待定系数法在基本不等式中的应用
数学思想方法专题二(待定系数法、定义法数学归纳法)
数学思想方法专题二（待定系数法、定义法）一．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
例1已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
例2．设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。
练习一1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
待定系数法集锦
待定系数法集锦解析：不妨设,,,a b c d 均为正实数22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥，即2222()a b c d m ac bd bc +++++≥， 设2222222222(1)(1)a b c d a xc yb x c y b d ++++++-+-+≥ 22(1)21xac y x bc ybd +-+-≥， 当且仅当(1)1x y x y =-=-，即5135,22x y --==时，等号成立. ∴2222(51)()a b c d ac bc bd +++-++≥，故51m -≤.【题目】（2016湖北宜昌调研考）在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且AD BC =，,b c 分别表示,B C 所对的边长，求b c的最大值. 分析：平方后，利用待定系数法，结合基本不等式求最值解析：如图所示，设BD x =，则DC a x =-， 得222222222()21b a a x a ax c a x a x+--==+++ 2222251251251112a a x a x ++++++=++≤ 即512b c +≤.【题目】已知正数,x y 满足2220x y +=，求8xy x y ++的最大值. 【解析】设25cos ,25sin x y θθ==，02πθ<<， 得820cos sin 825cos 25sin xy x y θθθθ++=+⋅+， 令45cos sin 5cos sin (cos )(sin )2cos 2sin 510a b a b c θθθθθθθθ++=++--+，得451752530552103b a a a b b ⎧⎧-==-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎪⎪⎩⎩，于是 51753452517()(sin )(cos )sin cos 33030318f θθθθθ=--++-225175(sin )(cos )2534517330sin cos 233018θθθθ-+-++-≤ 5175119451sin cos 330183018θθ=+++≤， 当且仅当5175sin ,cos 330θθ==时，取到最大值. 【题目】求函数2()sin cos sin cos 5f x x x x x =++的最大值. 【解析】设2cos sin sin cos (sin )(cos )2sin 2cos 5x x x x x a x b a x b x c ++=++--+， 得421523255b a a a b b ⎧-==-⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=-⎩⎪⎩，于是 2438612()sin cos sin cos (sin )(cos )sin cos 5555525f x x x x x x x x x =++=--++-2243(sin )(cos )861243133855sin cos sin cos 25525552525x x x x x x -+-++-=++≤≤， 当且仅当43sin ,cos 55x x ==时，取到最大值.【题目】已知,,(0,)a b c ∈+∞，则2222()52a b c ac bc++++的最小值为______________. 【解析】∵2222222()52522a b c a b c ac bc ac bc+++++⋅++≥（当且仅当2225a b c ++=时，等号成立） 且22221()(1),221a xc b xc ac cb x x++-⋅-≤≤， 令1121x x=-，得15x =，于是 222255252[()()]255ac cb a c b c +⋅+++≤2225()2a b c =++， ∴222225425a b c ac bc ++⋅=+≥ （当且仅当525,55c c a b ==，即2225255,,1052a b c ===时，等号成立）. 【题目】已知,(0,)x y ∈+∞，则221(2)x y x y+++的最小值为______________. 【解析】∵222222211(1)1221(2)222x y x y x ay a y axy ay x y xy y xy y xy y++++++-++-==++++≥ （当且仅当,11x a y a y =-=时，等号成立）， 令21a a =-，得15a =， ∴22125225(2)5(2)5x y xy y x y x y +++⋅=++≥ （当且仅当55,52y x y ==，即15,22x y ==时，等号成立）.。
待定系数法结合均值不等式解决多元条件极值问题
待定系数法结合均值不等式解决多元条件极值问题北京大学附属中学(100190)单治超均值不等式是高中数学的重要内容，其内容容易理解,但是具体运用时则灵活多变.国家课标对均值不等式的要求难度并不高.但是2020年的北大和复旦强基计划数学试题都考查了利用待定系数法结合均值不等式解决给定条件下多元函数的最值问题.我们又注意到前两年的清华领军计划也都考查了类似的题目.这类题目的频繁岀现，使得准备强基计划的同学必须引起高度重视.为此，我们撰写本文对这种方法进行一点梳理.我们用到的工具很简单:定理1(具有待定系数的二元均值不等式)对任意C>0,x>0,y>0,2=xy4Cx+C.,当且仅当y—C2x时取等号.证明显然.例1(2020年北大强基计划第9题)求使得5x+ 12=两4a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数的最小值a.解易见这个最小值就是二元函数f(x,y)—5x十12何在条件x>0,y>0下的最大值.对任意x+yC>0,5x+12=xy45x+6(Cx+寻)—(5+6C)x+*为了让不等式的右端除以x+y是个定值，我们令625+6C—咲,即C—2,此时我们得到f(x,y)49.很容易验证等号可以取到.所以f(x,y)—阮十12何在条x+y件x>0,y>0下的最大值是9.因此a的最小值是9.从这个例题我们领会到，利用待定系数的均值不等式,关键点在于令待定的系数能够使得两个式子的比例为定值.我们再做一道例题巩固对这种方法的理解.例2(2020年复旦强基计划第2题)已知实数x,y满足x2+2xy-1—0,求x2+y2的最小值.解对任意C>0,y2y2 1—+2xy4+Cx?+务—(1+C)x?+C,为了令不等式的右端与x2+y2的比例为定值，我们令1+C—C,即C—£一丄.于是x2+y22茫二丄.容易验证等号可以取到，所以x2+y2的最小值是茫二.前面两个例子都是2020年强基计划的试题.事实上，这种方法在以往的清华领军计划试题中已经有所考查.例3(2018年清华领军计划第10题)设a,b,c为正数,且a2+b2+c2—1,求a(a+b+c)的最大值.分析这道例题相对前两道例题的难度在于岀现了三个变量,但是容易发现b,c两个变量的地位是相同的，因此我们在利用均值不等式对只涉及b,c的解析式进行放缩时，不需要利用待定系数的均值不等式.解对任意k>0,a(a+b+c)—a2+a(b+c)ka2十©十空4a2+--------严—(当且仅当ka—b+c时取等号) k14(1+2)a2+1(b2+c2)(当且仅当b—c时取等号).为了令不等式的右端与a2+b2+c2的比例为定值，我k1们令1+k——,即k—亞-1.于是2ka2+b2+c24凶尸.容易验证等号可以取，所以a(a+b+c)的最大值是凶尸.2019年清华领军计划还岀过一道更难的题，需要利用待定系数的三元均值不等式.定理2(具有待定系数的三元均值不等式)对任意k>0,l>0,x>0,y>0,z>0,3klxyz4kx+ly+z3当且仅当kx—ly—z时取等号.证明显然.例4(2019年清华领军计划第23题)已知ab(a+8b)—20,求a+3b的最小值.解对任意正实数k,l,=20^—^ka•lb•(a+8b)4(k十1)a J(l十8)b,为了令不等式的右边与a+3b的比例是定值，我们需要令l+8—3(k+1)(1)注意到满足这个等式的正有序实数对(k,l)具有无数个,但是仅满足这个等式的(k,l)不足以让我们达到目的，因为此时我们必须考虑不等式取等号的条件ka—lb—a+8b能否实现.容易发现,这个条件能够实现当且仅当k=1+苧(2)联立方程组(1)(2),它的正实数对解只有一个：k=5,l=10.于是可求得a+3b的最小值是5.我们运用例4的方法，可以对例4的结论一般化：a,定理3设p,q是给定的正常数,在已知ab(a+pb)=1, b>0的条件下，a十*的最小值是洱，其中k o p十V p2-pq+q2q,l o=q十p2—pq+q2.证明对任意正实数k,l,7kl=&ka・lb・(a+pb)<(k+1)a十"十p)b,为了令不等式的右边与a+qb的比例是定值，我们需要令l+p=q(k+1)(1)不等式取等号的条件是ka=lb=a+pb.这个条件能够实现当且仅当k=1+牛(2)联立方程组(1)(2),它的正实数对解只有一个：k o=p ZP2-pq十£,l o=q+J p2-pq+q2.因此我们就得q到了想要的结论.。
利用待定系数法求解高中数学问题
利用待定系数法求解高中数学问题王睿智【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)008【总页数】1页(P14)【作者】王睿智【作者单位】甘肃省礼县第一中学【正文语种】中文待定系数法是一种被广泛应用的解题方法，贯穿整个初中和高中数学的学习，在近年的高考试题中也不乏其身影，是非常重要的数学方法.本文总结了待定系数法在高中数学中的妙用，希望能引起老师和同学们的兴趣.1 多项式的因式分解例1 分解因式：x2-6y2+x y-x+12y-6.解析因为x2+x y-6y2=（x-2y）（x+3y），所以可设x2-6y2+x y-x+12y-6=（x-2y+a）（x+3y+b），则x2-6y2+x y-x+12y-6=x2-6y2+x y+（a+b）x+（3a-2b）y+a b，故易知解得所以x2-6y2+x yx+12y-6=（x-2y+2）（x+3y-3）. 点评利用待定系数法可以解决更为复杂的因式分解问题，望读者们自行探索.2 在不等式中的应用例2 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2-2a b+4b2-c=0，且使｜2a+b｜最大时的最小值是______.解析令4a2-2a b+4b2=m（2a+b）2+ （n a+t b）2，则于是要使｜2a+b｜最大，则（2a+b）2 最大，故，得，因此点评从求解过程可以看出，使用待定系数法能利用已知条件简化运算过程，避免出现解题错误.3 求圆锥曲线的方程例3 求经过点A（0，2）和的椭圆的标准方程.解析设椭圆方程为A x2+B y2=1（A≠B，A＞0，B＞0），因为椭圆经过点A（0，2）和故可知所以椭圆的标准方程为点评本题也可以使用分类讨论的方法，但运用分类讨论法较为烦琐，使用待定系数法能够提升解题效率.4 在数列中的应用例4 已知数列｛an｝中（n∈N*），求an.解析因为故可令an+λ=，通过对比，易得λ=-2.所以）.故｛an-2｝是以a1-2=-1为首项为公比的等比数列.所以an-2=，即an=2-21-n.点评本题从已知条件入手，应用待定系数法，构建含待定参数的等比数列，通过求解参数获得问题的解，这是解决此类问题的最有效途径.本文用以上几个例子向读者展示了待定系数法的应用，可见待定系数法能够用来解决很多数学问题.除了以上例子外，待定系数法还可以应用于求解平面向量、立体几何、函数方程、解析几何等问题.。
