信号与系统 刘树棠 第二版 中文答案 第2章

Charpt 2

2.21 计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]:

(a):

][][][][n u n h n u n x n

n βα==}βα≠

∑∑∑--===-==++==-k

n n n

k n

k k n k

n k

n u n u n u k n h k x n h n x n y ]

[][][)(][][][][*][][1

10

αβαββαββ

α (c):x[n]=],4[)21

(--n u n h[n]=]2[4n u n

-

y[n]=x[n]*h[n]=∑

∞

-∞=-+---k k n k k n u k u ]2[4]4[)21(

所以1)n<6时 y[n]=∑∞+=-=-=-4

34)(8*9481181

44)21(k n n k n k

2)n ∑∞

-=---=-=≥22

)

81(98*44)21(,6n k n n k n k 时

2.22 对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI 系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画

出结果。

(a)

)()(t u e t x t

α-= )()(t u e t h t

β-= (分别

在βα≠和βα=下完成)

y(t)=x(t)*h(t)=??>=------t t t t t d e

e

d e

e 0

0)()

()

0(τττ

βαβτβατ

当)

(1)(,)(t u e e t y t t ββααββα-----=≠时

当)()(,t u te

t y t

αβα-==时

(c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。 )(*)()(*)()(t x t h t h t x t y == when t<1 y(t)=0; when ))

cos(1(2

)sin(2)(,311

0t d t y t t ππ

ττ+=

=<≤?- when

?-+-==<≤23

)

1))(cos(2

()sin(2)(,53t t d t y t ππ

ττ

2.23 设h(t)是如图P2.23(a)所示的三角脉冲，x(t)为图P2.23(b)所示的单位冲击串，即

∑+∞

-∞=-=

k kT t t x )

()(δ

对下列T 值，求出并画出y(t)=x(t)*h(t): (a)T=4 (b)T=2 (c) T=3/2 (4)T=1 解答：

因为)()(*)(ττδ-=-t x t t x ，据此可得

(b) T=4时，y(t)=x(t)*h(t)=∑∞

-∞=-k k t x )

4(,如图(a)

(c) T=2时，y(t)=∑∞

-∞

=-k k t x )

2(,如图(b)

(d) T=3/2时，y(t)=∑∞

-∞=-k k t x )23(如图(c) (e) T=1时，y(t)=∑∞

-∞

==-k k t x 1

)(,如图(d)

2.27定义一个连续时间信号v(t)下面的面积为

A v ＝?+∞

∞-dt

t v )(

证明：若y(t)=x(t)*h(t),则Ay=AxAh 因为y(t)=x(t)*h(t)=?+∞

∞--τ

ττd t h x )()(

Ay=

?

??

∞

+∞

-+∞

∞

-∞

+∞

--=

dt

d t h x dt t y τττ)()()(

=??+∞

∞-+∞

∞-=-h

x A A dt t h d x *)()(τττ

2.28 下面均为离散时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的，陈述理由

(a) h[n]=]

[)51

(n u n

因果，稳定。n 0≥,h[n]=n

)51(收敛。

(b) h[n]=

]2[)8.0(+n u n

非因果，稳定

(c) h[n]=]

[)21

(n u n -

非因果，不稳定。

n

n )21

(,0≤不收敛 2.29 下面均是连续时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的.陈述理由

(a)h(t)=)2(4--t u e t

因果，稳定 ,2≥t t

e 4-收敛。

(b) h(t)=)3(6t u e t

--

非因果，不稳定。t

e t 6,3-≤不收敛 (c) h(t)=

)50(2+-t u e t

非因果，稳定。t

e t 2,50--≥收敛

2.36 考虑一离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由下列差分方程给出：

y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n]

(a)证明：若该系统满足初始松弛条件（即若n

参考

证明：1)证明该式是线性

(i)

当n ＝0

n 时 ][]1[)21

(][000n x n y n y +-= 在满足初始松弛条件时

][][00n x n y =

显然线性即满足：当]

[][][02010n bx n ax n x +=时][][][02010n by n ay n y +=

(ii)

假设在n=k(>n0)时满足线性。即当 ][][][21k bx k ax k x +=时

][][][21k by k ay k y +=

(iii) 当n=k+1时

假设：]1[]1[]1[21+++=+k bx k ax k x

]

1[]1[]}

1[][)21

{(]}1[][)21{(]

1[]1[]}[][){21

(]1[][)21(]1[]2122112121+++=+++++=+++++=++=+k by k ay k x k y b k x k y a k bx k ax k by k ay k x k y k y ∴对于∞+=,......0n k 都满足线性即]

[]1[)21

(][000n x n y n y +-=线

性

2)下证该式移不变

当n=n0时y[n0]=x[n0]显然满足线性 令k=n-m>n0

则y[k]=(1/2)y[k-1]+x[k] 即 y[n-m]=(1/2)y[n-m-1]+x[n-m] 亦即满足移不变

(b)证明：若系统不满足初始松弛条件，但利用附加条件y[n]=0,那么它不是因果的。

证明：∵y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],y[n]=0 ∴y[n-1]=(-2)x[n]

