八下《正方形》提优复习 含答案
八年级数学正方形专题训练卷(附答案)
八年级数学正方形专题训练卷（附答案）一、单选题1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A. B. C. D.3.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 196.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个7.正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题9.在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为________ （用含n的代数式表示，n为正整数）．10.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．11.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=________ 度.12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ________．13.如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是________ .14.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________ ．（请写出正确结论的序号）．15.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为________ .16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有________ 个.17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ________．18.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是 ________，S3的值为 ________．19.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为________ .20.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ________．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．四、综合题23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上;（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．24.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F 两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．25.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．答案一、单选题1. B2. D3. C4. C5. B6. C7. D8. D二、填空题9. 22n﹣310. 11. 22.512. 45° 13. 90° 14. ①②15. 16. 9 17. 30°18. 3；19. 20. 8三、解答题21. 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．22. 解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．四、综合题23. （1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．24. （1）【解答】证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP=．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=×=．由1知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF=﹣=．25. （1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）解：∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．。
最新（人教版）八年级数学下册《正方形》测试卷及答案
最新（⼈教版）⼋年级数学下册《正⽅形》测试卷及答案正⽅形⼀、选择题(每⼩题4分,共12分)1.如图是⼀张矩形纸⽚ABCD,AD=10cm,若将纸⽚沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm2.(2013·凉⼭州中考)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正⽅形ACEF的周长为( )A.14B.15C.16D.173.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的⾯积为8,则BE=( )A.2B.3C.2D.2⼆、填空题(每⼩题4分,共12分)4.如图正⽅形ABCD与正三⾓形AEF的顶点A重合,将△AEF绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的⼤⼩可以是.5.如图,已知正⽅形ABCD的边长为1,连接AC,BD,相交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= .6.(2013·绵阳中考)对正⽅形ABCD进⾏分割,如图1,其中E,F分别是BC,CD的中点,M,N,G分别是OB,OD,EF的中点,沿分化线可以剪出⼀副“七巧板”,⽤这些部件可以拼出很多图案,图2就是⽤其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的⾯积为1,则“飞机”的⾯积为.三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·黔东南州中考)如图,在正⽅形ABCD中,点M是对⾓线BD上的⼀点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点 F.求证:AM=EF.8.(8分)如图,△ABC是等腰直⾓三⾓形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的⼀动点,且满⾜BP=AQ,D是BC的中点.(1)求证:△PDQ是等腰直⾓三⾓形.(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正⽅形,并说明理由.【拓展延伸】9.(10分)在正⽅形ABCD中,点P是CD边上⼀动点,连接PA,分别过点B,D作BE ⊥PA,DF⊥PA,垂⾜分别为E,F,如图①.(1)请探究BE,DF,EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P在DC的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间⼜具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论.(2)就(1)中的三个结论选择⼀个加以证明.答案解析1.【解析】选A.∵四边形CEFD是正⽅形,AD=BC=10cm,BE=6cm,∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三⾓形,∴AC=AB=4,∴正⽅形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×4=16.3.【解析】选C.过B点作BF⊥CD,与DC的延长线交于点F,则有△BCF≌△BAE,∴BE=BF,四边形BEDF是正⽅形,∴S四边形ABCD=S正⽅形BEDF=8,∴BE==2.4.