高三数学一轮复习 第5章 第4课时 数列求和课件 文 新人教版
高三数学一轮总复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.ppt
12
n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这 个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶 数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
7
2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往 通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
8
3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后 面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。 答案：2m＋1＋5m2＋m－2
13
5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。 答案：(n－1)2n＋1＋2
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和与数列的综合应用课件 理 高三全册数学课件
2021/12/8
第二十三页，共五十七页。
解析：(1)令数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S20＝a1＋a2＋a3 ＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－12＋212＋213＋…＋2120＝420－ 1－2120＝419＋2120.
(2)an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2－1－2n2＋1＝2n＋1－2， 所以 Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝ 221－－22n＋2－2n＝2n＋2－4－2n.
2021/12/8
第十八页，共五十七页。
课堂探究·深度剖析
课堂升华 强技提能
2021/12/8
第十九页，共五十七页。
考向一 分组求和法
【例 1】 (1)若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}
的前 n 项和为( C )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2021/12/8
第十三页，共五十七页。
4．(2019·武汉市调研考试)对任一实数序列 A＝(a1，a2，a3，…)， 定义新序列 ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第 n 项为 an＋1－an.
假定序列 Δ(ΔA)的所有项都是 1，且 a12＝a22＝0，则 a2＝ 100 .
第五章
数列(shùliè)
2021/12/8
第一页，共五十七页。
第四节 数列求和(qiúhé)与数列的综合应用
2021/12/8
第二页，共五十七页。
2021/12/8
第三页，共五十七页。
知识(zhī shi)梳理·自主学
习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
新高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文新人教A版
新高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文新人教A 版————————————————————————————————[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：Sn ＝＝na1＋d ；(2)等比数列的前n 项和公式：Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na1，q ＝1，a1－anq 1－q ＝－1－q ，q≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.( )(2)当n≥2时，＝.( )(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( )．[答案] (1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )A．1 B.56C. D.130B [∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( )A．9 B．18C．36 D．72B [∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4，∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，∴S9＝9b5＝18，故选B.]4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n 项和Sn＝__________. 【导学号：31222188】2n＋1－2＋n2 [Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.4－[设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.两式相减得S＝3×＋－.∴S＝3＋－n＋22n＝3＋－＝4－.]是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).2分设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).5分(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.7分从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.12分[规律方法] 分组转化法求和的常见类型(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．[解] (1)由题意得则2分又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，所以数列{an}的通项公式为an ＝3n －1，n∈N*.5分(2)设bn ＝|3n －1－n －2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n －1>n ＋2，故bn ＝3n －1－n －2，n≥3.8分 设数列{bn}的前n 项和为Tn ，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn ＝3＋－＝，所以Tn ＝12分{an}和{bn}的前n 项的和，对任意正整数n ，an ＝2(n ＋1)，3An －Bn ＝4n.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记cn ＝，求{cn}的前n 项和Sn.[解] (1)由于an ＝2(n ＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4.2分∴An ＝＝＝n2＋3n ，∴Bn ＝3An －4n ＝3(n2＋3n)－4n ＝3n2＋5n ，当n ＝1时，b1＝B1＝8，当n≥2时，bn ＝Bn －Bn －1＝3n2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b1＝8适合上式，∴bn＝6n ＋2.5分(2)由(1)知cn ＝＝24n2＋8n＝，7分∴Sn ＝14⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝－.12分[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[变式训练2] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝，求数列{bn}的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d ＝20，10a1＋10×92d ＝10a1＋45d ＝100，解得3分所以数列{an}的通项公式为an ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分(2)bn ＝＝，8分所以Tn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝＝.12分＋8n ，{bn}是等差数列，且an ＝bn ＋bn ＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn ＝，求数列{cn}的前n 项和Tn.[解] (1)由题意知当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an ＝6n ＋5.2分设数列{bn}的公差为d.由即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b1＋d ，17＝2b1＋3d ，解得所以bn ＝3n ＋1.5分(2)由(1)知cn ＝＝3(n ＋1)·2n＋1.7分又Tn ＝c1＋c2＋…＋cn ，得Tn ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n＋1]，2Tn ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n＋2]，9分两式作差，得－Tn ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－1－2－＋＋2 ＝－3n·2n＋2，所以Tn ＝3n·2n＋2.12分[规律方法] 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[变式训练3] (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列{an}的前n 项和Sn 满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝，求数列{bn}的前n 项和Tn.[解] (1)设等差数列{an}的公差为d ，首项为a1.∵S3＝6，S5＝15，∴即⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝2，a1＋2d ＝3，解得3分∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.5分(2)由(1)得bn＝＝，6分∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①①式两边同乘，得1Tn＝＋＋＋…＋＋，②2①－②得Tn＝＋＋＋…＋－n2n＋1＝－＝1－－，10分∴Tn＝2－－.12分[思想与方法]解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．