即输出与将来时刻的输入有关，所以非因果。//

***姜老师给出的标准答案***

P2.36

y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],

正向递推：

y[n 0] =(1/2)y[n 0-1] +x[n 0] = x[n 0]；

y[n 0+1]=(1/2)y[n 0] +x[n 0+1]= (1/2)x[n 0]+x[n 0+1];

y[n 0+2]=(1/2)y[n 0+1]+x[n 0+2]= (1/2)2x[n 0]+ (1/2)x[n 0+1]+ x[n 0+2];

00102

[](

)

[]

n n n n k k y n x n k ---==

+∑, n>= n 0

另外，已知y[n]=0, n

[]{()[]}[]n n n n k

k y n x n k u n n ---==+-∑ 显式表示

线性证明：

x 1[n]的响应(x 1[n]与x[n]具有同样的单边性)，0

01110020[]{()

[]}[]n n n n k

k y n x n k u n n ---==+-∑ x 2[n]的响应(x 2[n]与x[n]具有同样的单边性)，

001220020

[]{()

[]}[]n n n n k k y n x n k u n n ---==+-∑

x[n]=ax 1[n]+bx 2[n]的响应，

001101002

[]{()([][])}[]n n n n k

k y n ax n k bx n k u n n ---==+++-∑

所以 y[n]= ay 1[n]+by 2[n]

Time Invariance:

x[n]的响应，

01002

[]{()[]}[]n n n n k

k y n x n k u n n ---==+-∑

对x[n-m]的响应,

0010020[]{

()

[]}[][]n n m

n n m k k y n x n m k u n n m y n m -----==++--=-∑

(b)Causality

y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],

正向递推：

y[1]=(1/2)y[0]+x[-1]= x[1]；

y[2]=(1/2)y[1]+x[2]= (1/2)x[1]+x[2];

y[3]=(1/2)y[2]+x[3]= (1/2)2x[1]+ (1/2)x[2]+ x[3];

反向递推：y[n-1]=2y[n]-2x[n]

y[-1] =2y[0] -2x[0] = -2x[0]；

y[-2] =2y[-1]-2x[-1] = -22x[0] -2x[-1]；

y[-3] =2y[-2]-2x[-2] = -23x[0] -22x[-1]-2x[-2]；

表明当前输出与将来输入有关，故非因果//

2.38 对于由下列差分方程描述的因果LTI 系统画出它们的方框图表示： (a) y[n]=(1/3)y[n-1]+(1/2)x[n]

(b) y[n]=(1/3)y[n-1]+x[n-1]

2.39 对于由下列微分方程描述的因果LTI 系统画出它们的方框图表示： (a)

)

(4)

()21()(t x dt t dy t y +-= (b))()(3)

(t x t y dt t dy =+

2.47 已知单位冲激响应为ho(t)的某一线性时不变系统，当输入为xo(t)时，输出

为yo(t)，yo(t)如图所示。现在给出下列一组输入和线性时不变系统的单位冲击响应： 输入x(t) 单位冲激响应h(t) (a)x(t)=2xo(t) h(t)=ho(t) (b)x(t)=xo(t)-xo(t-2) h(t)=ho(t) (c)x(t)=xo(t-2) h(t)=ho(t+1) (d)x(t)=xo(-t) h(t)=ho(t) (e)x(t)=xo(-t) h(t)=ho(-t) (f)x(t)=x’o(t) h(t)=h’o(t) [这里x’o(t)和h’o(t)分别为xo(t)和ho(t)的一阶倒数]

在每一种情况下，判断当输入为x(t)，系统的单位冲激响应为ho(t)时，有无足够的信息来确定输出y(t)。如果有可能确定y(t)，请准确地画出y(t)并在图上表明数值。 (a) ∵x(t)=2xo(t), h(t)=ho(t)

∴y(t)=2xo(t)*ho(t)=2yo(t) (b)∵x(t)=xo(t)-xo(t-2), h(t)=ho(t) ∴y(t)=yo(t)-yo(t-2)

(c)∵xo(t)*ho(t+1)=yo(t+1), xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1) ∴y(t)= xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1) (d)∵y(t)=x(t)*h(t)=??∞

∞

-∞

∞

---=--τ

τττττd t h x d t h x )()()()(0000

∴已知条件不足以确定y(t). (e)∵x(t)*h(t)=??∞

∞

-∞

∞

--=--=--)

()()()()(00000t y d t h x d t h x ττττττ

(f)∵y(t)

)()(*)(''0'0'0t y t h t x ==

2.53 (c)用给出的附加条件解下列齐次微分方程： (i)2)0(,0)0(,0)(2)

(3)('2

2===++y y t y dt t dy dt t y d

解：,2,1;023212-=-==++s s s s ∴y(t)=t

t Be Ae 2--+

由y(0)=0,2)0(='y 可得A=2,B=-2,

∴t

t e e t y 222)(---= (ii) 1)0(,0)0(,0)(2)(3)('

2

2-===++y y t y dt t dy dt t y d

解：2,1;023212

-=-==++s s s s

∴y(t)=t

t Be Ae 2--+

由y(0)=1, 1)0(-='y 可得A=1,B=0,

∴y(t)=t

e -