【解析】由SSS知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,当△AEF在正⽅形内部时,∠BAE=15°,当△AEF在正⽅形外部时,如图∠BAE+∠DAF=330°,∴∠BAE=165°.答案:15°或165°5.【解析】过E作EF⊥DC于点F.∵四边形ABCD是正⽅形,∴AC⊥BD.∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF.∵正⽅形ABCD的边长为1,∴AC=,∴CO=AC=.∴CF=CO=,∴EF=DF=DC-CF=1-,∴DE==-1.答案:-16.【解析】连接AC,四边形ABCD是正⽅形,AC⊥BD,E,F分别是BC,CD的中点,EF ∥BD,AC⊥EF,CF=CE,△EFC是等腰直⾓三⾓形,直线AC是△EFC底边上的⾼所在直线,根据等腰三⾓形“三线合⼀”,AC必过EF的中点G,点A,O,G和C在同⼀条直线上,OC=OB=OD,OC⊥OB,FG是△DCO的中位线,OG=CG=OC,M,N分别是OB,OD的中点,OM=BM=OB,ON=DN=OD,OG=OM=BM=ON=DN=BD,等腰直⾓三⾓形GOM的⾯积为1,OM·OG=OM2=1,OM=,BD=4OM=4,2AD2=BD2=32,AD=4,图2中飞机⾯积等于图1中多边形ABEFD的⾯积,飞机⾯积=正⽅形ABCD的⾯积-三⾓形CEF的⾯积=16-2=14.答案:147.【证明】如图,过点M作MP⊥AB于点P,过点M作MQ⊥AD于点Q.∵四边形ABCD是正⽅形,∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正⽅形,四边形APMQ是矩形,∴AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,∵在△APM和△FME中,∴△APM≌△FME(SAS),∴AM=EF.8.【解析】(1)连接AD.∵△ABC是等腰直⾓三⾓形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,⼜∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直⾓三⾓形.(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正⽅形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直⾓三⾓形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,⼜∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,⼜∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正⽅形.9.【解析】(1)在图①中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:BE-DF=EF;在图②中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF;在图③中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF+BE=EF.(2)答案不唯⼀.对图①中结论证明如下:∵BE⊥PA,DF⊥PA,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵四边形ABCD是正⽅形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°,∴∠BAE=∠ADF,∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF,AE=DF,∵AF-AE=EF,∴BE-DF=EF.。
人教版2019年八年级数学下册正方形精选练习（含答案）
2019年八年级数学下册正方形精选练习一、选择题1.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A.45°B.30°C.60°D.55°2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )A.2B.C.D.13.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A.2B.2C.2D.4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1,若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是( )A.1B.C.D.5.如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A. B.6 C. D.7.如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论:①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.49.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A.4B.2C.2D.210.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点D在CG边上，AB=4，EF=8，连接BD并延长交EC于点T，交FG于点P，则GT的长为（）A.2B.C.2D.1二、填空题11.如图，E为正方形ABCD外一点，AE=DE=3，∠AED=45°，则BE的长为.12.如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，连接BE、BF、DE、DF，则下列结论中一定成立的是______(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE；②∠ABO=2∠ABE；③4S△AED =S△ACD；④四边形BFDE是菱形.13.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．14.如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ．15.将边长为2的正方形OABC如图放置,O为原点.若∠α=15°,则点B的坐标为 .16.如图,正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,延长BA至点F,使BF=AC,连接DF,∠DBA的平分线交DF于点P,连接PA、PO，如果AB=，那么PA2+PO2= ．三、解答题17.如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=150.（1）求证：DF＋BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积.18.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．19.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.20.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．21.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．答案1.A2.B3.A4.D5.C6.A7.C；8.C；9.A10.C11.答案为：3.12.答案为：①③④.13.答案为：514.15.答案为：16.解：∵四边形ABCD为正方形，BF=AC，AB=，∴BF=AC=AB=2，BC=AD，∴AF=BF﹣AB=2﹣，BF=BD．∵BP平分∠DBA，∴点P为DF的中点．∵四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD相交于点O，∴∠BAD=90°，点O为BD中点，∴PO为△DFB的中位线，∴PO=BF=1．