第4课时数列求和
3a1＋3d＝6， a1＝3， 解得 8a1＋28d＝－4. d＝－1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n. － (2)由(1)可得 bn＝n·n 1，于是 q
Sn＝1· ＋2· ＋3· ＋„＋n· . q q q q 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 1 2 n－1 qSn＝1· ＋2· ＋„＋(n－1)· ＋n·n. q q q q 两式相减，得 n 1 2 n－1 (q－1)Sn＝nq －1－q －q －„－q ＋ qn－1 nqn 1－n＋1qn＋1 ＝nqn－ ＝ . q－1 q－1 ＋ nqn 1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . 2 q－1
(2)当 a1＝2 时， 2 1 1 bn＝2 ，cn＝ ＝2( － )． n＋1n＋2 n＋1 n＋2 则 Tn＝c1＋c2＋„＋cn 1 1 1 1 1 1 ＝2( － ＋ － ＋„＋ － ) 2 3 3 4 n＋1 n＋2 1 1 n ＝2( － )＝ . 2 n＋2 n＋2
n＋1
【名师点评】 常见的拆项公式有： 1 1 1 (1) ＝n－ ； nn＋1 n＋1 1 11 1 (2) ＝k(n－ )； nn＋k n＋k 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1
在上式两端同乘 a1an＋1an＋2，得 a1＝(n＋1)an＋1 －nan＋2.③ 同理可得 a1＝nan－(n－1)an＋1.④ ③－④得 2nan＋1＝n(an＋2＋an)， 即 an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以{an}是等差数列.12 分
【名师点评】 本题从外形看很简单，但有一 定难度，考生在解题时易出现以下问题： 一是充分性与必要性不分；二是由等式关系推 导等差数列不知如何下手，还有的考生利用等 差数列证等差数列．
例2
【思路分析】 (1)由已知条件寻找a1与d的关系， (2)表示出cn，然后采用裂项法．
【解】 (1)证明：设等差数列{an}的公差为 d， 由 S4＋a2＝2S3，得 4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d， ∴a1＝d， 则 an＝a1＋(n－1)d＝na1， ∴b1＝2a1，b2＝4a1， b2 等比数列{bn}的公比 q＝ ＝2， b1 n－1 则 bn＝2a1· ＝2n·1， 2 a ∵2n∈N*，∴{bn}中的每一项都是{an}中的项．
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an ＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.
解析：由已知，得 a1＝1， a2＝2， a3－a1＝0， a4－a2＝2， „ a99－a97＝0， a100－a98＝2，
累加得 a100＋a99＝98＋3， 同理得 a98＋a97＝96＋3，„，a2＋a1＝0 ＋3， 则 a100＋a99＋a98＋a97＋„＋a2＋a1 50×98＋0 ＝ ＋50×3＝2600. 2
列，正奇数列等．
裂项相消求和 若数列的通项是以分式给出，且分子是常数，分 母是自然数的乘积，求解时，一般，把数列的通 项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项和变成首尾若干项之和，从而求出数 列的前n项和．
已知等差数列{an}的首项 a1≠0，前 n 项 和为 Sn，且 S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝ a2，b2＝a4. (1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的 项； 2 (2)若 a1＝2，设 cn＝ ，求数列{cn}的 log2bn· 2bn＋1 log 前 n 项和 Tn.
1 2 1 答案： (n ＋n＋1－ n) 2 3
5．数列{(－1)n(2n－1)}的前2012项的和S2012 ＝________. 答案：2012
考点探究·挑战高考
考点突破 分组转化求和 分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则 先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差
或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
∴an<0即2n－3n－1<0. 函数f(x)＝2x－3x－1在[1,2]上为减函数，
在[3，＋∞)上为增函数，
当n＝3时，23－9－1＝－2<0，
当n＝4时，24－12－1＝3>0，
∴2n－3n－1<0中n的最大值为3.
