二项式定理的应用
高中数学：二项式定理的应用
二项式定理处于排列组合和概率的交汇处。
一、比较大小
例1已知，在时，比较与的大小。
解：因为，所以令，于是
，故。
点评：使用换元策略转化问题，利用二项式定理将结论放缩到上来。
二、近似计算
例2求的近似值（精确到）。
解：因为
，所以。
点评：凡二项式定理进行近似计算可根据精确度适当选用如下公式：，。
三、整除问题
例3已知数列和的通项公式分别为
，将两个数列的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求的通项公式。
解：由于数列由数列和的公共项组成，那么必有，即，整理得
，则必能被4整除。
由二项式定理知：
，于是当且仅当为奇数即时，才是整数，故。
点评： B被A整除可视，利用二项式定理将表达式为，若C可被A整数，则B可被A 整除，可见提取公因式A乃关键所在。
四、余数问题
例4今天是星期天，从今天起天后的第一天是星期几？
解：因为
，而
可被4整除，所以被7除的余数为4，从今天起天后的第一天是星期五。
点评：先考虑除以7的余数是多少，利用7天为一个周期的规律可推出结果，联想便会找到解题思路。
五、求值
例5用表示实数的小数部分，若，求的值。
解：设，则由二项式定理知：
，于是
必为正整数，故，所以。
点评：挖掘倒数关系，并构造
是顺利解题的关键。
六、证明不等式
例6 已知是正整数，且。
证明：。
证明：由二项式定理得：
，又，所以，故。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是代数学中的一个基本定理，它展示了两个数的和的n次幂的展开式。
该定理在代数方程、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
二项式定理的起源可以追溯到17世纪的数学家牛顿和莱布尼兹。
在众多数学家的不懈努力下，二项式定理得以完善，并在后来的数学研究和工程实践中发挥了巨大的作用。
二项式定理最早可以追溯到16世纪的意大利数学家帕斯卡的工作。
帕斯卡在其著作《算术几何学》中首次明确阐述了二项式系数的概念，并使用了二项式系数的性质解决了一些数学问题。
帕斯卡也注意到了二项式系数的规律性，并在其中发现了一个与杨辉三角有关的规律。
杨辉三角是一种数数的结构，它可以透露二项式系数的组织规律。
帕斯卡的工作为后来的数学家提供了重要的启示，对于二项式定理的发展起到了重要的作用。
17世纪后期，数学家牛顿和莱布尼兹独立地发现了二项式定理。
在莱布尼兹的著作《二项式系数之新启示》中，他对二项式系数的性质进行了全面的探讨，并给出了二项式定理的严格证明。
牛顿也在其著作《自然哲学的数学原理》中提出了类似的结果，但他的工作并没有得到当时的重视。
牛顿和莱布尼兹的工作对于后来二项式定理的发展产生了深远的影响，为后来的数学家提供了宝贵的启示和思路。
在二项式定理被完善之后，数学家们开始着手研究二项式定理的应用。
在代数方程的求解中，二项式定理可以用来将高次幂的多项式分解为较低次幂的多项式的乘积，从而简化了数学问题的求解过程。
在概率论中，二项式定理可以用来计算排列和组合的数量，从而帮助研究概率事件的发生规律。
在统计学中，二项式定理可以用来分析离散分布的概率，帮助研究样本数据的分布规律。
在工程实践中，二项式定理还可以应用于信号处理、电路设计等领域，为工程问题的解决提供了数学支持。
除了以上的应用领域之外，二项式定理还在数学的教学和科研中发挥着巨大的作用。
在教学中，二项式定理是代数学学习的基础，通过对二项式定理的理解和运用，可以帮助学生掌握多项式的展开和分解法则，并为后续的学习奠定了坚实的基础。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是代数学中最著名的公式之一，它描述了二项式的幂次展开式。
它的形式为：$$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$$其中，$C_{n}^{k}$是组合数，表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合方式数。
这个公式的起源可以追溯到公元前300年的中国数学家杨辉。
他在《详解九章算法》中就已经提到了二项式定理的特殊情形，即$n=2$时的式子：$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$ 然后在16世纪，法国数学家帕斯卡进一步发展了杨辉的思想，提出了完整的二项式定理。
二项式定理的应用非常广泛，在各种科学领域和工程技术中都能看到它的身影。
1. 概率统计学在概率统计学中，二项式公式常用于描述二元事件中某种情况出现的概率。
我们可以用二项式公式计算掷硬币时正面朝上的次数或者在一组打牌中获得特定牌面的概率。
2. 计算机科学在计算机科学中，二项式公式可以用于分析算法的时间复杂度。
例如，在递归算法中，我们往往需要计算函数的运行次数，而二项式公式可以帮助我们计算递归函数的复杂度。
3. 金融学在金融学中，二项式公式常常用于定价期权。
期权是一种金融衍生产品，其价值取决于标的资产的价格变化。