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 uxy yz的最大值。
x 2y 22z解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：xy yzyx y 1 [ 2 x 2y 22y 2z 2]12 x 212) y 22x 2y 2x2( )( ) [( 22]2令2121，解得：4 2 ，1 ，于是224 222 ( x 2xy yz2 ( x 2 y 2 z 2 )y 2 z 2 )2xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2所以 u2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成x2y2z2x 2 y 2 z 2 2立。
推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则axy byz 的最大值x 2y 22z为 a 2 b 2 ，最小值为a 2b 2 。
2 2简析：即证 2 xay2 zby b 2 x 2a 2 y 2z 2b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。
a 2b 2a 2a 2b 2a 2b 21. 设是不全为零的实数，求 的最大值分析：显然只需考虑 的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数满足故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。
消去我们得到一个方程此方程的最大根为我们所求的最大值解之得我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了2.设是不全为零的正实数，求的最大值是的同我们依然可以引进参数使其满足依据取等条件我们有消去参数我们得到一个方程这个方程的最大根为我们所求的目标。
高中数学 第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质教学案(含解析)高一第一册数学教学案
3.1 不等式的基本性质(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言2(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，即a－b<0⇔a<b．3．不等式的基本性质性质1: 若a>b，则b<a；(自反性)，a>b⇔b<a．性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性)性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)性质7：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N*)．(拓展)提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac>bc，则a>b．( )(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d．( )(3)若a >b ，则1a <1b．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知a 1，a 2∈()0，1，记M ＝a 1a 2, N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定B [由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝()a 1－1()a 2－1>0，故M >N ．故选B ．]3．若x ＞y ，且x ＋y ＝2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜y 2B ．1x ＜1yC ．x 2＞1D ．y 2＜1C [因为x ＞y ，且x ＋y ＝2，所以2x ＞x ＋y ＝2，即x ＞1，则x 2＞1，故选C ．]利用不等式的性质判断和解不等式①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2；④若a <b <0，则a b >ba．其中正确命题的序号是 ．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由．(1)②④ [对于①∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2．又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba，④正确．所以正确答案的序号是②④．](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ， 当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ．1．利用不等式判断正误的两种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＜b 2＜c 2B ．ab 2＜cb 2C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C ．]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，则不等式bx －a >0的解集为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．]利用不等式的性质比较代数式的大小[探究问题]1．如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？[提示] 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立．2．若a >b ，则ab >1吗？反之呢？[提示] 若a >b ，当b <0时，ab<1，即a >bab >1；若a b >1，则a b －1>0，即a －b b>0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即a b >1a >b ，反之也不成立．【例2】 已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 作差―→因式分解――→x <1判号―→下结论[解] x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0，又∵⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x ．1．(变条件)本例条件“x <1”变为“x ≥1”，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解] x 3－1－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x ≥1，∴x －1≥0，又⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0， ∴x 3－1≥2x 2－2x ．2．(变题)已知：a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b 的大小．[解](作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －1a ＋b＝ab ＋b 2＋a 2＋ab －abab a ＋b＝a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b， 因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b同为正数，所以1a ＋1b1a ＋b ＝a ＋b2ab ，所以a ＋b 2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab>0，即a ＋b 2ab>1，因为1a ＋b >0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1．[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ． 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a ．故选A ．] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2， 当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2．证明不等式【例3】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ． (2)已知a > b >0, m >0，求证：b a <b ＋ma ＋m．[证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc ． ∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bc ．(2)(作差法)因为a > b >0, m >0，所以b －a <0，a ＋m >0，所以b a －b ＋m a ＋m ＝b a ＋m －a b ＋m a a ＋m ＝m b －a a a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m；(不等式的性质)因为a > b >0, m >0， 所以am > bm, a ＋m >0，ab >0，所以am ＋ab >ab ＋bm ，即a (b ＋m )>b (a ＋m )，所以b a <b ＋m a ＋m．1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．作差法也可以应用于证明不等式．3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b 克的a 克糖水中放入m 克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．[跟进训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋d d．[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd ． 6．已知a >b >m >0，求证：a b <a －m b －m．[证明] (作差法)因为a >b >m >0， 所以b －a <0，b －m >0，所以a b －a －m b －m ＝a b －m －b a －m b b －m ＝m b －a b b －m <0，所以a b <a －m b －m；(不等式的性质)因为a >b >m >0，所以am >bm ，b －m >0， 所以－bm >－am ，所以ab －bm >ab －am ，即b (a －m )>a (b －m )，所以a b <a －m b －m．不算式性质的应用[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解．[解]∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24，∴8<2a＋3b<32．