2007年高考数学试题福建卷(理科)
2007年高考“导数”题--高考数学试题全解
2007年高考“导数”题1．(全国Ⅰ) 设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x-x+=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-， （ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln2x =此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．2．(全国II) 已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12解：已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，13'2y x x =-=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A 。
已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时， 方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．3．（北京卷）4．（天津卷）已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：(I)当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x xxf x f x x +--===-++所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即 625320.x y +-= (II)22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+由于0,a ≠以下分两种情况讨论. (1) 当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2) 当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.5．(上海卷)6．（重庆卷）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处 取得极值–3–c ，其中a,b,c 为常数。
2007年高考文科数学试题及参考答案(福建卷)
解决问题教学中教师的困惑：
1、到底怎样的情境创设才是最合理最 有效的？ 2、情景图的设计是否能够真正提高学 生们的分析问题和解决问题的能力？ 3、解决问题融入情景图中，既不讲概 念，也不讲数量关系，教师应如何把握? 4、如何处理好既培养学生的解题能力， 又要符合新课改的理念和要求呢？ 5、应用题的结构还用不用训练，一些分析
应用题具备三个基本的要素：
题、情境性和数量关系
题——一种具体的学习内容，可以用数学方式(主要 是运算方式)解答。 情境性——应用题必然有情境。情境可以是现实生 活的，也可以是学科性的；情境的呈现既可以是 语言文字形态，也可以是图画表格等方式。 数量关系——作为题，必定有数据形态的条件与问 题，并且这些已知量与未知量之间通过情境和学 科术语的融合具备了运算意义上的逻辑关系，即 数量关系。
（2）突破运用转化策略的关键，把 新问题转化为熟悉的、能够解决的 问题。
假设
课标人教版六上
运用此策略时要注意： （1）根据题目的已知条件或结 论作出合理的假设。 （2）要弄清由于假设而引起的 数量上出现的矛盾并作适当调整。 （3）根据一个单位相差多少与 总数共差多少之间的数量关系解 决问题。
变式
您思考过下列问题吗？
5、为什么解决问题教学特别强调在具体的情景中解决问题？ 6、课改后应用题不在成为独立单元，是否弱化了应用题教 学？ 7、应用题和计算放在一起进行学习，有无主次之分？如何 整体把握？
8、新课改后，您认为解决问题的教学着力点应该在哪？
课改前对应用题的认识：
（1）、由沈百英、梁镜清编著的《小学数学 教学法》中认为：“应用题是根据生产或生 活中的实际问题，用语言或文字表示数量关 系的题目。 （2）、周玉仁教授主编的《小学数学教学论》 中也指出：“应用题是根据日常生活和生产 中的实际问题，用语言或文字表示数量关系 并求解的题目。
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．不等式201x x -≤+的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅”是“M N ≠∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．设,a b 是非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图象是一条直线，则必有（ ）A ．a b ⊥B ．//a bC ．||||a b =D ．||||a b ≠5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9756．函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D．111lim12x x -=-→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A．2B ．1C．12+D9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．02⎛ ⎝⎦， B ．03⎛ ⎝⎦， C．12⎫⎪⎪⎣⎭ D．13⎫⎪⎪⎣⎭ 10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b，c =π3C =，则B = ．13．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．14．设集合1{()||2|}2A x y y x =≥-，，{()|}B x y y x b =≤-+，，A B ≠∅，（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ． 15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ……………………………………… 图1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．18．（本小题满分12分）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD //，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2 图3（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km（12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，OA =．（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．1G2GDF C BAE20．（本小题满分12分）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．22(1)(1)2x y -+-=12．5π6 13．16-14．（1）[1)+∞，（2）9215．21n-，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -≤+≤+，即5ππππ1212k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B =⋅=⋅=⨯= 所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B =⋅=⨯=． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，33()0.90.1k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=） 18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G 2GDFCB AEOH1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ， 所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角． 因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，15OF ==，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．故222222221126810200BG BE EG G G =++=++=，2BG =又110AG ==，由11BH AG G E AB =得81248105BH ⨯==．故2248sin 5BH BG H BG ∠===即直线2BG 与平面12G ADG所成的角是arcsin． 解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB =，25BC =，8EG =，则6EB =， 25EF =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，，(6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，．所以(0250)AD =，，，1(608)AG =，，． 设()n x y z =，，是平面12G ADG 的一个法向量， 由100n AD n AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，.得250680y x z =⎧⎨+=⎩，故可取(403)n =-，，． 过点2G 作2G O ⊥平面ABCD 于点O ，因为22G C G D =，所以OC OD =，于是点O 在y轴上．因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．设2(08)G m ，， （025m <<），由222178(25)m =+-，解得10m =，所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，．y设2BG 和平面12G ADG 所成的角是θ，则22222224|sin 643BG n BG nθ===++ 故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin25． 19．解：（I）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，1sin PHPB θ==．设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则PD==[12]∈，． 