上海市曹杨第二中学2021届高三上学期周测数学试卷二

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上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

曹杨二中2024学年第一学期高二年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若函数的最小正周期是______.2.设等差数列的前n 项和为.若，则______.3.若平面α∥平面β，，，则直线a 与b 的位置关系不可能是______.（填“相交”、“平行”、“异面”之一）4.已知i 为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______.5.在中，，，，则______.6.在正三棱柱中，若，则直线到平面的距离为______.7.设α为第二象限角.若，则______.8.若圆柱的底面半径为1，侧面展开图的面积为8π，则该圆柱的体积为______9.如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处.若库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D 、C 到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲、乙两人相距______米.10.已知成等比数列，且其中有两项分别为1、9，则的最小值为______.11.如图，正方体棱长为2，E 、F 分别为、的中点，P 是底面上一点.若AP ∥平面BEF ，则直线AP 与底面所成角的正切值的取值范围是______。

sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n a n S 33a =5S =a ⊂αb ⊂βm R ∈2i +²50x mx -+=m =ABC △90C =︒3AC =4BC =AB BC ⋅=111ABC A B C -12AB AA ==1AA 11BB C C 3sin 2cos 21α=α-sin α=30DA =40CB=AB =12345,,,,a a a a a 5a 1111ABCD A B C D -11B C 11C D 1111A B C D 1111A B CD12.17世纪法国数学家费马曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面α内任意一个向量，和是平面α内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值为______.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知空间中有三条直线a ，b ，c ，则“a ，b ，c 两两相交”是“a ，b ，c 共面”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.已知l 是平面α的一条斜线，直线，则（）A.存在唯一一条直线m ，使得l ⊥m B.存在无数多条直线m ，使得l ⊥m C.存在唯一一条直线m ，使得l ∥mD.存在无数多条直线m ，使得l ∥m15.设m ，n 为正整数.对于数列，下列命题中正确的个数是（）①若，则是等比数列；②若，则是等比数列；③若，则是等比数列.A.0 B.1C.2D.316.已知矩形ABCD ，M 是边AD 上一点，沿BM 翻折，使得平面ABM ⊥平面BCDM ，记二面角的大小为α，二面角的大小为β，则（）A. B.C. D.ABC △120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒a b c2b = 3c = a b a b a c -+++-m ⊂α{}n a ()24n n a ={}n a ()221n n n a a a ++⋅={}n a 2m n m n a a +⋅={}n a ABM △A BC D --A DM C --α>βα<β2πα+β>2πα+β<三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）已知i 为虚数单位，设.复数.（1）若，求m 的值；（2）若z 是纯虚数，求的值.18.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）如图，在正方体中，.（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.m R ∈()()22232z m m m m i =--++-0z >z z ⋅1111ABCD A B C D -1AB =11A B 11ABC D 1A C 1DD19.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与半圆弧BC 所在平面垂直，点M 是BC 上异于B 、C 的点.（1）求证：平面ACM ⊥平面ABM ；（2）当二面角的大小为60°时，求直线CA 与平面ABM 所成角的正弦值.20.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD 为矩形，点P 不在四边形ABCD 所在平面上，PD ⊥平面ABCD ，，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .（1）判断四面体EBCD 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）证明：DE ⊥平面PBC ；（3）设，若点M 在BD 上运动，点N 在PC 上运动，求线段MN 长度的最小值.A CMB --PD CD =3PD CD BC ===21.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数n ，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）；（2）设.若首项为1，公比为q 的等比数列为有界变差数列，求q 的取值范围；（3）已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列.参考答案一、填空题1.;2.;3.相交;4.;5.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.二、选择题13.D 14.B 15. B 16.C 三．解答题17.（1）（2）或18.（1）证明略（2{}n a 0M >n a M ≤{}n a ()1,1,2,3,1i i i b a a i n +=-=- 0T >2n ≥n N ∈1231n b b b b T -++++≤ {}n a {}n a 21n a n ={}n a q R ∈{}n c {}n d {}n e n n n f d e =⋅{}n f π15416-144π7027-3+2-410019.（1）证明略（220.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD 为矩形，点P 不在四边形ABCD 所在平面上，PD ⊥平面ABCD ，，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .（1）判断四面体EBCD 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）证明：DE ⊥平面PBC ；（3）设，若点M 在BD 上运动，点N 在PC 上运动，求线段MN 长度的最小值.(1)由平面平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是证明:(2)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以平面平面,所以又因为,点是的中点,所以而,所以平面21.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数n ，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. （1）已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）；（2）设.若首项为1，公比为q 的等比数列为有界变差数列，求q 的取值范围；（3）已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列PD CD =3PD CD BC ===BC ⊥,PCD DE ⊥PBC EBCD EBCD ,,BCD BCE DEC ∠∠∠,DEB∠PD ⊥ABCD PD BC ⊥ABCD BC CD ⊥PD CD D ⋂=BC ⊥,PCD DE ⊂PCD BC DE⊥PD CD =E PC DE PC ⊥PC BC C ⋂=DE ⊥PBC {}n a 0M >n a M ≤{}n a ()1,1,2,3,1i i i b a a i n +=-=- 0T >2n ≥n N ∈1231n b b b b T -++++≤ {}n a {}n a 21n a n ={}n a q R ∈{}n c {}n d {}n e n n n f d e =⋅{}n f为有界变差数列.(1),若使数列为有界数列,则需使,由知,,则,,则即可,则数列为有界变差数列.(2),则当时,则,显然满足题意.当时,则,则若,则,舍去.当时,则是首项为,公比为的等比数列,则若时，,则符合题意.若时,趋向于无穷大，与题意矛盾,舍去.综上可得，的取值范围为.(3)证明:因为和为有界数列,则存在,使得对任意的恒成立,则存在,使得对任意的恒成立,又因为和为单调递增的有界数列,211n a n =≤ ∴{}n a 1M (2)1n a n =1n n a a +>()11,1,2,3,4,...,1,i i i i i b a a a a i n ++==--=-1231111n n b b b b a a a -∴+++⋯⋯+=-<=1T ...{}n a 1n n c q -=111|1|i i i i i i b a a q q q q --+=-=-=-⋅1q =0i b =1q =-2i b =()123121n b b b b n -+++⋯+=-()21n T - (12)Tn +…1q ≠{}n b 1q -q 112311||11n n q b b b b q q---+++⋯+=-⋅-01q <<11||11111n q q q q q ---⋅<-⋅--1q >11||11n q q q---⋅-q ()(]1001,,-⋃{}n d {}n e 10M >1*,n n N d M ∈…20M >2*,n n N e M ∈…111111i i i i i i i i i i i i ib d e d e d e d e d e d e ++++++=-=-+-()()()()111111i i i i i i i i i i i id de e e d d d e e e d ++++++=-+--+-…{}n d {}n e则,则所以存在即可,则数列为有界变差数列。