∵2<b<8，∴－8<－b<－2，又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2．即2a＋3b的取值范围为(8,32)，a－b的取值范围为(－7,2)．相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2，α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14．两式相加得－12<α＋β2<12．∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13．又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0．8．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的范围．[解]令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13y －x ，c ＝13y －4x ，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20．1．作差法比较大小的三个步骤作差、变形、定号，概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值范围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤bC[a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]3．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是．(－π，2π)[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) ．(在横线上填甲或乙即可)乙[由题意得甲购买产品的平均单价为3a＋3b6＝a＋b2，乙购买产品的平均单价为2010a＋10b＝2aba＋b，由条件得a≠b．∵a＋b2－2aba＋b＝a－b22a＋b>0，∴a＋b2>2aba＋b，即乙的购买方式更优惠．]5．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea－c2>e(b－d)2．[证明]∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即1a－c2<1(b－d)2．又e<0，∴ea－c2>e(b－d)2．。
不等式的性质及应用(高中数学)
01 不等式的性质及应用【知识分析】不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，高考中主要以客观题形式呈现，难度不大，分值5分，复习时注意不等式的等价变形，特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时，不等式的方向变化． 【经典例题】(1)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2， p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3【解析】 (1)对于①，∵ab ＞0，bc －ad ＞0，∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确；对于②，∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；对于③，∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab＞0，∴ab ＞0，∴③正确．(2)设x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎨⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4，∴43(x ＋y)≥43，－13(x －2y)≥－43，∴x ＋2y ＝43(x ＋y)－13(x －2y)≥0.故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误． 【答案】 (1)D (2)B题(1)实质为ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db ＞0三个结论之间的轮换，知二推一，利用不等式的性质判断．(2)利用不等式组求x ＋2y 的范围，注意性质应用的条件，以免扩大取值范围．判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．利用不等式的性质求取值范围的方法由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d 求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围． 【针对训练】1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b a B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c1．D 方法一：c<d<0⇒cd>0⇒c cd <d cd <0⇒1d <1c<0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d >－1c >0a>b>0⇒－a d >－b c ⇒a d <b c .方法二：依题意取a ＝2，b ＝1时，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 2．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 2.【解析】 方法一：由题意知，实数x ，y 均为正数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y≤lg 8，lg 4≤2lg x －lg y≤lg 9.令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b≤3lg 2，2lg 2≤2a －b≤2lg 3.设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b.令3a －4b ＝m(a ＋2b)＋n(2a －b)，解得m ＝－1，n ＝2，故lg t ＝－(a ＋2b)＋2(2a －b)≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.所以x 3y 4的最大值为27.方法二：将4≤x 2y ≤9两边平方，得16≤x 4y2≤81.①由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤13.②由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27.【答案】 27, 【测试】1．设a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a2．D 由－1＜b ＜0，得b ＜b 2＜1.又∵a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a. 3．已知0<a<b<1，则( ) A.1b >1aB.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12bC ．(lg a)2<(lg b)2 D.1lg a >1lg b3．D 因为0<a<b<1，所以1b －1a ＝a －b ab<0.可得1b <1a ，⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b，(lg a)2>(lg b)2，lg a<lg b<0.由lg a<lg b<0得1lg a >1lg b，因此只有D 项正确．思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．4．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3)4．B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞ba ，∴⎩⎨⎧1＜b a ＋ca≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×ca＜4，∴ca 的取值范围为(0，2)，故选B. 5．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)＜log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ②log a (1＋a)＞log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ③a 1＋a ＜a1＋1a ； ④a 1＋a ＞a1＋1a .其中成立的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y≤3，－1≤x －y≤1，则4x ＋2y 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵1≤x ＋y≤3，① －1≤x －y≤1，②由①＋②，得0≤2x≤4，③ ③×2得0≤4x≤8，④ 由①－②，得2≤2y≤2，⑤ 由④＋⑤得2≤4x ＋2y≤10.方法二：令4x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 即4x ＋2y ＝3(x ＋y)＋(x －y)， ∵1≤x ＋y≤3， ∴3≤3(x ＋y)≤9， 又∵－1≤x －y≤1， ∴2≤3(x ＋y)＋(x －y)≤10. ∴2≤4x ＋2y≤10. 【答案】 [2，10] 【点击高考】1．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y>0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y>02．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 32．D 因为0＜a ＜1，a x ＜a y ，所以x ＞y.对于选项A ，取x ＝2，y ＝1，则1x 2＋1＜1y 2＋1，显然A 错误；对于选项B ，取x ＝－1，y ＝－2，则ln(x 2＋1)＜ln(y 2＋1)，显然B 错误；对于选项C ，取x ＝π，y ＝π2，则sinπ2＞sin π，显然C 错误；对于选项D ，若x ＞y ，则x 3＞y 3一定成立，故选D. 3．设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x]＝－[x] B ．[2x]＝2[x] C ．[x ＋y]≤[x]＋[y] D ．[x －y]≤[x]－[y]4．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab<b 2C ．－ab<－a 2D ．－1a <－1b4．D 方法一(利用不等式性质求解)：A 项，由a<b<0，得b －a>0，ab>0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；B 项，由a<b<0，得b(a －b)>0，ab>b 2，故B 项错误；C 项，由a<b<0，得a(a －b)>0，a 2>ab ，即－ab>－a 2，故C 项错误；D 项，由a<b<0，得a －b<0，ab>0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b 成立．