江西省上饶市2020届六校高三下学期第一次联考理科数学试题(含答案)
【调查】江西省重点中学2020届高三数学下学期第一次联考试题理
【关键字】调查江西省重点中学2017届高三数学下学期第一次联考试题理考试用时：120分全卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知变量呈现线性相关关系，回归方程为，则变量是（）A．线性正相关关系B．由回归方程无法判断其正负相关关系C．线性负相关关系D．不存在线性相关关系4.若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（）A．+为，，…，的和B．和分别是，，…，中最大的数和最小的数C．为，，…，的算术平均数D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（）A. B.C. D.8. 已知实数满足，且，则的最大值（）A．2 B．4 C．5 D．69. 已知函数和函数在区间上的图像交于三点，则的面积是（）A. B. C. D.10. 等差数列的前项和为，若公差，则（）A．B．C．D．11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道:“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。
”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体，求图中四分之一圆柱体和四分之一圆柱体公共部分的体积，若图中正方体的棱长为2，则（）（在高度处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，截得锥体所得面积为，，）A．B．C．D．12.设、分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．二项式的展开式中第四项的系数为．14．如右图所示矩形边长，抛物线顶点为边的中点，且两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是．15. 已知向量满足：，且，若，其中且，则最小值是．16．已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，，则的取值范围是．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）数列满足，．（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （2）设1tan tan n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）2016年11月20日-22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为直角梯形，,1BC CD CD ⊥=，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，(,0)AM AF R λλλ=∈>， （1）当23λ=时，求证：GM //平面DFN ； （2）若直线MN 与CD 所成角为3π，试求二面角M BC D --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左右焦点分别为,E F ，过点F 作直线交椭圆C 于,A B两点，若FB AF 2=且0.AE AB ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O 为原点，圆)0()3(:222>=+-r r y x D 与椭圆C交于N M ,两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PN PM ,与x 轴分别交于点,,S R 求证：||||OR OS ⋅为常数.21.（本小题满分12分）若,x D ∀∈总有()()(),f x F x g x <<则称()F x 为()f x 与()g x 在D 上的一个“严格分界函数”.（1）求证：xy e =是1y x =+和212x y x =++在(1,0)-上的一个“严格分界函数”；（2）函数1(2)21x h x e x +=-+，若存在最大整数M 使得()10M h x >在(1,0)x ∈-恒成立，求M 的值.（2,718e =…是自然对数的底数，132 1.414,2 1.260≈≈）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设点M 的极坐标为（4,2π），过点M 的直线 与曲线C 相交于,A B 两点，若||2||MA MB =，求AB 的弦长．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 选修4-5：不等式选讲设()11f x x x =-++，（x R ∈） （1）求证：()2f x ≥；（2）若不等式211()b bf x b+--≥对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围.江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD12.详解：解析：设点00(,)P x y 则00(,)Q x y -，所以0000,AP BQ y y m k n k x a x a-====+-，即2022y m n a x ⋅=-，又2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a =-，所以22b m n a ⋅=-，则2222212ln ||ln ||ln 2||2b a b a a b m n a b mn a b b a++++=+++，令ba=则222221ln ln 22b a a b x a b b a x +++=+，考查函数1()ln 2f x x x =++，由21)(21)'()2x f x x -=，知1(0,)2x ∈时()f x 单调递减，1(,)2x ∈+∞时()f x 单调递减，所以当12x =时，()f x 取得唯一极小值即为最小值，此时2212b a =，所以e ==二、填空题13. 20 14. 2312a << 16.详解：由22222,2cos b a ac a c b ac B-=+-=⋅得2cos c a a B=+⋅，则sin sin 2sin cos C A A B =+⋅，所以sin()sin 2sin cos A B A A B +=+⋅，可化为sin()sin B A A -=，则2B A =，又ABC ∆为锐角三角形，所以(,)64A ππ∈，又sin sin b aB A=，所以2cos b a A =，则222224cos 2b a a A a a -=-=，所以222123cos 244a a A a +<=<，解得12a <<三、解答题17.解：（1）由2121n n n a a a ++=-+，得211()()1n n n n a a a a +++---=，即11n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，且1(1)13n b b n n =+-⨯=+···································5(分) （2）因为111tan tan tan()tan11tan tan n nn n n nb b b b b b +++--==+，·······························8(分) 所以1tan(4)tan(3)tan tan 1tan1n n n n n c b b ++-+=⋅=-，则tan(4)tan 4tan1n n S n +-=-·······12(分)18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ·······································2(分)（2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。
