陕西省咸阳市永寿县2017-2018学年高一数学下学期期中试题 (2)

2017-2018学年陕西省咸阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年陕西省咸阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={x|-1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A. B. C. D.2.将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）A. 一个圆台B. 两个圆锥C. 一个圆柱D. 一个圆锥3.直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A. B. C. D.4.函数y=的定义域是（）A. B. C. D.5.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.6.圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A. 相外切B. 相内切C. 相交D. 相离7.已知函数f（x）=，＞，，则f（f（-2））=（）A. 2B.C.D.8.已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A. B. C. D.9.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆面，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若a=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.11.已知a∈R且a＞0，a≠1，则函数y=a-x与y=log a x在同一直角坐标系中的图象是（）A. B.C. D.12.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）A. ，若，则B. ，，，则C. ，，则D. ，，，，，则二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合M={x∈N|x＜3}，N={0，2，4}，则集合M∩N中元素的个数为______．14.若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y-2=0互相垂直，则实数m的值为______．15.一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为，则该球的表面积为______．16.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2，g（x）=[x]为取整函数，x0是函数的零点，则g（x0）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知两点A（-2，1），B（4，3），两直线l1：2x-3y-1=0，l2：x-y-1=0．求：（1）过点A且与直线l1平行的直线方程；（2）过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程．18.已知函数（a为常数）是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（1，3）上的单调性，并予以证明．19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：平面MNQ∥平面PBC．20.已知函数f（x）=x2-2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）画出g（t）的简图，并写出g（t）的最小值．21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（1）求证：DC1平面BDC；（2）求三棱锥C1-BDC的体积．22.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合P={x|-1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|-1＜x＜2}=（-1，2）．故选：A．直接利用并集的运算法则化简求解即可．本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．2.【答案】D【解析】解：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，故选：D．根据圆锥的几何特征，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．3.【答案】D【解析】解：∵直线（a为实常数）的斜率为-令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=-解得θ=150°故选：D．由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键4.【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：-1＜x≤2，故函数的定义域是（-1，2]，故选：A．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】D【解析】解：A：y=-在（0，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y=3x不是奇函数，故C错误D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确故选：D．A：y=-在（0，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=-的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．6.【答案】C【解析】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2=16的圆心（-1，-4），半径为4，圆心距为：=，半径和为5，半径差为：3，（3，5）．所以两个圆的位置关系是相交．故选：C．求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．本题考查圆的位置关系的应用，考查计算能力．7.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-2）=（）-2=4，f（f（-2））=f（4）=log24=2．故选：A．先求出f（-2）=（）-2=4，从而f（f（-2））=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8.【答案】C【解析】解：设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）-1∴函数f（t）=3t-1，即函数f（x）=3x-1故选：C．换元法整体代入求解．本题考查了函数解析式的求解，很容易．9.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为半圆柱，半圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴半圆柱的体积V==π．故选：C．几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，代入体积公式计算即可．本题考查了常见几何体的三视图，体积计算，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，则函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，则20.8＜21=2＜log24.1＜log25，则c＜b＜a，故选：B．根据题意，分析函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，又由20.8＜21=2＜log24.1＜log25，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由已知中函数y=x a（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），故函数y=a-x为增函数与y=log a x为减函数，故选：C．根据幂函数的图象和性质，可得a∈（0，1），再由指数函数和对数函数的图象和性质，可得答案．本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：在A中，aα，若b∥a，则b与α平行或异面，故A错误；在B中，αβ，α∩β=c，b c，则b与β相交、平行或bβ，故B错误；在C中，a b，b c，则a与c相交、平行或异面，故C错误；在D中，a∩b=A，aα，bα，a∥β，b∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．在A中，aα，b与α平行或异面；在B中，b与β相交、平行或bβ；在C中，a 与c相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．13.【答案】2【解析】解：集合M={x∈N|x＜3}={0，1，2}，N={0，2，4}，则M∩N={0，2}，则M∩N中元素的个数为2个，故答案为：2求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．14.【答案】-2【解析】解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y-2=0互相垂直，∴m+2=0，即m=-2，故答案为：-2利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】20π【解析】解：如图，设球的半径为R，由已知可得，AC=，，∴．∴该球的表面积为S=4πR2=20π．故答案为：20π．由题意画出图形，求出球的半径，则球的表面积可求．本题考查球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．16.【答案】2【解析】解：根据题意，函数，其定义域为（0，+∞），且在其定义域上为增函数，f（1）=ln1-2=-2，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-＞0，又由x0是函数的零点，则2＜x0＜3，g（x0）=2；故答案为：2根据题意，求出函数f（x）的定义域，求出f（1）、f（2）、f（3）的值，结合二分法分析可得则2＜x0＜3，结合g（x）的解析式，分析可得答案．本题考查函数的零点，关键是求出x0的范围，属于综合题．17.【答案】解：（1）设与l1：2x-3y-1=0平行的直线方程为：2x-3y+c=0，将A（-2，1）代入，得-4-3+c=0，解得c=7，故所求直线方程是：2x-3y+7=0．（2）∵A（-2，1），B（4，3），∴线段AB的中点是M（1，2），设两直线的交点为N，联立解得交点N（2，1），则，故所求直线的方程为：y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【解析】（1）设与l1：2x-3y-1=0平行的直线方程为：2x-3y+c=0，将A（-2，1）代入，解得c 即可得出．（2）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点是M（1，2），设两直线的交点为N，联立，解得交点N，再利用点斜式即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，是奇函数，则f（-x）=-f（x），即，即，解得a=1或a=-1（舍去），故a的值为1．（2）函数f（x）在（1，3）上是减函数．证明：由（1）知，设，任取1＜x1＜x2＜3，∴，∵x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，∴g（x1）-g（x2）＞0，∴g（x）在（1，3）上为减函数，又∵函数y=log2x在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）在（1，3）上为减函数．【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得结论．本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是求出a的值，属于基础题．19.【答案】证明：（1）由题意：四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，∴N是AC的中点，∴MN∥PC，又∵PC平面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．（2）由（1），知MN∥PC，∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ∥AD∥BC，又∵BC平面PBC，PC平面PBC，BC∩PC=C，MQ平面MNQ，MN平面MNQ，MQ∩MN=M，∴平面MNQ∥平面PBC．【解析】（1）推导出四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，MN∥PC，由此能证明MN∥平面PCD．（2）推导出MN∥PC，MQ∥AD∥BC，由此能证明平面MNQ∥平面PBC．本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）依题意知，函数f（x）是开口向上的抛物线，∴函数f（x）有最小值，且当时，f（x）min=1．下面分情况讨论函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的取值情况：①当闭区间[t，t+1]（-∞，1），即t＜0时，f（x）在x=t+1处取到最小值，此时g（t）=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1；②当1∈[t，t+1]，即0≤t≤1时，f（x）在x=1处取到最小值，此时g（t）=1；③当闭区间[t，t+1]（1，+∞），即t＞1时，f（x）在x=t处取到最小值，此时g（t）=t2-2t+2．综上，g（t）的函数表达式为，＜，，＞（2）由（1）可知，g（t）为分段函数，作出其图象如图：由图象可知g（t）min=1．【解析】（1）根据二次函数的性质可知，函数f（x）是开口向上的抛物线，然后根据f（x）的对称轴与闭区间[t，t+1]上的位置情况讨论函数在区间[t，t+1]上单调性即可求解；（2）由（1）可知，g（t）为分段函数，结合二次函数的图象即可作出图象，结合图象可求函数的最小值．本题主要考查了二次函数闭区间的最值的求解，体现了分类讨论思想的应用．21.【答案】证明：（1）由题意知BC CC1，∵∠ACB=90°，即BC AC，又AC∩CC1=C，∴BC平面ACC1A1，∵DC1平面ACC1A1，∴BC DC1，∵D是AA1的中点，，∴AC=AD=A1D=A1C1，∴∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1DC，∵DC∩BC=C，∴DC1平面BDC．解：（2）由，得AA1=4，∴AD=A1D=2，∴，由（1）知，BC平面ACC1A1，∴BC平面CDC1，故BC是三棱锥B-CDC1的高，∴．【解析】（1）证明BC CC1，BC AC，推出BC平面ACC1A1，得到BC DC1，推出DC1DC，即可证明DC1平面BDC．（2）求出几何体的高，利用等体积法求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：（1）意知A（-1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y-2）2=20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=-2，显然x=-2合题意．由A（-1，2）到l距离为1知得．∴3x-4y+6=0或x=-2为所求l方程．（7分）【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一(实验班)下学期期中考试数学试题(解析版)