[易错与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.课时分层训练(三十一) 数列求和A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．数列1，3，5，7，…，(2n －1)＋，…的前n 项和Sn 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n2＋1－B ．2n2－n ＋1－12nC ．n2＋1－D ．n2－n ＋1－12n A [该数列的通项公式为an ＝(2n －1)＋，则Sn ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n2＋1－.]2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an ＋1－an ＝2，Sn 为{an}的前n 项和．若S10＝50，则数列{an ＋an ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{an ＋an ＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A．192里B．96里C．48里D．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )A．5 B．6C．7 D．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝( ) 【导学号：31222190】A.－1B.－1C.－1D.＋1C [由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]二、填空题6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2 016＝__________.【导学号：31222191】0 [an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.S2 016＝S4×504＝0.]7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.2n ＋1－2 [∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.]8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．n[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2 2n＋1＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n 项和为＋＋…＋＝＝.]三、解答题9．(2017·成都二诊)已知数列{an}中，a1＝1，又数列(n∈N*)是公差为1的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解] (1)∵数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，3分解得an＝.5分(2)∵an＝＝2，∴Sn ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2＝.12分10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d ，由题意有解得3分所以{an}的通项公式为an ＝.5分(2)由(1)知，bn ＝.当n ＝1,2,3时，1≤＜2，bn ＝1；当n ＝4,5时，2≤＜3，bn ＝2；8分当n ＝6,7,8时，3≤＜4，bn ＝3；当n ＝9,10时，4≤＜5，bn ＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n －4＝102n ，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n －1lg an ，…的前n 项和Sn 等于( )【导学号：31222192】A ．n·2nB ．(n －1)·2n－1－1C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1C [∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n ＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]2．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn ＝2an－2n，则Sn＝__________.n·2n(n∈N*)[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]3．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，∴an＋1＝3an，∴＝3.当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.3分∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．∴an＝3×3n－1＝3n.5分(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n －2)·3n]＝(n－1)·3n＋1＋3.12分。
(全国通用)高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和教师用书 文 新人教A版-新人教A版高三
第四节 数列求和———————————————————————————————— [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q ，q ≠1.n a 11－q n1－q，q ≠12．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①1nn ＋1＝1n －1n ＋1； ②12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( )． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1 B.56C.16D.130B [∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·某某某某华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 【导学号：31222188】2n ＋1－2＋n 2 [S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.]5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝__________. 4－n ＋42n[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .]分组转化求和(2016·高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设＝a n ＋b n ，求数列{}的前n 项和．[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…).2分设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).5分 (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.7分从而数列{}的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n 1＋2n －12＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12.12分 [规律方法] 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±，且{b n }，{}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[变式训练1] (2016·某某高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.2分又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.5分(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.8分设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *.12分裂项相消法求和(2016·某某南开二诊)若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和，对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记＝2A n ＋B n，求{}的前n 项和S n . [解] (1)由于a n ＝2(n ＋1)，∴{a n }为等差数列，且a 1＝4.2分 ∴A n ＝n a 1＋a n2＝n 4＋2n ＋22＝n 2＋3n ，∴B n ＝3A n －4n ＝3(n 2＋3n )－4n ＝3n 2＋5n ， 当n ＝1时，b 1＝B 1＝8，当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝3n 2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b 1＝8适合上式，∴b n ＝6n ＋2.5分(2)由(1)知＝2A n ＋B n ＝24n 2＋8n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，7分 ∴S n ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.12分[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[变式训练2] (2017·某某一模)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分错位相减法求和(2016·某某高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令＝a n ＋1n ＋1b n ＋2n，求数列{}的前n 项和T n .