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性；当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 4．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值．因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =- D．z =【答案】D 【解析】【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.9．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111x h x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.11．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，故渐近线方程为3y x =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数lg y x =的定义域是{}110，，则该函数的值域是_______. 2．二项式()61x +的展开式中的第三项为_________. 3．若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝_________. 4．已知()sin 3cos απα-=，则()tan πα-=________.5．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量n = 6．已知()y f x =是奇函数. 若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .7．已知22x x a +≥在[]03x ∈，上有解，则实数a 的取值范围是________. 8．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是__.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.11．在等比数列{}n a 中，已知()()14234a a a a +-+=，若()*1n n a a n N +>∈，则65a a -的最小值是________.12．若存在实数a b 、，对任意实数[]04x ∈，m ax b m ≤+≤恒成立，则实数m 的取值范围为________.二、单选题13．关于实数m n 、，“0mn <”是方程“221mx ny +=对应的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．设有不同的直线a b 、和不同的平面αβγ、、，给出下列三个命题： ①若////a b αα，，则//a b ； ②若////a a αβ，，则//αβ； ③若αγβγ⊥⊥，，则.αβ⊥ 其中正确的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（） A ．1-B ．12-C ．1D ．216．我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等(如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么不同的三阶幻方的个数是（）A ．9B ．8C ．6D ．4三、解答题17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小． 18．设常数R a ∈，函数()2sin22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 19．某足球俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2021年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元.计划每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍. （1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少?（2）从2021年起（包括2021年）该俱乐部从哪一年开始“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万元?（总投入是指各年投入之和）20．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O 的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()f x 的定义域为[]01，，同时满足：对任意[]01x ∈，，总有()()2,13f x f ≥=，对定义域内的12x x 、，若满足121x x +≤，恒有()()()12122f x x f x f x ++-≥成立，则函数()f x 称为“Γ函数”.（1）判断函数()21xf x =+在区间[]01，上是否为“Γ函数”，并说明理由；（2）当()g x 为“Γ函数”时，求()g x 的最大值和最小值；（3）已知()h x 为“Γ函数”： ①证明：()*11222n n h n N ⎛⎫≤+∈⎪⎝⎭； ②证明：对一切(]01x ∈，，都有()2 2.h x x <+参考答案1．{}01，【解析】【分析】由题意，将x =1和x =10分别代入解析式即可求得结果. 【详解】依题意，当x =1时，y =lg1=0，当x =10时，y =lg10=1，则该函数的值域是{}01，. 故答案为：{}01，.【点睛】本题考查函数的概念和对数函数的基本知识，要求学生必须掌握已知函数定义域，求函数值域的基本题型，属基础题. 2．415x 【分析】由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：616r rr T C x -+=，令r +1=3，得r =2，从而由通项公式求得结果. 【详解】由二项式()61x +的展开式的通项公式得616r rr T C x -+=，令 r +1=3，得r =2，则二项式()61x +的展开式中的第三项为2626C x-，即415x ，故答案为415x . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键在于正确写出二项式展开式的通项公式，属基础题.3 【分析】由1,2,,a b a b ==夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果.1,2,,a b a b ==夹角为3π，所以2222a ba b a b +=++⋅142cos 3a b π=++152125272=+⨯⨯⨯=+=所以7a b +=，故答案为. . 4．3 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系先求出tan α，从而求出()tan πα-. 【详解】由()sin sin απα-=-可得，sin 3cos αα-=，即tan 3α=-，则()tan tan 3παα-=-=. 故答案为3. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系，准确运用公式是解题的关键，属基础题. 5．80．【详解】解：A 种型号产品所占的比例为2/ (2+3+5) =2 /10 ，16÷2/10 =80，故样本容量n=80， 6．3 【详解】()y f x =是奇函数，则(1)(1)f f -=-，(1)(1)(1)(1)44g g f f +-=+-+=,所以(1)4(1)3g g -=-=.【分析】令2()2g x x x =+，依题意，[0,3]x ∃∈，使()g x a ≥成立，转化为求max ()g x a ≥，从而利用一元二次函数的性质即可求得结果. 【详解】令2()2g x x x =+，依题意，[0,3]x ∃∈，使()g x a ≥成立，即max ()g x a ≥，又22()2(1)1g x x x x =+=+-，则2()2g x x x =+在[0,3]上单调递增，所以max ()(3)15g x g ==，所以15a ≤. 故答案为：15a ≤. 【点睛】本题考查存在性问题和一元二次函数的性质，也考查了学生转化与化归的能力，存在性问题通常转化为求函数最值问题，属中档题. 8．34【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 9．141x = 【分析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得1V 和2V 的值，进而求得其比值，得到结果. 【详解】设ABC ∆的面积为S ，三棱柱的高为h ，则11111113326A MBC A ABC M ABC V V V V Sh S h Sh ---==-=-⨯=，111111121233A BBC C ABC A B C A ABC V V V V Sh Sh Sh ---==-=-=，所以1231624V Sh V Sh =⨯=，故答案是14. 【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10．3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得||z =. 【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||3z =>，所以z的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题. 11．16 【分析】将()()14234a a a a +-+=化简变形可得2124=1a a q --，则44652124()1q a a q a a q -=-=-，将该式变形成2244(1)81q q -++-，并利用基本不等式求出最小值，从而得到结果. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，()()1423a a a a +-+()()4321a a a a =--- ()()22121q a a a a =--- ()221(1)4q a a =--=，由()*1n n a a n N +>∈，2124=01a q a ->-，即210q ->，则44652124()1q a a q a a q -=-=-，即444222222444444444(1)811111q q q q q q q q q -+-==+=-++-----，又2244(1)821q q -++≥-，当且仅当2244(1)=1q q --，即2=2q 时，取等号. 所以65a a -的最小值是16. 故答案为：16. 【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的应用，考查了学生的计算能力，综合性较强，属难题. 12．14m ≥【分析】m ax b m ≤+≤可化为不等式|ax b m +≤，等价于存在实数a ，b ，对任意[0,4]x ∈，不等式|ax b m +≤成立，等价于存在实数a ，b ，不等式max |ax b m +≤成立，分别讨论14a ≤，11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭的情况，注意由任意性和存在性可知需先求出max |ax b +，再求()maxmin|ax b +即可解决.【详解】m ax b m ≤+≤可化为不等式|ax b m +≤，原题等价于存在实数a ，b ，对任意[0,4]x ∈，不等式|ax b m +≤成立，等价于存在实数a ，b，不等式max |ax b m +≤成立，令y ax b =+y a '=，（1）在[0,4]x ∈上，当0y '≤，即14a ≤时，函数单调递减，此时42a b y b +-≤≤，当12b a ≤-时，42a b b +-≤-，且420a b +-<，则max ||42y a b =--+，当12b a >-时，42a b b +->-，且0b >，则max ||y b =，从而当14a ≤时，设max 42,12()||,12a b b a g b y b b a --+≤-⎧==⎨>-⎩，则()g b 在(,12)a -∞-单调递减，在(12,)a -+∞单调递增，所以12b a =-时，()g b 取最小值，最小值为1(12)122g a a -=-≥；（2）当14a >时，由0y a '=-<可得，y 在210,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在21,44a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42b a b ≥+-，则14b y b a -≤≤，同理可得，当11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，max 11,48()||1,8b b a ag b y b b a ⎧-≤⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，则()g b 在1(,)8a -∞单调递减，在1(,)8a +∞单调递增，故当18b a =时，()g b 取最小值，最小值为111()884g a a =≥； ②在1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，42b a b <+-，则1424b y a b a -≤≤+-，同理可得，当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，max 11,1248()||142,128b b a a ag b y a b b a a ⎧-≤-+⎪⎪==⎨⎪+->-+⎪⎩，则()g b 在1(,12)8a a -∞-+单调递减，在1(12,)8a a -++∞单调递增，故当1128b a a =-+时，()g b 取最小值，最小值为11(12)2188g a a a a-+=+-，根据对勾函数的性质可得，111(12)21884g a a a a -+=+->. 综上所述，1()4g b ≥，即min 1()4g b =，14m ∴≥.故答案为14m ≥.【点睛】本题考查函数综合，考查了函数任意性和存在性问题的综合，难度较大，关键在于根据任意性先对a进行讨论求出max ||ax b +，再对b 进行分段得到分段函数()g b ，结合单调性和存在性的特点求出()g b 的最小值，属难题. 13．D 【分析】分别从充分性和必要性推导即可求得结果. 【详解】充分性：“0mn <”时，221mx ny +=对应的曲线是双曲线，不是椭圆，故充分性不成立；必要性：已知“221mx ny +=对应的曲线是椭圆”，所以,0m n >且m n ≠，故必要性不成立.综上所述，“0mn <”是方程“221mx my +=对应的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件.故选：D. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件和椭圆及其标准方程，熟练掌握椭圆方程的特点是解题的关键，属基础题. 14．A 【分析】根据线线平行的定义和性质、平面与平面平行或垂直的性质与判定，逐项判断即可得出结论. 【详解】①若////a b αα，，当a ，b 共面时，满足//a b 或a 与b 相交；当a ，b 不共面时，a 和b 为异面直线，所以a 和b 的关系是平行、相交或异面，故不正确； ②若////a a αβ，，则//αβ或α与β相交，故不正确； ③若αγβγ⊥⊥，，则//αβ或α与β相交，故不正确. 故选A. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线，平面与平面的位置关系的判断，掌握线线平行的定义和性质、平面与平面平行或垂直的性质与判定是解决本题的关键，属基础题. 15．A 【解析】由题意得：因为21x y -=与圆222x y +=在第一象限的交点为1,1（），所以lim =1lim =1n n n n x y →∞→∞，，1limlim 1n n n n n ny y x x →∞→∞'-='∴-，又由222n n x y +=得220n nn n n n n n y x x x y y x y +=⇒=-''''lim 1lim lim lim() 1.1lim n n n n n n n n n n n nn x y y x x x y y →∞→∞→∞→∞→∞-∴='=-=-=--'选A.考点：极限 16．B 【分析】首先如题设分析，每行每列的所有书的和都是15，然后列举所有3个数的和为15的组合情况，含5的有5个，所以5放中间，含2，4，6，8的都3个，所以放在四个角处，并且456，258分占两条对角线，再用列举法即可得到结论. 【详解】因为所有数的和为9(19)452⨯+=，45153=，所以每行每列，以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种排法，则不同的三阶幻方的个数是8. 故选：B. 【点睛】高考已说明加强数学史等知识的考查，所以对于数学史书的数学问题，也会是高考的热点，本题考了计数问题，审题要清楚，并且能抽象为一个什么数学问题，当解决问题时，计算要准确，属中档题.17．arccos 6. 【分析】（1）由圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【详解】（1）∵圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积2211ππ233V r h =⨯⨯⨯=⨯⨯3=．（2）∵4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，()004P ，，，()200A ，，，()020B ，，， ()110M ，，，()000O ，，，()114PM =-，，，()020OB =，，，设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则2cos 618PM OB PM OBθ⋅===⋅．∴2arccos6θ=． ∴异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 6．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。