53.周期倍伸(缩)函数(一)(功能最全,题型最新)
53．周期倍伸（缩）函数（一）高中数学会原创资料对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．从图象角度来说，就是每隔T ，图象重复出现一次．若0),()(>=+k x kf T x f ，则每隔T 出现的不再是重复的图象，而是伸长或缩短为原来k 倍的图象，我们把这样的函数称为周期倍伸（缩）函数．xx(f 变式2 （湖南省汨罗市2020届高三质检）设函数)(x f 的定义域为R ，满足)(21)1(x f x f =+，且当 ]1,0(∈x 时，)1()(--=x x x f ．若对任意),[+∞∈m x ，都有98)(≤x f ，则m 的取值范围是（ D ） A ．7[,)6-+∞ B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞ 变式3 （江西省上饶市六校2020届高三联考）设函数)(x f 的定义域为R ，满足)(2)2(x f x f =+，且当]2,0(∈x 时，)2()(--=x x x f ．若对任意],(m x -∞∈，都有940)(≤x f ，则m 的取值范围是（ B ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦变式4 设函数)(x f 的定义域为R ，满足)(2)2(x f x f =+，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(4,2)x ∈--时，)(x f 的最大值为14-，则实数a 的值为（ ）可知，(f (f x 解：当]1,0(∈x 时，⎥⎥⎦⎢⎢⎣-⎪⎭ ⎝-=-=41214)1(4)(x x x x f ，所以当21=x 时，)(x f 取得最小值1-；由)(3)1(x f x f =+可得)2(91)1(31)(-=-=x x f x f ，所以当)1,2[--∈x 时，)(x f 的最小值是91-．选C ． 小结：本例及变式都是求（最）值问题，无需费力耗时画出图象，准确转化待求函数值即可.例3 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=.2),2(21,2|,1|1)(x x f x x x f 则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7解：如图，先画出2<x 时)(x f 的图象，然后每隔2个长度单位，]2,0[内的图象就倍缩一次．函数()()1F x xf x =-的零点，即为x x f 1)(=的根，即为)(x f y =与xy 1=图象的交点．观察图象，可知当5=x5478变式6 设函数)(x f 的定义域为R ，满足(2)1(x f x f -=+数]()()()0220220f f f ==⋅⋅⋅==，此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D 正确；举特例函数()0f x =，或者构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，可以排除A ．因为()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，令0x =，得()()2200f f +=．若()00f ≠，则()2f 与()0f 异号，即()()200f f ⋅<，由零点存在定理得()f x 在()0,2上至少存在一个零点．由于()()220f k f k ++=，得到()20()f k k Z ≠∈，进而()()()220f k f k f k +=-<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在区间()2,4，()4,6，…，()2020,2022内均至少有一个零点，所以()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点．构造函数()1,022(2),222()x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，是“回旋函数”，在[]0,2022上恰好有1011个零点．若错xx xa。
江西省上饶市2020届六校高三下学期第一次联考(文科)数学试题(word版含答案)
江西省上饶市2020届六校高三下学期第一次联考(文科)数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的。
)1. 已知集合A={1,2,-1},集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A∩B= ()A. {1}B. {1,2,4}C. {-1,1,2,4}D. {1,4} 2.若复数()1a i a R i-∈+为纯虚数，则|3|ai -=( ) .13A B.13 C.10 .10D 3.函数2()(1)cos 1x f x x e=-+图象的大致形状是( )4.给出以下命题:①已知命题p:∀x ∈2,10,R x x -+>则¬P:2000,10x R x x ∃∈-+≤ ②已知a,b,c ∈R ，a>b 是22ac bc >的充要条件;③命题“若1sin ,2θ=则6πθ=的否命题为真命题”. 在这3个命题中，其中真命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 5.设函数2()log ,f x x =若0.235(log 2),(log 2)),(2a f b f c f ===, 则a, b, c 的大小关系为( ) A. a<b<c B. b<c<a C. c<a<b D. b<a<c6.已知非零向量,a b r r 满足||||,a k b =r r 且(),b a b ⊥+r r r 若,a b r r 的夹角为2,3π则实数k 的值为( ) A.4 B.3 C.2 1.2D 7.甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：x,a, b, y 成等比数列，则2a+b 的最小值为（ ）A.6B.8 .22C .42D 8.若双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>0)的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为22,则双曲线C 的离心率为( )A.2 .3B .2C 23.D 9.在△ABC 中，角A, B, C 的对边分别是a, b, c,且面积为S,若bcosC+ccosB= 2acos A ，2221(),4Sb ac =+-则角B 等于( ) .2A π5.12B π 7.12C π .3D π10. 已知三棱锥A- BCD 中，CD ⊥平面ABC, Rt △ABC 中两直角边AB=5, AC=3,若三棱锥的体积为10,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.50πB.25π 25.2C π 25.4D π 11.已知函数()2sin()(0,||),2f x x πωϕωϕ=+><过点(,0),(,2)123A B ππ，当5[,],()2()cos(4)12123x g x mf x x πππ∈=+-的最大值为9,则m 的值为( ) A.2 5.2B C.2和52 D.±212. 已知函数()(21)(1)xf x x e mx m m =-+-≥-，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0,则实数m 的取值范围是( )235.[,)23A e e -- B. 258,23e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.215,23e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 5.[1,)2D e--第II 卷 二、填空题:本大题共四小题，每小题5分，共20分13.函数()cos xf x e x =的图象在点(0, f (0))处的切线方程为___ 14.设变量x, y 满足约束条件2040,440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则11y x ++的最大值是____ 15.已知等比数列{}n a 的公比不为1,且{}n a 前n 项和为,n S 若满足258,2,3a a a 成等差数列,则36S S =____ 16.如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，OA=3, AB=5，,6COD π∠=点E 在弧CD 上，F 在AB 上，3EOF π∠=.设∠FOC=x ，则当平面区域OECBF(阴影部分)的面积取到最大值时cos x =____.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。