二项式公式可以帮助金融分析师计算期权的合理价格。
4. 物理学在物理学中，二项式公式可以用于分析粒子在不同能级中的分布概率。
例如，在原子和分子中，电子会填补原子能级，而二项式公式可以帮助物理学家计算电子处于不同能级的概率。
总之，二项式定理是一项非常有用的工具，已经被证实在各种领域都有广泛的应用。
它不仅是代数学中的重要概念，也是几乎所有科学领域中的必备工具。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中非常基础的一个定理，它的重要性不亚于勾股定理和皮克定理。
在高中数学学习中，学生一定会接触到它，它被广泛应用于高中数学乃至进一步的数学学习中。
下面我们就来介绍一下什么是二项式定理以及它的应用。
一、二项式定理的定义二项式定理又称为二项式展开定理，是可以展开(a+b)^n的定理。
其中a、b为任意数，n为正整数。
它的一般形式为：(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数。
二、组合数的定义组合数是数学中一个非常重要的概念，它的作用非常广泛，不仅仅在二项式定理中使用，还在概率论、统计学、组合数学等多个领域中都有应用。
组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!),其中0≤k≤n，n!表示n的阶乘。
三、二项式定理的应用1.幂的展开(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n中，幂的展开就是应用二项式定理的一个实际应用。
例如：(2x+3)^3 = C(3,0)·2^3·3^0 + C(3,1)·2^2·3^1 + C(3,2)·2^1·3^2 + C(3,3)·2^0·3^3 = 8x^3+36x^2+54x+272.排列组合排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，可以通过二项式定理来解决。
二项式定理在初等数学中的应用
二项式定理在初等数学中的应用二项式定理是在计算及数学研究中经常使用的定理。
二项式定理通常用于计算排列组合，在初等数学中有很多应用，主要有以下几个：
1. 二项分布：可以用二项定理来描述数据点的分布情况，通过研究其概率分布，来得出结论。
2. 圆面积：二项定理可用来计算圆的面积，可用于求解几何问题。
3. 对数函数：使用二项定理，可以求出某一特定函数的对数函数，以便进行后续处理。
4. 三角函数：二项定理可以用来求解三角函数，使用了三角函数可以计算出三角形的面积。
5. 拓扑学：二项定理可以用来描述拓扑学中变化图形的结构，从而得出结论。
6. 概率论：使用二项定理，可以计算出某一特定概率事件发生的可能性，从而推断出最终的结论。
7. 几何学：二项定理的数学方法可以非常容易地解决几何图形中的各种复杂问题。
8. 统计学：使用二项定理可以更快捷地了解抽样数据，从而使用统计学技术进行更准确的推断。
9. 调和级数：二项定理可以精确计算出调和级数的值，从而解决若干数学问题。
10. 各种游戏：二项定理可以用来研究各种游戏的概率，如橙子游戏、赌博等。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是代数中的一个重要定理，它起源于古希腊数学家欧多克思提出的“二项式定理”，并在之后的数学发展中得到了进一步的发展和应用。
本文将介绍二项式定理的起源及其应用。
1. 二项式定理的起源“二项式定理”最早可以追溯到古希腊数学家欧多克思（Eudoxus）。
他在其著作《平面和立体度量》中提出了一个类似于现代二项式定理的定理，用几何方法推导出了一些二次方程的解，并通过实际问题的求解来阐述这一定理。
随后，古希腊数学家亚历山大的迪奥尼修斯（Diophantus）在其著作《算术》中也发展了一些类似于二项式定理的内容，但这些内容并不完整，无法表述为一个普遍的公式。
由此可见，二项式定理的起源可以追溯到古希腊时期，经过了欧多克思、迪奥尼修斯、费玛和帕斯卡等一系列数学家的发展和完善，最终得到了现代的形式和应用。
2. 二项式定理的应用二项式定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在代数和组合数学中。
其一般形式如下：(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^ka和b是任意实数或复数，n是任意非负整数，\binom{n}{k}表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。
在代数中，二项式定理可以用来展开任意指数幂的多项式。
我们可以通过二项式定理将一个多项式展开为一系列项的和，这样可以简化多项式的计算和处理，使得对多项式进行进一步的研究和运算变得更加便利。
二项式定理也可以用来证明数学中的一些定理，例如二次方程的解、数学归纳法等都可以用到二项式定理。
在组合数学中，二项式定理也有着重要的应用。
通过二项式定理，我们可以求解二项式系数，进而得到一些组合数学中的排列与组合的问题。
我们可以利用二项式定理来求解n个元素的集合中，取k个元素的所有可能性数目。
