二章圆波导

(7)
二、圆波导一般解
其解分别是
cos m ( ) c1 cos m c2 sin m sin m R ( r ) c J ( k r ) c N ( k r ) J m ( kc r ) 3 m c 4 m c N m ( kc r )
（1）模式简并：由于贝塞尔函数具有J0′(x)=-J1(x)的性质, 所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等, 即:
μ’0n=μ
1n,
故有 , cTE0 n cTM1n
从而形成了TE0n模和TM1n
模的简并。这种简并称为模式简并。
而根据前面讨论：Hon是J’0 的第n个根，E1n是J1的第 n个根，很显见，这两类波型将发生简并。
Hz 1 j Ez Hr 2 kc r r E 1 Ez j H z k 2 r r c
二、圆波导一般解
TE模式 Ez 0; H z H 0 J m (kc r )
4、圆波导中TM波型
E E E H H
r

z
r

cos m z E 0 J m (k c r ) e sin m kc sin m m ± 2 E 0 J m (k c r ) e z cos m kc r cos m z E 0 J m (k c r ) e sin m z m j m E 0 J m ( k c r ) cos m e 2 sin m kc r cos m z j E 0 J m (k c r ) e sin m kc
相同的周长圆的面积最大
可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波 导是自然的。
特点小结：损耗小；用于天线馈线；也可用于较远距离的 传输线；广泛用作微波谐振腔。
2.功率容量和衰减是波导传输线十分重要的两个指 标。这个问题从广义上看
功率容量 Pmax S (其中S是截面) 衰减 a L(其中L是周长)
2 R
(20)
mn
5、圆波导截止波长
由截止波数可求得相应的截止波长，它们分别为 2R 2R c (T Mmn ) c (T Emn ) mn mn 圆波导中截止波长值
波型
mn
1.841 2.405 3.054 3.832
c
3.41R 2.62R 2.06R 1.64R
其中，J 'm (k c r )是第一类m阶Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3. 边界条件 圆波导包含三种边界条件 • 有限条件 f(r=0)≠∞ • 周期条件f( 0 )=f( 2 ) • 理想导体条件地ft(r=R)=0 其中t表示切向分量 有限条件导致圆波导体不出现Neumann函数。 周期边界条件要求m为整数阶。
1 1 2 2 2 2 r 2 2 r r r r z
(1)
(2) (3)
H z R(r )( )Z ( z)
二、圆波导一般解
同样可解出 于是
Z ( z ) ce
z
(4) (5)
H z R(r )( )e z
(8)
其中c1，c2，c3，c4为常数。m=0，1，2，…为整数。
J m (kc r )为第一类m阶Bessel函数 N m (kc r )为第二类m阶Bessel函数(Neumann函数)
二、圆波导一般解
对于Neumann函数最大特点是x→0，Nm(x)→-∞。 而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现 Neumann函数。
可以把上面两个Maxwell旋度方程分解成两组 1 Hz Hz j Er H H r j E r r 1 Ez (12) Ez j H r E Er j H r r
Ez H z 1 H 2 j kc r r E 1 j H z Ez r kc2 r r
cos m z H z H 0 J m ( kc r ) e (9) sin m 2. 纵向分量法
贝塞尔函数曲线
U’11=1.841
J 0 ' ( x) J 1 ( x)
x2 v 4 x J v ( x) 2 k 0 k!(v k 1)
二、圆波导一般解
圆波导TE波场表达形式
Er j 2 H 0 J m mn kc r R
γ =jβ，H0=k2c Hm,n
sin m j z r e cos m mn sin m j z E j H0Jm r e kc R cos m Ez 0
2
U01=2.405
J v ( x)cos(v ) J v ( x) N v ( x) sin(v )
二、圆波导一般解
H j E
利用纵向分量表示横向分量
E j H
1 H z H j Er z r Hr H z (10) j E z r 1 Hr (rH ) j Ez r r
1 r ... r r r
2
且满足
2Hz 1 Hz 1 2Hz 2 kc2 H z r 2 r r r 2
(6)
其中
2 kc2 k 2
二、圆波导一般解
2 Rz 1 R R 2 z 2 kc2 H z r 2 r r r 2
注意到
1 Ez E j H r (11) r z Er E z j H z r 1 Er (rE ) j H z r r
z
二、圆波导一般解
j ,
H0 k Hm,n
2 c
cos m z e sin m
有
sin m z j m Er H 0 k 2 r J m (kc r ) cos m e c cos m z j J m ( kc r ) e E H 0 sin m kc (13) cos m z H H J m ( kc r ) e r 0 sin m kc sin m z m H H 0 k 2 r J m (kc r ) cos m e c
TE11
TM01
TE21
TE01
5、圆波导截止波长
圆波导不同波型的截止波长分布图，如图所示。
，
TE11模的截止波长最长，因此Байду номын сангаасE11模是圆波导传输的主 模，TE11单模传输的条件为
2.62 R 3.41R
0.29 R 0.38
三、 简并模
在圆波导中有两种简并模, 它们是模式间并和极化简并。
等式两边除以ΦR，乘上r２
r 2 2 Rz r R 1 2 z kc2 r 2 0 2 2 R r R r
显然，可以令一常数-m２
1 d 2 m2 d 2 d 2R dR r 2 r (kc2 r 2 m2 ) R 0 dr 2 dr
1、利用波动方程求解纵向场分量Ez，Hz的通解
2、根据边界条件求特解 3、利用横纵关系式求解所有场分量的表达式 4、根据表达式讨论其截至特性、传输性和场结构。
二、圆波导一般解
1. 它们也可以划分为TE和TM波。 我们以TE波作为例子，这时 Ez=0 2 H z k 2 H z 0 z分量分别满足 H z |r R 0 r 对于圆柱坐标 假设
很容易引出一个品质因数F
Pmax S F a L
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下， 圆面积最大

思考：圆波导与矩形波导区别？
思考：圆波导与矩形波导区别？
截面形状不同 采用不同坐标系 波动方程的表现 形式不同 形状不同导致边界条 件的表现形式不同 拉普拉斯算子
1 1 2 2 2 r 2 2 2 r r r r z
2 2 2 2 2 2 2 x y z
圆波导包含三种边界条件
解的形式不同
•有限条件 f(r=0)≠∞ • 周期条件f( 0 )=f( 2 ) • 理想导体条件ft(r=R)=0 其中t表示切向分量
二、圆波导一般解
各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，由 此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了 适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。 分析方法：
三、 简并模
(2)极化简并——即sinm 和cosm 两种，相互旋转90° 圆波导波型的极化简并，使传输造成不稳定，这是圆 波导应用受限制的主要原因。
波型指数m，n的含义 m-代表沿圆周角向分布的整驻波周期数 n-代表沿半径r分布场的最大值个数或者半驻波数
四、圆波导中三种主要波型
我们将讨论圆波导中三种主要波型，即TE11（H11 ） 模，TE01 （ H01 ）模和TM01（E01）模。 1. 传输主模——H11模 在圆波导中，H11模截止波长最长，λc=3. 412R， 是最低型波也即传输主模。
二、圆波导一般解
理想导体边界条件要求r=R处， =0，也即 E
J m (kc R) 0
设 mn 是m阶Bessel函数导数的第n个根，则
(14)
kc R mn
kc mn R 2
(n 1, 2, 3, )
2 R c mn
(15)
c
(16)