∵∠DAF=180°﹣∠BAD=90°，点P为DF的中点，∴PA=DF==，∴PA2+PO2=2﹣+1=3﹣．故答案为：3﹣．17.解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB＋BE=DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°－∠DAF=75°，∴∠EFC=180°－∠DFA－∠AFE=180°－75°－75°=30°，∴∠EFC=30°（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，∴BE=1，CE=－1，∵∠EFC=30°，∴CF=3－，∴S△CEF=CE•CF=2－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF =S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF=S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF =（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）=3－.18.19. (1)略；(2)AE⊥CG；20.21.（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．。
人教版初中数学中考专题复习-正方形(含答案)
正方形7. 如图所示，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．8. 如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm．9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，点H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题（共2小题；共26分）11. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．答案第一部分1. B2. C3. A4. D5. C第二部分6. 有一个角是直角或对角线相等7. 28. 129. √510. 12第三部分11. （1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=90∘，∠DAF+∠FAB=∠BAM+∠AMB=90∘，∴∠AMB=∠EAF．又EF⊥AM，∴∠AFE=90∘，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA．（2）∵∠B=90∘，AB=12，BM=5，∴AM=√122+52=13，AD=12．∵F是AM的中点，∴AF=12AM=132．∵△ABM∽△EFA，∴BMAF =AMAE，即5132=13AE，∴AE=16.9，∴DE=AE−AD=4.9．12. （1）过点O作OM⊥AB于点M．∵正方形OECF，∴OE=EC=CF=OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F．∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E．∴OM=OE=OF．∴点O在∠BAC的平分线上．（2）∵Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，∴AB=13．易证△BMO≌△BEO，△AMO≌△AFO．∴BE=BM，AM=AF．又BE=BC−CE，AF=AC−CF，而CE=CF=OE，故BE=12−OE，AF=5−OE．显然BM+AM=AB，即BE+AF=13，12−OE+5−OE=13．解得OE=2．。
中考数学总复习《正方形》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《正方形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________．2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；(4)若OA＝4，则正方形ABCD 的面积是________，周长是________．第2题图知识逐点过考点1 正方形的性质及面积边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角1.对角线相等且互相①________；对角线2．每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点面积公式S＝a2＝12l2【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形考点2 正方形的判定边1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形角有一个角是⑤________的菱形是正方形对角线1.对角线⑥________的矩形是正方形；2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形考点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看考点4 中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半教材原题到重难考法与正方形有关的证明与计算例如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．例题图变式题1. 结合角度求线段长如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时求AF的长．第1题图2. 过点F作AB边的垂线如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．第2题图3. 过点F分别作AB，BC边的垂线如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.(1)求证：EG＝DF；(2)若正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°，求DF的长．第3题图真题演练命题点正方形性质的相关计算1. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM ＝1∶4.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第2题图基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________ 使得矩形ABCD为正方形．6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A. 23B. 352 C. 5＋1 D. 10第11题图12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第12题图13. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF >∠BAF ，连接BE .设∠BAF ＝α，∠BEF ＝β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1∶n ，tan α＝tan 2β，则n ＝( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2第13题图参考答案1. (1)AC ＝BD ，且AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)； (2)AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)∠ABC ＝90°(答案不唯一)【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，22 ；(4)32，162 . 