2019-2020学年江西省上饶市六校高三(下)第一次联考数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年江西省上饶市六校高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,1，2}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {0,4}D. {−1,1，2} 2. 若复数a−i1+i (a ∈R)为纯虚数，则|3−ai|=( )A. √13B. 13C. 10D. √103. 函数f(x)=(21+e x −1)cosx(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是( )A.B.C.D.4. 给出以下命题：①已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p 为：∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤0； ②已知a ，b ，c ∈R ，a >b 是ac 2>bc 2的充要条件；③命题“若sinθ=12，则θ=π6的否命题为真命题”．在这3个命题中，其中真命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 设函数f(x)=log 2x ，若a =f(log 32),b =f(log 52),c =f(20.2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c6. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=k|b ⃗ |，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为2π3，则实数k 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 127. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：x ，a ，b ，y 成等比数列，则2a +b 的最小值为( )A. 6B. 8C. 2√2D. 4√28.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2√2，则双曲线C的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. 2√339.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b2+a2−c2)，则角B等于()A. π2B. 5π12C. 7π12D. π310.已知三棱锥A−BCD中，CD⊥平面ABC，Rt△ABC中两直角边AB=5，AC=3，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 50πB. 25πC. 25π2D. 25π411.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，过点A(π12,0),B(π3,2)，当x∈[π12,5π12],g(x)=2mf(x)+cos(4x−π3)的最大值为9，则m的值为()A. 2B. 52C. 2和52D. ±212.已知函数f(x)=(2x−1)e x+mx−m(m≥−1)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是()A. [−32e ,−53e2) B. [−52e,−83e2) C. [−12,−53e2) D. [−1,−52e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=e x cosx在点(0,f(0))处的切线方程为______．14.设变量x，y满足约束条件{x−y+2≥0x+y−4≥04x−y−4≤0，则y+1x+1的最大值是______．15.已知等比数列{a n}的公比不为1，且{a n}前n项和为S n，若满足a2，2a5，3a8成等差数列，则S3S6=______．16.如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA=3，AB=5，∠COD=π6，点E在弧CD上，F在AB上，∠EOF=π3.设∠FOC=x，则当平面区域OECBF(阴影部分)的面积取到最大值时cosx=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=35，a2−a1，a4−a2，a1+a2成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图所示，在四棱锥S−ABCD中，∠BAD=∠CDA=∠CBD=2∠ABD=90°.平面SBD⊥平面ABCD，且△SBD为边长为√2的等边三角形．过S作ST//BD，使得四边形STDB为菱形，连接TA，TD，TC．(1)求证：DS⊥平面TBC；(2)求多面体ABCDTS的体积．19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300](300,+∞)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号)．(1)某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；(2)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数163918105290%的把空气质量优良空气质量污染合计限行前______ ______ ______限行后______ ______ ______合计______ ______ ______P(k2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 己知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，|PF|=32． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知过定点M(m,0)的直线l ：x =ky +m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若1|AM|2+1|BM|2恒为定值，求m 的值．21. 已知函数f(x)=lnx +x,g(x)=12ax 2+ax,ℎ(x)=mxe x −1．(1)讨论F(x)=g(x)−f(x)的单调性；(2)若不等式ℎ(x)≥f(x)对任意x ∈(0,+∞)恒成立，求m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=32． (1)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若A 、B 为曲线C 上的两点，且，∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|x +1|．