记总造价为1()f x 万元，据题设有2211111()(1)(224f x PD AD AO a x x a =+++=-++2143416xa a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝当14x =，即1(km)4BD =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km)AEy =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有22131()1224f y PD y a ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．则()212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭，由2()0f y '=，得1y =．当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D'，E '．事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302x y ≤+≤，总造价为S 万元，则211111224x y S x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x -≥-1322y ≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分αAO E DBHP别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭))2111114334416x a y y a a ⎛⎫⎡⎤=-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭143416a a ≥⨯+ 6716a =． 当且仅当114x =且11)y y -，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一．20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x ⋅=--+-- 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB ⋅是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB ⋅=1-．当AB 与x轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2-，， 此时(1(11CA CB =⋅-=-，，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB ⋅为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-．21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y-=，将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x yy -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-．以上同解法一的（II ）．21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． ………………… ①于是213(1)n n S S n ++=+． ……………………②由②－①得163n n a a n ++=+． ……………………③于是2169n n a a n +++=+． ……………………④由④－③得26n n a a +-=， ……………………⑤所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立． 12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+-1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<．即所求a 的取值集合是91544M a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n n n nb b e e k a a a a ++++--==-- 任取0x ，设函数00()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x xg x e x x e e e x x '=-+-=-，当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n na a n n e e a a ++-<-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-22n n a a n n e e a a ++->-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．解法二：设函数11()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数，所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．。
2007年高考福建数学(文)祥细答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}12345U =，，，，,且{}234A =，，,{}12B =，,则()U A B ð等于（ ）Ａ.{}2Ｂ.{}5Ｃ.{}34，Ｄ.{}2345，，，解析：（C U B ）={3,4,5},⋂A （C U B ）={3,4},选C. 2.等比数列{}n a 中,44a =,则26a a 等于（ ） Ａ.4 Ｂ.8 Ｃ.16Ｄ.32解析：a 2·a 6= a 42=16,选C.3.sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ.0Ｂ.12Ｃ Ｄ.1解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin 215°+cos 215°=1,选D. 4.“2x <”是“260x x --<”的（ ） Ａ.充分而不必要条件 Ｂ.必要而不充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-2<x<2,由 x 2-x -6<0得-2<x<3,选A. 5.函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ.关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ.关于直线π4x =对称 Ｃ.关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ.关于直线π3x =对称 解析：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ,对称点为（621ππ-k ,0）（z k ∈）,当k=1时为（3π,0）,选A.6.如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E F G H ，，， 分别为1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ.45Ｂ.60Ｃ.90Ｄ.120解析：连A 1B.BC 1.A 1C 1,则A 1B=BC 1=A 1C 1,且EF ∥A 1B.GH ∥BC 1,所以异面直线EF 与GH 所成的角等于.60°,选B. 7.已知()f x 为R 上的减函数,则满足1(1)f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） Ａ.(1)-∞，Ｂ.(1)+∞，Ｃ.(0)(01)-∞，，Ｄ.(0)(1)-∞+∞，，解析：由已知得11<x解得0<x 或x>1,选D. 8.对于向量a ,b ,c 和实数λ,下列命题中真命题是（ ） Ａ.若0=a b ,则0=a 或0=b Ｂ.若0λ=a ,则0λ=或0=aＣ.若22=a b ,则=a b 或=-a bＤ.若=a b a c ,则=b c解析： a ⊥b 时也有a ·b ＝0,故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c得不到b =c ,如a 为零向量或a 与b.c 垂直时,选B.9.已知m n ，为两条不同的直线,αβ，为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ） Ａ.m α⊂,n α⊂,m β∥,n βαβ⇒∥∥ Ｂ.αβ∥,m α⊂,n m n β⊂⇒∥Ｃ.m α⊥,m n n α⇒⊥∥ Ｄ.n m ∥,n m αα⇒⊥⊥解析：A 中m.n 少相交条件,不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行,不正确；C 中n 可以在α内,不正确,选D.10.以双曲线222x y -=的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ.22430x y x +--= Ｂ.22430x y x +-+= Ｃ.22450x y x ++-=Ｄ.22450x y x +++=解析：双曲线x 2-y 2=2的右焦点为（2,0）,即圆心为（2,0）,右准线为x=1,半径为1,圆方程为1)2(22=+-y x ,即x 2+y 2-4x +3=0,选B. 11.已知对任意实数x ,有()()f x f x -=-,()()g x g x -=,且0x >时,()0f x '>,()0g x '>,则0x <时（ ）3Ａ.()0f x '>,()0g x '> Ｂ.()0f x '>,()0g x '< Ｃ.()0f x '<,()0g x '>Ｄ.()0f x '<,()0g x '<解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增, 当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B.12.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4” 或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）Ａ.2000 Ｂ.4006 Ｃ.5904 Ｄ.8320解析：10000个号码中不含4.7的有84=4096,故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904,选C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_____.（用数字作答）解析：法一：由组合数性质,要使出现常数项必须取2个x 2,4个x1,故常数项为1526=C 法二：展开后可得常数项为15.14.已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________.解析：画出可行域知z =2x -y 在（-1,3）取得最小值-5,在（5,3）取得最大值7,范围是[-5,7]. 