长安一中2017-2018学年度第二学期期中考试高一年级数学（实验）试题一、选择题(5×14＝70分)1.已知全集为R，集合，则中整数的个数是（）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意可知：，，∴∴中整数为故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵cos2=，2cos2﹣1=cosA，∴cosA=，∴△ABC是直角三角形．故选：A．3.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则( )A. ad＝bcB. ad<bcC. ad>bcD. ad与bc的大小关系不定【解析】因为a，b，c，d均为正数，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2所以（a2+d2）﹣（b2+c2）=2bc﹣2ad．①又因为|a﹣d|＜|b﹣c可得a2﹣2ad+d2＜b2﹣2bc+c2，②将①代入②得2bc﹣2ad＜﹣2bc+2ad，即4bc＜4ad，所以ad＞bc故选：C．4.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos A的值是 ( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】∵sin A：sin B：sin C=4：3：2，∴由正弦定理可得a：b：c=4：3：2，∴可设三边长分别为a=4k，b=3k，c=2k，k＞0，∴利用余弦定理可得：cosA===﹣．故选：A．5.已知数列{a n}的首项为1，并且对任意n∈N+都有a n＞0．设其前n项和为S n，若以（a n，S n）（n∈N+）为坐标的点在曲线y＝x（x＋1）上运动，则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝n2＋1B. a n＝n2C. a n＝n＋1D. a n＝n【答案】D【解析】试题分析：由题意得，所以时，综上考点：求数列通项公式6.已知，，则的最小值是（）A. B. C. D.【解析】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．考点：均值定理7.等比数列的各项均为正数，且，则A. 12B. 10C. 8D.【答案】B【解析】根据等比数列的性质，由知，，++…+，故选B.8.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形( )A. 28，B. 14，C. 28，D. 12，【答案】A【解析】试题分析：观察所给图形的小正方形，可得,即，，……，，这个式子相加得到，，解得，验证成立，当时，，故选A.考点：数列9.若关于的不等式，对任意恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选：B．10.已知目标函数中变量满足条件 ,则( )A. B. 无最小值C. 无最大值D. 无最大值,也无最小值【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的平面区域，画出直线并上下平移，当直线经过点A（1，1）时，最小为3，因为是虚点，所以无最大值，故选C.【方晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.如果函数f(x)对任意a，b满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝( )A. 4 018B. 1 006C. 2 010D. 2 014【答案】D【解析】∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，∴=2+2+…+2=2×1007=2014．故选：D．12.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则增加了项，故选D。