(2)Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(2＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· －n 2 1－2 n3n＋5 n＋1 ＝2 － －2. 2
3．非等差、等比数列的一般数列求和，主要有 两种思路： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或 等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错 位相消来完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过 裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和， 要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢．
错位相减求和 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等 比数列，求数列{an·n}的前n项和时，可采用错 b 位相减法． (2)用乘公比错位相减法求和时，应注意 ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为 负数的情形； ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－ qSn”的表达式．
课前热身
1 1． 数列{an}的前 n 项和为 Sn， an＝ 若 ， nn＋1 则 S5 等于( ) 5 A．1 B. 6 1 1 C. D. 6 30
答案：B
2n－1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ，其 2 321 前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
【规律方法】
利用分组求和常见题型：
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数
列，采用分组求和法求{aБайду номын сангаас}的前n项和；
(4)注意常见数列求和公式应用如正整数列，正偶数
考向瞭望·把脉高考
考情分析 从近几年高考试题来看，错位相减法求和是高考 的热点，题型以解答题为主，往往和其他知识相 结合，考查较为全面，在考查基本运算、基本概 念的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题 的能力．如2010年课标全国卷，四川卷等都考察 了错位相减，而安徽卷，山东卷都考查了裂项相 消. 预测2012年高考错位相减法求和仍是高考的重点， 同时应重视裂项相消法求和．
第4课时
数列求和
双基研习·面对高考
基础梳理
求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 nn－1 na1＋an na1＋ d 2 2 Sn＝_________＝______________.
②等比数列的前 n 项和公式 a．当 q＝1 时，Sn＝na1； n a11－q a1－anq b．当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q
例1
已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在
f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.
(1)求使an<0的n的最大值；
(2)求Sn.
【思路分析】 (1) 将n，an代入fx的解析式 →
解不等式an<0 → 结论 (2) Sn＝a1＋a2＋„＋an → 分组求和 → 结论
【解】
(1)依题意an＝2n－3n－1，
(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几 个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下 首尾若干项．
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加(即等差数列
求和公式的推导过程的推广)．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项 相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式 的推导过程的推广．
(2010 年高考四川卷)已知等差数列{an}的 前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； n－1 (2)设 bn＝(4－an)q (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的 前 n 项和 Sn.
例3
【思路分析】 (1)列方程组求 a1 和 d； (2)利用错位相减法求和．
互动探究 在本例(2)的条件下，若有 f(n)＝ log3Tn，求 f(1)＋f(2)＋„＋f(n)的和．
n 解：f(n)＝log3Tn＝log3 . n＋2 ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(n) 1 2 n ＝log3 ＋log3 ＋„＋log3 3 4 n＋2 12 n ＝log3( ·· „· ) 34 n＋2 2 ＝log3 . n＋1n＋2
名师预测
当n为正奇数时， 当n为正偶数时， 且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋„＋a100 等于 ( )
n2 1． 已知函数 f(n)＝ －n2
A．0 B．100 C．－100 D．10200 解析：选B.由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－ 22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002 ＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋ (101＋100)＝100.故选B.
0
1
2
n－1
nn＋1 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ . 2
nn＋1 q＝1， 2 所以，Sn＝ n＋1 nq －n＋1qn＋1 q≠1. q－12
【名师点评】 利用错位相减法求和时，转化 为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则 应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和 不等于1两种情况分别求和．
规范解答
例
(本题满分 12 分)(2010 年高考安徽卷)设数列 a1，a2，„，an，„中的每一项都不为 0. 证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对 1 1 1 n * 任何 n∈N ， 都有 ＋ ＋„＋ ＝ . a1a2 a2a3 anan＋1 a1an＋1
数列求和的几种方法的课件
x 0 x 1 x 1
探究：求和方法
探究一：等差、等比数列求和公式 是用何种方法推导出来的？
倒序相加法
错位相减法
求和方法二:倒加序相
3 、已知对x R,有f x +f 1 x =1成立，则 例 1 f 0 f 0.2 f 0.4 f 0.6 f 0.8 f 1 ___
1 （2）S f 2011 2 f 2011 2010 f 2011
课前检测
1.S 1 3 5 (2n 1) (n 1)
2.S 2 2 2 2 2
2 3 n n 1
2
2
n 2
3.Sn 1 x x x x
2 3 n
Sn
1, n, 1 x n 1 x
求和方法五：分组求和
例4：求数列 n 2
n
的前n项和。
答案：
n(n 1) n 1 2 2 2
求和方法五：分组求和
练习 .S 1 2 2 3 n (n 1) n( n 1)(n 2)
3
总结：
常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 适用范围及方法 等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。 类比等差数列的求和方法。 数列{ anbn}的求和，其中{an}是 等差数列，{bn}是等比数列。 数列{k/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是一次函数的形式。 把通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和，如 {an+bn}。
数列求和
高一数学备课组
高三数学一轮总复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.ppt
12
n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这 个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶 数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
7
2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往 通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
8
3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后 面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。 答案：2m＋1＋5m2＋m－2
13
5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。 答案：(n－1)2n＋1＋2
数列求和(公开课)
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2
思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
数列求和方法专题课ppt课件
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
数列求和的方法(很全 )
数列求和的常用方法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)6n n n n +++=++ ，33332(1)123[]2n n n +++++= . 例1 、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝_____ ；2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…练一练：求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值练一练：已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______；4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.练一练：设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.；5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k=-++；③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=.例6、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例7、 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.练一练：（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ ； （2）在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____ ；6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
数列的求和方法
点评内容 例1 例2 例3 例4 例5 检测1
展示小组 1 2 3 4 5 6
点评小组 自评 自评 自评 自评 自评 自评
交叉立体目标
1.点评人员点评 声音洪亮，面向 全体同学，语言 清晰并能拓展 （用彩笔补充） 2.非点评人员认 真倾听、积极思 考，记好笔记。 有不明白或有补 充的要大胆提出！
检测2
检测3
7
8
自评
自评
检测4
检测5
9
10
自评
自评
学科班长总结
1、知识总结 2、课堂表现
自己做一做：
• 1、思考，整理：你在这节课的过程中学到 了什么？ • 2、课后训练案；
1、如果一个数列是等差数列或等比数列， 则求和时直接利用等差、等比数列的前n项 和公式，注意等比数列公比q的取值情况要 分q＝1和q≠1.