这样，二项式定理可以帮助我们解决一些实际的排列与组合的问题。
二项式定理还在概率论、统计学和物理学等领域有着重要的应用。
在概率论中，二项式定理可以用来推导二项分布的概率公式；在统计学中，二项式定理可以用来计算二项式系数，从而用来分析实际数据的统计特征；在物理学中，二项式定理可以帮助我们理解一些物理现象，例如通过将二项式定理与泰勒展开式相结合，可以分析物体运动的轨迹和速度变化。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是数学中一个非常重要的公式，它起源于中国古代数学家杨辉在13世纪发现的一个规律。
它在代数学、组合数学以及其它许多领域中有着广泛的应用。
二项式定理的起源可以追溯到中国古代数学家杨辉的《详解九章算法注》一书中。
这本书是中国古代数学的经典之作，编写于13世纪。
在书中，杨辉介绍了一种称为“张成式”的计算方法，这种方法可以用来求解高次的幂运算。
张成式的计算过程中出现了很多二项式系数，这就是二项式定理的雏形。
二项式定理的最早形式是在17世纪由法国数学家爱德华·笛卡尔发现的。
他在写给意大利数学家费马的一封信中，首次提出了a+b的n次幂可以用二项式展开的观点。
这个观点表明，（a+b）的n次幂可以展开为一系列幂的和，每个幂的系数是通过组合数计算出来的。
这就是我们现在熟知的二项式定理的形式。
二项式定理的应用非常广泛，它在代数学、组合数学、概率论等领域都有重要的应用。
二项式定理在代数学中可以用来展开多项式。
根据二项式定理，我们可以将多项式展开为一系列项的和，每一项都是给定的系数和幂的乘积。
这样的展开有助于我们理解和计算多项式的性质。
二项式定理在组合数学中有着广泛的应用。
组合数学研究的是离散对象的组合和排列问题，而二项式定理提供了计算组合数的方法。
组合数是指从n个不同元素中取出r个元素的方式数，可以通过二项式定理计算得到。
我们可以使用二项式定理来计算一个集合中的子集数量。
一个集合有n个不同的元素，那么它的子集数量就是2的n次幂。
这可以通过展开（1+1）的n次幂得到。
二项式定理在概率论中也有重要的应用。
在概率论中，我们经常遇到二项分布的问题，即重复进行n次试验，每次试验成功的概率为p，求成功次数的概率分布。
根据二项式定理，我们可以得到二项分布的概率公式。
二项式定理还在统计学、微积分等领域中有着许多应用。
在统计学中，二项式定理可以用来计算二项分布的期望值和方差。
在微积分中，二项式定理可以用来推导幂函数的导数。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是数学中的一个重要定理，它源于古希腊数学家欧几里德所著的《几何原本》，并在数学发展的过程中得到了广泛的应用。
本文将从二项式定理的起源以及其在数学和现实生活中的应用方面进行探讨。
二项式定理的起源可以追溯到公元前300年左右，当时欧几里德在《几何原本》中首次提出了关于二项式定理的一些概念。
他在书中系统地论述了几何和代数学的基本理论和定理，并在此过程中引入了二项式定理。
欧几里德在书中首次证明了二次方程的求根公式，并给出了解一次和二次之间的通解。
这些成果对后来的代数学和数学分析的发展产生了深远的影响。
二项式定理最初的形式是针对整数幂的展开，例如(a+b)^n的展开式。
在17世纪，数学家牛顿和莱布尼兹进一步推广了二项式定理，引入了实数和复数幂的展开形式。
他们提出了二项式定理的广义形式，将其应用于更加复杂的数学问题和物理问题中。
在数学领域，二项式定理在组合数学、概率论、数论等领域都有广泛的应用。
在组合数学中，二项式系数是计算排列组合问题的重要工具，例如计算排列组合的总数、不同颜色的球的排列等问题。
在概率论中，二项式分布是描述n次独立重复实验成功次数的分布，常常用于模拟实验结果和分析风险。
在数论中，二项式定理也有重要的应用，例如在欧拉定理、费马小定理中都可以看到二项式定理的影子。
除了在数学领域有着广泛的应用之外，二项式定理也在现实生活中有诸多应用。
在金融领域中，二项式定理可以用于计算复利和折现，帮助人们理解和计算复利的运作方式，从而做出更加明智的财务决策。
在工程领域中，二项式定理可以用于分析信号的变换和滤波，帮助工程师们设计更加高效和稳定的电子设备。
在生物医学领域中，二项式定理可以用于模拟和分析生物实验数据，从而帮助科学家们更好地理解生物学现象和制定相关的治疗方案。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用
二项式定理是一种数学公式，描述了如何展开一个二项式的幂。
二项式定理的表达式是：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$ 其中 $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素的方案数。
二项式定理的起源可以追溯到公元前300年的古希腊数学家欧几里得。
其原始形式是$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 欧几里得利用此公式解决了一个几何问题，即如何将一个正方形分成两个较小的正方形，使它们的面积之和等于原正方形的面积。