教材原题到重难考法例 解：△ABC ≌△ADC ，△ABF ≌△ADF ，△CDF ≌△CBF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝45° 在△ABC 和△ADC 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC ＝∠DAC AC ＝AC∴△ABC ≌△ADC (SAS) 在△ABF 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAF ＝∠DAF AF ＝AF∴△ABF ≌△ADF (SAS) 在△DCF 和△BCF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ∠DCF ＝∠BCF CF ＝CF∴△DCF ≌△BCF (SAS).(选择其中任意一对证明即可) 1. 解：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45° ∵∠CBF ＝22.5°∴∠ABF ＝∠ABC －∠CBF ＝90°－22.5°＝67.5°∴∠AFB ＝180°－∠BAC －∠ABF ＝180°－45°－67.5°＝67.5° ∴∠ABF ＝∠AFB ∴AF ＝AB ＝4.2. 解：如解图，连接BF第2题解图∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°∵EF⊥AB∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4∴BF＝BE2＋EF2＝25∵正方形ABCD关于AC对称∴DF＝BF＝25.3. (1)证明：如解图，连接FB.∵四边形ABCD为正方形∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC∵AF＝AF∴△DAF≌△BAF∴DF＝BF∵四边形ABCD为正方形∴∠ABC＝90°∵FG⊥BC，FE⊥AB∴∠FGB＝∠FEB＝90°∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°∴四边形FEBG是矩形∴EG＝FB∴EG＝DF；(2)解：∵正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°∴BC＝3＋3∴BG＝BC－CG＝3＋3－CG∵∠BGE＝30°∴BG＝3BE∵AC为正方形ABCD的对角线∴∠DCF＝∠BCF＝45°∵FG⊥BC∴∠FGC＝∠FGB＝90°∴∠CFG＝45°∴FG＝CG∵四边形FEBG是矩形∴EB＝FG∴FG＝CG＝EB设FG＝CG＝EB＝x∴GE＝2x∴BG＝3BE＝3x∵BG＝BC－CG＝3＋3－x∴3＋3－x＝3x∴x＝3∴GE＝2x＝23∴DF＝BF＝GE＝23.第3题解图知识逐点过①垂直平分②对角线③直角④相等⑤直角⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等真题演练1. C 【解析】∵四边形EFGB 是正方形，EB ＝2，∴FG ＝BE ＝2，∠FGB ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，H 为AD 的中点，∴AD ＝4，AH ＝2，∠BAD ＝90°，∴∠HAN ＝∠FGN ，AH ＝FG ，∵∠ANH ＝∠GNF ，∴△ANH ≌△GNF (AAS)，故①正确；∴∠AHN ＝∠HFG ，∵AG ＝FG ＝2＝AH ，∴AF ＝2 FG ＝2 AH ，∴∠AFH ≠∠AHF ，∵AD ∥FG ，∴∠AHF ＝∠HFG ，∴∠AFN ≠∠HFG ，故②错误；∵△ANH ≌△GNF ，∴AN ＝12 AG ＝1，∵GM＝BC ＝4，∴AH AN ＝GM AG＝2，∵∠HAN ＝∠AGM ＝90°，∴△AHN ∽△GMA ，∴∠AHN ＝∠AMG ，∠MAG ＝∠HNA ，∴AK ＝NK ，∵AD ∥GM ，∴∠HAK ＝∠AMG ，∴∠AHK ＝∠HAK ，∴AK ＝HK ，∴AK ＝HK ＝NK ，∵FN ＝HN ，∴FN ＝2NK ；故③正确；∵延长FG 交DC 于M ，∴四边形ADMG 是矩形，∴DM ＝AG ＝2，∵S △AFN ＝12 AN ·FG ＝12 ×2×1＝1，S △ADM＝12 AD ·DM ＝12×4×2＝4，∴S △AFN ∶S △ADM ＝1∶4，故④正确． 2. 15 【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝12 (EJ ＋FL )·EF ＝12(1＋4)×6＝15.第2题解图基础过关1. B2. D 【解析】如解图，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12 BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第2题解图3. C 【解析】 ∵边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，∴OB ＝BC ＝3，∴C (3，3).4. A 【解析】如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠EAF ＝45°.在△GAE 和△F AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ∠GAE ＝∠F AE AE ＝AE ，∴△GAE ≌△F AE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG .∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2(90°－α)＝2α.第4题解图5. AB ＝BC (答案不唯一，符合条件即可，如：AC ⊥BD ) 【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB ＝BC ；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC ⊥BD .6. 2 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥BC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝2，AD ∥BC ，∴EF ＝AB ＝2，∴S △BCE ＝12 BC ·EF ＝12×2×2＝2.∵S 正方形ABCD ＝BC 2＝22＝4，∴S阴影＝S 正方形ABCD －S △BCE ＝4－2＝2.第6题解图7. 2 【解析】如解图，依题意得OD ＝22 AD ＝22 ，OE ＝12OD ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为OE 2＝(2 )2＝2(dm 2).第7题解图8. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第8题解图9.172【解析】∵CE ＝7，△CEF 的周长为32，∴CF ＋EF ＝32－7＝25.∵点F 为DE 的中点，∴DF ＝EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，∴CF ＝EF ＝DF ＝252，∴DE ＝25，∴在Rt △DCE 中，CD ＝DE 2－CE 2 ＝24，∴BC ＝CD ＝24.∵点O 为BD 的中点，∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF ＝12 (BC －CE )＝12 (24－7)＝172 .10. (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB ＝AD ，∠A ＝∠D ＝90°. ∵MF ∥AD ∴∠DFM ＝90° ∴四边形ADFM 为矩形 ∴MF ＝AD ＝AB . ∵MN 垂直平分BE ∴∠BOM ＝90° ∴∠ABE ＋∠BMO ＝90°. ∵∠FMN ＋∠BMO ＝90° ∴∠ABE ＝∠FMN . 在△ABE 和△FMN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠MFN AB ＝FM ∠ABE ＝∠FMN∴△ABE ≌△FMN (ASA)； (2)解：如解图，连接ME . ∵MN 垂直平分BE ∴ME ＝BM .