故D 项正确．方法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>－1＝1b ，ab ＝2>1＝b 2，－ab ＝－2>－4＝－a 2，－1a ＝12<1＝－1b.故A ，B ，C 项错误，D 项正确．5．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 5．D A 项，当a ＝b ＝1时，满足ab>0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；B ，C 项，当a ＝b ＝－1时，满足ab>0，但a ＋b<0，1a ＋1b <0，而2ab>0，2ab >0，显然B ，C 错误；D 项，当ab>0时，由基本不等式得b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以D 正确． 6．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或 b>1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．A 当0<ab<1时，若b>0，则有a<1b ；若b<0，则a<0，从而有b>1a ，故“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a<1b 或b>1a ，但ab<0，故选A.02 一元二次不等式的应用【知识分析】解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题，主要以选择题、填空题出现．常与集合的交、并、补结合，难度不大．在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法，注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程，书写时注意解集写成集合或区间的形式． 【典型例题】1(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)(3)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)＞x 的解集用区间表示为________．【解析】 (1)不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x≤1，∴不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0， 即(x ＋4)(x －1)＜0，解得－4＜x ＜1. (3)当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ， 令x ＜0，则－x ＞0， ∴f(－x)＝x 2＋4x.∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋4x ，即x ＜0时，f(x)＝－x 2－4x.f(x)＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0＞x. 解得－5＜x ＜0或x ＞5，∴不等式f(x)＞x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 【答案】 (1)A (2)(－4，1) (3)(－5，0)∪(5，＋∞),解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)的形式； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）＞0(<0) ⇔f(x)·g(x)＞0(<0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 注意：求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．含参数的一元二次不等式问题是高考的热点，主要出现在综合题中，常与函数、导数联系在一起，难度较大，复习时要加强此知识点的强化训练． 【典型例题】2(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152(2)已知函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)，则实数m 的值为( )A ．25B ．－25C ．50D ．－50【解析】 (1)方法一：由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝52.方法二：由x 2－2ax －8a 2＜0，得(x ＋2a)(x －4a)＜0.因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a)．又不等式的解集为(x 1，x 2)，所以x 1＝－2a ，x 2＝4a ，从而x 2－x 1＝6a ＝15，解得a ＝52.(2)由函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)知，Δ＝b 2－8c ＝0，所以c ＝b 28.不等式f(x)＜m 即2x 2＋bx ＋b 28＜m ，即2x 2＋bx ＋b 28－m ＜0的解集为(n ，n ＋10)．设方程2x 2＋bx ＋b 28－m ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b 2，x 1x 2＝b 216－m2，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b 22－4⎝⎛⎭⎫b 216－m 2＝2m.由题意知|x 1－x 2|＝|n ＋10－n|＝10，所以m ＝50. 【答案】 (1)A (2)C,(1)方法一利用不等式的解集以及根与系数的关系得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a 的值；方法二注意因式分解的恰当应用会给解题带来意想不到的效果．(2)二次函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)等价于Δ＝0；f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)转化为两交点间的距离|x 1－x 2|＝10.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 一元二次不等式恒成立问题也是高考的一个考点，主要考查根据一元二次不等式的恒成立求参数的范围、求最值等，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大． 【典型例题】3(1)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g(x)(x ∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y ＝h(x)(x ∈I)，y ＝h(x)满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h(x))，(x ，g(x))关于点(x ，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x 2关于f(x)＝3x ＋b 的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b 的取值范围为________．(2)由已知得h （x ）＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h(x)＝6x ＋2b －4－x 2.因为h(x)>g(x)恒成立，所以6x ＋2b －4－x 2>4－x 2， 即3x ＋b>4－x 2恒成立．在同一坐标系中画出y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2的图象，如图所示．当直线3x －y ＋b ＝0与半圆相切时，d ＝b10＝2，此时，b ＝210. 结合图象可知，b 的取值范围为(210，＋∞)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(210，＋∞) 【名师点拨】(1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)＜0且f(m ＋1)＜0即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后的两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max ，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min .对任意的k ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【针对训练】1．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2，2) D ．(－2，2]1．D 当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ＜2， ∴－2＜a≤2. 故选D.2．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)，若对任意x ＞2，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)2．C 由题意可知，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2可化为(x －a)(1－x)≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax≤a ＋2，则a≤x 2－x ＋2x －2对x ＞2都成立，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min (x ∈(2，＋∞))， 由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2（x －2）·4x －2＋3＝7(x ＞2)，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立，∴a≤7，故选C.3．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0.”给出如下的一种解法： 解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，得a ⎝⎛⎭⎫1x 2＋b ⎝⎛⎭⎫1x ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式bx －a－x －bx －c ＞0的解集为( ) A ．(－1，1)B.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 3．B 根据题意， 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，得b－x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1，即b x －a －x －b x －c＞0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1.故选B.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥0，1，x ＜0则满足不等式f(1－x 2)＞f(2x)的x 的取值范围是________．