(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若函数y =f(x)的最小值记为m ，设a >0，b >0，且有a +b =m.求1a+1+2b+2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题意可得：B={1,4}，则A∩B={1}．故选：A．利用题意首先求得集合A，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了交集的运算法则，集合的表示方法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2.答案：D解析：解：a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−(a+1)2i，复数a−i1+i(a∈R)为纯虚数，∴a−12=0，(a+1)2≠0，解得a=1．则|3−ai|=√32+(−1)2=√10．故选：D．利用复数的运算法则、复数为纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数为纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断f(x)的奇偶性，再根据f(x)在(0,π2)上的函数值的符号得出答案．【解答】解：f(x)=(21+e x −1)cosx=1−e x1+e xcosx，f(−x)=1−e−x1+e−x cos(−x)=e x−1e x+1cosx=−f(x)．∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0<x<π2时，e x>1，cosx>0，∴f(x)=1−e x1+e xcosx<0，排除D，故选：B．4.答案：C解析：解：给出以下命题：①命题p：∀x∈R，x2−x+1>0，则￢p为：∃x0∈R，x02−x0+1≤0，是真命题；②a ，b ，c ∈R ，由ac 2>bc 2⇒a >b ，反之不成立，例如c =0时，因此a >b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件，因此不是真命题；③命题“若sinθ=12，则θ=π6”的否命题为：“若sinθ≠12，则θ≠π6”，是真命题． 在这3个命题中，其中真命题的个数为2． 故选：C ．①利用￢p 的定义即可判断出真假．②已知a ，b ，c ∈R ，由ac 2>bc 2⇒a >b ，反之不成立，例如c =0时，即可判断出真假； ③利用否命题的定义即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：∵0<log 52<log 32<1，20.2>1， 函数f(x)=log 2x 在(0,+∞)上单调递增， ∴c >a >b ， 故选：D ．先利用对数函数和指数函数的性质得到自变量的大小关系，再利用函数的单调性得到函数值的大小关系即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 6.答案：D解析：解：|a ⃗ |=k|b ⃗ |，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为2π3， ∴b ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0⇒b ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0⇒k 2|b ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 2π3=0⇒k 2|b ⃗ |2+k|b ⃗ |2⋅(−12)=0，∵b ⃗ ≠0⃗ ； 解得k =12．故选：D ．直接根据数量积为0把已知条件代入整理即可求解结论．本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题． 7.答案：D解析：解：因为甲的中位数为81，故x =1； 因为乙的平均数是86，可求得y =4；∵正实数a 、b 满足：x ，a ，b ，y 成等比数列； ∴ab =xy =4；∴2a +b ≥2√2ab =4√2.当且仅当a =√2，b =2√2时等号成立； 故选：D ．根据甲的中位数求得x =1，根据乙的平均数求得y =4；根据其成等比数列结合基本不等式即可求解结论．本题考查茎叶图以及结合基本不等式，难度中等，属中挡题．8.答案：C解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程设为bx−ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心为(2,0)，半径r=2，可得圆心到渐近线的距离为d=√a2+b2，则2√2=2√4−4b2a2+b2，化为a2=b2，即2a2=c2，e=ca>1，解得e=√2．故选：C．求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b 的关系，即可得到所求离心率公式．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：因为bcosC+ccosB=2acosA，由正弦定理可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，即sin(B+C)=2sinAcosA=sinA，因为sinA≠0，所以cosA=12，故A=13π，∵S=14(b2+a2−c2)，1 2absinC=14×2ab×cosC，∴sinC=cosC，故C=π4，则角B=5π12．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合余弦定理及三角形的面积公式可求C，进而可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．10.答案：A解析：解：由题意可得：13×12×3×5×CD =10，解得CD =4． ∴设该三棱锥的外接球的半径为R ，则(2R)2=42+32+52=50． ∴该三棱锥的外接球的表面积=4πR 2=50π， 故选：A ．由题意可得：13×12×3×5×CD =10，解得CD.利用长方体的对角线与外接球的直径的关系，利用勾股定理即可得出该三棱锥的外接球的半径．本题考查了三棱锥的性质、长方体的性质、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.答案：B解析：解：由题意T =4(π3−π12)=π，故ω=2，将A 的坐标代入f(x)得sin(2×π12+φ)=0， 故π6+φ=2kπ，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故f(x)=2sin(2x −π6)，∴g(x)=4msin(2x −π6)+[1−2sin 2(2x −π6)] 令t =sin(2x −π6)∈[0,1]，故g(x)可化为：y =−2t 2+4mt +1，t ∈[0,1] 对称轴为：t =m ，开口向下．①当m ≤0时，t =0时，y max =1≠9②当m ≥1时，t =1时，y max =4m −1=9，∴m =52符合题意； ③当0<m <1时，t =m 时，y max =2m 2+1=9，∴m =±2(舍) 综上，当m 的值为52时，原函数取得最大值9． 故选：B ．图象经过相邻的一个零点和最高点，据此求出ω，φ的值，可得f(x)=2sin(2x −π6)，又发现4x −π3=2(2x −π6)，所以利用二倍角公式可将g(x)化成关于12f(x)的二次函数的形式，利用换元法转化为二次函数求出最值，即可得到m ．本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质以及利用换元法求函数的最值等问题．