设BM ＝x ，则AM ＝8－x ，ME ＝x .在Rt △AME 中，由勾股定理得ME 2＝AE 2＋AM 2，即x 2＝62＋(8－x )2. 解得x ＝254 ，即BM ＝254.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝62＋82 ＝10. ∵∠MBO ＝∠EBA ，∠MOB ＝∠A ∴△BOM ∽△BAE ∴OM AE ＝BMBE∴OM ＝AE ·BM BE ＝6×25410 ＝154 .由(1)知△ABE ≌△FMN ∴MN ＝BE ＝10∴ON ＝MN －OM ＝10－154 ＝254.第10题解图11. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，CD ∥AB ，CD ＝AB .∵EF ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴AE EC ＝AF FB .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AE EC ＝21 .∵CD ∥AB ，∴CD ∥AG ，∴∠DCE＝∠GAE ，∠CDE ＝∠AGE ，∴△DCE ∽△GAE ，∴AG CD ＝AE CE ＝21，∴AG ＝2CD ，∴CD ＝AB ＝BG .∵∠DCM ＝∠GBM ＝90°，∠DMC ＝∠GMB ，∴△DCM ≌△GBM (AAS)，∴DM＝GM ＝12 DG .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AB ＝3.∵AD ＝AB ＝3，∴AG ＝6，∴在Rt △DAG 中，DG ＝32＋62 ＝35 ，∴MG ＝352.12. B 【解析】 如解图，延长AE 交BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，AD ∥BC ，∴△ADE ∽△HBE ，∴AD HB ＝DEBE ，∵DE ＝3BE ，∴AD ＝3HB ，∴AB ＝3HB ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AH ＝AB 2＋HB 2 ＝10 HB ，∴sin ∠BAE ＝HB AH ＝1010 ，①错误；如解图，过点E 分别作AB ，CD 的垂线，交AB ，CD 于点M ，N ，∴∠AME ＝∠ENF ＝90°，∴∠AEM ＋∠MAE ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEM ＋∠NEF ＝90°，∴∠MAE ＝∠NEF ，∵∠MBE ＝45°，∴MB ＝ME ，∵AB ＝MN ，∴AM ＝EN ，∴△AME ≌△ENF ，∴AE ＝EF ，∵∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，②正确；∵△AME ≌△ENF ，∴ME ＝NF ＝MB ，∵BE ＝2 ME ，∴CF ＝2ME ＝2 BE ，∵DE ＝3BE ，∴BD ＝4BE ，∴CD ＝22BD ＝22 BE ，∴CD ＝2CF ，∴点F 为CD 的中点，③正确；∵点F 为CD 的中点，∴DF ＝12 CD ＝12 AB ，∵AB ∥CD ，∴△FDG ∽△ABG ，∴DG BG ＝DF AB ＝12 ，∴DG ＝13 BD ，GB ＝23 BD ，设BE ＝x ，则DE ＝3x ，BD ＝4x ，∴DG ＝43 x ，GB ＝83 x ，∴GE ＝GB －BE ＝53 x ，∴BE ＋DG ＝73 x ≠GE ，④错误．第12题解图13. C 【解析】设BF ＝a ，AF ＝b ，则AB ＝a 2＋b 2 ，EF ＝b －a ，∴tan α＝tan ∠BAF ＝BFAF＝a b ，tan β＝tan ∠BEF ＝BF EF ＝a b －a .∵正方形EFGH ∽正方形ABCD ，∴S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝(EFAB )2＝EF 2AB 2 ＝（b －a ）2a 2＋b 2 ＝1n .∵tan α＝tan 2β，∴a b ＝a 2（b －a ）2 .∴(b －a )2＝ab ，b 2＋a 2－2ab ＝ab ，∴a 2＋b 2＝3ab ，∴n ＝a 2＋b 2（b －a ）2＝a 2＋b 2ab ＝3abab ＝3.。
2019年精选初中八年级下册数学2.7 正方形湘教版课后练习-含答案解析八十一
2019年精选初中八年级下册数学2.7 正方形湘教版课后练习-含答案解析八十一第1题【单选题】在平面几何中，下列命题为真命题的是( )A、四边相等的四边形是正方形B、四个角相等的四边形是矩形C、对角线相等的四边形是菱形D、对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】：【解析】：第2题【单选题】在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A、AC⊥BDB、AB∥CDC、∠A=90°D、∠A=∠C【答案】：【解析】：第3题【单选题】正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角都是直角B、对角线互相垂直C、对角线相等D、两对角线将其分割的四个三角形面积相等【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B，C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE＝x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：下列说法不正确的是( )A、一组邻边相等的矩形是正方形B、有一个角是直角的平行四边形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、对角线相等的菱形是正方形【答案】：【解析】：第6题【单选题】下列命题，其中正确命题的个数为( )（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】：【解析】：△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D ，OE⊥AC于E ，OF⊥AB 于F ，且AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为( ).A、2cm，2cm，2cmB、3cm，3cm，3cmC、4cm，4cm，4cmD、2cm，3cm，5cm【答案】：【解析】：第8题【单选题】给出下列判断：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中，不正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】：【解析】：第9题【填空题】如图，直线l1：y=2x﹣6与两坐标轴分别交于A、B两点，点M在直线l1上，且到两坐标轴的距离相等．现将直线l1绕点M按顺时针方向旋转得到直线l2 ，当直线l2与直线l1第一次成45^o夹角时，直线l2的函数表达式为______．【答案】：【解析】：第10题【填空题】如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为______.【答案】：【解析】：第11题【综合题】四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF＝3，AB＝7，最新教育资料精选求指出旋转中心和旋转角度;求DE的长度;BE与DF的位置关系如何?请说明理由.【答案】：无【解析】：11 / 11。