随着时间的推移，该公式被广泛应用于代数学和组合数学等领域。
二项式定理的一个重要应用是在概率论和统计学中的二项分布。
在二项分布中，我们想知道在 $n$ 次独立重复实验中，恰好发生 $k$ 次某一事件的概率。
我们可以利用二项式定理计算此概率。
另一个二项式定理的应用是在组合数学中。
二项式定理的展开式告诉我们，一个二项式的幂可以表示为一系列组合数的和。
这使得我们可以计算许多与组合有关的问题，例如从 $n$ 个物品中选出 $k$ 个物品有多少种不同的方式。
二项式定理还在其他领域也有广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，该定理被用于计算电路电压下降或弹性材料的变形程度等。
总之，二项式定理是一种非常有用和广泛应用的数学公式。
其起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得，现在应用于概率论、组合数学、工程学和物理学等领域。
二项式定理的推广与应用
二项式定理的推广与应用一、引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它在代数和组合数学中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的推广和应用，探讨它在不同领域中的具体应用案例。
二、二项式定理的推广二项式定理是将两个项相乘得到一个多项式的定理。
在二次和三次多项式中，它表达为：(x+x)^2=x^2+x^2+2xx(x+x)^3=x^3+x^3+3x^2x+3xx^2然而，二项式定理不仅适用于二次和三次多项式，它可以推广到更高次的多项式。
例如，对于阶数为x的多项式(x+x)^x，我们可以使用二项式定理的推广公式来展开：(x+x)^x=x(x,0)x^xx^0+x(x,1)x^(x−1)x^1+x(x,2)x^(x−2)x^ 2+...+x(x,x−1)x^1x^(x−1)+x(x,x)x^0x^x其中，x(x,x)表示从x个元素中选取x个元素的组合数。
三、二项式定理的应用1. 代数学中的应用二项式定理在代数学中具有广泛的应用，可以用来展开多项式并简化计算。
例如，当我们需要计算一个多项式的高次幂时，可以利用二项式定理的推广公式来展开，从而简化计算过程。
此外，二项式定理还可以用来证明一些重要的代数等式和不等式。
2. 组合数学中的应用组合数学是研究离散结构和组合对象的一个分支，而二项式定理中的组合数x(x,x)恰好是组合数学的基础概念之一。
组合数学在计算概率、计数问题、图论等领域中有着重要的应用。
通过应用二项式定理，我们可以解决一些复杂的组合问题，计算排列和组合的数量等。
3. 概率论中的应用概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的可能性。
二项分布是概率论中的一种常见分布，它描述了在若干次独立重复试验中，成功次数的概率分布。
二项式定理可以用来推导二项分布的概率公式，从而计算随机事件的概率。
4. 统计学中的应用统计学是研究数据收集、分析和解释的一门学科。
在统计学中，我们常常需要计算组合数和排列数，例如用于计算样本空间的大小、计算排列组合的可能性等。
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题型一：1、特定项问题（1） （1）(x3－22x)5的展开式中x5的系数； （2）(2x2－x1)6的展开式中的常数项； （3）(x－1)9的展开式中系数最大的项； （4）在1003)23(x的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）Tr＋1＝rrrrrrxCxxC51552535)2()2()(
依题意15－5r＝5，解得r＝2
故(－2)2rC5＝40为所求x5的系数 （2）Tr＋1＝rC6(2x2)6－ rrx)1(＝(－1)r·26－ r·rrxC3126 依题意12－3r＝0，解得r＝4 故4)1(
·2226C＝60为所求的常数项．
（3）Tr＋1＝r)1(rrxC9
9
∵1265949CC，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T5＝126x5是所求系数最大的项 （4）Tr＋1＝rrrrrrrxCxC1003250100310010023)2()3(
,
要使x的系数为有理数，指数50－2r与3r都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤1632（k∈Z）∴x的系数为有理数的项共有17项． 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分． 2、特定项问题（2） （1）(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数； （2）(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数； （3）321xx
的展开式中的常数项.