本题的难点一是难以发现角之间的倍数关系，二是换元之后的分类讨论忽视了讨论的范围． 12.答案：A解析：解：令f(x)≤0，即(2x −1)e x ≤m −mx ，设g(x)=(2x −1)e x ，ℎ(x)=m −mx ，要使有且仅有两个整数使得f(x)≤0，即有且仅有两个整数使得函数g(x)的图象在函数ℎ(x)图象的下方，而g′(x)=2e x +(2x −1)e x =(2x +1)e x ，则当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(−12,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(−12)=−2e −12，x →−∞时，g(x)→0，x →+∞时，g(x)→+∞，函数ℎ(x)的图象为恒过点(1,0)的直线，作两函数图象如下，由图可知，实数m 应满足{g(0)≤ℎ(0)g(−1)≤ℎ(−1)g(1)>ℎ(1)g(−2)>ℎ(−2)，即{ −1≤m −3e ≤2m e >m −5e 2>3m ，解得−32e ≤m <−53e 2．故选：A ．设g(x)=(2x −1)e x ，ℎ(x)=m −mx ，问题等价于有且仅有两个整数使得函数g(x)的图象在函数ℎ(x)图象的下方，作出两函数的图象，由图象观察可得到关于实数m 的不等式组，解出即可． 本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题． 13.答案：x −y +1=0解析：【分析】本题主要考查函数的切线的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．解：∵f(x)=e x cosx ， ∴f(0)=1，函数的导数f′(x)=e x cosx −e x sinx ， 则f′(0)=1，即函数f(x)在点(0,1)处的切线斜率k =f′(0)=1， 则对应的切线方程为y −1=x −0， 即x −y +1=0，故答案为：x −y +1=0 14.答案：2解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由{x −y +2=0x +y −4=0解得A(1,3)，则z =y+1x+1的几何意义为动点P 到定点P(−1,−1)的斜率，由图象可知当P 位于A(1,3)时，直线AP 的斜率最大， 此时z =3+11+1=2，故答案为：2．作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．15.答案：34解析：解：等比数列{a n }的公比设为q ，且q 不为1， 若满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，可得4a 5=a 2+3a 8， 即4a 1q 4=a 1q +3a 1q 7，化为3q 6−4q 3+1=0， 可得q 3=13， 则S3S 6=a 1(1−q 3)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 31−q 6=11+q 3=11+13=34，故答案为：34．设等比数列的公比为q ，且q 不为1，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：45解析：解：因为∠EOF =π3，所以∠DOE =x −π6，x ∈[π6,π3]依题意得当平面区域OECBF(阴影部份)的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S △OAF +S 扇DOE =12OA ⋅AF +12OD 2⋅∠DOE=12×3×3tanx +12×52⋅(x −π6)=92×cosx sinx +252x −25π12令s =92×cosxsinx +252x −25π12s′=92×1sin 2x −252=92×(3+5sinx)(3−5sinx)sin 2x令s′=0,得sinx =35，x =arcsin 35∈[π6,π3]当x ∈[π6,arcsin 35]时,s′<0； x ∈(arcsin 35,π3]时,s′>0故sinx =35时，s 取得最小值， 此时cosx =45． 故答案为：45要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角x 结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．本题考查了利用三角函数表示实际问题的面积，然后用导数求最值点(极值点)的问题．考查了学生利用函数思想、转化与化归思想解决问题的能力．属于填空题中的难题．17.答案：解：(1)等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由S5=35，可得5a1+10d=35，即a1+2d=7，①由a2−a1，a4−a2，a1+a2成等比数列，可得(a4−a2)2=(a2−a1)(a1+a2)，即为4d2=d(2a1+d)，即有2a1=3d，(d≠0)，②，联立①②可得a1=3，d=2，则a n=3+2(n−1)=2n+1，n∈N∗；(2)b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，前n项和T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．解析：(1)等差数列的公差设为d，且d≠0，运用等差数列的求和公式和等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得所求通项公式；(2)求得b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵∠CBD=90°，∴CB⊥BD，又平面SBD∩平面ABCD=BD，平面SBD⊥平面ABCD，故CB⊥平面SBD；又SD⊂平面SBD，故CB⊥DS，又四边形STDB为菱形，DS⊥TB，又TB∩CB=B，∴DS⊥平面TBC；(2)解：∵△SBD为边长为√2的等边三角形，∴S菱形BSTD =2×12×√2×√2×sin60°=√3．由(1)知CB⊥平面SBD，再由已知可得△DBC为等腰直角三角形，得BC=√2；过A作AO⊥BD，由平面SBD⊥平面ABCD，且平面SBD∩平面ABCD=BD，可得AO⊥平面SBD．而△ABD为等腰直角三角形，可得AO=√22BD=1．∴多面体ABCDTS的体积V=13S BSTD×(BC+AO)=13×√3×(√2+1)=√6+√33．解析：(1)由已知得CB⊥BD，再由面面垂直的性质可得CB⊥平面SBD，进一步得到CB⊥DS，由四边形STDB为菱形，DS⊥TB，再由线面垂直的判定可得DS⊥平面TBC；(2)由已知求得菱形BSTD的面积，再求出A，C到平面BSTD的距离，代入棱锥体积公式求解．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.答案：90 90 180 55 35 90 145 125 270解析：解：(1)当空气质量重度污染和严重污染，即空气污染指数高于200时，需对机动车辆限号出行，从频率分布直方图可知，因空气污染被限号出行的频率为1−(0.004+0.006+0.005+0.003)×50=0.1， 故因空气污染被限号出行的概率为0.1．(2)从频率分布直方图可知，限行前：空气质量优良的天数为(0.004+0.006)×50×180=90， 空气质量污染的天数为180−90=90．从限行三年来的11月份共90天的空气质量统计表可知，限行后：空气质量优良的天数为16+39=55，空气质量污染的天数为90−55=45． 故填写的2×2列联表如表所示，所以K 2=270×(90×35−90×55)2145×125×180×90=432145≈2.979>2.706故有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．(1)先根据频率分布直方图找出”因空气污染被限号出行的频率“，再用频率估计概率即可得解； (2)先根据已知数据完成2×2列联表，然后结合K 2的公式进行计算即可．