15.已知长方形ABCD ,4AB =,3BC =,则以A B ，为焦点,且过C D ，两点的椭圆的离心率为______.解析：由已知C=2,2233b b a a=⇒=⇒ 221434,.42c a a a e a -=⇒==== 16.中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”.“平行关系”等等.如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈,都有a ～a ；（2）对称性：对于a b A ∈，,若a ～b ,则有b ～a ；（3）传递性：对于a b c A ∈，，,若a ～b ,b ～c ,则有a ～c . 则称“～”是集合A 的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系：______.解析：答案不唯一,如“图形的全等”.“图形的相似”.“非零向量的共线”.“命题的充要条件”等等.三.解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 在ABC △中,1tan 4A =,3tan 5B =. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB,求BC 边的长.本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）π()C A B =-+,1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--.又0πC <<,3π4C ∴=.（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,得sin 17A =.sin sin AB BC C A =,sin 2sin A BC AB C ∴==18.（本小题满分12分）甲.乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6, 且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求： （Ⅰ）甲试跳三次,第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲.乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （Ⅲ）甲.乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 本小题主要考查概率的基础知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.满分12分.解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ,“乙第i 次试跳成功”为事件i B ,依题意得()0.7i P A =,()0.6i P B =,且i A ,i B （123i =，，）相互独立.（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件123A A A ,且三次试跳相互独立,123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==⨯⨯=.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063. （Ⅱ）“甲.乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C . 解法一：111111C A B A B A B =++,且11A B ,11A B ,11A B 彼此互斥,111111()()()()P C P A B P A B P A B ∴=++ 111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.70.40.30.60.70.6=⨯+⨯+⨯ 0.88=.解法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯=.答：甲.乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88. （Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i M i =，，,“乙在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i N i =，，,事件“甲.乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +, 且10M N ,21M N 为互斥事件,∴所求的概率为10211021()()()P M N M N P M N P M N +=+ 1021()()()()P M P N P M P N =+1221220.70.30.40.70.60.4C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.06720.2352=+ 0.3024=答：甲.乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小.AB D1A1C1BC本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小等知识,考查空间想象能力. 逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ,连结AO .ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥. 正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,AO ∴⊥平面11BCC B . 连结1B O ,在正方形11BB C C 中,O D ，分别为1BC CC ，的中点, 1B O BD ∴⊥, 1AB BD ∴⊥.在正方形11ABB A 中,11ABA B ⊥, 1AB ∴⊥平面1A BD .（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ,在平面1A BD 中,作1GF A D ⊥于F ,连结AF ,由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD . 1AF A D ∴⊥,AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角.在1AA D △中,由等面积法可求得AF =,又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴===∠. 所以二面角1A A D B --的大小为解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ,连结AO . ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥. 在正三棱柱111ABC A B C -中, 平面ABC ⊥平面11BCC B ,ABC D1A 1C1BOFGAO ∴⊥平面11BCC B .取11B C 中点1O ,以O 为原点,OB ,1OO ,OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立 空间直角坐标系,则(100)B ，，,(110)D -，，,1(02A,(00A ,1(120)B ，，, 1(12AB ∴=，,(210)BD =-，，,1(12BA =-. 12200AB BD =-++=,111430AB BA =-+-=, 1AB BD ∴⊥,11AB BA ⊥. 1AB ∴⊥平面1A BD .（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n.(11AD =-，,1(020)AA =，，. AD ⊥n ,1AA ⊥n ,100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，nn 020x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量. 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ,1AB ∴为平面1A BD 的法向量.cos <n,1113222AB AB AB ->===n n . ∴二面角1A A D B --的大小为20.（本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，. （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立,求实数m 的取值范围. 本题主要考查函数的单调性.极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，,∴当x t =-时,()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-,即3()1h t t t =-+-.（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--,由2()330g t t '=-+=得1t =,1t =-（不合题意,舍去）. 当t 变化时()g t ',()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-.()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立,即等价于10m -<,所以m 的取值范围为1m >.21.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T .本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念.通项公式及数列的求和, 考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）12n n a S +=,12n n n S S S +∴-=,13n nS S +∴=. 又111S a ==,∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1*3()n n S n -=∈N .当2n ≥时,21223(2)n n n a S n --==≥,21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++,当1n =时,11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=++++,…………①12133436323n n T n -=++++,………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-. 