2021届高三数学第二次模拟试题理(含解析)

2021届高三数学第二次模拟试题理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（）25B.45C.2545【答案】A 【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ．考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________．【答案】5 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1，故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，（i ）求参数m 的取值范围；（ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间；（2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意，此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数，所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减；当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增（2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->，所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥，当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

上海市曹杨第二中学2021届高三下学期3月月考数学试题(含答案解析)

上海市曹杨第二中学2021届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．21lim1n n n →∞+=-_____2．不等式01xx <-的解集为_____．3．已知复数z 满足234i(i z =+为虚数单位），则||z =_____．4．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．5．若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是________．6．从1,2,3,4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____．（结果用数值表示）7．621(1)x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____．8．已知,a b R +∈，若直线()1210a x y -+-=与直线70x by ++=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.9．若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为________10．已知函数()2lg(100)x g x x =++，定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()2f x g x g x =--+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为_____．11．设双曲线22214x y b-=（0b >）的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与双曲线左，右两支交于M ，N 两点，且2222,F M F N F M F N ⊥=，则双曲线的半焦距c =_____．12．已知平面向量1e 、2e 是不共线的单位向量，记1e 、2e 的夹角为θ，若平面向量a 满足12a = ，且对于任意的正实数k ，1214a e ke -+≥ 恒成立，则cos θ的最大值为___________.二、单选题13．直线121x ty t=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．1arctan 2D ．arctan 214．已知直线l 和两个不同的平面,αβ，则下列结论正确的为（）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥C ．若//,l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若,//l αβα⊥，则l β⊥15．定义在R 上的函数()f x ，若()(||)|()|g x f x f x =-，有下列两个结论：①若()f x 是偶函数，则()g x 是奇函数;②若()f x 是偶函数,则()g x 是偶函数，则（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对16．已知数列{}n a 满足2112,n n n a a a a +==+，设1212333111m m m a a a S a a a =++++++ ，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（）A ．672B ．673C ．674D ．675三、解答题17．如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点.(1)求证:AF PC ⊥;(2)求二面角D PC E --的大小.18．已知0a >且1a ≠，函数()()1log (1),log 1a a f x x g x x=+=-，记()()()2F x f x g x =+.（1）求函数()F x 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内仅有一解，求实数m 的取值范围.19．如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60 的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？20．已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C .(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；(2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;(3)求线段AC 长的取值范围.21．已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足()12n n n S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a 禳镲睚镲铪的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2n ≥，*n ∈N 时()11n n R n T -=-；（3）已知当*n ∈N ，且6n ≥时有1132nmm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，其中1,2,,m n = ，求满足()()3423n nan n n n a ++++=+L 的所有n 的值.参考答案：1．2【详解】122120lim lim 2.11101n n n n n n→+∞→+∞+++===---2．(0,1)【分析】将不等式01xx <-化为()10x x -<，即可得答案.【详解】由题意得不等式01xx <-即()()10,0,1x x x -<∴∈，即不等式01xx <-的解集为(0,1)，故答案为：(0,1)3【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 34i z a b ab =-+=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2i z =+或2i z =--，所以||z ==故答案为:4．140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.020.10) 2.50.71+⨯-=,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，故答案为：140.5．3；【详解】画出可行域,如下图阴影部分,其中(1,1),(1,0),A B 令0z =，则20x y +=,为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点(1,1)A 时,2z x y =+有最大值3.6．13【分析】列举出四个数中一次随机地抽取两个数的所有可能情况，确定其中一个数是另一个数的两倍的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况,其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即(1,2)，(2,4),则其概率为2163=,故答案为：13.7．15-【分析】求出二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，根据题意可得相应方程，求得r 的值，可得答案.【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()621231661C (1)C ,0,1,,6rrrr r rr T x xx r --+⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭,令1231r -=-，解得133r =（舍）；令1230r -=，解得4r =，621(1)x x x ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为46C 15-=-，故答案为：15-8．18【分析】先根据两直线互相垂直，得到21a b +=，再根据基本不等式即可求解.【详解】解：直线()1210a x y -+-=与直线70x by ++=互相垂直，()1120a b ∴-⨯+=，即21a b +=，又,a b R +∈ ，由基本不等式得：222112224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即18ab ≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时等号成立.故答案为：18.9．247±【详解】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 217y y tan y ==-当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 217y y tan y ==--24tan 27y ∴=±10．1(,0)4-【分析】根据给定条件，判断函数()g x 的单调性，函数()f x 的单调性及奇偶性，再利用性质求解不等式作答.【详解】函数()2lg(100)x g x x =++在(100,)-+∞上单调递增，()g x -在(1,1)-上单调递减，因此函数()()g x g x --在(1,1)-上单调递增，令()()2()()h x f x g x g x =-=--，当(1,1)x ∈-时，()()()()h x g x g x h x -=--=-，则()h x 为(1,1)-上的奇函数，且为增函数，不等式(31)()4(0)2()231f f f x x f x x ++>-+-⇔>+，有(31)()0h x h x ++>，即(31)()()h x h x h x +>-=-，于是得1311x x -<-<+<，解得104x -<<，所以所求不等式的解集为1(,0)4-.故答案为：1(,0)4-11．【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理即可求解.【详解】设22F M F N t ==，由22F M F N ⊥，可得||MN =，由双曲线的定义可得1224F M F M a t =-=-，1224F N F N a t =+=+，11||8MN F N F M =-==，解得=t ，在12NF F △中，1212124,8,2,45F N F N F F c F NF ︒=+==∠=，则22248(428(4cos 45c ︒=++-⨯⨯+，解得c =故答案为:12．4【解析】由已知可得出1234e ke -≥ 或1214e ke -≤ 对任意正实数k 恒成立，在对应的不等式两边平方，利用参变量分离法结合基本不等式可求得cos θ的取值范围，进而可求得结果.【详解】12a = 且()1214a e ke --≥ 恒成立，则1214a e ke --≥ ，可得到1234e ke -≥ 或1214e ke -≤ ，①若1234e ke -≥对任意正实数k 恒成立，在不等式1234e ke -≥ 两边平方可得2912cos 16k k θ+-≥，所以17cos 216k k θ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由于0k >，由基本不等式可得17121624k k ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当4k =时，等号成立，此时，cos 4θ≤；②若1214e ke -≤ 对任意正实数k 恒成立，在不等式1214e ke -≤两边同时平方可得2112cos 16k k θ+-≤，所以115cos 216k k θ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，由于15216k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭没有最大值，所以1214e ke -≤不恒成立.综上所述，cos 4θ≤，即cos θ的最大值为4.故答案为：4.【点睛】思路点睛：由向量模的三角不等式可得出1214a e ke --≥，利用绝对值不等式得出1234e ke -≥ 或1214e ke -≤ ，在求参数的最值或取值范围时，可利用参变量分离法结合基本不等式求解.13．C【分析】将直线的参数方程化为普通方程，确定其斜率，即可得答案.【详解】直线直线121x ty t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）的普通方程为210x y -+=，所以直线的斜率为12，故倾斜角为锐角，即1arctan 2α=，故选：C.14．C【分析】根据条件作出相应图形，结合图形证明或举出反例即可求解.