初中数学中考模拟数学提优专题：《正方形的判定与性质》(含答案).docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，等腰直角三角形ABC分别沿着某条直线对称得到图形b，c，d．若上述对称关系保持不变，平移△ABC，使得四个图形能够围成一个不重叠且无缝隙的正方形，此时点B的坐标和正方形的边长为（）A． B．（1，﹣1），2C． D．试题2:如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）评卷人得分A．四边形AEDF一定是平行四边形B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形试题3:如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC ＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④试题4:如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34C．36 D．40试题5:如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（）A．7 B．8C．9 D．14试题6:直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，DC＜AB，AB＝AD＝12，E是边AD上的一点，恰好使CE＝10，并且∠CBE＝45°，则AE的长是（）A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7试题7:正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形试题8:如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25C．26 D．36试题9:如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2C．4 D．8试题10:如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形试题11:．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（）A．矩形 B．菱形C．正方形 D．无法判断试题12:已知，如图一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是（）A．12 B．13C．14 D．15试题13:在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝10，点E在AB上，BE＝6且∠DCE＝45°，则DE的长为．试题14:小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．试题15:如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E、F分别在边AB、AD上，CE与BF相交于点G，BE＝AF．线段BG的垂直平分线交BE于点H，且∠EHG＝54°．若∠EGH＝m o，则m＝．试题16:如图所示，多边形ABCFDE中，AB＝8，BC＝12，ED+DF＝13，∠EDF是直角，AE＝CF，则多边形ABCFDE的面积是．试题17:现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是（填写图形的形状）（如图），它的一边长是．试题18:如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝．试题19:四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DE FG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．试题20:如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．试题1答案:D解：根据图形可知，AB＝1，BC＝1，∴移动后，点B的横坐标与纵坐标的长度都是，又点B移动后位于第四象限，∴此时点B的坐标为（，﹣）．正方形的边长为试题2答案:B解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，∠ADB＝∠CDM，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM＝AB，又∵∠DAB＝∠CA D，∠DAB＝∠CMD，∴∠CMD＝∠CAD，∴CA＝CM＝AB，因AD平分∠A∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角∴不能判定四边形AEDF是正方形；C、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；D、若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，正确．故选：B．试题3答案:C解：根据已知条件不能推出OA＝OD，∴①错误；∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥EF，∴②正确；∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE＝AF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；∵AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；∴②③④正确，故选：C．试题4答案:B解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是：×＝34，故选：B．试题5答案:A解：如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积﹣4个小三角形的面积＝3×3﹣4×1×1÷2＝7．故选：A．试题6答案:B．解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，∵∠A＝∠D＝90°，AB＝AD，∴四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则AE＝FG，BE＝BG，∠ABE＝∠FBG，∵∠CBE＝45°，∴∠CBG＝∠CBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBE＝∠CBG，在△CBE和△CBG中，，∴△CBE≌△CBG（SAS），∴CE＝CG，∴AE+CF＝FG+CF＝CG＝CE，设AE＝x，则DE＝12﹣x，CF＝10﹣x，∴CD＝12﹣（10﹣x）＝x+2，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即（x+2）2+（12﹣x）2＝102，整理得，x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6，所以AE的长是4或6．故选：B．试题7答案:C解：连接AC、BD，交于O，∵正方形ABCD，∴AC＝BD，AC⊥BD，∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF＝BD，EH＝AC，∴EF＝EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是正方形．故选：C．试题8答案:B解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b﹣a）＝24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b﹣a）2＝a2﹣3，②将①②联立解方程组可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．试题9答案:C解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．试题10答案:B解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．