4．【解析】 当x ＝－1时，无解．当－1＜x ＜0时，1－x 2＞0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立．当0≤x≤1时，1－x 2≥0，2x≥0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞(2x)2＋1，即1－x 2＞2x ，(x ＋1)2＜2，∴0≤x ＜2－1.当1－x 2＜0时，无解． 综上可知－1＜x ＜2－1. 【答案】 (－1，2－1)5．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 5．【解析】 因为不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 所以Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 即64sin 2α－32＋64sin 2α≤0， 解得－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π.所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．6．【解析】 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t≥1，则x ＝t 2－1.所以（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a≤[2(t ＋1)2]min＝8，故a 的最大值是8. 【答案】 8 【点击高考】1．设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x>0}，则S∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)2．D S ＝{x|x≤2或x≥3}，T ＝{x|x>0}，∴S∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)． 3．设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．A 由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3. 由x 2＋x －2＞0⇔x ＜－2或x ＞1. 而(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，故选A.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( ) A.{}x |x<－1或x>－lg 2 B.{}x |－1<x<－lg 2 C.{}x |x>－lg 2 D.{}x |x<－lg 24．D ∵f(x)<0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，∴f(x)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x<12. ∴由f(10x )>0得，－1<10x <12，解得x<－lg 2.5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]6．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A.若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 6．A 由题意可得0∈A ，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，当a>0时无解，所以a<0，此时1－a 2>0，所以－1<a<0.抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而[x ＋a ，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x ＋a)<f(x)的解集是⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a2，所以 ⎣⎡⎦⎤－12，12⊆⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2， 所以⎩⎨⎧12a －a 2<－12，－12a －a 2>12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1<0，a 2＋a ＋1>0， 解得1－52<a<1＋52，又－1<a<0，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.7．设a ∈R ，若x ＞0，均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.7．【解析】 (1)当a ＝1时，不等式可化为对∀x ，x>0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立， ∴a≠1.(2)当a<1时，∵x>0，∴(a －1)x －1<0，则不等式可化为x>0时均有x 2－ax －1≤0.∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a<1不成立．(3)当a>1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)．∵a>1，∴f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f(x)<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f(x)>0.又∵二次函数g(x)＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g(x)＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合， 如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a＝0(舍去)． 综上可知a ＝32.【答案】 3203 基本不等式利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值．在复习时，注意利用基本不等式判断不等式是否成立(比较大小)，一般将所给不等式变形，使一侧为常数，另一侧利用基本不等式求解后判断． 【典例】1(1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3(2)设f(x)＝ln x ，0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r<pB ．p ＝r<qC ．q ＝r>pD ．p ＝r>q【解析】 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2，⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1， 则2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －2xy ＝2y ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝2y⎝⎛⎭⎫1－12y ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋1－12y 22＝1. (2)方法一：由题意知，p ＝f(ab)＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a ＋ln b)＝12ln ab ＝ln ab.又∵b ＞a ＞0，∴a ＋b2＞ab ＞0.∵函数f(x)＝ln x 为增函数，∴p ＝r ＜q ，故选B. 方法二(特值法)：令a ＝1，b ＝2，∴p ＝f(2)＝ln 2， q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32，r ＝12(ln 1＋ln 2)＝ln 2.∵2<32，∴ln 2<ln 32，∴p ＝r<q.【答案】 (1)B (2)B 【名师点睛】(1)含有三个变量，可以把其中一个变量用另两个变量来代替，借助基本不等式求最值； 解(2)时注意利用不等式与对数函数相结合，方法二是不等式常用的方法，特殊值法应灵活应用．利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C 将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 基本不等式的实际应用高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值． 【典例】2(1)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．(2)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． ①求炮的最大射程；②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解析】 (1)设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f(x)＝20xy ＋2(x ＋y)×1×10＝80＋80x ＋20x＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)． 所以f(x)≥20×2x·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元． (2)①令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．②因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0， 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，故关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0，即a≤6. 所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．, 【名师点睛】解(1)关键是列出函数关系式f(x)＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，利用基本不等式求最值； 题(2)①求炮的最大射程即求y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(x ＞0)与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；②求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 【针对训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 1．A 因为a ，b ＞0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)＝4(b ＋4a)·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4ab＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.923．