【详解】对于A ，如下图，//,//l m l n ，则//,//l l αβ，满足题中条件，但α与β相交，故A 错误;对于B ，若,l αβα⊥⊥，当l 在β内且与,αβ的交线垂直时，符合题中条件，但不满足结论，故B 错误;对于C ，设过l 的平面γ与α相交于直线m ，则m α⊂，且//m l，由l β⊥，则m β⊥，由面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，故C 正确;对于D ，若,//l αβα⊥，则l 与β可能平行，如下图中1l，也可能l 在β内，如图中2l ，故D 错误.故选：C.15．D【分析】根据函数奇偶性的定义分别去判断①②，即可得答案.【详解】对于①,()f x 是偶函数时，有()()f x f x -=，则()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x -=---=-(),()g x g x =是偶函数，故①错误;对于②，()f x 是偶函数时，()()f x f x -=，则()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x -=---=-(),()g x g x =是偶函数，故②正确，故选：D 16．B【分析】根据数列的递推式可得()116n n n a a a +=+≥，从而得11111n n n a a a +=-+，由此化简1212333111m m m a a a S a a a =++++++ 得13332m m a +-+，于是可得不等式结合2020m S <，即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足2112,n n n a a a a +==+，可知0n a >，又210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为递增数列，由2223226,6642a a =+==+=，可知()116n n n a a a +=+≥，()111111111,111n n n n n n n n a a a a a a a a ++∴==-∴=-+++，12121223133311111133111m m m m m a a a S m a a a a a a a a a +⎛⎫=+++=--+-++- ⎪+++⎝⎭ 111133313333312222m m m m m m a a ++⎛⎫=--=-+≤-+=- ⎝⎭，因为2020m S <，所以2312020,6733m m -<∴<+，故正整数m 的最大值为673，故选:B17．(1)证明见解析；(2)5π6.【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的大小.【详解】（1）依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以,,AD AB AP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，可得(0,0,0),(0,4,0),(4,4,0)A B C ，(4,0,0),(0,0,4),(0,4,2),(2,0,2)D P E F ，(2,0,2),(4,4,4)AF PC ==-，80(8)0AF PC ∴⋅=++-= ，AF PC ∴⊥即AF PC ⊥；（2）∵AD AP =，F 为PD 的中点，∴,AF PD ⊥,AF PC PD PC P ⊥⋂= ，,PD PC ⊂平面PCD ,AF ∴⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量.设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，(4,4,4),(0,4,2)PC PE =-=-，00n PC n PE ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即4440420x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，得1,2x z ==，故(1,1,2)n =.cos ,AF n AF n AF n ⋅∴<>==⋅，由图可得二面角D PC E --为钝角，∴二面角D PC E --的余弦值为，则二面角D PC E --的大小为5π6.18．（Ⅰ）(11)D =-，，零点是0；（Ⅱ）当1a >时，0m ；当01a <<时，0m ．【详解】试题分析：（Ⅰ）先由对数函数中真数大于零建立不等式组求得定义域，再令()0F x =解出函数零点；（Ⅱ）把关于的方程化为，则设，然后利用函数的性质求解．试题解析：（Ⅰ）1()2log (1)log (01)1a aF x x a x=++<≠-，由，解得，所以函数的定义域为．令，则（*）方程变为，，即，解得，（舍）．综上函数的定义域(11)D =-，，零点是0．（Ⅱ）142log (1)log log (14)(01)11a aa m x x x x x=++=-+-<-- ，则，在[01)，上是单调函数，设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，，所以．所以当，则，方程有解；②当，则，方程有解．考点：1、函数的定义域与零点；2、函数的单调性．19．（1）θAN ，()120θ︒-AM ；（2）2==AN AM .【分析】（1）根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MNANAM，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033θ︒=-+AP ，2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果.【详解】（1）因为AMN θ∠=，在AMN ∆中，由正弦定理可得：()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MNANAM，所以θ=AN ，()120θ︒=-AM ；（2）由题意60θ︒∠=+AMP ，由余弦定理可得：()()()2222162cos sin 1204120cos 603θθθ︒︒=+-⋅⋅∠=-+--+ AP AM MP AM MP AMP()()()()()2168sin 60460cos 601cos 21204212033θθθθθ︒︒︒︒⎡⎤=++-++=-++-+⎣⎦ ()()()82020162120cos 2120sin 21503333θθθ︒︒︒⎤=-++++=-+⎦，又由（1）可得0120θ︒︒<<，所以()2150150,390θ︒︒︒+∈，当且仅当2150270θ︒︒+=，即60θ︒=时，2AP 取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时2==AN AM .【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.20．(1)240x y -+=；(2)证明见解析(3)4AC <<【分析】（1）根据直线的截距式方程即可求得答案.（2）设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立直线和椭圆方程，可得根与系数关系式，化简BQ DQ k k -，可证明直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证直线AC 经过点(0,1)Q ，即可证明结论.（3）表示出线段AC 的长，结合根与系数的关系式化简并采用换元法，可得29161168AC t t ⎛⎫⎪=+ ⎪++⎝⎭，利用函数的单调性，可求得答案.【详解】（1）22:184x y C +=的左焦点为(2,0)-，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=-，即240x y -+=.（2）由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()221216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=-+>，即2230k ->，1212221624,1212k x x x x k k -∴+=⋅=++，又212111,BQDQ y y k k x x --==-，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-+-，()21212248312222202412kx x k k k k k x x k -++=+=+=-=+，BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ，故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）由（2）可知()()()()22222212121212AC x x y y x x k x x =++-=++-()()2221212124x x k x x x x ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦()()22222222221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=+-⨯⎢⎥+++⎣⎦42242424106116161441441k k k k k k k ⎡⎤⋅+-=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦令261t k =-，则216t k +=，又由()22216424120k k ∆=-⨯⨯+>得232k >，所以8t >，2221699161611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭，设216168,()()1h t h t t t t'==-++，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立，168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16818t t∴++>，9101628t t ∴<<++，93111628t t∴<+<++，21624AC ∴<<，4AC ∴<<【点睛】方法点睛：（1）证明直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q 时，采用证明0BQ DQ k k =-的方法，从而证明点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证直线AC 经过点(0,1)Q ，即可证明结论；（2）求解线段AC 长的取值范围时，利用两点间距离公式可表示其长，解答时要结合换元法以及函数的单调性进行解答.21．（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）2n =或者3n =.【分析】（1）利用递推关系，1n n n a S S -=-，2n ≥，单独求111a S ==，即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明；（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出.【详解】（1）解：当2n ≥时，1n n n a S S -=-=()()1122n n n n n +--=，又111a S == ，n a n ∴=.（2）证明：（法一）：11n a n =，1112n T n∴=+++ ，1111111223n R -⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 11121n ⎛⎫++++=⎪-⎝⎭L ()()11122n n -⋅+-⋅+()113131n n -⋅++⋅-L 111111231n n n ⎛⎫=++++-+=⎪-⎝⎭L 111111231n n n ⎛⎫+++++ ⎪-⎝⎭L ()()12n n T n =-≥.（法二）：数学归纳法：①2n =时，11111R T a ===，()2121121211T a a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，②假设n k =（2k ≥，*k ∈N ）时有()11k k R k T -=-，当1n k =+时，1k k k R R T -=+=()()11k k k k T T k T k -+=+-()1111k k k T ka ++⎛⎫=+-- ⎝⎭()111111k k T k k +⎛⎫=+-+-- ⎪+⎝⎭()()111k k T +=+-，1n k ∴=+是原式成立由①②可知当2n ≥，*n ∈N 时()11n n R n T -=-.（3）解：1132nmm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭Q ，1,2,,m n = .211,32nn m n +⎛⎫=<⎪+⎝⎭2112,32nn m n +⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭313,32n n m n ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L1411,32nn m n n -⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭31,32n nm n n ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭相加得：21433333nnnnn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 2311111122222n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111122222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q L 1112n⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，即214313333nnnnn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两边同时乘以()3n n +，()()3423nnn n n n <∴+++++L ，6n ∴≥时，()()3423nnn n n n =∴+++++L 无解，又当1n =时；34<，2n =时，222345+=；3n =时，33333456++=，4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合.综上所述2n =或者3n =.【点睛】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。