本题考查频率分布直方图的特点、频率与概率的关系、独立性检验等知识点，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．20.答案：解：(1)由抛物线的方程可得准线方程为：x =−p2，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，|PF|=32，又P 的横坐标为1， 所以1+p 2=32，所以p =1，所以抛物线的方程为：y 2=2x ； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程：{x =ky +my 2=2x ，整理可得：y 2−2ky −2m =0.△=4k 2+8m >0，即k 2+2m >0，y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−2m 所以1|AM|2+1|BM|2=1(x1−m)2+y 12+1(x2−m)2+y 22=1(k 2+1)y 12+1(k 2+1)y 22=11+k 2⋅y 12+y 22(y 1y2)2=11+k 2⋅(y 1+y 2)2−2y 1y 2(y 1y 2)=11+k ⋅4k 2+4m 4m =k 2+m(k +1)m ，要使1|AM|2+1|BM|2恒为定值，则1m 2=mm 2， 可得m =1.符合△>0，所以m 的值为1．解析：(1)由抛物线的方程可得焦点F 的坐标及准线方程，再由抛物线的性质到焦点的了等于到准线的距离可得p 的值．(2)将直线l 与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出1|AM|2+1|BM|2的表达式，再由1|AM|2+1|BM|2恒为定值，可得对应项的系数相等可得m 的值．注意分m 为0和不为0两种情况． 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，注意分类讨论，属于中档题．21.答案：解：(1)F(x)=12ax 2+ax −lnx −x =12ax 2+(a −1)x −lnx ，∴F′(x)=ax +(a −1)−1x =(ax−1)(x+1)x(x >0)，①当a ≤0时，F′(x)<0，此时F(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，可知当x ∈(0,1a )时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x ∈(1a ,+∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增；综上，当a ≤0时，F(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，F(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增；(2)依题意，mxe x −1≥lnx +x 在x ∈(0,+∞)上恒成立，即m ≥lnx+x+1xe x在x ∈(0,+∞)上恒成立，设G(x)=lnx+x+1xe x，则G′(x)=(x+1)(−lnx−x)x 2e x ，令p(x)=−lnx −x ，则p′(x)=−1x −1<0，∴p(x)在(0,+∞)上单调递减，且P(1e )=1−1e >0,p(1)=−1<0，故存在x 0∈(1e ,1)，使得p(x 0)=−lnx 0−x 0=0，即lnx 0+x 0=0，即x 0=e −x 0， 当x ∈(0,x 0)时，p(x)>0，G′(x)>0，当x ∈(x 0,+∞)时，p(x)<0，G′(x)<0， ∴G(x)max =G(x 0)=lnx 0+x 0+1x 0e x 0=1e −x 0⋅e x 0=1，∴实数m 的取值范围为m ≥1．解析：(1)表示出F(x)并求导，当a ≤0时，F′(x)<0，当a >0时，x ∈(0,1a )时，F′(x)<0，x ∈(1a ,+∞)时，F′(x)>0，由此即可得出单调性情况； (2)原问题等价于m ≥lnx+x+1xe 在x ∈(0,+∞)上恒成立，构造函数G(x)=lnx+x+1xe ，利用导数求出函数G(x)的最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及分类讨论思想的运用，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ．直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=32，转换为直角坐标方程为x +√3y −3=0． (2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π3)，由于A 、B 为曲线C 上的两点， 所以ρ1=2cosθ，ρ2=2cos(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+π3)=2cosθ+cosθ−√3sinθ=3cosθ−√3sinθ=2√3cos(θ+π6)，当θ=−π6时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x,x <−1−x +2,−1≤x ≤123x,x >12，作出函数f(x)的图象及函数y =x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0,1]；(2)由图可知，函数y =f(x)的最小值为32，即m =32， ∴a +b =32，∴(a +1)+(b +2)=92，∴1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2)≥29(1+√2)2=6+4√29，当且仅当“b+2a+1=2(a+1)b+2”时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再作出函数f(x)的图象及函数y=x+2的图象，观察图象即可得解；(2)易知(a+1)+(b+2)=92，再利用柯西不等式即可求得最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．。
江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题文含解析
江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题 文（含解析）一、选择题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()() IIA B =（ ） A. {}7,8 B. {}3,4 C. {}3,4,7,8D. 5,6【答案】A 【解析】 【分析】 计算出集合IA 和IB ，利用交集的定义可求得集合()()I I A B ⋂.【详解】全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则{}5,6,7,8IA =，{}1,2,7,8IB =，因此，()(){}7,8IIA B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数z 满足()()12i z i +=+，则z =（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据复数z 满足()()12i z i +=+，利用复数的除法和乘法，化简为35iz +=，再利用复数的模公式求解.【详解】因为复数z 满足()()12i z i +=+， 所以()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，所以z ==. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若a b a c ⋅=⋅，则()a b c ⊥- B. x R ∀∈，2330x x -+>C. 函数()sin cos f x x x =+的最小正周期为πD. 