陕西省榆林一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

陕西省榆林一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 底面半径为，母线长为的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高，则圆锥的体积为：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是，则它的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定圆柱的底面半径和高，然后求解其侧面积即可.详解：由题意可得，圆柱的高为，底面半径为，则底面周长为：，圆柱的侧面积为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查圆柱的侧面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】分析：由题意结合空间几何体的性质确定直线的位置关系即可.详解：很明显与的位置关系不可能为平行，否则由平行公理可得，如图所示，在正方体中，取直线分别为，若取为，则与的位置关系是异面，若取为，则与的位置关系是相交，综上可得：与的位置关系是异面或相交.本题选择D选项.点睛：本题主要考查空间中直线的位置关系及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知是平面，是直线．下列命题中不正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】分析：由题意找到反例即可确定错误的选项.详解：如图所示，在正方体中，取直线为，平面为，满足，取平面为平面，则的交线为，很明显与为异面直线，不满足，选项B说法错误；由面面垂直的性质推理可得A选项正确；由线面垂直的性质推理可得C选项正确；由线面垂直的定义可得D选项正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查线面关系有关命题的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先还原平面图形，然后求解其面积即可.详解：由直观图可知该平面图形对应的几何体为一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为，，则其面积为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查直观图的画法及其还原，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7. 以为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆心到切线距离为，所以，又因为圆心，圆方程为，故选A.8. 已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的是（）A. 直线直线，且直线直线B. 直线平面，且直线平面C. 平面平面，且平面平面D. 平面平面，且平面平面【答案】C【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：若，则AB在平面ACD内的射影AC⊥CD，该结论明显不成立，则直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AB与CD不垂直，所以直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵AC⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC上平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；很明显平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查线面关系的命题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 直线和直线，若，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或或【答案】C详解：由两条直线平行的充分必要条件可得，满足题意时有：，解得：.当时，直线，直线，此时直线重合，不满足；当时，直线，直线，满足；当时，直线，直线，满足；综上所述，的值为或.本题选择C选项.点睛：本题主要考查直线平行的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥中是圆柱底面直径，在底面圆周上，平面，是圆心，尺寸见三视图，则．故选A．考点：三视图，组合体的体积．11. 在中，，，若使该三角形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定空间几何体的结构特征，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分.由于，，，则，，结合三棱锥的体积公式可得：以ACD为轴截面的圆锥的体积：，以ABD为轴截面的小圆锥的体积：，则所形成的几何体的体积是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查椎体的体积公式，学生的空间想象能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示：∴，或，直线的斜率的取值范围是，故选．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】或【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.详解：由直线垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：，，当时点到轴的距离为0，当时点到轴的距离为5，综上可得：点到轴的距离为或.点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为，那么直线的方程为____________________．【答案】或【解析】分析：首先求得圆心到直线的距离，然后求解直线方程即可.详解：设圆心到直线的距离为，由题意可知：，解得：，即点到经过点直线的距离为，很明显直线的斜率不存在时满足题意，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由点到直线距离公式可得：，解得：，此时，直线方程为，整理为一般式即：.综上可得：直线的方程为或.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15. 圆与圆相内切，则的值为__________．【答案】【解析】分析：首先将圆的方程写成标准型，然后利用圆内切的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：圆的标准方程即：，圆的圆心在圆之外，则，结合两圆内切的充分必要条件可得：，解得：.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．16. 如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于.①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面内的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面．以上结论正确的为_______________．（写出所有正确结论的编号）【答案】①③④【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四点共面，故ED1∥BF，同理可证，FD 1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，结合A1D1⊥BE可得BE⊥平面ADD1A1，明显矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，EF⊥平面BB1D，则平面BFD1E⊥平面BB1D，故④正确.综上可得：题中所给的结论正确的为①③④.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 三角形的三个顶点是．（1）求边所在的直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）17【解析】分析：（1）由斜率公式可得，由点斜式整理为一般式可得直线方程为.（2）结合点到直线距离公式可得到的距离，由两点之间距离公式可得，则三角形的面积为．详解：（1），，即.（2）到的距离，，故．点睛：本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 求符合下列条件的直线方程：（1）过点，且与直线平行；（2）过点，且与直线垂直；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（2）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（3）分类讨论截距为0和截距不为0两种情况可得直线方程为或．详解：（1）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（2）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（3）若截距为，则直线方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，即；若截距不为，设截距为，则方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，综上：直线方程为或．点睛：本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由题意可得CD过AB的中点，结合点斜式方程可得其直线方程为；（2）设圆心，由圆心在直线上，结合圆的半径整理计算即可求得最终结果可得或，则圆的方程为或．详解：（1）直线的斜率，中点坐标为，直线方程为，即；（2）设圆心，则由点在直线上得：①，又直径，，②由①②解得：或圆心或圆的方程为或．点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．20. 如图，已知菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意结合勾股定理可得．由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面．详解：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意知，，，，，即．又四边形是菱形，；，平面，平面，平面，平面平面．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．21. 在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可证得平面，结合线面垂直的定义可得；（2）结合三棱锥的性质转化顶点可得．详解：（1）在棱长为的正方体中，连结．平面，平面，是正方形，；又，平面；又平面，；（2）到平面的距离，，三棱锥的体积．点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．22. 如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据为正三角形，为中点,∴，求出的面积；再根据底面，即可求解三棱锥的体积；（2）先根据底面，∴，再结合，即可得到平面，从而证明平面平面；（3）连结交于，连结，根据为中点，为中点，所以，即可证明直线平面．试题解析（1）∵为正三角形，为中点,∴,由可知，，∴．又∵底面，且，∴底面，且，∴．（2）∵底面,∴．又，∴平面．又平面，∴平面平面．（3）连结交于，连结，在中，为中点，为中点，所以，又平面∴直线平面．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥的体积的计算，属于中档试题，解答时证明直线与平面平行时，一般常用的做法是证明平面与平面平行或证明直线与直线平行，分别利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明线面平行，而证明平面与平面垂直时，可转化为先证明线面垂直，在利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，此类问题的解答关键是牢记线面位置的关系的判定定理，构造判定定理的条件，利用判定定理证明．。