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥. 又111T a ==也满足上式, 1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N .22.（本小题满分14分）如图,已知(10)F ，,直线:1l x =-,P 为平面上的动点, 过点P 作l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ =. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点,交直线l 于点M .（1）已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值；（2）求MA MB 的最小值.本小题主要考查直线.抛物线.向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及 研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，,则(1)Q y -，,由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，,化简得2:4C y x =.（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠.设11()A x y ，,22()B x y ，,又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，, 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，,消去x 得：2440y my --=,2(4)120m ∆=-+>,121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ=,2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-,2222y y mλ+=-,整理得： 1121my λ=--,2221my λ=--, 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=.解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=,()()0PQ PF PQ PF ∴-+=,220PQ PF ∴-=,PQ PF ∴=.所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为：24y x =. （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,得120λλ<. 则：12MA AFMB BF λλ=-.…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线,垂足分别为1A ,1B , 则有：11MA AA AF MB BB BF ==.…………② 由①②得：12AF AF BF BFλλ-=,即120λλ+=. （Ⅱ）（2）解：由解法一,(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++ 2224(1)44m m m m=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥. 当且仅当221m m =,即1m =±时等号成立,所以MA MB 最小值为16.。
2007年高考数学试题汇编
2007年高考数学试题汇编——排列、组合、二项式1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，，当n=6时，，选D。
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种【解答】甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种【解答】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【解答】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D。
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种【解答】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个【解答】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-福建卷
2007年福建高考数学试卷（文科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,}U =，且{2,3,4}A =，{1,2}B =，则()U AC B 等于………（ ）A ．{2}B ．{5}C ．{3，4}D ．{2，3，4，5} 2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于………（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．323．0sin15cos75cos15sin105+等于…………（ ）A ．0B ．12 CD ．14．“2x <”是“260x x --<”的什么条件……（ ）A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5．函数sin(2)3y x π=+的图像………（ ）A ．关于点(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称 C ．关于点(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称6．如图在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别是1111...AA AB BB BC 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1207．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞8．对于向量..a b c 和实数λ，下列命题中真命题是…（ ）A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若0a λ=，则0λ=或0a =C ．若22a b =，则a b =或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =9．已知m 、n 是两条不同的直线，.αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是（ ） A ．,,m n m αββαβ⊂⊂⇒ B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,m n n αβα⊥⊥⇒D ．,m n n m αα⊥⇒⊥10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是…（ ）ABC1BD 1A1C1D EGHA ．22430x y x +--=B ．22430x y x +-+=C ．22450x y x ++-=D ．22450x y x +++=11．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且x>0时'()0,'()0f x g x >>，则x<0时（）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320 二、填空题 13．261()x x+的展开式中常数项是_________（用数字作答） 14．已知实数x,y 满足2203x y x y x +≥⎧⎫⎪⎪-≤⎨⎬⎪⎪≤≤⎩⎭，则2z x y =-的取值范围是_________15．已知长方形ABCD ，AB=4，BC=3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_____16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有a~a ；（2）对称性：对于，若a~b ，则有b~a ；（3）传递性：对于，若a~b,b~c ，则有a~c 。
2007年高考文科数学试题及参考答案(福建卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，， 以R 为半径的球体积：34π3V R = 一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,}U =，且{2,3,4}A =，{1,2}B =，则()U A C B 等于………（ ）A ．{2}B ．{5}C ．{3，4}D ．{2，3，4，5} 2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于………（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．323．0sin15cos75cos15sin105+等于…………（ ）A ．0B ．12 CD ．14．“2x <”是“260x x --<”的什么条件……（ ）A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5．函数sin(2)3y x π=+的图像………（ ）ABC1BD 1A1C1D EGHA ．关于点(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称 C ．关于点(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称6．如图在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别是1111...AA AB BB BC 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1207．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞8．对于向量..a b c和实数λ，下列命题中真命题是…（ ）A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B ．若0a λ= ，则0λ=或0a =C ．若22a b = ，则a b = 或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =9．已知m 、n 是两条不同的直线，.αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是（ ） A ．,,m n m αββαβ⊂⊂⇒ B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,m n n αβα⊥⊥⇒ D ．,m n n m αα⊥⇒⊥10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是…（ ） A ．22430x y x +--= B ．22430x y x +-+= C ．22450x y x ++-= D ．22450x y x +++=11．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且x>0时'()0,'()0f x g x >>，则x<0时（）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320 二、填空题 13．261()x x+的展开式中常数项是_________（用数字作答）14．已知实数x,y 满足2203x y x y x +≥⎧⎫⎪⎪-≤⎨⎬⎪⎪≤≤⎩⎭，则2z x y =-的取值范围是_________15．已知长方形ABCD ，AB=4，BC=3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_____16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有a~a ；（2）对称性：对于，若a~b ，则有b~a ；（3）传递性：对于，若a~b,b~c ，则有a~c 。