上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷一.填空题1.已知,则(填“>”或“<”)2.已知等式(其中为整数)成立,则3.已知集合,则4.若,则的值为5.不等式的解集为6.已知,用表示和分别为7.已知关于的不等式的解集为,且,则的取值范围是8.设,已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集为9.已知集合,若,则的取值范围10.设则取到最小值时,11.已知关于的不等式有唯一解,则实数的取值集合为12.已知且满足,则的最大值为二.选择题13.若是满足的实数,那么下列结论中成立的是()A. B.C. D.14.已知,则下列四个命题正确的个数是()①若,则;②若,则③若,则④若,则;A.1B.2C.3D.415.已知,则是的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.满足对所有正实数都成立,实数的最小值为()A.8B.9C.10D.前三个答案都不对三.解答题17.已知关于的不等式的解集为.(1)时,求集合;(2)若且求实数的取值范围.18.已知,求证：19.某工厂生产某产品件所需成本费用为元,且,而每件售出的价格为元,其中.(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求的值. 20.设函数的最大值是.(1)求的值;(2)若正实数满足求最小值及此时的值;(3)若正实数满足，求的最小值及此时的值.参考答案一.填空、选择题题号答案题号答案题号答案题号答案12或或345678910111213D14C15B16B三.解答题17.(1);(2).18.略19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;(2)20.(1);(2)最小值为,此时;(3)最小值为,此时.。

