高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.2课后习题

第二章 2.1 2.1.2
基础巩固
一、选择题
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[答案] D
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共
面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可
异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显
然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．
规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何
中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效
地排除相关的选择项．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )
A．3条 B．4条
C．6条 D．8条
[答案] C
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )
A．a∥c B．a、c是异面直线
C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面
[答案] D
[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．
4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
[答案] D
[解析] 由等角定理知α、β相等或互补．
所以β＝60°或120°.
5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF
与CD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] A
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A．
6．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交
直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角
的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于
第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ②④是正确的．
二、填空题
7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
[答案] 3
[解析] AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．
8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．

(1)A1F1与BD所成角的度数为________.
(2)C1F1与BE所成角的度数为________.
[答案] 30° 60°
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点．

求证：∠BGC＝∠FD1E.
[分析]
利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．
[解析] 因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，
BF綊GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA
＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平
行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移
向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
[解析] 取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.
在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.

在等腰△EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.
能力提升
一、选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
[答案] D
[解析] 如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都与a、b相交，AB、
AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面．
2．已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是( )
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线
[答案] C
[解析] 由平行公理可知C正确，而其他可举反例说明错误．
3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四
边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
[答案] D
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图．

∴FG綊EH綊12BD，
HG綊EF綊12AC，
又∵BD⊥AC且BD＝AC，

∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
4．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则
异面直线AB与PC所成的角为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
[答案] D
[解析] 如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则

EG綊12AB，GF綊12PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的
角，在△EFG中，EG＝12AB＝3，FG＝12PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝
90°.
二、填空题
5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面
对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．

[答案] 1
[解析] 与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C
和AD1所成的角为90°.
6．如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，
若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________.
[答案] 6
[解析] EH綊12BDFG綊12BD⇒EH＝FG＝12BD＝1，
同理EF＝GH＝12AC＝2，
∴四边形EFGH的周长为6.
三、解答题
7．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF
＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．

[解析] 如图，取BD的中点M，连接EM、FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊12AD，FM綊12BC，则∠EMF或其补角就
是异面直线AD、BC所成的角．
AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，
则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠FMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
8．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于
同一点O，且AOOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．
[分析]
用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证
明两个三角形相似．

[解析] (1)证明：因为AA′与BB′交于点O，且AOOA′＝BOOB′＝23，所以AB∥A′B′.

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解：因为A′B′∥AB，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反．
所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′，
且ABA′B′＝AOOA′＝23.

所以S△ABCS△A′B′C′＝(23)2＝49.
[点评] 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直
接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证明三角形相似．解答时要注意角的两边是否
平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回答时要作出说明．