数学-陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试试题(实验班)

陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题（实验班）一、选择题：5×14＝70分.1.已知全集为R ，集合{}1|,0,1|2-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+==x y y N x x x y y M ，则()N M C R ⋂中整数的个数是（） A. 0B. 2C. 3D. 42.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3. 正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，则( ) A ．ad ＝bc B ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad 与bc 的大小关系不定4.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是 ( ) A ．－14 B.14 C ．－23 D.235.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n6.已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2B.22C.4D.57.等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则=+++1032313log log log a a a （）A. 12B. 10C. 8D. 5log 23+8．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n＋2B.14，n ＋n＋2C ．28，n2D.12，n 2＋n 29.若关于x 的不等式m x x x ≥+--29323，对任意[]2,2-∈x 恒成立，则m 的取值范围是( )A.(]7,∞-B.(]20,-∞-C. (]0,∞-D. []7,12-10. 已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值11. 如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 01412. 利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项 D ．2k 项13. 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )14. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a ) B.bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D.bf (b )≤f (a)二、填空题：5×6=30分. 15.已知000(3)()lim32x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0x 处的切线斜率是_______________.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则 cos A 的值等于_______________.17. 函数sin (3sin 4cos )()y x x x x =+∈R 的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为 .18. 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．19. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝ . 20.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为 . 三、解答题：本大题4小题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. (本小题满分12分) 已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，(2)cos cos 0b c A a C --=.(1)求角A 的大小；(2)求函数πsin()6y B C =+-的最大值.22.(本小题满分12分) 已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .23.(本小题满分12分) 已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.24. (本小题满分12分)设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点．【参考答案】一、选择题1-14 CACADCB ABCDDCA 二、填空题15. 2 16. 17.（4，） 18. [－1,7)19. 20.三、解答题 21.解：（1）在中，由正弦定理得，即，故.而在中，，则.（2）由（1）知则在中，，且..又，则，所以函数在时取最大值，且最大值为2..22.解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列， ∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， ∴S n ＝19n ＋21n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋23n －1.23.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1. 由根与系数的关系，得a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅. 24.解 (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23. (2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ＝2(+1)x a x-＝1x x -.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a .①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．。

陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期第一次月考(3月)数学试题

陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中正确的是（） A ．单位向量都相等 B ．若,a b v v 满足a b >v v 且a v 与b v同向，则a b>v v C ．对于任意向量,a b v v，必有a b a b +≤+v v v v D ．平行向量不一定是共线向量2．已知(2,1),(1,1)a b =-=-r r ，则(2)(3)a b a b +⋅-r r r r等于（）A ．10B ．10-C ．3D ．3-3．复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．已知ABC V 的边BC 上有一点D ，且满足3BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（）A ．23AB AC -+u u u r u u u r B ．3144AB AC +u u u r u u u r C ．1344AB AC +u u u r u u u r D ．2133AB AC +u u ur u u u r5．已知向量|||a b =r r ,a b rr 间的夹角为34π，则2a b -=r r （）AB C D 6．若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)c o s c o s c A a C-=，则c o s A =（）A ．12B C D 8．已知,,O P N 在ABC V 所在平面内，满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r，且NB NB NC A NC N N A =⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点,,O P N 依次是ABC V 的（）A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，重心，内心二、多选题9．已知i 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．复数2i --的虚部为i -C ．若复数z 为纯虚数，则22||z z =D ．1212z z z z ⋅=10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC V 是钝角三角形 B ．若sin sin A B >，则a b >C ．若0AC AB ⋅>u u u r u u u r，则ABC V 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =ABC V 只有一解11．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，则以下,a b r r可作为该平面内一组基底的（）A ．121,a e e b e =+=r u r u r r u rB ．1212112,24a e eb e e =+=+r u r u r r u r u r C ．1212,a e e b e e =+=-r u r r u r u u r u u rD ．12122,4a e e b e e =-=-+r u r u r r u r u r12．已知1e u r ､2e u u r 是两个单位向量，R λ∈时，12e e λ+u r u r 的是（）A ．1e u r ､2e u u r 的夹角是3πB ．1e u r ､2e u u r 的夹角是23πC ．12e e =+u r u u rD ．121e e +=u r u u r三、填空题13．在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则=a ；14．已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=u u u r u u u r.15．设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-r r ，若a b ⊥r r，则m =.16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为．四、解答题17．已知向量()1,3a =-r，()1,2b =r ．(1)求a b ⋅r r；(2)若()a mb a -⊥r r r，求m 的值．18．已知复数()()()()121i z m m m m R =-++-∈，其中i 为虚数单位. (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值：(2)若2m =，设()ii ,iz a b a b R z +=+∈-，试求a b +的值.19．已知向量a r 与b r的夹角为3=4πθ，且3a =r ，b =r （1）若2ka b +r r与34a b +r r 共线，求k ；（2）求a b ⋅r r ，a b +r r ；（3）求a r 与a b +r r的夹角的余弦值20．ABC n 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC n 面积为2，求b ．21．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，设向量AB a =u u u r r，AD b u u u r r =(1)试用 a b r r、表示向量AM u u u u r 与AN u u u r ；(2)求AM AN ⋅u u u u r u u u r的值.22．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<.(1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.。