2024届上海市浦东新区高三二模数学试题及答案

上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2A ，集合23xB x ，则A B．2.若复数12z i （i 是虚数单位），则z z z ．3.已知等差数列 n a 满足1612a a ，47a ，则3a．4.23x5.6.已知y7.比为6现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一8.已知圆9.已知f 10.沿着上底面圆周运动半周时，11.为双曲线上一点，若122F MF ，3OM b，则双曲线的离心率为．12.正三棱锥S ABC 中，底面边长2AB ，侧棱3AS ，向量a 、b满足 a a AC a AB ，b b AC b AS，则a b 的最大值为．第10题图第15题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1a ”是“直线220ax y 与直线 110x a y 平行”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知a R ，则下列结论不恒成立的是（）.A 114a a ；.B 12a a；.C 123a a ；.D 1sin 02sin a a．15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）.A “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.B “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；.C “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.D “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．16.设 10110mm m m f x a x a xa x a （0m a ，10m ，m Z ），记1n n f x f x （1,2,,1n m ），令有穷数列n b 为 n f x 零点的个数（1,2,,1n m ），则有以下两个结论：①存在 0f x ，使得n b 为常数列；②存在 0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列．那么（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①②都正确；.D ①②都错误．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 sin f x x ．（1）求42f x在 0,x 上的解；（2）已知2g x x f x f x f x，若关于x 的方程 12g x m 在0,2x时有解，求实数m 的取值范围．18.在四棱其中//AD BC ，2AD BC （1）（2）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： 0,200， 200,400， 400,600，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．（1）800元；（2）人中随机抽取2人（3）次当天消费金额可已知椭圆22:12x C y ，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点P 满足212PF F F ，求1PF 的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点 ,0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点2F 且法向量为 1,m 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R满足OR OM ON（,R ），求的最大值．已知函数 y f x 及其导函数 'y f x 的定义域均为D ．设0x D ，曲线 y f x 在点00,x f x 处的切线交x 轴于点 1,0x ．当1n 时，设曲线 y f x 在点,n n x f x 处的切线交x 轴于点 1,0n x ．依此类推，称得到的数列 n x 为函数 y f x 关于0x 的“N 数列”．（1）若 ln f x x ， n x 是函数 y f x 关于01x e的“N 数列”，求1x 的值；（2）若 24f x x ， n x 是函数 y f x 关于03x 的“N 数列”，记32log 2n n n x a x ，证明： n a 是等比数列，并求出其公比；（3）若 2xf x a x，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ，使得函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答1答案一、填空题1．{2}．2．42 i ．3．5．4.270．5．0.3．6．425．7．0.18．8．．9． 1,2．10．2．11．2．12．4．二、选择题13．C14．B15．D16．C三、解答题从而有ππ2π+43x k或π2π2π+43x k ，Z k 解得7π2π+12x k 或11π2π+12x k ，Z k 又 0,πx ，所以7π12x或11π12x .因此π4f x在 0,πx 上的解为7π12、11π12.2cos sin x x x1cos 2sin 222xx2π1sin 262x故1()2g x m在π0,2x时有解等价于πsin 26m x在π0,2x时有解.所以，EC ∥平面PAB .3（2）取AD 中点H ，过P 作 PG AB ，垂足为G ，连接GH由题，PA PD ，H 为AD 的中点，所以PH AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ，且 PH 平面PAD ，因而PH 平面ABCD ,故PH AB ,PH GH .又PG AB ，故AB 平面PGH .得AB GH .又 PG AB ，所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.经计算，在△PAD中，PH 在△ABH 中，3BH AB ，2AH，故122ABH S 又11322ABH S AB GH GH,得AB因而，在△PGH 中,3tan 2PH PGH GH所以二面角 P AB D 的大小3arctan 2.（法二）（1）取AD 中点O ，因为PA PD ，O 为AD 中点，所以PO AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ， PO 平面PAD ，所以PO ABCD 平面.取BC 中点M ，显然，OM OD .如图，以点O 为坐标原点，分别以射线OM 、OD 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得， E、 C，故 EC.又 P 、 0,2,0A、1,0B ，故 AP，AB.设平面PAB 的法向量 ,, n u v w，则有20v v 不妨取1u，则v 2 ,即1,n.经计算得0 n EC ，故 n EC.又EC 在平面PAB 外，所以EC ∥平面PAB .（2）由题（1）知，平面PAB的法向量11, n ，平面ABCD 的法向量 200,1 ，n，从而121212cos ,13n n n n n n,因此，二面角 P AB D的大小为.19．【解析】因为850840.7 ，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】（1）由题得，2(1,0)F ，设点(1,)P P y ，代入椭圆方程，得212Py ，因而22PF.由12PF PF12PF .（2）设动点(,)S x y ，则22222222()212122x x ST x t y x tx t tx t 221(2)12x t t 由题，ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，即函数221(2)12y x t t在x 处取得最小值，又[x，因而2t2t.因此，实数t的取值范围为[,)2.（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)R x y 由OR OM ON ,得1212x x x y y y ，又点R 在椭圆上，代入得221212()2()2x x y y ，化简得22222211221212(2)(2)2(2)2x y x y x x y y ，又点M 、N 在椭圆上，得221212222(2)2x x y y （*）.由题，可设直线:(1)0l x my .联列直线与椭圆方程，得22122x my x y ，得22(2)210m y my .故12222m y y m，12212y y m 因而22121212122221222(1)(1)2(2)1222m m x x y y my my y y m m m m m .代入（*）式，得222222422m m ,因而22221222m m ，（等号当且仅当时成立）即224m （等号当且仅当时成立）.所以，的最大值为224m .21．【解析】（1）曲线ln y x 在点 00,ln x x 处的切线斜率为01x ，又1ln 1e故曲线ln y x 在点1,1e 处的切线方程为11y e x e，令0y ，得2x e.所以12x e.（2）由题， y f x 在n x 处的切线方程为n n n y f x f x x x 令0y ，可得 1n n n n f x x x f x ，即2142n n n x x x .故 21212222n n n n x x x x ，即12n n a a .又1136x，故13log 25a .因此 n a 是以3log 25为首项，2为公比的等比数列.（3）由题，222a x f x a x，故以0020,x x a x 为切点的切线方程为 200022200x a x y x x a x a x .令0y ,可得到301202x x x a.1当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:因为300202x x x a等价于20x a ,因此，当20x a 时，数列 n x 严格增；同理，当20x a 时，数列 n x 严格减.所以不存在0x 使得 n x 是周期数列.②当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:令10x x ,可得300202x x x a ，即20=3ax .依此类推，显然可得21x x ，…，-1n n x x .所以，当0x 时，数列 n x 为周期数列，且周期2T .下证唯一性：当203ax 时，322000000222000222<x x x x x x x a x a a x ；因此,数列 n x 严格减；当203ax 时， 202200222,12,x a x a x a ，所以320000220022>--x x x x x a x a ，因此数列 n x 严格增.综上,当0a 时，不存在0x ,使得 n x 为周期数列；当0a时，当且仅当03x a 时，函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列，且周期2T .。

上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二上学期期末复习试卷2数学试题(解析版)