[解] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.2分 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.5分(2)由(1)知＝6n ＋6n ＋13n ＋3n＝3(n ＋1)·2n ＋1.7分又T n ＝c 1＋c 2＋…＋，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，9分两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.12分[规律方法] 1.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，若{b n }的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．2．在书写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[变式训练3] (2016·某某某某第三次模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×3－1d ＝6，5a 1＋12×5×5－1d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.3分∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n ＝n2n ，6分 ∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①①式两边同乘12， 得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，10分∴T n ＝2－12n －1－n2n .12分[思想与方法]解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和． [易错与防X]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. 课时分层训练(三十一) 数列求和A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．(2016·某某江南十校3月联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·某某七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．(2016·某某高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( ) 【导学号：31222190】A. 2 016－1B. 2 017－1C. 2 018－1D. 2 018＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋1＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________.【导学号：31222191】0 [a n ＝sinn π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.S 2 016＝S 4×504＝0.]7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2 [∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.]8．(2017·某某综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 三、解答题9．(2017·某某二诊)已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解] (1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴2na n＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n n ＋1.5分 (2)∵a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.12分 10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.3分所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.5分 (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；8分当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，则数列lg a 1,2lg a 2,22lga 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )【导学号：31222192】A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n＋1D ．2n＋1C [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，② ∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴S n ＝(n－1)·2n＋1.]2．(2017·某某二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝__________.n ·2n (n ∈N *) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．]3．(2017·某某综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分 ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×321－3n －11－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n.7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。
最新-2018届高考数学一轮复习 第5章第四节 数列求和课件 文 精品
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R，其图
象关于点(12，12)成中心对称，令 an＝f(nk)， (n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 【思路分析】 图象关于(12，12)成中心对称，
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d，
由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋2 an ， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1－an＝3·22n－1的结 构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察 bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且
满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
【全套解析】高三数学一轮复习 5-4 数列求和课件 (理) 新人教A版
2
n－1
n an ＝ ， 3
(1)求数列{an}的通项； n (2)设 bn＝ ，ห้องสมุดไป่ตู้数列{bn}的前 n 项和 Sn. an
高三总复习
人教A 版 · 数学 （理）
[课堂记录]
2
(1)a1＋3a2＋3 a3＋„＋3
n－2
2
n－1
n an＝ ， 3
a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 两式相减，得 3 1 an＝ n(n≥2)． 3
高三总复习
人教A 版 · 数学 （理）
∴bn＝n2－n， ∴Tn＝b1＋b2＋„＋bn ＝(1＋22＋32＋„＋n2)－(1＋2＋3＋„＋n) nn＋12n＋1 nn＋1 ＝ － 6 2 nn－1n＋1 ＝ . 3
高三总复习
人教A 版 · 数学 （理）
热点之二
裂项相消法求和
1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一
高三总复习
人教A 版 · 数学 （理）
(2)因为 bn＝
1 4 ＝ an· an＋2 n＋1n＋3
1 1 ＝2( － )， n＋1 n＋3 所以数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( － ＋ － ＋ － ＋ „＋ － ＋ － )＝ 2( ＋ 2 4 3 5 4 6 n n＋2 n＋1 n＋3 2 3 1 1 5 2 2 － － )＝ － － . n＋2 n＋3 3 n＋2 n＋3
和为(
)
B．2n＋1＋n2－1 D．2n＋n2－2
A．2n＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2
21－2n n1＋2n－1 ＋ 解析：Sn＝ ＋ ＝2n 1－2＋n2. 2 1－2
答案：C
高三总复习
高三数学一轮复习 第5章第4节 数列求和课件 文 (广东专用)
等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前 n 项和为 Sn， {bn}为等比数列，b1＝1，且 b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求 an 与 bn； (2)求S11＋S12＋…＋S1n的值． 【解】 (1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 d 为正数，an ＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1， 依题意有SS23bb23＝ ＝69＋ ＋d3dq＝ q2＝649，60，
1．裂项相消法的前提是什么？ 【提示】 数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和 过程中能够前后相互抵消． 2．若数列{an}是等比数列，则数列{|an|}的前n项和可用什么方法 求解？ 【提示】 数列{|an|}仍然是等比数列，可用公式法求解．
1．(教材改编题)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回
【答案】 C
4．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列{f1n}(n∈N*)的前 n
项和是( )
n A.n＋1
n＋2 B.n＋1
n C.n－1
n＋1 D. n
【解析】 ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1， ∴a＝1，m＝2， ∴f(x)＝x(x＋1)，f1n＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，用裂项相消法求和得 Sn＝n＋n 1.
Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，② ①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得 T＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)， ∴an＝lg Tn＝n＋2，n≥1.
(2)由题意和(1)中计算结果，知 bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用 tan 1＝tan[(k＋1)－k]＝1t＋antakn＋k1＋－1t·atannkk， 得 tan(k＋1)·tan k＝tank＋ta1n－1 tan k－1. 所以 Sn＝k∑＝n1bk＝nk∑＝＋32tan(k＋1)·tan k ＝nk∑＝＋32[tank＋ta1n－1 tan k－1]＝tann＋ta3n－1 tan 3－n.
高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文新人教A 版———————————————————————————————— [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：Sn ＝＝na1＋d ；(2)等比数列的前n 项和公式：Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q ＝1，a1－anq 1－q＝－1－q ，q≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形： ①＝－； ②＝； ③＝－. 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.( )(2)当n≥2时，＝.( )(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( )．[答案] (1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )A．1 B.56C. D.130B [∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( ) A．9 B．18C．36 D．72B [∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4，∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，∴S9＝9b5＝18，故选B.]4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________. 【导学号：31222188】2n＋1－2＋n2 [Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.4－[设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.两式相减得S＝3×＋－.∴S＝3＋－n＋22n＝3＋－＝4－.]b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).2分设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).5分(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.7分从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.12分[规律方法] 分组转化法求和的常见类型(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．[解] (1)由题意得则2分又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.5分(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.8分设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn＝3＋－＝，所以Tn＝12分和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn.[解] (1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4.2分∴An＝＝＝n2＋3n，∴Bn ＝3An －4n ＝3(n2＋3n)－4n ＝3n2＋5n ， 当n ＝1时，b1＝B1＝8，当n≥2时，bn ＝Bn －Bn －1＝3n2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b1＝8适合上式，∴bn＝6n ＋2.5分(2)由(1)知cn ＝＝24n2＋8n ＝，7分∴Sn ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝－.12分[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[变式训练2] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝，求数列{bn}的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d ＝20，10a1＋10×92d ＝10a1＋45d ＝100，解得3分所以数列{an}的通项公式为an ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)bn ＝＝，8分所以Tn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝＝.12分{bn}是等差数列，且an ＝bn ＋bn ＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn ＝，求数列{cn}的前n 项和Tn.[解] (1)由题意知当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an ＝6n ＋5.2分 设数列{bn}的公差为d.由即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b1＋d ，17＝2b1＋3d ，解得所以bn ＝3n ＋1.5分(2)由(1)知cn ＝＝3(n ＋1)·2n＋1.7分 又Tn ＝c1＋c2＋…＋cn ，得Tn ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n＋1]， 2Tn ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n＋2]，9分两式作差，得－Tn ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－1－2－＋＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn ＝3n·2n＋2.12分[规律方法] 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[变式训练3] (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列{an}的前n 项和Sn 满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝，求数列{bn}的前n 项和Tn.[解] (1)设等差数列{an}的公差为d ，首项为a1. ∵S3＝6，S5＝15，∴即⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝2，a1＋2d ＝3，解得3分∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n.5分 (2)由(1)得bn ＝＝，6分 ∴Tn ＝＋＋＋…＋＋，① ①式两边同乘， 得12Tn ＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得Tn ＝＋＋＋…＋－n2n ＋1 ＝－＝1－－，10分 ∴Tn ＝2－－.12分 [思想与方法]解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．[易错与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.课时分层训练(三十一) 数列求和A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．数列1，3，5，7，…，(2n －1)＋，…的前n 项和Sn 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n2＋1－B ．2n2－n ＋1－12n C ．n2＋1－D ．