2、一些常见数列前n项和公式也直接使用.
(二) 非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法 如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数 列的前n项和即是用此法推导的． 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比 数列的前n项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和． 4．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减． 5. 并项求和法 把数列的若干项按照一定规律组合成等差（比）数列或常见的数 列，从而求得其和．
导学案完成情况反馈
4.2.2等差数列的前n项和公式说课课件(人教版)
列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？
转化为基本量a1和d
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 2 d
也可以通过
Sn a1 a2 a3 an
利用求和公式和每 项具体化
a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
1
n项 2
2
n 1个
n n 1
2
2
n 1 1 n n 1 n n 1
2
2
2
演绎推理“推”公式
问题4：在求前n个正整数的和时，对n分奇偶数进行讨论得到的结果是一样
的，那么怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相
同数的求和”呢？
“奇数加奇数、偶数加偶数”都可以变成偶数，根据这个性质让它自己和自己配对.
3+98 =101 a3+a98 =101
50+51 =101 a50+a51=101
S100 (1 100 ) (2 99) (50 51)
=50 ×101=5050 首尾配对法
通过S配10对0=凑(a成1+相a1同00)的+数(a，2+变a9“9) 多+…步+求(和a5”0+为a51) “一步相乘=5”0 ，×即10将1“=5不05同0数的求和”转化为
（简化计算）
设计意图：高斯算法蕴含着等差数列的特殊性 质，让学生去观察、探索、发现等差数列的 这一性质，引导学生提炼高斯算法的实质， 体会转化与化归的思想方法.
高斯 Gauss.C.F （1777~1855）
高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿 并称为历史上最 伟大的数学家, 有 “数学王子”之称.
《数列求和》教学设计
第四章数列《数列求和》教学设计1.理解一些常见数列的求和方法．2.会求一些常见数列的前n项和．教学重点：常见数列的求和方法.教学难点：错位相减法求一类数列的和.PPT课件．【新课导入】问题1：等差数列的前n项和公式是什么？设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.问题2：等比数列的前n项和公式是什么？师生活动：学生回顾公式并回答．预设的答案：设计意图：通过回顾公式，引入新课．问题3：如果一个数列既不是等差数列也不是等比数列，如何求它的前n项和呢？常见数列的求和方法有哪些？设计意图：通过该问题，引起学生思考既不是等差数列也不是等比数列的特殊数列求和．【探究新知】知识点一 错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.知识点二 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.知识点三 分组求和法对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和.知识点四 倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.知识点五 并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论. 并项求和一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．【巩固练习】例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n ＋2)·2n ，求该数列前n 项和S n . 师生活动：学生分组讨论，教师讲解． 预设的答案：S n ＝5×2＋8×22＋11×23＋14×24＋…＋(3n －1)·2n －1＋(3n ＋2)·2n ……① 2S n ＝5×22＋8×23＋11×24＋14×25＋…＋(3n －1)·2n ＋(3n ＋2)·2n ＋1……② ①－②得：－S n ＝5×2＋3×22＋3×23＋3×24＋…＋3·2n －1＋3·2n －(3n ＋2)·2n ＋1 ＝10＋3(22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n )－(3n ＋2)·2n ＋1＝10＋3(2n ＋1－4)－(3n ＋2)·2n ＋1q {}n n a b ±{}{},n n a b 1()n a a +(1)()nn a f n =-＝3·2n ＋1－(3n ＋2)·2n ＋1－2 ＝(1－3n )·2n ＋1－2故S n ＝(3n －1)·2n ＋1＋2. 设计意图：通过该题让学生理解乘公比错位相减法的应用及步骤.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．易错点剖析：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)两式相减时最后一项因为没有对应项不要忘记变号；(4)对相减后的和式的结构要认识清楚，中间是n －1项的和；(5)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.例2 已知等差数列为递增数列，且满足,．（1）求数列的通项公式； （2）令，为数列的前n 项和，求．师生活动：学生分析题意，完成（1）；师生一起完成（2）．预设的答案：（1）由题意知，或为递增数列，，故数列的通项公式为（2）. 设计意图：通过该题让学生理解裂项相消法的应用及相消规则.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：等差数列中相邻两项积的倒数构成的数列求和用裂项相消法；常见的通项分解（裂项）有： （1） [一般] {}n a 12a =222435a a a +={}n a *1()(1)(1)n n n b n N a a =∈+-n S {}n b n S 222(22)(23)(24)d d d +++=+23440d d ∴--=2d ∴=23d =-{}n a 2d ∴={}n a 2.n a n =1111()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+11(1)221n =-+21nn =+111(1)1n a n n n n ==-++1111()()n a n n k k n n k==-++（2）（3） （4）（5）例3 求和：.