曹杨二中2021-2022学年度第一学期高二年级期未数学复习试卷2一、填空题(本大题满分54分，本大题共有12题,第1题到第6题每题4分,第7题到第12题每题5分)1.若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.【答案】相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．【详解】在正方体1111ABCD A BC D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交，//AB DC ，，DC 与1AA 异面，直线//a b ，bc A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2.已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l =，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3.已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.【解析】【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，【详解】解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积2331S == 设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S'===【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4.正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长2AB =，若直线1BC 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A BC D -的侧面积为________【答案】32【解析】【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱1111ABCD A BC D -为正四棱柱四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD直线1BC 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴===正四棱柱1111ABCD A BC D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.5.正ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.【答案】94π 【解析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C 又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==． Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为94π．【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．6.设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.【答案】45︒【解析】【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案．【详解】解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =，2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===．侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为45︒【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7.已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，n α⊥，则，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．【答案】锐角【解析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角．【详解】解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，cos 0||||BC BD B BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形，故答案为：锐角【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题．9.设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.【答案】23R π 【解析】【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13 则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．10.如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.3 【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，由正方形的性质可以求得其对角线长度是，折起后的图形中，DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积．【详解】如图取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，由题意知DE BE ==，BD a = 由勾股定理可证得90BED ∠=︒故三角形BDE 面积是214a 又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC 与DE ，BE 仍然垂直，故AE ，CE 分别是以面BDE 为底的两个三棱锥的高故三棱锥D ABC -的体积为231134a ⨯=，3 【点睛】在折叠图形中要把握数量关系不变的量，哪些几何元素位置关系不变．11.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．【答案】【解析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法12.如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．【答案】128π7【解析】略二、选择题(本大题满分20分，本大题共有4题,每题5分)13.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的编号是（）A. ③④B. ①②C. ①③④D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．14. 下列命题中，错误的是 ( )A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B. 平行于同一平面的两个不同平面平行C. 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确；命题B 显然正确；若存在有n β⊥，则根据面面垂直判定可得αβ⊥，矛盾，所以命题C 正确；l 不平行于平面α，则,l α相交或l α⊂．当l α⊂时，在平面α内存在与l 平行的直线，所以命题D 错误，故选D15.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则()1,28i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算计算，即可得到结果详解】则iAB BP ⊥ 21i AB AP AB ∴⋅== ()128i AB AP i ∴⋅=，的不同值的个数为1故选A【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，进行向量数量积运算是解题的常用手段.16.设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（）A. 棱长B. 斜高C. 高D. 两对棱间的距离【答案】C【解析】【分析】设正四面体的棱长为a ，由P 是正四面体内的一点，知正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，由此能求出P 到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．【详解】解：设正四面体的棱长为a ， P 是正四面体内的一点，正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m ，n ，p ，q ，棱长为a 的正四面体的四个面的面积都是21sin 602S a a =⨯⨯⨯︒=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为sin 60a ⨯︒=，．．此正四面体的体积是2313=．321()3m n p q =+++，解得m n p q +++=． P ∴到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．故选C【点睛】正四面体内任意一点到各个面的距离之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题(本大题满分76分)17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．【答案】（1）详见解析；（2）arc θ=．【解析】【分析】（1）推导出AC BD ⊥，，由此能证明BD ⊥平面PAC ．（2）设，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出PB 与AC 所成角的余弦值．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ．（2）设，60BAD ∠=︒，2PA PB ==，1BO ∴=，AO CO ==如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0P ，2)，(0A ，0)，(1B ，0，0)，(0C 0)，(1PB =2)-，(0AC =，0)，设PB 与AC 所成角为θ，则||cos ||||2PB AC PB AC θ===．arc θ=PB ∴与AC 所成角arc θ=．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1AC 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算出圆柱的高，由直线1AC 与下底面所成角确定CAB ∆的边与角，即可求出三棱锥的体积。

2021年高三数学上学期第二次月考试卷理

2021年高三数学上学期第二次月考试卷理一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则 ( )A. B. C. D.2.若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．已知命题：存在，使得；命题：对任意，都有，则（）A ．命题“或”是假命题B ．命题“且”是真命题C ．命题“非”是假命题D ．命题“且‘非’”是真命题4．已知为第二象限角，，则（）A ．B ．C ．D ．5. 已知数列对任意的、，满足，且，那么等于（）．A.3B.5C.7D.96.已知向量的夹角为，且,，在ABC 中，，D 为BC 边的中点，则（）A ．4B ．3C ．2D ．17. 函数，则的值为 ( )A. B. C. D.8．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 10.已知是定义在上且周期为的函数,当时，.若函数在区间上有个零点(互不相同)，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷中相应的横线上.）11. 当x ＞1时，不等式x+≥a 恒成立，则实数a 的最大值为_____________.12．若、满足不等式组的，求的取值范围是____________．13.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点．若，则的离心率是________．14. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，……，若按此规律继续下去，则a 5＝__ _，若a n ＝92，则n ＝__ __.15.若关于的不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设时取到最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，角所对的边分别为，，且，试判断三角形的形状．17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量，又点, ,．（１）若，且，求向量．（２）若向量与向量共线，常数，当取最大值4时，求．18．（本小题满分12分）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，记（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．求不超过的最大整数．19. （本小题满分12分）已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．（I ）求、的值；（II ）若不等式在上有解，求实数的取值范围.20．（本小题满分13分）已知数列满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列满足：，，数列的前项和为.（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（II ）求证：数列为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．21．(本题满分14分)已知函数f(x)＝e x －ax 2－2x －1(x∈R )．(1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a 2－a ＋1a.白鹭洲中学xx 届高三年级第二次月考数学理科答案一、选择题 BADCB DAABC二、填空题11. 3 12. 13. 14. 35； 8 15. .三、解答题16.解：（1）依题()1cos(2)21sin 2212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+=+=+-⎢⎥⎣⎦ 又，则，故当即时， 6分（2）由（1）知，由即，又，则即，故又所以三角形为等边三角形. 12分17.解：(1),,又，得,所以或或 5分（2），因为向量与向量共线，7分① 时，取最大值为，由=4，得，此时， 9分②,时，取最大值为，由=4，得，（舍去） 11分综上所述， 12分18. 解：（1）设奇数项构成等差数列的公差为，偶数项构成正项等比数列的公比为由可得，由得所以，，．6分（2）由22211111111(1)1n n n n n n b b b b b b n n n n ++=+=+=+-++++ 2014111111(1)(1)(1)122320142015T =+-++-+++- 不超过的最大整数为xx ．12分19.【解析】：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是．20. 解：（Ⅰ）．是等差数列．又………………3分)412(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n ．又为首项，以为公比的等比数列．………………6分（Ⅱ）．．当．又，．是单调递增数列． ………………10分（Ⅲ）时，．，即，．………………13分21【解析】(1)当a ＝0时，f(x)＝e x －2x －1(x∈R )，∵f ′(x)＝e x －2，且f′(x)的零点为x ＝ln 2，∴当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0即(－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间．(5分)(2)由f(x)＝e x －ax 2－2x －1(x∈R )得：f′(x)＝e x －2ax －2，记g(x)＝e x －2ax －2(x∈R )．∵a<0，∴g′(x)＝e x －2a>0，即f′(x)＝g(x)是R 上的单调增函数，又f′(0)＝－1<0，f′(1)＝e －2a －2>0，故R 上存在惟一的x 0∈(0，1)，使得f′(x 0)＝0，(8分)且当x<x 0时，f′(x)<0；当x>x 0时，f′(x)>0.即f(x)在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，则f(x)min ＝f(x 0)＝ex 0－ax 20－2x 0－1，再由f′(x 0)＝0得ex 0＝2ax 0＋2，将其代入前式可得f(x)min ＝－ax 20＋2(a －1)x 0＋1(10分)又令φ(x 0)＝－ax 20＋2(a －1)x 0＋1＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－a －1a 2＋（a －1）2a ＋1 由于－a>0，对称轴x ＝a －1a>1，而x 0∈()0，1，∴φ(x 0)>φ(1)＝a －1 又(a －1)－a 2－a ＋1a ＝－1a >0，∴φ(x 0)>a 2－a ＋1a故对任意实数a<0，都有f(x)>a 2－a ＋1a.(14分)i29626 73BA 玺 28733 703D 瀽23460 5BA4 室28902 70E6 烦22036 5614 嘔20334 4F6E 佮&v27925 6D15 洕32836 8044 聄y 39365 99C5 駅。

