的长二、圆与方程练习题1．方程222460x y x y ++--=表示的图形是（ ） Ａ．以(12)-，为圆心，11为半径的圆 Ｂ．以(12)，为圆心，11为半径的圆 Ｃ．以(12)--，为圆心，11为半径的圆 Ｄ．以(12)-，为圆心，11为半径的圆2．点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ）Ａ．11a -<< Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a > Ｄ．1a =±3．若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是（ ）Ａ．(0)+，∞ Ｂ．114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｃ．1(1)()5+-，∞∞， Ｄ．R 4. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. 30x y ++= B ．250x y --=C ．390x y --=D ．4370x y -+=4．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A 1±B 21±C ．33±D 3± 5. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）B. 30x y ++= B ．250x y --=C ．390x y --=D ．4370x y -+=6. 已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．18、圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-c y x 所得弦长为8，则c 的值为（ ）A ． 10B ．-68C ． 12D ． 10或-689.如果圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴相切于原点，则（ ）A .0,0E D F ≠==B .0,0,0D E F ≠≠=C .0,0DEF ≠== D .0,0F D E ≠==10．圆x 2+y 2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（ ）A.(－2,0),2B.(－2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),4三、直线与圆的方程1.已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --=上，求此圆的方程．2.已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． (1) 当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2) 当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3) 当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长．3.已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。
高教版中职数学(基础模块)下册8.4《直线与圆的位置关系》
280 65
典型例题：
例3 过点 P(1, 1) 作圆 的切线，试求切线方程． x2 y 2 2 x 2 y 1 0 解 设所求切线的斜率为k ，则切线方程为
y 1 k ( x 1)，
即
kx y (1 k ) 0．
运 已知直线x +5y +c = 0和圆x2 + y2 =25相切，求c的值？ 用 知 识 强 注意点： 化 含有绝对值的方程，去绝对值时，应 练 注意有两解 习
请同学们谈一谈： 本节课你有哪些收获？
直线与圆的位置关系
位置关 系 相交 相切
d
示意图像
y
r 0
x
相离
因为d<r 所以直线x+y-1=0与圆x2+y2=4相交。
已知直线l：x-y+5=0与圆C： （X+1）2+y2=m的相切，求m的值？
思考：
挑战 自我
1、由题意直线与圆相切，可以得到d与r存在怎样的大小关 系？ 2、圆方程中的m与圆半径r是什么关系？ 3、求圆的半径根据什么求解？ 4、你能说出该圆的圆心坐标吗？怎样表示圆心到直线l的距离？
圆 x2 y2 2x 2 y 1 0 的标准方程为
( x 1)2 ( y 1)2 1
所以圆心C(1，1) ，半径r=1． 圆心到切线的距离为
d k 1 (1 k ) k (1)
2 2
2 k 1
2
，
由于圆心到切线的距离与半径相等，
所以
2 k 1
2
1，
解得
k 3．
y 1 3( x 1)，
中职数学直线和圆的方程复习题
第八章直线和圆的方程复习题一、选择题：1•点二一1—关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（）. （A）.二（B）」工（C）-工」J （D-：2•设直线I的方程为y - 3 = 2（x 一4），则直线I在y轴上的截距是（）A • 55B • -5C •-2D • -523. 已知直线l过点M （1,一1）和N k,—2，且直线l的斜率为-1,则k的值是（）A• 1 B • -1 C • 2 D • -24. 如果两条不重合直线］、［的斜率都不存在，那么（）.（A）二亠：；（B）〔与1相交但不垂直（C）〔// 1 （D）无法判定5. 若点"到直线'".1 --的距离为4，则m的值为（）.（A）；｛二' （B）宀' （C）；｛二，或宀' （D）或匚--6. 直线.：丨〔1■与圆匚_「；—；”丁的位置关系为（）（A）相交（B）相离（C）相切（D）无法确定7•已知h : 2x，y=5与l2: x-2y=4,则位置关系是（）A. h_l2B. h〃l2 C . l^l2重合 D •不确定&直线3x - y • 6 = 0与x「*3y二0的夹角的正切值为（）A . ~~B • 1C • ■■- 3D •不存在39.若直线3x 6y，1=0与3x 6y，m=0平行，则m的值不为（）A 4B •2C •1D •010 •若直线x y ■ m = 0（其中m为常数）经过圆(x 1)2(y-3)2=25的圆心,则m的值为（） A •-2 B • 2 C .,-1 D• 12 2 2 511.圆x +y j°汁0的圆心到直线l: 3x+4y-5=0的距离等于（）。