2log 323= 【答案】A 【解析】 【分析】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=，结合向量垂直的定义，从而可判断.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而可判断.选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，从而可判断.选项D .由对数运算可得2log 323=，从而可判断.【详解】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=， 当0a =或者b c =时，a 与()b c -不垂直，当0a ≠且b c ≠时，有()a b c ⊥-，从而A 不正确.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而B 正确. 选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象如图.由()()2sin 2sin =44f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数的图象，可得()f x 的最小正周期为π，从而C 正确. 选项D. 设2log 3t =，则23t =，所以2log 3223t == 所以2log 323=，从而D 正确. 故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直的判断，三角函数的周期的判断，对数的运算，属于基础题.4. 如图，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】 【分析】根据每组的条形统计图计算标准差，进而可得出合适的选项. 【详解】对于第一组，9个数均为5，其标准差为10S =；对于第二组，标准差为23S ==；对于第三组，标准差为33S ==；对于第四组，标准差为4S ==因此，标准差最大的为第四组. 故选：D.【点睛】本题考查标准差的大小比较，根据条形统计图计算出标准差是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.5. 已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A.13B.12【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义可得1cos 2xOQ ∠=-，从而可得()223xOQ k k Z ππ∠=+∈，进而求出()23xOP k k Z ππ∠=+∈，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】由单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ， 点Q 的横坐标为12-，所以1cos 2xOQ ∠=-，即()223xOQ k k Z ππ∠=+∈， 所以()23xOP k k Z ππ∠=+∈，设点P 的横坐标为x ， 则1cos cos 2cos 332x xOP k πππ⎛⎫=∠=+== ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解任意角的三角函数定义是关键，属于基础题. 6. 函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),2ππ和(),0π-函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数sin xy e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项；当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除C 选项；当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解. 【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8. 已知平面向量,a b 满足1ab ，12a b ⋅=，若()12c a b =+，()1d a b λλ=+-，()R λ∈，则c d ⋅的值为（ ）A.13B.2C.34D. 与λ有关【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律进行展开，代入对应数值即得结果.【详解】()()()()2211[1][11]22c d a b a b a b a b a b λλλλλλ⋅=+⋅+-=+-+⋅+-⋅ ()()221113[1][1]2224a b a b λλλλ=+-+⋅=+-+= 故选：C【点睛】本题考查向量数量积运算律，考查基本分析求解能力，属基础题.9. 已知双曲线()222:10y C x b b-=>，(),0F c 为双曲线的右焦点，过3,02c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，若F 为OAB 的内心，则双曲线方程为（ ） A. 2241x y -=B. 2212y x -=C. 2213y x -=D.2214y x -=【答案】A 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据内心为内切圆的圆心可知焦点F 到OAB 的三边距离相等，进而列式可得b 即可得出双曲线方程. 【详解】直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即230x y c --=.因为F 到渐近线y bx =的距离为b =.且F 为OAB 的内心，故焦点F 到OAB 的三边距离相等，故b = ，故2222515c b b b =⇒+=，解得214b =. 故双曲线方程为22114y x -=，即2241x y -=. 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，需要根据题意利用内心的性质，结合点到线的距离公式列式求解.属于中档题.10. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10100a >，则()()()()()12320182019...f a f a f a f a f a +++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】【分析】先根据等差数列性质得12019a a >-，再根据奇函数性质以及单调性得()()120190f a f a +<，最后根据类推可判断选择.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以1201910101201920a a a a a +=>∴>- 因为函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数， 所以()()()()()120192019120190f a f a f a f a f a <-=-∴+< 同理可得()()()()()()2201832017100910110,0,,0,f a f a f a f a f a f a +<+<+<()()()10101010101000,f a f a f a +<⇒<因此()()()()()12320182019...0f a f a f a f a f a +++++< 故选:A【点睛】本题考查等差数列性质、奇函数性质以及单调性，考查综合分析判断能力，属中档题.11. 已知3e a =，3b e =，则下列选项正确的是（ ） A. a b >B. ln2a be +< C. 2lnabe a b>+ D.ln ln 2a be +< 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A ：先构造函数，利用导数研究其单调性，进而根据单调性作判断；对于选项B,选项C 与选项D ，利用放缩进行判断. 