3-2' 极大似然估计
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
第3章 空间计量模型的极大似然估计
ˆ T X T )(Y XB ˆ) Y T Y B ˆ T X T Y Y T XB ˆB ˆ T X T XB ˆ (Y T B ˆB ˆ T X T XB ˆ Y T Y 2Y T XB
OLS 估计结果：如X T X 可逆，即|X T X | 0， ( T ) ˆ 0 0 2 X T Y 2 X T XB ˆ B -1 T ˆ X TY B ˆ X T XB （X T X） X Y
2.3 SEM模型的极大似然估计结果
ˆ 。 依据SEM模型的极大似然估计结果，可以估算最优的
SEM模型的最终估计结果:
ˆ ˆ） 解释变量的参数估计值： （
ˆ) ˆ 2 n1S ( 随机误差项的方差估计值：
ˆW )T ( I ˆW )T ]1 方差-协方差矩阵估计值： ˆ 2 [( I n n
Lacombe模型参数估计优化的最小二乘法过程： ˆ (Z T Z )1 Z T ( I W W ) y 参数估计结果： n 1 1 2 2
2 =n1eT e 随机误差项方差估计结果：
Lacombe模型的对数似然函数设定：
2
eT e ln L (n 2) ln( ) ln I n 1W1 -2W2 2 2 其中，e ( I n 1W1 2W2 ) y Z
1.2 SAR、SDM模型中多参数优化向单参数优化的转化
多参数优化向单参数优化转化：将模型中需要优化的多个参数通过等
价变形，转变为一个参数的优化问题，以使所分析的问题更为简单。
SAR、SDM模型的单元优化过程：
第一，设定SAR、SDM模型； y n Wy X ; y n Wy X WX
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
概率与数据统计5.2极大似然法
设总体X分布函数为F(x;θ),θ为未知参数,
一次抽样中,得观测值(x1,x2,…,xn),则认为 (x1,x2,…,xn)出现的可能性最大,为了估计θ，
选取估计值 ,使ˆ得(x1,x2,…,xn)出现的可能
性最大.
最大似然估计就是通过样本值 (x1, , xn )来
求得总体的分布参数,使得(X1, , Xn ) 取值
只写有 出一 方个程待：d估dln参L 数 0时
ln L
2
0
ln L
m
0
4.求解似然方程（组）得最大似然估计值
ˆi ˆi (x1, x2,..., xn )并写出最大似然估计量
ˆi ˆi (X1, X2,..., Xn )
例1 求参数为p的0-1分布的最大似然估计.
解 P(X=0)=1-p P(X=1)=p
大似然估计.
( 1)x ,0 x 1, 1
例4
设总体X～
f (x)
0
, 其他
其中 是未知参数.(X1, , Xn )是来自总体的
一个容量为n 的简单随机样本,求 的最大似
然估计量 ˆ及E(e1nˆ ).
解
L( 当
x由01 ,所题x2x以,意.i..,得x1n:;E( i)(e11,n02iˆn,1)..(.,nE)(1X)1x1时iX，2 in01其lXnn它nxX)i
,m ),
P{X1 x1, X 2 x2 ,..., X n xn}
n
n
P{Xi xi} f (xi ;1,2, ,m )
i 1
i 1
似然函数：
n
L(1,2, ,m ) f (xi;1,2, ,m ) i 1
3 最大似然估计法(连续型)
估计方法最小二乘法与极大似然估计
估计方法最小二乘法与极大似然估计估计方法是统计学中常用的一种工具，用于从样本数据中推断总体参数的值。
最小二乘法和极大似然估计是两种常见的估计方法，在不同的情境下被广泛应用。
本文将对这两种方法进行介绍，并比较它们的优缺点。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是使观测数据与理论模型的预测值之间的残差平方和最小化。
通过最小化残差平方和，最小二乘法能够找到最优的参数估计值。
最小二乘法可用于线性回归、非线性回归以及参数估计等多个领域。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用于拟合一个线性模型，使该模型与观测数据之间的残差平方和最小化。
具体地，假设我们有n个观测值(x,y)，其中x为自变量，y为因变量。
线性回归的目标是找到最优的模型参数β0和β1，使得残差平方和最小化。
最小二乘法通过最小化残差平方和的方法来求解β0和β1的值。
除了线性回归问题，最小二乘法还可以用于非线性回归问题，其中模型可以是一些非线性函数。
通过将非线性模型转化为线性模型进行拟合，在最小二乘法的框架下，可以得到非线性模型的最优参数估计。
最小二乘法的优点在于易于理解和计算，具有较小的方差。
然而，最小二乘法也有一些缺点，比如对异常值非常敏感，并且对数据分布的假设要求较高。
二、极大似然估计极大似然估计是另一种常用的参数估计方法，它的核心思想是选择参数值，使得观测数据出现的概率最大化。
极大似然估计常用于统计模型的参数估计，可以用于概率分布参数的估计，以及对未知分布函数形式的参数估计。