A 2 B.3 C. 7D.1512. 半径为3,且与y轴相切于原点的圆的方程为( )。
A. (x-3)2y2 =9B. (x 3)2y2=9C. x2 (y 3)2 =9D. (x -3)2y2=9 或(x - 3)2y2 =913. 直线倾斜角:-的取值范围是( )A. 0°,90°l B . 0°,9O o l C . 0°,18O o l D . 0°,180°14•直线..3x 一y • 5 = 0 的倾斜角为( )A . - B . - C . —D .—6 3 3 615 .如果圆(x-2)2• (y 一3)2二r2(r ■ 0)和x轴相切，则『为( )A . 2B . 3C . 2 和3D . 2 或3二、填空题1 .已知直线l的倾斜角为120o，则直线l的斜率k = _____________________________2. __________________________________________________________________ 已知点A (4,3)、点B (6, -1 )，则以AB为直径的圆的方程为________________________________3 .已知直线l斜率是2，且经过点1,一2，则直线l方程点斜式是__________________4. 倾斜角为60o，在y轴上的截距为5的直线方程为____________________________5. 已知直线l经过点1,-2，且平行直线3x • 2y -6 = 0，则直线I的方程为____________________6. 直线l1: 2x 3y =12与l2: x -2y =4的交点坐标是 ____________________________________7. 点P(-2,3)到直线l :3x -4y -2 =0的距离为______________________________________&直线l1 : 2x • 3y -8 = 0和|2 : 2x 3y T8 = 0 之间的距离___________________9. ________________________________________________ 圆(x -3)2• (y • 2)2 =16的圆心坐标是___________________________________________________ ，半径是______________10. 圆心在点C(3,2)，并且经过点P(-1,4)的圆的方程是__________________________________11. 点(a+1,2a-1 )在直线x-2y =0上，贝U a的值为 _____________________________ 。
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直线与圆的方程的应用_基础
1.直线()()110a x b y +++=与圆22
2x y +=的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相切或相交 D.相切或相离
2.圆C 1：x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆C 2：x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
3.与圆x 2+(y-2)2=1相切，且在两轴上截距相等的直线有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.6条
4.直线ax+by=c 与圆x 2+y 2=1相切，且a 、b 、c 均不为零，则以|a|、|b|、|c|为长度的线段
能构成( )
A.不等边锐角三角形
B.等腰锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
5．点M 、N 在x 2+y 2+kx+2y －4=0上，且点M 、N 关于直线x －y+1=0对称，则该圆的半径等于（ ）．
A ．
B
C ．1
D ．3
6．直线2x －y=0与圆C ：(x －2)2+(y+1)2=9交于A 、B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．7．圆(x －4)2+(y －4)2=4与直线y=kx 的交点为P 、Q ，原点为O ，则|OP|·|OQ|的值为（ ）．
A ．
B ．28
C ．32
D ．由k 确定
8．点P 是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x 2+y 2=4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）．
A ．24
B ．16
C ．8
D ．4
9．已知圆C 的圆心是直线x －y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为________．
10．过原点的直线与圆x 2+y 2－2x －4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
11.设圆22
450x y x +--=的弦AB 的中点为(3,1)P ，则直线AB 的方程是 ．
12．直线0x m +-=与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是
．
13．已知圆O 1：x 2+y 2+2x+6y+9=0与圆O 2：x 2+y 2―6x+2y+1=0．求圆O 1和圆O 2的公切线方程．
14．求与y轴相切，且与圆A：x2+y2―4x=0也相切的圆P的圆心的轨迹方程．
15．有弱、强两个喇叭在O、A两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？
【答案与解析】
1.【答案】C
直线过定点()1,1--.又()()22112-+-=，∴点在圆上，过圆上一点的直线与圆的位置关系有两种相切或相交.