陕西省咸阳市2022-2023学年高一下学期第二次月考试题数学含答案

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i- B.8iC.88i- D.88i+3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C.A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D .平面ABC 与平面BCD 不可能垂直7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC -8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC .当2π3θ=时，1F G = D.当π2θ=时，1F G= 11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B. C. D.1212.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067615.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠︒，2,AD AC PO ==⊥平面,2,ABCD PO M =是PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N ．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数【答案】B 【解析】【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A 错误；样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B 正确；样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C 错误；样本容量是20，D 错误，故选：B2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i -B.8iC.88i- D.88i+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--，所以()228i z -=-.故选：A3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据题意列式解出m ，再利用复数的运算求得2i 13i i 22m +=+-，结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】若复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则20m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，则()()()()2i 1i 2i 2i 13i 13i i 1i 1i 1i 222m +++++====+---+，故复数2i i m +-在复平面内对应的点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：A.4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg【答案】C 【解析】【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70kg ，女生平均体重为50kg ，该班的平均体重是70750364kg 10⨯+⨯=，故选：C ．5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C .A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子【答案】C 【解析】【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.【详解】()14849505152505A x =++++=，()()()()()22222214850495050505150525025A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；()14848494951495B x =++++=，()()()()()222222148494849494949495149 1.25B S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；A B x x >，22A B S S >，故A 的平均产量高，B 的产量比较稳定.故选：C6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D.平面ABC 与平面BCD 不可能垂直【答案】A 【解析】【分析】A 选项只需满足AC AD =即可，B 选项与题干矛盾，C 选项与A 选项矛盾，D 选项只需满足AC ⊥平面BCD 即可.【详解】如图所示：取CD 的中点E ，连接AE ，BE假设AB CD ⊥，因为BCD 为等边三角形，所以BE CD ⊥，又因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，所以CD AE⊥又因为E 是CD 中点，所以AC AD =，只需满足AC AD =，即可做到AB CD ⊥，故A 正确C 错误；对于B ：若A 在平面BCD 内的射影为B ，则有AB ⊥平面BCD ，与题干矛盾，故B 错误；对于D ：过C 点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面BCD ，A 点只需在该直线上，即满足AC ⊥平面BCD 即可达到要求，故D 错误.故选：A7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC C.14BC-D.34BC -【答案】A 【解析】【分析】首先根据已知条件可知AB AC ⊥，从而推得ABD △为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，则()()22AB ACAB AC +=- ，所以0AB AC ⋅= ，则AB AC ⊥，因为D 是BC 的中点，所以AD BD CD == ，又因为||||AD AB =，所以ABD △为等边三角形，故点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，则E 为BD 中点，所以向量BA 在向量BC上的投影向量为14BE BC = ．故选：A .8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C 【解析】【分析】设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，分π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和(0,]θγ∈两种情况讨论，证明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，从而可得出答案.【详解】平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，当π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111,(0,1]1C E C F AB C D C B λλ==∈=，则()222211(12312(1)22EFBD S λλλλλ=+-+=-++，令()222()12(1)h λλλ=-++，因为2()4(1)0h λλλ'=+>，所以()11max max ()(1)2,2EFBD BDB D h h S S λ====当(0,]θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面11,2C BD C BD S =，当0θ=时，平面α截正方体所得截面为,1ABCD ABCD S =，所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D ，同理平面β过1A D 、时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC ，连接11,,BD AC B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C --，因为1B C ⊥面11,AD BC AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C --大小，因为160B CA =∠︒，所以面α与面β所成锐二面角大小为60︒.故选：C ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，考查了分类讨论思想和极限思想.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b【答案】ABC 【解析】【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC.当2π3θ=时，1F G= D.当π2θ=时，1F G= 【答案】AC 【解析】【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.【详解】对A ：根据题意，得12G F F =+，所以2222121212cos 2(1cos )G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得221G Fθ=+ ，因为()0,πθ∈时，cos y θ=单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A 正确；对B ：由题意知θ的取值范围是()0,π，故B 错误；对C ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当2π3θ=时，221F G = ，所以1F G =，故C 正确；对D ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当π2θ=时，2212GF = ，所以1F =，故D 错误.