上海市曹杨二中2022届高三上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案

2022届高三第一次阶段性测试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，前6题每题4分，后6题每题6分，满分54分） 1. 已知集合{}{}22,0322<-=≤--=x x B x x x A ，则=B A 2. 已知312sin =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则()=-απcos 3. 若()()*∈+N n x n21开放式中各项系数和为243，则=n4. 满足方程1121lg lg 2=-x x 的实数解=x5. 若R x ∈，则不等式()01>+x x 的解集是6. 函数()xxx f 2121+-=的值域是7. 若线性方程组()⎩⎨⎧=+-+-=-++03)3(5033y a x y x a 有解，则实数a 的取值范围是8. 若函数()122+-=x ax x f 在[]1,0∈x 上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 9. 已知一个球的球心O 到过球面上C B A ,,三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3===CA BC AB ，则球的体积为10. 从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数a ，从{}3,2,1中随机选取一个数b ，则关于x 的方程0222=++b ax x 有两个虚根的概率是 11. 已知22sin 21sin 2121=+++αα，其中1α，R ∈2α，则2110ααπ--的最小值为_____；12. 已知数列{}n a 的通项公式为nn a -=52，数列{}n b 的通项公式为k n b n +=，设⎩⎨⎧>≤=nn n nn n n b a a b a b c ,,，若在数列{}n c 中，n c c ≤5对任意*∈N n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13. 已知b a 、为实数，则ba22>是b a 22log log >的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14. 数列{}n a 的通项⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 3cos22ππn n n a n ，其前n 项和为n S ，则10S 为（） A. 0 B.1- C.21 D.21-15. 已知集合(){}(){}a x y y x B y x y x A a a <+=>+=,,0log log ,，若∅=B A ，则a 的取值范围是（）A.∅B.0>a 且1≠aC.20≤<a 且1≠aD.21≤<a 16.已知函数()()R x xxx f ∈+=1时，则下列结论：①()x f 是R 上的偶函数；②()x f 是R 上的增函数；③不等式()1<x f 在R 上恒成立；④函数()()x x f x g -=在R 上有三个零点.其中错误的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，且满足()C a A c A b cos cos 3cos 2+=。

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2021届曹二高三上学期周测试卷二

2020.10
一、填空题:
1、若复数z=1+i(其中i为虚数单位),则|z|=

2、椭圆22143xy的长轴长为

3、函数1xyx的定义城是
4、圆锥的底面半径为1,高为3,则圆锥的侧面积为
5、函数f(x)=x3的反函数是

6、幂函数221mmfxxmZ是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则m的值为

7、若数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*),则12limnnnaaana
8、若关于x的不等式|x-1|+|x-2|>a的解集为R,则实数a的取值范围是
9、已知△ABC的面积为32,AC=3,∠ABC=3,则△ABC的周长等于
10、已知集合A={0,2,3,9},函数y=f(x)的定义域为A,值域为B,且A∩B=B,那么该函数的值域的不
同情况有种

11、已知圆x2+y2=4,过点P(3,0)作两茶互相垂直的直线12,ll,其中1l交该圆于A,B两点，2l交
该圆于C,D两点,则|AB|+|CD|的最大值是

已知定义在R上的函数y=(x)满足f(x)=f(1-x),当12x时,f(x)=|lgx|,若方程f(x)=m有四个零点

1234
,,,xxxx
，则22221234xxxx的取值范围是

二、选择题:
13、已知x∈R,则“x≥1”是“x>3”的（）
A、充分非必要条件B、必要非充分条件c、充要条件D、既非充分也非必要条

14、已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,则下列给出的条件中能推出m⊥


的是( )

A、⊥且m B、⊥且m∥ C、m∥n且n⊥ D、m⊥n且n∥
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15、已知非零向量,OAaOBb,若点B关于直线OA的对称点为B1,则向量1OBOB为（）

A、22abaa B、2abaa C、2abaa D、abaa
16、已知在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(2-x),函数g(x)=2(ex-1-e1-x),若方程f(x)=g(x)有2021个解,记
为xi(i=1,2,…,2021),则x1+x2+…+x2021=( )
A、2020 B、4040 C、2021 D、4042

三、解答题
17、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=4,E、F分别是棱AB、BC的中点,点
P是棱A1B1上的动点.
(1)求异面直线EF、AC1所成角的大小;
(2)求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积.

18、已知函数f(x)=sin2x+3cos2x-m,x∈R,且f(x)的最大值为1.
(1)求m的值,并求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边a、b、c,若f(B)=31,且3a=b+c,试判断△ABC的形状.

19、某旅游景点在水上设置了一个娱乐游戏设置,如图所示,O为水波圈发射器,其发射的水波圈秒
时的半径为r=22t(单位:米),MN是铺设在水面上的直线段型浮桥,浮桥的两端点M、N固定在水
岸边,游戏规定:当O处刚产生水波圈时,游戏参与者从M端出发，沿浮桥跑向N端,若该参与者在
浮桥上运动过程中,从点O出发的水波圈始终未能达到此人跑动时的位置,则认定游戏参与者过关;

否则,认定不过关,已知MO=10米，∠MMO=45°,tan∠MON=-3,小明参与该游戏,并以32米/秒
的速度从浮桥M端跑向N端.
(1)求小明从浮桥M端跑至N端所需的时间;
(2)请问小明是否过关?请说明理由.
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20、对于函数y=f(x),若存在区间[m,n],当x∈[m,n]时,f(x)的值域为[km,kn](k>0),则称y=f(x)为“k
倍值函数”,[m,n]是其“k倍值区间”.
(1)写出函数y=x2的“2倍值区间”;

(2)若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0且a≠1)是“12倍值函数”求实数t的取值范围；

(3)若函数g(x)=21txttRx是“1倍值函数”,求t的取值范围,并求当t变化时,n-m的最
大值.

21、对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an(n∈N*),规定{△2an}为{an}
的二阶差分数列,其中△2an =△an+1-△an(n∈N*).
(1)数列{an}的通项公式an=n2,求数列{△an}与{△2an}的通项公式;
(2)数列{bn}是公比为q的正项等比数列,且q≥2,对于任意的n∈N*,都存在m∈N*,使得△2bn=bm,
求q所有可能的取值构成的集合；
(3)已知正项数列{cn}满足△2cn=0.
①求证: {cn}是等差数列;
②设{cn}的前n项和Sn,若对于满足m+n=2k,m≠n的任意正整数m、n、k,都有cm≠cn，且不等式
Sm+Sn>tSk恒成立，求实数t的最大值.
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参考答案：
一、填空题

1、2； 2、4； 3、,0[1,)； 4、10； 5、13fxx； 6、1；

7、12； 8、,1； 9、33； 10、15； 11、210； 12、112,2；
二、选择题
13-16 BCAC
三、解答题

17、（1）4arctan5；（2）2.

18、（1）1，5,,1212kkkZ；（2）Rt三角形.
19、（1）5秒；（2）小明过关.
20、（1）0,2；（2）t<0；（3）max1231,.33tnm

21、（1）△an=2n+1,△22na；（2）352,2；（3）①证明略；②2.