假设我们有一组独立同分布的随机观测值x1, x2, ..., xn，我们希望通过这些观测值来对总体分布的参数进行估计。
极大似然估计的目标是选择最优的参数值，使得观测到这些数据的概率最大化。
以正态分布为例，假设我们观测到了一组随机变量x1, x2, ..., xn，我们希望通过这些观测值来估计正态分布的均值μ和方差σ^2。
使用极大似然估计，我们可以写出似然函数，然后通过最大化似然函数来求解最优的参数估计值。
机器学习原理及应用习题答案
第一章的题目填空题1、常见的机器学习算法有_________、___________、___________（随意列举三个）答：逻辑回归、最大熵模型、k-近邻模型、决策树、朴素贝叶斯分类器、支持向量机、高斯混合模型、隐马尔可夫模型、降维、聚类、深度学习2、sklearn.model_selection中的train_test_split函数的常见用法为______,______,______,______ = train_test_split(data,target)（填写测试集和训练集名称，配套填写，例如x_train,x_test）答：x_train x_test y_train y_test3、根据机器学习模型是否可用于生成新数据，可以将机器学习模型分为_________和_________。
答：生成模型判别模型4、训练一个机器学习模型往往需要对大量的参数进行反复调试或者搜索，这一过程称为______。
其中在训练之前调整设置的参数，称为_________。
答：调参超参数5、根据样本集合中是否包含标签以及半包含标签的多少，可以将机器学习分为____________、____________和______________。
答：监督学习半监督学习无监督学习判断题1、根据模型预测输出的连续性，可以将机器学习算法适配的问题划分为分类问题和线性问题。
（F）（回归问题）2、决策树属于典型的生成模型。
（F）（判别模型）3、降维、聚类是无监督学习算法（T）4、当我们说模型训练结果过拟合的时候，意思是模型的泛化能力很强（F）（很差）5、训练误差和泛化误差之间的差异越小，说明模型的泛化性能越好。
（T）选择题1、以下属于典型的生成模型的是（D）A、逻辑回归B、支持向量机C、k-近邻算法D、朴素贝叶斯分类器2、以下属于解决模型欠拟合的方法的是（C）A、增加训练数据量B、对模型进行裁剪C、增加训练过程的迭代次数D、正则化3、构建一个完整的机器学习算法需要三个方面的要素，分别是数据、模型、（A）。
对数极大似然估计(1)
i
由上式可解得 n1 向量 的极大似然估计值 ψˆ，而式(8.1.2)
也被称为似然函数。
6
因为 L(y ; ) 与 ln[L(y ; ))] 在同一点处取极值，所以
也可以由
ln L( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.3）
24
每个似然说明都必须包含一个控制语句，该语句命名了 保存似然贡献的序列。语句的格式为：
@logL series_name
这里@logL是关键字，series_name是保存似然贡献的序列的 名字，可以写在似然说明的任何位置。
T
( yt
t 1
t)2
T t1
1 ln(2 π
2
2)
1
2 2
( yt
t)2
（8.1.7）
9
注意，可以将对数似然函数写成 t 时刻所有观测值的 对数似然贡献和的形式，
T
ln L( β, 2 ) lt ( β, 2 ) t 1
（8.1.8）
这里对数似然的单个贡献（用小写字母表示）由下面
第八章 对数极大似然估计
极大似然估计法(maximum likelihood, ML)，是不同于 最小二乘法的另一种参数估计方法，是从极大似然原理发 展起来的其他估计方法的基础。虽然其应用没有最小二乘 法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为 极大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估 计母体参数的内在机理，计量经济学理论的发展更多的是 以极大似然估计原理为基础的，对于一些特殊的计量经济 学模型，只有极大似然方法才是很成功的估计方法。
前面两行语句创建了残差序列res和方差序列var，参数c(1),
参数估计极大似然法
将其取对数,然后对 1 , 2 ,, 2 , , k ) 0 1 ln L( 1 , 2 , , k ) 0 k
该方程组的解 ˆi ˆi (x1, x2 ,, xn ),i 1,2,, k , 即为 i 的极 大似然估计值.
求极大似然估计的一般步骤归纳如下：
（1）求似然函数 L( ) ；
（2）求出 ln L( ) 及方程
d ln L( ) 0 d
；
（3）解上述方程得到极大似然估计值
ˆ ˆ( x , x ,, x ) 1 2 n .
（4）解上述方程得到极大似然估计量
ˆ ˆ( X , X ,, X ) 1 2 n .
令
ˆ( x , x ,, x ) 解此方程得θ的极大似然估计值 1 2 n ,
从而得到θ的极大似然估计量ˆ( X1, X 2 ,, X n ) .