故选：AC.11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B.C.D.12【答案】AC 【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC 为x '轴时，B C ''=为最大值，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='为最小值，故B C ''的长度范围是，C 选项可以以AB 为x '轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BC 为x '轴，画出直观图，如图2，此时B C BC ===''A 正确，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='，则B C ''的长度范围是，若以AB 或AC 为x 轴，画出直观图，如图1，以AB 为x '轴，则2,1A B A C ''''==，此时过点C '作C D '⊥x '于点D ，则45C A B '''∠=︒，则2A D C D '='=，22B D '=-，由勾股定理得：B C =''C 正确；故选：AC12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A 、B ，将,BD BO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C 、D ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对A ：因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以13OA OD DC AC ===，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对B ：()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，则2212212253333999BD BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51132233922=++⨯⨯⨯=，故B 正确；对C 、D ：如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()11,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()13cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故D 正确.故选：ABCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．【答案】4-【解析】【分析】借助向量垂直，则数量积为0计算即可得.【详解】()221,3a b m -=-，由()2a b c -⊥ ，可得()20a b c -⋅= ，即有2190m -+=，解得4m =-.故答案为：4-.14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】05【解析】【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.15.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A 到BC 的距离的最大值，和BC 边上的高为2比较，即可确定答案.【详解】因为ABC 中，60,A BC == ，所以ABC 的外接圆半径为122sin 60R BC ︒=⨯=,即A 位于以2为半径的圆弧 BAC上，如图，当ABC 为正三角形时，此时顶点A 到BC 的距离的最大值为6032︒=>,如图当A 位于,E F 处时，此时,BE CF 为外接圆直径，则,EC BC FB BC ⊥⊥,则2EC FB ==，满足60,A BC BC ==边上的高为2，故满足条件的ABC 的个数为2个，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．【答案】28R π【解析】【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积.【详解】设圆柱的高为h ，内壁的表面积为S ，由题意可知：323211·33R R h R πππ+=，解得：3h R =.内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即222·28S R h R R πππ=+=.故答案为：28R π四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．【答案】（1（2）1114【解析】【分析】（1）代入向量模的数量积公式m =，即可求解；（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.【小问1详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，m ∴== ．【小问2详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，n ∴== ()()2212121122π112366cos 132m n e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=+-=，11112cos ,14m n m n m n⋅∴==．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．【答案】（1）50人，40人，10人（2）82.5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用百分位数的定义进行求解即可得.【小问1详解】老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:1255:4:1=，故抽取100人，样本中老年人数为510050541⨯=++人，中青年人数为410040541⨯=++人，少年人数为110010541⨯=++人；【小问2详解】设当天游客满意度分值的75%分位数为x ，因为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.0100.0250.0350.020100.90.75+++⨯=>，所以x 位于区间[)80,90内，则()800.0200.750.7x -⨯=-，解得：82.5x =，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.【答案】（1）1a =，4b =-；（2）2.【解析】【分析】（1）将2i x a =+代入方程250x bx ++=，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于a 、b 的方程，结合0a >可求得a 、b 的值；（2）设()2i ,z x y x y R =+∈，根据复数的模长公式结合已知条件可得出1y x =+，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得2z 的最小值.【详解】（1）依题意得，()()22i 2i 50a b a ++++=，即()()24254i 0a b a ab -++++=，所以24250400a b a ab a ⎧-++=⎪+=⎨⎪>⎩，解得1a =，4b =-；（2）由（1）可得12i z =+，设()2i ,z x y x y R =+∈，则21z z -=，23i z -=因为2123i z z z -=-=，整理得1y x=+.2z ==故当12x =时，2z 取得最小值2.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．【答案】（1）π3C =（2）321sin 14AEB ∠=【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.【小问1详解】)sin sinB C A A=+，())sin sinA C C A A+=+，cos sin sinA C C A=．因为sin0A≠sinC C=，所以tan C=又0πC<<，所以π3C=．【小问2详解】如图所示，因为π,33ACB AC∠==，所以AB=又因为CD为ACB∠的平分线，所以AD CD DB===．因为DE CD=，所以在BDE中，DB DE==又π3BDE∠=，所以BDE为等边三角形，所以BE=在ADEV中，由余弦定理可得2222π2cos213AE AD DE AD DE=+-⨯⨯=，即AE=，在ADEV中，由正弦定理可得sin sinAB AEAEB ABE=∠∠，即3321πsin sin3AEB=∠，得sin14AEB∠=．21.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，=45ADC∠︒，2,AD AC PO==⊥平面,2,ABCD PO M=是PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）255．【解析】【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）找出直线AM 与平面ABCD 所成角，借助正切函数定义计算即可得.【小问1详解】连接OM ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，O ∴为BD 的中点，又M 为PD 的中点，PB MO ∴∥，又PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面,//ACM PB ∴平面ACM ；【小问2详解】取DO 的中点N ，连接,MN AN ，M 为PD 的中点，MN PO ∴∥，且112MN PO ==，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，MAN ∴∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ ，在Rt DAO △中，12,12AD AO AC ===，DO ∴=122AN DO ==，在Rt ANM △中，25tan 5MN MAN AN ∠===，∴直线AM 与平面ABCD．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）62（3）6【解析】【分析】（1）由AB AF ⊥，CD AF ⊥，可证得CD ⊥平面ACF ，得CD AN ⊥，又AN CF ⊥，即可证得结论；（2）设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，得BF PO ∥，则CPO ∠是异面直线BF 与PC 所成角，即可求解；（3）可证得AF ⊥平面ABCD ，则三棱锥B CEF -的体积：B CEF C BEF V V --=，计算即可．【小问1详解】四边形ABEF 为正方形，AB AF ∴⊥，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，CD AC ∴⊥，AB CD ，CD AF ∴⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，CD \^平面ACF ，AN ⊂ 平面AFC ，CD AN ∴⊥，AN CF ⊥ ，⋂=CF CD C ，,CF CD ⊂平面CDF ，AN ∴⊥平面CDF．【小问2详解】四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，AC ∴===32AO CO ∴==，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AC =，=90ACD ∠︒，CD ⊂平面ABCD ，CD \^平面PAC ，PC ⊂ 平面PAC ，CD PC ∴⊥，P 为DF的中点，122AP CP FD ∴=====，设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，BF PO ∴∥，CPO ∴∠是异面直线BF 与PC所成角，sin 552CO CPO PC ∠===，10cos 5CPO ∴∠=，6tan 2CPO ∠=，∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为62．【小问3详解】平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，CA ==∴三棱锥B CEF -的体积：111113326B CEF C BEF BEF V V S CA --==⨯=⨯⨯⨯= ．。