试题11答案:B证明：∵MN垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOM＝90°，又∵AD∥BC，∴∠MAC＝∠NCA，在△AOPM和△CON中，，∴△AOPM≌△CON，∴OM＝ON，∴AC和MN互相垂直平分，∴四边形ANCM是菱形；故选：B．试题12答案:C．解：作CF⊥AB于点F，设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得：DE＝，而整数部分是4，∴最下边一排是4个正方形．第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．则＝，解得GH＝，而整数部分是3，∴第二排是3个正方形；同理：第三排是：3个；第四排是2个，第五排是1个，第六排是1个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+1＝14．故选：C．试题13答案:8.5．解：如图，∵AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，∴∠A＝90°，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵AB＝BC＝10，∴四边形ABCG是正方形，∴∠BCG＝90°，BC＝CG，∵∠DCE＝45°，∴∠DCG+∠BCE＝45°，延长AB到BH使BH＝DG，在△CDG与△CHB中，，∴△CDG≌△CHB（SAS），∴CH＝CD，∠BCH＝∠GCD，∴∠DCE＝∠HCE，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS），∴DE＝EH＝BE+DG，在过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝10﹣x，DE＝x+6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（10﹣x）2+42＝（x+6）2，解得x＝2.5．∴DE＝2.5+6＝8.5．试题14答案:20，解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40°，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，试题15答案:63．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠CBE＝90°，∵BC＝AB，BE＝AF，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴∠ABF＝∠BCE，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠BGC＝∠EGB＝90°，∵点H在线段BG的垂直平分线上，∴HB＝HG，∴∠HGB＝∠HBG，∵∠EHG＝∠HBG+∠HGB＝54°，∴∠HGB＝∠HBG＝27°，∴∠EGH＝90°﹣27°＝63°，∴m＝63，试题16答案:57.75．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8＝20，小正方形的边长ED+DF＝13，∴多边形ABCFDE的面积＝（大正方形的面积﹣小正方形面积）＝（202﹣132）＝57.75．故答案为：试题17答案:正方形， cm．：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，∴AB＝AC＝8，∴阴影正方形的边长＝AB＝8 cm．故答案为：试题18答案:（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝A G，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3；故答案为：3．试题19答案:（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当D E与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠DEC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．试题20答案:（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
最新人教版八年级下册数学 正方形 同步练习(含解析)
正方形同步练习一、选择题1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等2.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A．B．2C．2 D．13.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm4.下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（）A．B．C．D．5.如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）6.如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（）A ．B ．C ．D ．7.如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ′、N ′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对8.如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A ．nB ． n ﹣1C ．（41）n ﹣1 D ． 41n 9.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题10.已知正方形ABCD中，点E在边CD上，DE=3，EC=1．点F是正方形边上一点，且BF=AE，则FC=．11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为．12.如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为．13.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ 和AEFG均为正方形，则的值等于．14.有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．15.如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BA ，P 是CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ．则：（1）DE=；（2）PQ+PR=．三 、解答题16.正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（，0），并写出另外三个顶点的坐标．17.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE 、DF .求证:CE DF .图9FED C B A18.已知，如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为BA 延长线上一点，且CE=AF ．连接DE 、DF ．求证：DE=DF ．19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）第25题图DAB C20.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．21.如图，长方形的宽AB=3，长BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．（1）求线段AB′的长。
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第九章《正方形》提优复习
【知识图解】
1．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图：
【技法透析】
1．正方形是轴对称图形，有四条对称轴