师生活动：学生分组讨论，派代表发言；教师完善．预设的答案：原式. 设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.例4求和 师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：设 ①②①+②得，所以.设计意图：通过该题让学生理解倒序相加法.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：如果一个数列距离首末两项的和相等，就可以采用倒序相加法. 例5求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善．预设的答案：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+2(2)1111()(21)(21)22121n n a n n n n ==+--+-+1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==--++++n a ==()()()12235435235n n ----⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()122462353535n n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()()()1215152233152154nn n n nn -----+=-⨯=+---︒++︒+︒+︒89sin 3sin 2sin 1sin 2222 ︒++︒+︒+︒=89sin 3sin 2sin 1sin 2222T ︒++︒+︒+︒=1sin 87sin 88sin 89sin 2222 T ︒++︒+︒+︒=89cos 3cos 2cos 1cos 2222 T 289T =44.5T =＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.设计意图：通过该题让学生理解并项求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：通常数列中的项是正负交替或奇偶项各有规律的，往往采用并项求和法.【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：目标检测题【目标检测设计】 1.已知若等比数列满足则（ ）A ．B ．1010C ．2019D ．2020 设计意图：进一步巩固错位相减法.本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 2.求数列的前n 项和. 设计意图：进一步巩固错位相减法.该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和. 3.求数列前n 项的和.设计意图：让学生进一步巩固裂项相消法. 参考答案： 1.D等比数列满足即2020故选D. 2.①， ②， 22()(),1f x x x=∈+R {}n a 120201,a a =122020()()()f a f a f a +++=201922n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S {}n 12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()()32121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭22()(),1f x x x =∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++{}n a 120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=122020()()()f a f a f a +++=231123122222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++234111*********n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++①-②得， . 3.∵， .23411111112222222n n n n S +=++++⋅⋅⋅+-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--111,22n n n +=--11222n n nnS -∴=--()()3311212122121n a n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭3111111131311233557212122121n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 习题课——数列求和
(1)求an及Sn;
1
(2)令 bn= 2 (n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
-1
解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
1 + 2 = 7,
由题意知
解得 a1=3,d=2.
21 + 10 = 26,
(1 + )
由 an=a1+(n-1)d,Sn=
1-2
∴Tn=3n×2n+2.
答题模板 第一步:由数列{an}中an与Sn的关系求其通项公式;
第二步:由数列{bn}的递推关系求其通项公式;
第三步:求出数列{cn}的通项公式;
第四步:用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.
失误警示
造成失分的主要原因如下:
(1)由数列{an}中an与Sn的关系求其通项an时漏掉n=1时的情况导致丢分;
(2)不会利用an=bn+bn+1求出等差数列{bn}的公差和首项出错;
(3)错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn时不知道错位对齐相减,弄错正负号
失分.
【变式训练】 已知数列{an}的前 n 项和
大值为 8.
(1)确定常数 k,并求 an;
(2)求数列
9-2
2
的前 n 项和 Tn.
1 2
2
1
2
记 A=2 +2 +…+2 ,B=-1+2-3+4-…+2n,
1
2
2(1-22) 2n+1
则 A=
=2 -2,
1-2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.