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．23．A 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C(0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a×0＋b×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c)⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c>0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 4．已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8xy＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】 (－4，2)5．若当x>－3时，不等式a≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．5．【解析】 设f(x)＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x>－3，所以x ＋3>0， 故f(x)≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 【答案】 (－∞，22－3]6．已知实数x ，y 满足x －x ＋1＝y ＋3－y ，则x ＋y 的最大值为________． 6．【解析】 ∵x －x ＋1＝y ＋3－y. ∴x ＋y ＝x ＋1＋y ＋3≤2x ＋y ＋42，则(x ＋y)2≤2(x ＋y ＋4)，解得－2≤x ＋y≤4.∴x ＋y 的最大值为4. 【答案】 47．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?7．解：方法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 所以b ＝30－a2＋a (0<a<30)．所以ab ＝a×30－a 2＋a ＝30a －a 22＋a＝－a ＋32－642＋a＝34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≤34－2（a ＋2）·64a ＋2＝18.当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 达到最小值．此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 即2b ＋ab ＋a ＝30.因为a ＋2b≥22ab ， 所以30－ab ＝a ＋2b≥22ab. 所以ab ＋22ab －30≤0. 因为a>0，b>0，所以0<ab≤18， 当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18. 此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 【点击高考】1．（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4342．B 在平面直角坐标系中作出函数y ＝|log 2x|的图象如图所示，不妨设点A(x 1，m)，B(x 2，m)，C ⎝⎛⎭⎫x 3，82m ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x 4，82m ＋1，则0＜x 1＜1＜x 2，0＜x 3＜1＜x 4，此时有－log 2x 1＝m ，log 2x 2＝m ，－log 2x 3＝82m ＋1，log 2x 4＝82m ＋1，解得x 1＝⎝⎛⎭⎫12m ，x 2＝2m ，x 3＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x 4＝282m ＋1，线段AC 与BD 在x 轴上的投影长度分别为a ＝|x 1－x 3|＝，b ＝|x 2－x 4|＝⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋1， 则ba＝＝2m ＋82m ＋1，令t ＝m ＋82m ＋1(m ＞0)，则t ＝m ＋4m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m ＋12＋4m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当⎝⎛⎭⎫m ＋122＝4，即m ＝32时，t 取最小值为72，此时b a的最小值为8 2.3．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．3．【解析】 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2. 【答案】 2 24．(2013·天津，14，易)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 4．【解析】 ∵a ＋b ＝2， ∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋2b 4|a|×|a|b ＝a4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a ＜0，即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b 取得最小值．【答案】 －25．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 5．解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k3x ＋5，由C(0)＝8，得k ＝40，∴C(x)＝403x ＋5. 而隔热层建造费用为C 1(x)＝6x ， ∴f(x)＝20C(x)＋C 1(x)＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)方法一：f(x)＝8003x ＋5＋6x＝1 6006x ＋10＋6x ＋10－10 ≥21 6006x ＋10×（6x ＋10）－10＝70，当且仅当1 6006x ＋10＝6x ＋10，即x ＝5时取等号．∴当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用最小，最小值为70万元． 方法二：f′(x)＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0.故x ＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用达到最小，最小值为70万元．04 函数与方程函数零点的求解与判断 【知识分析】高考中对函数零点个数和所在区间的考查中“函数”往往是由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)或三角函数组合而成的，题目常以选择题或填空题的形式出现，体现数形结合思想的运用，难度不大． 【典例】1(1)若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b)和(b ，c)内 B ．(－∞，a)和(a ，b)内 C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内(2)函数f(x)＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 【解析】(1)易知f(a)＝(a －b)(a －c)，f(b)＝(b －c)(b －a)，f(c)＝(c －a)(c －b)．又a<b<c ，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b)和(b ，c)内． (2)令4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －||ln （x ＋1）＝0. ∴2sin x ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝||ln （x ＋1）， 即sin 2x ＝||ln （x ＋1）. 令y 1＝sin 2x ，y 2＝||ln （x ＋1）. 如图画出y 1，y 2的图象，结合图象可得y 1与y 2有两个交点， ∴方程有2个根． ∴函数f(x)有2个零点．【答案】 (1)A (2)2【名师点睛】解题(1)的依据是零点存在性定理；解题(2)的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解．1.函数f(x)＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．设函数f(x)(x ∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xco s(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．B ∵f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)的周期为2.如图画出f(x)与g(x)的图象，它们共有6个交点，故h(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为6.故选B.,判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y ＝h(x)与函数y ＝g(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断． 函数零点的应用高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质求其和、比较大小等问题，难度较大． 【典例】2.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g(x)＝b －f(2－x)，其中b ∈R .若函数y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎫0，74D.⎝⎛⎭⎫74，2 【解析】 由已知条件可得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧b －2＋|2－x|，x≥0，b －x 2，x ＜0.函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的图象如图所示： 要使y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，只需y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象恰有4个不同的交点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2＋x ，y ＝b －x 2在x ＜0时有两个不同的解，即x 2＋x ＋2－b ＝0有两个不同的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4（2－b ）＞0，2－b ＞0，解得74＜b ＜2；同时要满足{y ＝（x －2）2，y ＝b －2＋x －2在x ＞2时有两个不同的解，即x 2－5x ＋8－b ＝0有两个大于2的不同实根，令h(x)＝x 2－5x ＋8－b ，需⎩⎪⎨⎪⎧h （2）＞0，h ⎝⎛⎭⎫52＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，8－254－b ＜0，解得74＜b ＜2.