2. 【答案】C
【解析】两圆公切线的条数取决于两圆的位置关系，相离：4条;外切：3条;相交：2条;内
切：1条;内含：0条.C 1：(x+2)2+(y-2)2=1，C 2：(x-2)2+(y-5)2=16，C 1C 2=5=r 1+r 2，故两圆外
切，公切线共3条.
3. 【答案】C
【解析】此题主要考查圆的切线及直线的截距的概念.过原点的有2条;斜率为-1的有2条.
4. 【答案】C
【解析】由圆心到直线的距离为圆的半径1，得
22||b a c +=1，两边平方得a 2+b 2=c 2. 5．【答案】D
【解析】 由M 、N 两点关于直线x －y+1=0对称，可知直线x －y+1=0过圆心,12k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴k=4，∴圆的方程即为(x+2)2+(y+1)2=9，∴r=3．
6．【答案】A
【解析】 ∵圆心到直线的距离
d ==，
∴||4AB ==，∴142
ABC S ∆=⨯= 7．【答案】B
【解析】 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O 点圆的切线长的平方．
8．【答案】C
【解析】 ∵四边形PAOB 的面积12||||2
S PA OA =⨯⨯==∴当直线OP 垂直直线2x+y+10=0时，其面积S 最小．
9．【答案】(x+1)2+y 2=2
【解析】 根据题意可知圆心坐标是（―1，0）
=，故所求的圆的方程是(x+1)2+y 2=2．
10．【答案】2x ―y=0
【解析】 设所求直线方程为y=kx ，即kx ―y=0．由于直线kx ―y=0被圆截得的弦长等于2，
圆的半径是10=，即圆心位于直线kx ―y=0上，
于是有k ―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x ―y=0．
11．【答案】40x y +-=
【解析】
12．
2m <<
【解析】结合图形，求出直线与圆在第一象限相切时的m 值为2，求出直线过（0,1）点时的m
m 的取值范围．
13．【答案】y+4=0或4x ―3y=0或3x+4y+10=0
【解析】 圆O 1的圆心坐标为O 1（―1，―3），半径r 1=1，圆O 2的圆心坐标O 2（3，―1），半径r 2=3，则|O 1O 2|＞r 1+r 2，
∴ 1 3 ==①② 解得
04k b =⎧⎨=-⎩ 或 430k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或 345
2
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 当斜率不存在时，x=0也和两圆相切，∴所求切线的方程为y+4=0或4x ―3y=0或3x+4y+10=0．
14．【答案】y 2=8x （x ＞0）和y=0（x ≠0，x ≠2）
【解析】把圆的方程配方得(x ―2)2+y 2=4．
设P （x ，y ）为轨迹上任意一点．
（1）当圆P 与定圆A 外切时，不妨设两圆切点为B ，且圆P 与y 轴相切于点N ，则|PA|=|PN|+|AB|
||2x =+．
当x ＞0时，y 2=8x
当x ＜0时，轨迹不存在；
综上可知，动圆圆心的轨迹方程为y 2=8x （x ＞0）和y=0（x ≠0，x ≠2）．
【总结升华】由于两圆相切可以是外切，也可以是内切，所以情况（2）的讨论是必不可少的，这也是解答本题易忽视的地方，要引起重视．
15．【答案】P 点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等
【解析】以OA 为x 轴，O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．
设在P （x ，y ）处听到O 、A 两处的喇叭声音强度相等． 由物理学知22||1||4OP PA =，即22221(60)4
x y x y +=-+，整理得(x+20)2+y 2=402． 故P 点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等．。