正方形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心．
2．正方形对角线的特殊性质
一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
3．正方形的判定方法
(1)先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；
(2)先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．
考点1利用正方形的性质解题
例1 如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN ⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
(1)求证：MD＝MN．
(2)若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，
如图(2)，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【切题技巧】(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN 中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取中点F，构造△DFM≌△MBN；
(2)可类比图(1)中的方法
【规范解答】(1)证明：取AD的中点F，连接MF．
(2)结论MD＝MN仍成立．
证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．
由(1)中结论可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，
∴△DFM≌△MBA，∴MD＝NM．
【借题发挥】证明两条线段相等的一般思路是，先找到或根据条件构造，使这两条线段分别处在两个“相关”的三角形中，然后再证明这两个三角形全等即可，在探索(2)中结论时，可类比(1)问的分析思路进行．
【同类拓展】1．已知在锐角△ABC和锐角△AFH的外面作正方形ABEF和ACGH，AD是△ABC的高，如图所示．求证：DA的延长线平分FH．
考点2正方形中规律探究问题
例2 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，
得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方
形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；
再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，
称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则
需要操作的次数是( )
A．669 B．670 C．671 D．672
【切题技巧】第一次操作，得到4个小正方形；第二次操作得到7个小正方形，即7＝4＋3；第三次操作得到10个小正方形，即10＝4＋3＋3；由此推断第n次操作可得到4＋3（n－1）个小正方形，由4＋3（n－1）＝2011得n＝670，故选B．
【规范解答】 B
【借题发挥】对于规律问题，要仔细观察、归纳、合理推理，找到变化的特征，从而得出结论．
2．如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形边长A1B1C1D1按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此类推…，则正方形A4B4C4D4的面积为_______．
考点3正方形的判定
例3 如图，已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，与∠BCA相邻的外角∠ACD的平分线交于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形？说明你的理由；(3)若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想．
【切题技巧】(1)由“角平分线＋平行线 等腰三角形”的思路可证OE＝OC＝OF；
(2)由矩形的对角线互相平分可知O为AC的中点；(3)在(2)的前提下，可知∠ACE＝45°，即∠ACB＝90°时，四边形AECF为正方形．
【规范解答】
∴四边形AECF是矩形，
∴当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．
(3)解：若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，O为AC边的中点，
理由如下：由(2)可知：若OA－OC，则四边形AECF为矩形．
若∠ACB＝90°，则∠ECO＝∠FCO＝45°，即OC平分∠ECF．
∵OE＝OF，即OC为△ECF的中线，
∴CE＝CF．
∵四边形AECF为矩形．
∴四边形AECF为正方形．
【借题发挥】特殊四边形是指平行四边形、矩形、正方形、梯形，其性质可从边、角、对角线、对称性等方面进行比较（见下表）并记忆掌握，使之在推理中灵活地应用．
【同类拓展】3．如图(1)所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．
(1)如图(2)，若点E、F，不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
(2)如图(3)，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE ＝DF，此时上面的结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图(4)，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？并写出证明过程．
考点4正方形中面积问题
例4 如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，
∠DAF＝15°，求△AEF的面积．
【切题技巧】由30°＋15°＝45°，联想到∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，结合条件AB ＝AD，∠B＝∠D＝90°，联想到将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置．【规范解答】
【借题发挥】(1)将某个图形绕一点旋转90°，拼成一个新的图形，以便集中条件，这是解决几何问题常用的方法之一．
(2)利用图形的旋转不变性探索图形在旋转过程中的有关规律，从中体验图形变换的理念与思想．
4．如图所示，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，
已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．
考点5正方形中猜想证明题
例5如图所示，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M．
探究线段MD、MF的关系，并加以证明．
【切题技巧】由中点这一条件，想到“倍长法”，再证三角
形全等．
【规范解答】MD和MF的关系是：MD＝MF，MD⊥MF．
【借题发挥】探索是学习的生命线，深入探究，学会探索是时代提出的新要求，数学解题中的探索活动可以从以下几个方面进行：
(1)在题设条件不变情况下，挖掘出更多的结论；
(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；
(3)构造逆命题
5．如图所示，在DABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
参考答案
1．略 2. 125 3．(1)成立(2)成立(3)正方形4．45°．
5．(1)四边形EGFH是平行四边形．(2) )菱形(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形。