第三中学2017—2018学年下学期高一期中考试数学试题(附答案)

靖远三中2017-2018学年度第二学期期中考试高一数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1.下列给出的赋值语句正确的是（）.Ａ．3A = Ｂ．M M =- Ｃ．B A 2== Ｄ．0x y +=2. 10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（）A ．a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. c>b>a3．下列事件:①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；② 明天下雨； ③某人买彩票中奖； ④ 从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2; ⑤经过有信号灯的路口，遇上红灯。

其中是随机事件的个数有（）.A. 1 B ． 2 Ｃ．3 D. 44. 同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）. Ａ．87 Ｂ．85 Ｃ．83 Ｄ．81 5. 右图给出的是计算错误！未找到引用源。

的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）.A ．21≤iB ．11≤iC ．21≥iD ．11≥i6、某单位有老年人28 人，中年人56人，青年人84人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A 、6，12，18B 、7，11，18C 、6，13，17D 、7，12，177、从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为（）A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

D 、18.函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（）. Ａ．110 Ｂ．23 Ｃ．310 Ｄ．459.用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数,需要运算的次数分别为( )A.4,15B.5,14C.5,13D.4,1210.下列各数中，最小的数是（）A ．75B ．)6(210C ．)2(111111D ．)9(8511.抽查10件产品，记事件A 为“至少有2 件次品”，则A 的对立事件为（）A.至多有2件次品B. 至多有1件次品C. 至多有2件正品D. 至少有2件正品12.将两个数A ＝9，B ＝15交换使得A ＝15，B ＝9下列语句正确的一组是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为n ，则点(,)P m n 落在圆x 2＋y 2＝25内的概率是。

陕西省铜川市2017-2018学年高一第一学期期中数学试卷

2017～2018学年度第一学期高一期中数学考试试题（卷）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．满足{},,,,4321a a a a M ⊆且{}{}21321,,,a a a a a M = 的集合M 的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42．若集合}1,log |{}1,2|{2≥==-<==x x y y P x y y M x ，，则=P M （） A. }210|{<<y y B. }10|{<<y y C. }121|{<<y y D. }210|{<≤y y 3.函数3121)(++-=x x f x 的定义域为（）A. (]0,3-B. (]1,3-C. ()(]0,33,--∞-D. ()(]1,33,--∞-4.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是（）A. 3x y =B. 1+=x yC. 12+-=x yD. x y -=25.当10<<a 时，在同一坐标系中，函数x ay -=与x y a log =的图象是（）A B C D6.下列命题中正确的是（）A. 当0=α时，函数αx y =的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过)1,1(),0,0( 两点C. 幂函数的图象不可能出现在第三象限D. 图象不经过点)1,1(-的幂函数，一定不是偶函数7.设,2log ,3log ,log 323===c b a π则（）A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.c a b >>8．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则)]41([f f 的值是（） A. 9 B. 91 C. 91- D. 9- 9．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m x f x +=3)(（m 为常数），则)5log (3-f 的值为（）A. 4B. 4-C. 6D. 6-10.函数)34ln(2+-=x x y 的单调减区间为（）A.()+∞,2B.()+∞,3C.()2,∞-D.()1,∞-11．若定义在[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意[]2015,2015,21-∈x x 有,2014)()()(2121-+=+x f x f x x f 且0>x 时，有)(,2014)(x f x f >的最大值、最小值分别为,,N M 则=+N M （）A. 2013B. 2014C. 4026D. 402812．已知定义在[]2,2-上的函数 )(x f y =和)(x g y =的图象如图给出下列四个命题：①方程0))((=x g f 有且仅有6个根；②方程0))((=x f g 有且仅有3个根；③方程0))((=x f f 有且仅有5个根；④方程0))((=x g g 有且仅有4个根；其中正确命题的序号是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.。

陕西省咸阳市永寿县永寿中学最新高一数学理模拟试题含解析

陕西省咸阳市永寿县永寿中学最新高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=x2﹣mx﹣m2，则f（x）（）A．有一个零点B．有两个零点C．有一个或两个零点D．无零点参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0，则△=m2+4m2≥0，即可得出结论．【解答】解：令f（x）=0，则△=m2+4m2≥0，∴f（x）有一个或两个零点，故选：C．2. 如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A． B． C．D．参考答案：B略3. 若直线与圆有公共点，则（）A． B．C． D．参考答案：D4. 下列说法错误的是 ( )A 在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大参考答案：B略5. 设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：B【分析】画出不等式组对应的平面区域，平移动直线至时有最大值8，再利用基本不等式可求的最小值.【详解】原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值8，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为4.故选： B【点睛】二元一次不等式组的条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.6. 函数的定义域为A. B.C. D.参考答案：C略7. 设全集，集合或，集合，则集合是（）A． B．C． D．参考答案：C8. 已知=（4，3），则在=（1，0）上的投影为（）A．-4 B．4 C．3 D．-3参考答案：B9. 7．化简的值为A． B．0 C．D．参考答案：C略10. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第三年造林（）A、亩B、亩C、亩D、亩参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数()的值域参考答案：12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．参考答案：8【考点】HR：余弦定理．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．13. 函数在区间上的最小值为_______________参考答案：114. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)= .参考答案：15. △ABC中，若，则角A的取值集合为_________.参考答案：【分析】△ABC中，由tan A=1，求得A的值．【详解】∵△ABC中，tan A=1>0，故∴A=故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的化简，及与三角形的综合，应注意三角形内角的范围．16. 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．参考答案：[10，20]【考点】基本不等式．【分析】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，（0＜x＜30）．矩形的面积S=x（30﹣x），利用S≥200解出即可．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣x，（0＜x＜30）∴矩形的面积S=x（30﹣x），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴x（30﹣x）≥200，化为（x﹣10）（x﹣20）≤0，解得10≤x≤20．满足0＜x＜30．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题．17. 函数上的最大值是 ___，最小值是 ____.参考答案：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。