n2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为an ＝(2n －1)＋，则Sn ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n＝n2＋1－.]2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an ＋1－an ＝2，Sn 为{an}的前n 项和．若S10＝50，则数列{an ＋an ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{an ＋an ＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A．192里B．96里C．48里D．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )A．5 B．6C．7 D．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n 项和为Sn，则S2 017＝( ) 【导学号：31222190】A.－1B.－1C.－1D.＋1C [由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]二、填空题6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2 016＝__________.【导学号：31222191】0 [an ＝sin ，n∈N*，显然每连续四项的和为0.S2 016＝S4×504＝0.]7．对于数列{an}，定义数列{an ＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{an}的前n 项和Sn ＝__________.2n ＋1－2 [∵an＋1－an ＝2n ，∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n －2＋2＝2n. ∴Sn ＝＝2n ＋1－2.]8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n 项和为Sn ，若a2＝12，Sn ＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n 项和为__________．n 2n ＋1[令n ＝1得a1＝S1＝k －1，令n ＝2得S2＝4k －1＝a1＋a2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以Sn ＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n 项和为＋＋…＋＝＝.]三、解答题9．(2017·成都二诊)已知数列{an}中，a1＝1，又数列(n∈N*)是公差为1的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求数列{an}的前n 项和Sn.[解] (1)∵数列是首项为2，公差为1的等差数列， ∴＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分 解得an ＝.5分 (2)∵an＝＝2，∴Sn ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2＝.12分10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得3分所以{an}的通项公式为an＝.5分(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；8分当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于( )【导学号：31222192】A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1C [∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n －1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]2．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.n·2n(n∈N*)[由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．] 3．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an ＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，∴an＋1＝3an，∴＝3.当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.3分∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．∴an＝3×3n－1＝3n.5分(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]＝(n－1)·3n＋1＋3.12分。
2022届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件新人教版
1．在数列{an}中，an＝
1 nn＋1
，若{an}的前n项和为
2 2
019 020
，则项数n为
(D )
A．2 016
B．2 017
C．2 018
D．2 019
2．已知数列：1
1 2
，2
1 4
，3
1 8
，…，
n＋21n
，…，则其前n项和关于n的表
达式为________．
答案：nn2＋1＋1－21n
B．22
019 020
2 019 C.2 018
D．12
019 010
2．(2021·张掖期末测试)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长
方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，21，31，41，…，1n.①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an，
a2－5＝3(a1－3)． 因为a1＝3，所以an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
2n－1，
故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝( 3 －1)＋( 5 － 3 )＋…＋
( 2n＋1－ 2n－1)＝ 2n＋1－1.
裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准 确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消 去项的规律为止． (2) 消 项 规 律 ： 消 项 后 前 边 剩 几 项 ， 后 边 就 剩 几 项 ， 前 边 剩 第 几 项，后边就剩倒数第几项.
高考数学人教版理科一轮复习课件：第五章 数列 4 数列求和
[知识重温] 一、必记 6●个知识点 1．公式法求和 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差 等比数列的求和方法。 2．裂项相消法求和 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消 的项的求和方法。
Байду номын сангаас
3．错位相减法求和 (1)适用的数列： {anbn}， 其中数列{an}是公差为 d 的等差数列， {bn} 是公比为 q≠1 的等比数列。 (2)方法：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)， 则 qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)， (*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化 为根据公式可求的和。
解析：(1)正确。根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知。 (2)正确。根据等比数列的求和公式可知。 1 1 1 1 (3)错误。直接验证可知 2 ＝ n－1－n＋1。 n －1 2 (4)错误。 含有字母的数列求和常需要分类讨论， 此题需要分 a＝0， a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能 用错位相减法求和。 (5)正确。根据周期性可得。
4．数列{an}的通项公式为 an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，则{an}的前 n 项和 Sn＝________。
解析：由题意得数列{an}的前 n 项和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋ n＋1 nn＋1 2－2 nn＋1 n＋1 2 3 n 2 ＋2 ＋…＋2 )＝ ＋ ＝ ＋2 －2。 2 2 1－2 nn＋1 n＋1 答案： ＋2 －2 2
考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能 用相关知识解决相应的问题