综上所述，满足条件的b 的取值范围是74＜b ＜2.【答案】 D,已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【针对训练】1．函数f(x)＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，34C.⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(1，2)1．C 函数f(x)＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且f ⎝⎛⎭⎫34＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f(1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f(x)的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫34，1. 2．设函数f(x)的零点为x 1，g(x)＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f(x)可以是( ) A ．f(x)＝x 2－1 B ．f(x)＝2x －4 C ．f(x)＝ln(x ＋1) D ．f(x)＝8x －23．偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝－x ＋1，则关于x 的方程f(x)＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．C 依题意得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x ＋1)的解的个数是9.4．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a ＜1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1 C ．1－2－a D ．1－2a5．已知函数f(x)满足f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1，3]时，f(x)＝ln x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫0，12e C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1e D.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e5．C 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1，3]，f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈[1，3]，－ln x ，x ∈⎣⎡⎭⎫13，1，作出其图象，如图所示．设直线y ＝a 0x 与y ＝ln x(x ∈[1，3])的图象相切，其切点为(x 0，y 0)(x 0∈[1，3]，y 0∈[0，ln 3])， 则1x 0＝a 0⎝⎛⎭⎫a 0∈⎣⎡⎦⎤13，1， ∴x 0＝1a 0，∴y 0＝1，∴1＝ln1a 0，∴a 0＝1e.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，故曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，可知实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 33，1e ，故选C.6．已知函数f(x)＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________． 6．【解析】 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f(x)＝0，得a x ＝－x ＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1. 【答案】 －17．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是________．7．【解析】 令f(x)＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＜－1，a ＋b ＞－2.根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点与点(1，2)的连线的斜率，可知14＜b －2a －1＜1.【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，1 【点击高考】1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x<0，log a （x ＋1）＋1， x≥0(a>0，且a≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫341．C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，知0<a<1. 又由f(x)在R 上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧02＋（4a －3）·0＋3a≥f （0）＝1，3－4a 2≥0⇒13≤a≤34. 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>23时，令|x 2＋(4a －3)x ＋3a|＝2－x ， ∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x.又Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍)．当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件． 综上，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.选C.2．函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．B方法一：f(x)＝2x |log 0.5x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5x －1，0<x≤1，－2x log 0.5x －1，x>1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2x －1，0<x≤1，2x log 2x －1，x>1. ∵f(x)＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有1个零点．又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 22－1＝3>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上有1个零点， 故f(x)共有2个零点．方法二：易知函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数⇔方程|log 0.5x|＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x|与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有2个交点．3．函数f(x)＝xcos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．4．【解析】 当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪（x －1）2－12，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f(x)在[－3，4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.。
高中数学解题基本方法——待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
02、待定系数法
02、待定系数法确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
1A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－2【简解】由f(x)＝x2＋m求出f-1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2、二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －14【简解】：由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ；3、在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中，x 5的系数是_____。
A. －297B.－252C. 297D. 207【简解】分析x 5的系数由C5与(－1)C 2两项组成，相加后得x 5的系数，选D ； 4。
56代入两根得：497120-++-=⎨⎩()m n mn 解得：n =⎨⎩1或n =⎨⎩5 ∴ y ＝5431122x x x +++或者y ＝x x x 224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y 2－6y －7≤0，然后与不等式①比较系数而得：m n mn +=-=-⎧⎨⎩6127，解出m 、n 而求得函数式y 。
【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n 。
两种方法可以求解，一是视m 、n ：将y c b a a ⎧⎨⎪⎩⎪已知条件，将其转换成表达式。
待定系数法(通用)
发展趋势分析
算法优化
随着计算能力的提升，待定系数法在算法优 化方面将有更大的发展空间，以提高求解效 率和精度。
扩展应用领域
随着科学研究的不断深入，待定系数法有望在更多 领域得到应用，例如材料科学、生物医学等。
智能化发展
结合人工智能和机器学习技术，待定系数法 有望实现智能化求解，自动选择最优算法和 参数。
微分方程求解
在求解微分方程时，待定系数法 可以用于确定方程的解的形式， 通过设定待定系数，将微分方程 转化为代数方程组进行求解。
历史与发展
历史
待定系数法起源于18世纪，最初用于多 项式展开和函数展开。随着数学的发展 ，待定系数法逐渐扩展到更广泛的领域 ，如微分方程求解、变分法等。
VS
发展
近年来，随着数学研究的深入和应用领域 的拓展，待定系数法在解决复杂数学问题 方面取得了重要进展。同时，随着计算机 技术的发展，待定系数法的计算效率和精 度也得到了显著提高。
改进与优化建议
加强理论基础
进一步深入研究待定系数法的理论基础，提高方法的 可靠性和稳定性。
提高计算效率
优化算法和计算过程，减少计算时间和成本，提高计 算效率。
加强数据质量控制
严格控制数据来源和质量，确保数据具有较好的代表 性和可靠性，以提高模型拟合效果和准确性。
06 待定系数法的未来发展与 展望
02 待定系数法的基本原理
原理概述
1
待定系数法是一种数学方法，通过引入待定的系 数，将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题， 从而思想是将一个多项式表示为另一种 易于处理的形式，以便于求解多项式的根、因式 分解、求导等操作。