陕西省榆林一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

陕西省榆林一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 底面半径为，母线长为的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高，则圆锥的体积为：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是，则它的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定圆柱的底面半径和高，然后求解其侧面积即可.详解：由题意可得，圆柱的高为，底面半径为，则底面周长为：，圆柱的侧面积为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查圆柱的侧面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】分析：由题意结合空间几何体的性质确定直线的位置关系即可.详解：很明显与的位置关系不可能为平行，否则由平行公理可得，如图所示，在正方体中，取直线分别为，若取为，则与的位置关系是异面，若取为，则与的位置关系是相交，综上可得：与的位置关系是异面或相交.本题选择D选项.点睛：本题主要考查空间中直线的位置关系及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知是平面，是直线．下列命题中不正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】分析：由题意找到反例即可确定错误的选项.详解：如图所示，在正方体中，取直线为，平面为，满足，取平面为平面，则的交线为，很明显与为异面直线，不满足，选项B说法错误；由面面垂直的性质推理可得A选项正确；由线面垂直的性质推理可得C选项正确；由线面垂直的定义可得D选项正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查线面关系有关命题的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先还原平面图形，然后求解其面积即可.详解：由直观图可知该平面图形对应的几何体为一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为，，则其面积为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查直观图的画法及其还原，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7. 以为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆心到切线距离为，所以，又因为圆心，圆方程为，故选A.8. 已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的是（）A. 直线直线，且直线直线B. 直线平面，且直线平面C. 平面平面，且平面平面D. 平面平面，且平面平面【答案】C【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：若，则AB在平面ACD内的射影AC⊥CD，该结论明显不成立，则直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AB与CD不垂直，所以直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵AC⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC上平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；很明显平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查线面关系的命题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 直线和直线，若，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或或【答案】C详解：由两条直线平行的充分必要条件可得，满足题意时有：，解得：.当时，直线，直线，此时直线重合，不满足；当时，直线，直线，满足；当时，直线，直线，满足；综上所述，的值为或.本题选择C选项.点睛：本题主要考查直线平行的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥中是圆柱底面直径，在底面圆周上，平面，是圆心，尺寸见三视图，则．故选A．考点：三视图，组合体的体积．11. 在中，，，若使该三角形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定空间几何体的结构特征，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分.由于，，，则，，结合三棱锥的体积公式可得：以ACD为轴截面的圆锥的体积：，以ABD为轴截面的小圆锥的体积：，则所形成的几何体的体积是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查椎体的体积公式，学生的空间想象能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示：∴，或，直线的斜率的取值范围是，故选．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】或【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.详解：由直线垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：，，当时点到轴的距离为0，当时点到轴的距离为5，综上可得：点到轴的距离为或.点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为，那么直线的方程为____________________．【答案】或【解析】分析：首先求得圆心到直线的距离，然后求解直线方程即可.详解：设圆心到直线的距离为，由题意可知：，解得：，即点到经过点直线的距离为，很明显直线的斜率不存在时满足题意，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由点到直线距离公式可得：，解得：，此时，直线方程为，整理为一般式即：.综上可得：直线的方程为或.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15. 圆与圆相内切，则的值为__________．【答案】【解析】分析：首先将圆的方程写成标准型，然后利用圆内切的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：圆的标准方程即：，圆的圆心在圆之外，则，结合两圆内切的充分必要条件可得：，解得：.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．16. 如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于.①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面内的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面．以上结论正确的为_______________．（写出所有正确结论的编号）【答案】①③④【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四点共面，故ED1∥BF，同理可证，FD 1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，结合A1D1⊥BE可得BE⊥平面ADD1A1，明显矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，EF⊥平面BB1D，则平面BFD1E⊥平面BB1D，故④正确.综上可得：题中所给的结论正确的为①③④.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 三角形的三个顶点是．（1）求边所在的直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）17【解析】分析：（1）由斜率公式可得，由点斜式整理为一般式可得直线方程为.（2）结合点到直线距离公式可得到的距离，由两点之间距离公式可得，则三角形的面积为．详解：（1），，即.（2）到的距离，，故．点睛：本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 求符合下列条件的直线方程：（1）过点，且与直线平行；（2）过点，且与直线垂直；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（2）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（3）分类讨论截距为0和截距不为0两种情况可得直线方程为或．详解：（1）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（2）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（3）若截距为，则直线方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，即；若截距不为，设截距为，则方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，综上：直线方程为或．点睛：本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由题意可得CD过AB的中点，结合点斜式方程可得其直线方程为；（2）设圆心，由圆心在直线上，结合圆的半径整理计算即可求得最终结果可得或，则圆的方程为或．详解：（1）直线的斜率，中点坐标为，直线方程为，即；（2）设圆心，则由点在直线上得：①，又直径，，②由①②解得：或圆心或圆的方程为或．点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．20. 如图，已知菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意结合勾股定理可得．由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面．详解：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意知，，，，，即．又四边形是菱形，；，平面，平面，平面，平面平面．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．21. 在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可证得平面，结合线面垂直的定义可得；（2）结合三棱锥的性质转化顶点可得．详解：（1）在棱长为的正方体中，连结．平面，平面，是正方形，；又，平面；又平面，；（2）到平面的距离，，三棱锥的体积．点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．22. 如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据为正三角形，为中点,∴，求出的面积；再根据底面，即可求解三棱锥的体积；（2）先根据底面，∴，再结合，即可得到平面，从而证明平面平面；（3）连结交于，连结，根据为中点，为中点，所以，即可证明直线平面．试题解析（1）∵为正三角形，为中点,∴,由可知，，∴．又∵底面，且，∴底面，且，∴．（2）∵底面,∴．又，∴平面．又平面，∴平面平面．（3）连结交于，连结，在中，为中点，为中点，所以，又平面∴直线平面．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥的体积的计算，属于中档试题，解答时证明直线与平面平行时，一般常用的做法是证明平面与平面平行或证明直线与直线平行，分别利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明线面平行，而证明平面与平面垂直时，可转化为先证明线面垂直，在利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，此类问题的解答关键是牢记线面位置的关系的判定定理，构造判定定理的条件，利用判定定理证明．。