2007年高考福建数学(文)详细答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则()U A B ð等于（ ） Ａ．{}2Ｂ．{}5Ｃ．{}34，Ｄ．{}2345，，，解析：（C U B ）={3，4，5}，⋂A （C U B ）={3，4}，选C. 2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32解析：a 2·a 6= a 42=16，选C.3．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．1解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin 215°+cos 215°=1，选D. 4．“2x <”是“260x x --<”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-2<x<2,由 x 2-x -6<0得-2<x<3，选A. 5．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 解析：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈）， 当k=1时为（3π，0），选A.6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ．45Ｂ．60Ｃ．90Ｄ．120解析：连A 1B 、BC 1、A 1C 1，则A 1B=BC 1=A 1C 1，且EF ∥A 1B 、GH ∥BC 1，所以异面直线EF 与GH 所成的角等于.60°，选B. 7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） Ａ．(1)-∞，Ｂ．(1)+∞， Ｃ．(0)(01)-∞ ，，Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，， 解析：由已知得11<x解得0<x 或x>1，选D. 8．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）Ａ．若0= a b ，则0=a 或0=b Ｂ．若0λ=a ，则0λ=或0=aＣ．若22=a b ，则=a b 或=-a bＤ．若=a b a c ，则=b c 解析： a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B.9．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥ Ｂ．αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥Ｃ．m α⊥，m n n α⇒⊥∥ Ｄ．n m ∥，n m αα⇒⊥⊥解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D.10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=解析：双曲线x 2-y 2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为1)2(22=+-y x ，即x 2+y 2-4x +3=0，选B. 11．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）3Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增, 当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B.12．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4” 或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）Ａ．2000 Ｂ．4006 Ｃ．5904 Ｄ．8320解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_____．（用数字作答）解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x 2，4个x1，故常数项为1526=C 法二：展开后可得常数项为15.14．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．解析：画出可行域知z =2x -y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7].15．已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．解析：由已知C=2，2233b b a a=⇒=⇒ 221434,.42c a a a e a -=⇒==== 16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a ～a ；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a ～b ，则有b ～a ；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a ～b ，b ～c ，则有a ～c ． 则称“～”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：______． 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABBC 边的长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()1145C A B +∴=-+=-=-- ．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =sin sin AB BC C A =，sin sin A BC AB C ∴== ．18．（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6， 且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． 本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分12分．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，依题意得()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （123i =，，）相互独立．（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件123A A A ，且三次试跳相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==⨯⨯=．答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063． （Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ． 解法一：111111C A B A B A B =++ ，且11A B ，11A B ，11AB 彼此互斥， 111111()()()()PC P A B P A B P A B ∴=++ 111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.70.40.30.60.70.6=⨯+⨯+⨯ 0.88=．解法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯=． 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88． （Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i M i =，，，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i N i =，，，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +，且10M N ，21M N 为互斥事件，∴所求的概率为10211021()()()P M N M N P M N P M N +=+ 1021()()()()P M P N P M P N =+1221220.70.30.40.70.60.4C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.06720.2352=+ 0.3024=答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024． 19．（本小题满分12分） 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小．A BD1A1C1BC本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11ABA B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =，又112AG AB == ，sin AG AFG AF ∴===∠． 所以二面角1A A D B --的大小为解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，ABC D1A 1C1BOFGAO ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，1(120)B ，，，1(12AB ∴= ，，(210)BD =-，，，1(12BA =- ． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，111AB AB AB >===n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为20．（本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用， 考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >． 21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．又111S a == ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --== ≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ， 当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++ ，…………①12133436323n n T n -=++++ ，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+- ． 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥． 又111T a == 也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N ．22．（本小题满分14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ = ．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（2）求MA MB的最小值．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及 研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，得120λλ< ． 则：12MA AF MB BFλλ=- ．…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MB BB BF== ．…………② 由①②得：12AF AF BF BFλλ-= ，即120λλ+=． （Ⅱ）（2）解：由解法一，212M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（理工农医类）全解全析第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数2)1(1i +等于 A21 B －21 C 、21i D －21i 解析：2)1(1i +=i i2121-=，选D （2）数列{}的前n 项和为，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于A 1B 65C 61D 301 解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以656151514141313121211543215=-+-+-+-+-=++++=a a a a a S ，选B （3）已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a 的取值范围是A aB a<1C a 2D a>2解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C（4）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是A 若，则a ＝0或b ＝0 B 若，则λ＝0或a ＝0C 若＝，则a ＝b 或a ＝－bD 若，则b ＝c解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B （5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称解析：由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得2=ω，由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），选A （6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BCD解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45|020|=-=r ，圆方程为16)5(22=+-y x ，即A ，选A（7）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是 A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）（1，＋） 解析：由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C （8）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB.α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC.m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D .n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D（9）把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112lim--∞→nn n a a 等于A41 B 21C 1D 2 解析：令x=1得a n =1+2+22+ (2)=12212111-=--++n n ，222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n n n n a a ，选D（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A’B’C’D’中，AB ＝1，AA’＝，则A 、C 两点间的球面距离为A B CD解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R 2=1+1+2=4得R=1，AC=222R R +=，所以∠AOC=2π（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为2π，选B （11）已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增,当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是A73 B 74 C 141 D 1413解析：从中任取三个数共有8439=C 种取法，没有同行、同列的取法有6111213=C C C ，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-，选D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
（13）已知实数x 、y 满足，则z ＝2x －y 的取值范围是____________；解析：画出可行域知z =2x -y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7] （14）已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________；解析：设c=1，则121212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b（15）两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数的数学期望＝_______；解析：ξ的取值有0，1，2，91)2(,949)1(,94922)0(1212======⨯==ξξξp C C p p ，所以E ξ=32912941940=⨯+⨯+⨯（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ，都有a a ； （2）对称性：对于a ，b A ，若a b ，则有b a ； （3）传递性：对于a ，b ，c A ，若a b ，b c 则有a c则称“”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________。
解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 在中，tanA ＝，tanB ＝，（1）求角C 的大小；（2）若最大边的边长为，求最小边的边长。
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin sin A BC AB C ==BC（18）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
（1）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（2）求二面角A －A 1D －B 的大小； （3）求点C 到平面A 1BD 的距离。
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF AD ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角． 在1AA D △中，由等面积法可求得AF =，又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴===∠ 所以二面角1A A D B --的大小为arcsin4． （Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABCD1A 1C1BOF由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d =△△，1A BD d ∴==△．∴点C 到平面1A BD的距离为2． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，1(120)B ，，，1(12AB ∴= ，，(210)BD =-，，，1(12BA =- ． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，111AB AB AB >===n n ．∴二面角1A A D B --的大小为arccos4（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离112BC AB d AB === ．（19）（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9x 11）时，一年的销售量为 （12－x ）2万件。