因为 解方程
L( )
与
ln L( )
具有相同的最大值点
d ln L( ) 0 d
也可得θ的极大似然估计值
ˆ( x , x ,, x ) 和θ的极大似然估计量 ˆ( X , X ,, X ) . 1 2 n 1 2 n
~ x d 2 ln L() 且 0 2 d ~ x
~ 从而得出λ的极大似然估计量为 X
例：设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中λ 未
( x1 , x2 ,, xn ) ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为从总体抽取一个样本， 知，
为其样本观测值， 试求参数λ 的极大似然估计值和 估计量.
例:设随机变量X服从泊松分布:
P{ X k}
k e
k!
,
最小二乘法、gmm、极大似然估计的stata命令
一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来寻找最佳拟合曲线或平面。
在统计学和经济学中，最小二乘法常常用于回归分析，计算出拟合曲线的斜率和截距，从而评估自变量对因变量的影响。
Stata软件提供了一系列的最小二乘法命令，包括regress、ivregress、qreg等，用户可以根据具体的需求选择合适的命令进行数据拟合和参数估计。
在Stata中，使用最小二乘法进行数据拟合的命令有：1. regress：该命令用于执行普通最小二乘回归分析，对于单变量或多变量回归分析都适用。
2. ivregress：该命令用于执行被认为与误差项相关的内生变量的最小二乘估计。
3. qreg：该命令用于进行分位数回归分析，对于分布式数据的回归分析非常有用。
通过这些命令，用户可以方便地进行数据拟合和参数估计，快速得到符合最小二乘法原理的拟合结果，从而进行进一步的统计分析和推断。
二、GMM广义矩估计（GMM）是一种参数估计方法，它通过最大化或最小化一组样本矩来估计模型参数。
在经济学、金融学和计量经济学等领域，GMM广泛应用于参数估计和模型拟合。
Stata软件提供了一系列的GMM命令，用户可以根据具体的需求使用不同的命令进行模型估计和拟合。
在Stata中，使用GMM进行参数估计和模型拟合的命令有：1. ivreg：该命令用于执行广义矩估计的内生变量回归分析。
2. gmm：该命令用于执行广义矩估计的一般模型估计。
用户可以根据具体的模型结构和需求使用该命令进行参数估计和模型拟合。
通过这些命令，用户可以方便地进行广义矩估计的参数估计和模型拟合，得到符合GMM原理的拟合结果，从而进行进一步的统计分析和推断。
三、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化给定数据样本的概率函数的参数值来估计模型的未知参数。
在统计学、经济学和金融学等领域，极大似然估计被广泛应用于模型的参数估计和拟合。
加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计
装备环境工程第20卷第5期·12·EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING2023年5月加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计马小兵，刘宇杰，王晗（北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100191）摘要：目的在加速试验中，对寿命服从三参数威布尔分布的产品进行可靠性评估与寿命预测，解决形状参数小于1时传统方法难以计算的问题。
方法利用三参数威布尔分布与指数分布之间的转换关系，以变异系数误差最小为优化目标，在确定最优位置参数估计值的基础上，应用拟极大似然方法估计分布模型中的其余参数，建立极小变异–极大似然估计（MV-MLE）。
根据加速寿命试验中失效机理不变的原则，在失效机理等同条件下，将该方法推广至多应力水平下的可靠寿命评估。
结果在单一应力与多应力水平下，通过仿真模拟验证了所提方法的有效性。
与传统方法相比，在小样本条件下，所提方法可提高形状参数（机理等同性参数）估计精度40%以上。
结论所提方法对于三参数威布尔分布的参数估计和寿命评估具有较高精度，能够有效克服传统方法的不足，在加速寿命试验评估中具有良好的应用效果。
关键词：三参数威布尔分布；变异系数；加速寿命试验；机理等同性；可靠性评估；寿命预测中图分类号：TB114 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)05-0012-07DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.05.003Minimum Variation-Maximum Likelihood Estimation of Three-parameterWeibull Distribution under Accelerated Life TestMA Xiao-bing, LIU Yu-jie, WANG Han(School of Reliability and Systems Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)ABSTRACT: The work aims to estimate the reliability and predict the lifetime of the products subject to three-parameter Weibull distribution under accelerated life test, so as to solve the problem that the traditional methods are difficult to complete the calculation when the shape parameter is less than 1. Through the conversion relationship between three-parameter Weibull distribution and exponential distribution, the best estimated value of the location parameter was determined with the error of co-efficient of variation as the optimization objective. Then, the analogue maximum likelihood method was used to estimate the remaining parameters of the Weibull distribution, based on which the minimum variation-maximum likelihood estimation收稿日期：2023–04–13；修订日期：2023–05–04Received：2023-04-13；Revised：2023-05-04基金项目：国家自然科学基金（72201019，52075020）；可靠性与环境工程技术重点实验室项目（6142004210105）；国防技术基础项目（JSZL2018601B004）Fund：The National Natural Science Foundation of China (72201019, 52075020); Reliability and Environmental Engineering Science & Tech-nology Laboratory (6142004210105); Basic Technical Research Project of China (JSZL2018601B004).作者简介：马小兵（1978—），男，博士。