课时跟踪检测 (三十二) 数列求和

课时跟踪检测(六十七)随机抽样

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验

解析：选D A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．

2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()

A．50B．60

C．70 D．80

解析：选C由分层抽样方法得

3＋4＋7

×n＝15，解之得n＝70．

3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是() A．10 B．11

C．12 D．16

解析：选D因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16．

4．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．

解析：设样本容量为n，则

480＝

210，n＝16．

则样本容量为16．

答案：16

5．为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为

30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．

解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝N

n(N为总体的容量，

n为样本的容量)，所以k＝N

n＝

1 200

30＝40．

答案：40

二保高考，全练题型做到高考达标

1．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()

92644607202139207766381732561640

5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814

2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815

5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702

9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488

A．76,63,17,00B．16,00,02,30

C．17,00,02,25 D．17,00,02,07

解析：选D在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．

2．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9．现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k 的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是()

A．72 B．74

C．76 D．78

解析：选C由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76．故选C．

3．(2017·兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()

A．p1＝p2

C．p1＝p3

解析：选D根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3．

4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()

A．800双B．1 000双

C．1 200双D．1 500双

解析：选C因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12

解析：由题意可得

100＋300＋150＋450＋z＋600

＝

100＋300

，

解得z＝400．

答案：400

7．(2017·北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的

测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．

解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0．5＋980×0．2＋1 030×0．3＝1 015．

答案：50 1 015

8．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．

解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取480

＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取240

＝12人．答案：12

9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级初二年级

初三年级

女生 373 x y 男生

377

370

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19． (1)求x 的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)∵x

＝0．19．∴x ＝380．

(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：

2 000

×500＝12(名)． 10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，

求n．

解：总体容量为6＋12＋18＝36．

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36 n，

分层抽样的比例是n

36，抽取的工程师人数为

36×6＝

6，

技术员人数为n

36×12＝

3，技工人数为

36×18＝

2．

所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18．当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，

系统抽样的间隔为

n＋1

，

因为

n＋1

必须是整数，所以n只能取6．

即样本容量为n＝6．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()

A．100 B．150

C．200 D．250

解析：选A样本抽取比例为

3 500＝

50，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则

5 000＝1

50，故n＝100，选A．

2．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表．

态度

调查人群

应该取消应该保留无所谓

在校学生 2 100人120人y人

社会人士600人x人z人

0．05．

(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在

持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0．05，∴120＋x

3 600＝0．05，解得

x＝60．

∴持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720，

高考数学考点31数列求和必刷题理

考点31 数列求和 1．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为（） A．B．C．D．【答案】C 2．对于函数，部分与的对应关系如下表：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（） A．7554 B．7549 C．7546 D．7539 【答案】A 3．已知是等差数列，，，，。（1）求数列的通项公式；（2）若单调递增，且的前项和，求的最小值。【答案】（1）见解析；（2）11 【解析】（1）设公差为，，，因为，得，解得或，

当时，,，当时，,，（2）若单调递增, 则，, ，由不等式解得（且），所以的最小值为11. 4．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前项和. 【答案】（1），即. （2） 5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝(λ＋1)S n＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．

(1)求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}满足a n b n＝log4a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<. 【答案】（1）；（2）证明见解析。

三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲数列求和精英篇(解析版)全国通用

第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。所以： 1＋2＋3＋…＋98+99+100 ＝101×50 即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050 这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的

例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）3、4、5、6、……、76、77、78 （3）4、7、10、13、……、40、43、46 （4）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29 分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550 （2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得

第四节数列求和

第四节数列求和高考概览：1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． [知识梳理] 1．公式法与分组求和法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3．裂项相消法把数列的每一项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以出现有规律的相互抵消，从而求得其和．

4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． [辨识巧记] 1．三个裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 . (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 2．两个注意点 (1)应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项． (2)应用错位相减法时，应注意相减后符号的变化和所构成的等比数列的项数． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12? ?? ??1n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋

2017届高三数学一轮复习第六篇数列第4节数列求和及综合应用基丛点练理

第4节数列求和及综合应用知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,6 裂项相消法求和3,10,11, 13 错位相减法求和4,9 数列的综合应用5,8,12,14 数列的实际应用7 1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C ) (A)1+2n(B)2+2n (C)n+2n-1 (D)n+2+2n 解析:由题意令a n=1+2n-1, 所以S n=n+=n+2n-1,故选C. 2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A ) (A)9 (B)8 (C)17 (D)16 解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17 =-1×8+17 =9. 故选A. 3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于( B ) (A)1 (B) (C) (D) 解析:因为a n=-, 所以S n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=. 所以S5=.故选B. 4.S n=+++…+等于( B ) (A) (B) (C)(D) 解析:由S n=+++…+,①

得S n=++…++,② ①-②得, S n=+++…+- =-, 所以S n=. 5.(2015郑州二模)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为等比数列{a n}的首项为,公比为-, 所以S n==1-(-)n, 当n取偶数时,S n=1-()n<1; 当n取奇数时,S n=1+()n≤1+=. 所以S n的最大值为.故选D. 6.(2016宁夏石嘴山高三联考)在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51= . 解析:因为数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*), 所以a3-a1=0, a5-a3=0, … a51-a49=0, 所以a1=a3=a5=…=a51=1. 由a4-a2=2,得a4=2+a2=4, 同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50. 所以a1+a2+a3+…+a51 =(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50) =26+ =676. 答案:676 7.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= . 解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n},

(完整word版)数列求和的各种方法

数列求和的方法教学目标 1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．教学内容知识梳理 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝ ()21n a a n +＝na 1＋()d n n 2 1-. ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝() q q a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (5)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 123+++……+n= (1)2 n n +2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333 123+++……+n =2 (1)2n n +??????

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节数列求和

第四节数列求和授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和：使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章第4节数列求和

第四节数列求和 [最新考纲] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1 ＋n (n －1)2d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n ) 1－q ，q ≠1. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝ 12? ????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ? ????1 a n －1a n ＋1.( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝ 12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4) 利用倒序相加法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23° ＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( ) A.1 B.56 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 C [S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋...＋(2n ＋2n －1)＝(2＋22＋ (2) )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2 ＋2×n (n ＋1) 2－n ＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2.]

高中数学数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

5-4第四节数列求和练习题(2015年高考总复习)

第四节数列求和时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ ? ???? 2a n (n 为奇数)，a n ＋1 (n 为正偶数)，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析 ∵a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1 n ＋n ＋1 ，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．120 B ．99 C ．11 D ．121 解析由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝ n ＋1－n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120. 答案 A 3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，n ∈N * ，则数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n 2 B ．n (n ＋1)

C ．n (n ＋2) D ．n (2n ＋1) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2)．答案 C 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5. 即a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. 得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66. 答案 A 5．(2014·潍坊模拟)已知a n ＝? ?? ??13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)＝( ) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …

高考数学总复习第五章数列31数列求和课时作业文

作业 31 数列求和 1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12 . 2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4 ＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0. ∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(－4)＋…＋(2n －4)＝2＋＋…＋2n －4(n －1)＝ 21－2n 1－2 －4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 依题意有? ???? q 2＋d ＝6q ＋3＋3d ＝8，解得????? d ＝1q ＝2，或????? d ＝－43q ＝9 (舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12 n (n ＋1)， 1S n ＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1 )，