（4）已知9)2(xxa的展开式中3x的系数为49，常数a的值为 解：（1）∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8
＋… ∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ (x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝xxxxxx65)1()1()]1([1})]1([1){1( ∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数36C
＝-20
（3）∵ 321xx
=61xx
∴ 所求展开式中的常数项是-36C
＝－20 （4）解：9239299912)1()2()(rrrrrrrr
rxaCxxaCT
令392
3
r
，即8r依题意，得
492)1(894889aC
，解得1a
评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征． ．三、求几个二项式的和（积）的展开
式中的条件项的系数 例1．5432)1()1()1()1()1(xxxxx的展开式中，2x
的系数等于
解：2x
的系数是四个二项展开式中4个含
2x
的，则有
20)()1()1()1()1(3524130233522411300
2CCCCCCCC 例2． 72)2)(1xx（的展开式中，3x
项
的系数是 ； 解：在展开式中，3x
的来源有：
① 第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C
3x
的系数应为：,1008)2()2(447667CC
填1008
求系数最大或最小项 （1） 特殊的系数最大或最小问题 例11．在二项式11)1(x
的展开式中，系数
最小的项的系数是 ； 解：rrrrxTC)1(11111
要使项的系数最小，则r必为奇数，
且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C 题型二、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 （ 1）、若443322104)32(xaxaxaxaax
，
则2312420)()(aaaaa
的值为 ；
解： 443322104)32(xaxaxaxaax
令1x，有432104)32(aaaaa
，
令1x，有)()()32(314204aaaaa
故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa
=44)32.()32(
=1)1(4
在用“赋值法”求值时，要找准待求代
数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1特殊值在解题过程中考虑的比较多。 （2）、设0155666...)12(axaxaxax
， 则6210...aaaa
；
分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：rrrrxTC)1()2(661
65432106210...aaaaaaaaaaa
=)()(5316420aaaaaaa
=0
（3）若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋
a3)2的值等于 ；
（4）1＋210101021011024CCC
＝ ．
解（3）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(32)4， 令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝
4)23(
，
由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1
＋a3)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)( a0
－a1＋a2－a3＋a4)
＝[)23)(23(]4＝1 （4）在(1＋x)10＝rrrxC10100中， 令x＝2，得1＋259049324101010102101
10CCC
评述 这是一组求二项式系数组成的
式子的值的问题，其理论依据是(a＋b)n
＝rrnrnnrbaC10为恒等式． 题型三、利用二项式定理证明整除问题 例1．求证：15151
能被7整除。 证明：15151
=1)249(51
=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051CCCCC
=49P+1251
（NP）
又1)2(1217351
=（7+1）171
=17.....7.7.7.17171617152171611717017CCCCC
=7Q（QN
）
)(77715151QPQP 15151
能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。 四．二项式展开式的“逆用” 例3．计算cCCCnnnnnnn3)1(....27931321
；
解：原式=nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(....)3()3()3(33322110
小结：公式的变形应用，正逆应用，有
利于深刻理解数学公式，把握公式本质。