3
待定系数法广泛应用于数学、物理、工程等领域， 是解决复杂问题的一种有效手段。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
把握教材编写意图 适时“因材”和谐施教――浅谈待定系数法在教学中的应用日照市莒县第一中学 许慎德自2004年起，我校开始使用人教版B 版数学教材，到现在已经完成了必修1至必修5，另外理科已完成选修2-1和2-2，文科已完成选修1-1。
这套教材给我们的感觉是好用、实用。
教材编写以人为本，符合学生的年龄特点，遵循学生的认知规律，如三角函数在必修2中讲，在必修4中再讲，必修5中仍然讲，循序渐进，由浅入深。
当然人教版B 版数学教材的体例、结构和特色方面，远不止这些。
本文拟在通性通法方面，谈谈我们的认识。
《数学课程标准》中明确指出：“学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。
评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆。
模仿以及复杂技巧”所以，对数学基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。
人教版B 版数学教材的编写，在这方面，就是这样做的。
下面，结合待定系数法，谈一下我们在教学中的体会。
一、待定系数法在函数中——“有心”插柳柳成荫待定系数法作为单独的自然节，出现在必修1第二章中。
作为一种数学方法，待定系数法在数学中的应用是广泛的和重要的。
教材中，待定系数法是在求函数表达式的过程中引入的，并指出“这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法”。
待定系数法在函数中的应用，主要体现在求函数的表达式上，但这类题型，必须知道函数的一般形式，才能解答，如必修1第2.2.3节习题A 第2题,第3题,练习B 第2题,章末小结中巩固与提高第15题.下面再举例说明.例1设二次函数满足f(x -2)=f(-x -2)，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得线段长为22，求f(x)的表达式.分析：设所求f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，且与x 轴交点横坐标为x 1，x 2，则c=1 ①， f(x -2)=ax 2-(4a-b)x+4a-2b+c ，f(-x -2)=ax 2+(4a-b)x+4a-2b+c ，由f(x -2)=f(-x -2)得b=4a ②（或由二次函数的对称性可知对称轴x=-2，即﹣b 2a=-2，得b=4a) 又在x 轴上的截距为22，∴|x 1-x 2|=22，∴(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2=22，∴b 2-4ac |a|=2 2 ③ 由①得b 2-4a=8a 2，∴b 2-b=b 22，∴b=2或b ＝0（舍去因b=0，a=0），∴a=12，∴f(x)=12x 2+2x+1(x ∈R).待定系数法是求函数的解析式的一种重要方法之一，解题时要熟悉基本函数，基本曲线的表达式，才能正确设立参数. 同时，常常用到“多项式相等，同次项系数相等”这一定理。
二、待定系数法在求数列中——二月春风似剪刀在必修5《数列》结束后，我们安排了一次“研究性课题”.内容选取的是该章前面介绍的“兔子数列”，即斐波那契数列。
下面介绍一下：例2 一对小兔子，一个月后成长为一对成年兔子，又一个月后生出一对小兔子，再过一月后，小兔子成长为成年兔，成年兔又生出一对小兔子，以此规律，每过一个月小兔子成长为成年兔，成年兔生出一对小兔子。
这样每个月兔子的个数，依次可排成数列，请探究此数列的通项公式。
学生对这一研究课题比较感兴趣，并提出了一些创造性方法，其中有些同学将待定系数法引入这一领域，并得到许多了有价值的结果。
下面是一个同学用待定系数法的探究思路。
21321,2,1,1--=====n n n a a a a a a ， ∴可设)(21---=-n n n n a a a a βαβ， ∴ 21)(---+=n n n a a a αββα，∴ βα+=1，αβ=－１ ，∴α，β为012=--x x 的两根.∴当α=251+，β=251-， ∴211251251-------n n n n a a a a =251+， ∴{-n a 251-1-n a }为等比数列，首项为-1a 251-=251+， ∴ -n a 251-1-n a =，n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251 ∴当α=251-，β=251+时，得-n a 251+1-n a =，n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251 ∴消去1-n a ，即得n a .这次研究课题性得到的结果为：一般地，若012=++++n n n ca ba aa 可用待定系数法写成)(112n n n n a a a a -=-+++αβ或)(112n n n n a a a a -=-+++βα两种形式，则{}12++-n n a a β及{}12++-n n a a αβ都是等比数列。
分别求之，再直接联立解出a n 即可。
这里α，β是方程02=++c bx ax 的两个不相等的实数根，其一般形式为 ①当α≠β时n a =A αn + B βn ；②当α=β时n a =（An + B ）αn .求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。
通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
三、待定系数法在不等式中——梦里不知身是客在不等式中，利用待定系数法解决问题的例子也很多，如在必修5第3.5.2简单线性规划一节的思考与讨论中,安排了这样一道题目:例3“题目：已知by ax b a f +=),(，如果1≤f ()1,1≤２，且-1≤f ()1,1-≤1，试求)1,2(f 的取值范围。
用下面的方法求解本题，错在哪里？从中应该吸取什么？请你用正确的解法求解。
” 这道题目的正确解法有很多，常见的为利用线性规划求解。
下面介绍利用待定系数法求解。
这对培养学生的创造精神和探究能力很有好处。
分析 因为 b a f +=)1,1(，b a f -=-)1,1(，b a f +=2)1,2(，设)1,1()1,1()1,2(-+=f f f μλ，则，b a b a )()(2μλμλ-++=+，⎩⎨⎧=-=+∴12μλμλ ，23=∴λ，21=μ， )1,1(21)1,1(23)1,2(-+=∴f f f . 又因为１≤f ()1,1≤２，-1≤f ()1,1-≤1≤1，∴1≤)1,2(f 1≤4.这道题目是一类典型题，对这类问题的求解关键一步是，找到f(2，1)的数学结构，然后依其数学结构特征，利用待定系数法将f(2，1)用f(1，-1)与f(1，1)的表达式来表达，求出待定系数，然后利用不等式的基本性质即可获得解答.四、待定系数法在立体几何及向量中——柳暗花明又一村在向量中，有关证明或计算如果引入参数利用待定系数法常常会起到意想不到的效果,使问题变得清楚易懂如必修4第2.4.1节向量在几何中的应用中例2、例3等。
在立体几何及平面向量中的有关探索性问题中，待定系数法也常常用到。
下面再通过一个立体几何题目作进一步的说明。
例4在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，BB 1=4，BE ⊥B 1C 交CC 1于E ，（1）求证：直线A 1C ⊥直线BE ；（2）求直线A 1B 与平面BDE 所成角的余弦值；（3）在底面对角线AC 上是否存在一点P ，使CP ∥平面BDE.若存在，确定P 点的位置；若不存在，请说明理由.分析： (1)略(2)略(3)设点P 的坐标为(X,Y 、0),则C 1P =（x ，y-3，-4），设BD 与AC 交点为F ，则F （3/2，3/2，0），EF=（3/2，-3/2，-9/4）.∵C 1P ∥平面BDE ，∴C 1P ∥EF ，∴存在λ使C 1P =λEF ，即（x ，y-3，-4）=λ（3/2，-3/2，-9/4），∴x=3λ/2，y-3=-3λ/2，-4=-9λ/4，∴λ=16/9，x=8/3，y=-3/2×16/9+3=1/3，∴P （8/3，1/3，0）、|AP ︴=√2/3，∴，当点P 在AC 上，且距A 点为√2/3时，C 1P ∥平面DEF.五、待定系数法在解析几何中——春宵一刻值千金圆锥曲线中，参数的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，常常用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.如必修2第2.2.3节直线的位置关系例2求直线的方程;第2.3.2节圆的一般方程例2,练习题第1第24题选修2-1第二章圆锥曲线与方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，下列再介绍两个例子.例6 求过直线l 1:2x ﹣3y+2=0与l 2:3x ﹣4y ﹣2=0的交点且与直线4x+y ﹣4=0平行的直线方程.分析：设所求直线的方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0 (*),即(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0.∵所求与4x+y-4=0平行,∴有2+3λ=4(-3-4λ),∴λ=﹣1419.代入(*)式有4x+y-66=0. 待定系数法是解决过两条直线交点的直线系的基本方法之一.过已知两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系一般有三种设法：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)+λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(λ1,λ2是不同时为0的参数)；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(不含直线A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，λ为参数)；③A 2x ＋B 2y ＋C 2＋λ(A 1x ＋B 1y ＋C 1)=0(不含直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，λ为参数).例7求焦点F(0,52),截直线y=2x-1所得弦中点的横坐标是27的椭圆标准方程. 分析：设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∴c=52,即a 2-b 2=50…①, 将y=2x-1代入椭圆方程中得x 2a 2+(2x-1)2b 2=1,∴(4b 2+a 2)x 2-4b 2x+b 2(1-a 2)=0, ∵x 1+x 22=27=2b 24b 2+a 2,∴a 2=75,b 2=25,∴所求椭圆方程为x 275+y 225=1. 待定系数法在教材中的应用，还有许多。
“导数”中求切线的方程，求函数的解析式；在“推理与证明”中的探索性问题如“是否存在a 、b 、c ，使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n＋1)2=n(n+1)12(an 2＋bn ＋c )对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.”；“三角函数”中求解析式问题等，在此不再赘述。