【详解】对于选项A ：构造函数ln x y x =，则21ln xy x-'=，所以函数在(),e +∞上单调递减，所以ln ln 33e e >，即3ln ln3e e >，即3ln ln3e e >，即33e e >，故A 错； 对于选项B ：由33ee >可得3333ln ln ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故B 错；对于选项D ：3ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故D 错；对于选项C ：3222lnlnlnln 3ln 3111111333e e e ee ea be =>==>+++，故C 正确.故选：C【点睛】本题考查利用函数单调性以及放缩法比较大小,考查综合分析与求解能力，属中档题. 12. 已知直角三角形ABC 中，1AC =，BC =，斜边AB 上两点,M N ，满足30MCN ∠=︒，则MCN S △的最小值是（ ）A.4B.8C.62-D.64- 【答案】D 【解析】 【分析】法一：设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ，利用三角形的面积公式可得4xy S =，点C 到斜边的距离为d ，可得12S d MN =⋅=，由余弦定理可得2222cos30MN x y xy =+-︒，利用基本不等式即可求解.法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y =，在ACM △和BCN △中，由正弦定理求出22sin 32cos x y πθθ⎧=⎪⎛⎫⎪-⎪⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩，再利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质即可求解.【详解】解析：（法一）设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ， 则在MCN △中有11sin 3024S xy xy =︒=，即4xy S =. 在ACB △中，点C到斜边的距离为2d =，故12S d MN =⋅=，即MN =由余弦定理可得：222222cos302MN x y xy x y xy =+-︒=+≥-， 当且仅当x y =时，取等号.即(224S ⎫≥⋅⎪⎭，可得S ≥法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y = 则在ACM △和BCN △中，由正弦定理可得：2sin sin 33sin sin 62CA CM CB CN ππθππθ⎧=⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即12sin 31cos 2y πθθ⎧=⎪⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎪⎩，得2sin 3x y πθ⎧=⎪⎪-⎪⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩所以1sin 26S xy π=142sin 3πθ=- ⎪⎝⎭132244sin cos cos sin cos 33ππθθθ=⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭==31cos 2sin 2822θθ=+⎫+⎪⎭=38sin 23πθ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33ππθπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴面积的最小值为S ==， 故选：D.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、三角函数的性质、基本不等式，综合性比较强，属于中档题. 二、填空题 13.cos15sin15︒=︒______.【答案】2+ 【解析】 【分析】根据154530︒=︒-︒，再根据正余弦的差角公式求解即可.【详解】()()cos 4530cos15cos 45cos30sin 45sin 30sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒-︒︒︒︒+︒︒==︒︒-︒︒︒-︒︒2112====+故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据正余弦差角公式求解三角函数值的问题，需要转换到特殊角的三角函数进行求解，属于基础题.14. 已知()22,01,0x x f x x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()2f a a >，则实数a 的解集是______.【答案】()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先根据分段函数解析式分类列不等式，再解不等式得结果.【详解】()0242a f a a a a ≥⎧>∴⎨->⎩或012a a a <⎧⎪⎨->⎪⎩解得23a >或0a < 故答案为：()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属基础题.15. 已知直线1y kx =-与焦点在x 轴上的椭圆()222:104x yC b b+=>总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是______. 【答案】⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】由焦点在x 轴上得24b <，再由直线1y kx =-与椭圆总有公共点，得20114b+≤，解不等式得12b ≤<，最后根据离心率公式求结果.【详解】因为椭圆焦点在x 轴上，所以24b <，因为0b >，所以02b <<；因为直线1y kx =-与椭圆总有公共点，所以220(1)1014b b b -+≤>∴≥，综上12b ≤<,(0,2c e a=== 故答案为：2⎛ ⎝⎦【点睛】本题考查椭圆离心率、直线与椭圆位置关系,考查基本分析求解能力，属中档题.16. 已知三棱锥P ABC -中，满足1PA BC ==，3PC AB ==，2AC =，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是______. 【答案】10 【解析】 【分析】先确定三棱锥体积最大时位置，再作平行得直线AC 与PB 的夹角，最后根据余弦定理求结果.【详解】如图所示，因为ABC 的面积为定值，所以当平面PAC ⊥平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作//PE AC ，过A 作AE PE ⊥，所以BPE ∠为AC 与PB 所成角或补角； 过点P 作PD AC ⊥交AC 于D ，则PD ⊥平面ABC ， 所以AE ⊥平面ABC ，即AE AB ⊥， 因为1PA =，3PC =2AC =，所以PAC 为直角三角形，所以3PD AE ==，12AD PE ==，因1BC =，3AB =2AC =，所以ABC 为直角三角形，6BAC π∠=所以21137323424BD =+-⋅=，则2375442BP =+=，2315344BE =+=， 所以151510424cos 515222BPE +-∠==-⋅⋅.因此直线AC与PB故答案为：5【点睛】本题考查线线角、余弦定理以及三棱锥体积，考查基本分析与求解能力，属中档题.三、解答题17. 某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率.（注：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】（1）没有99.9%把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关（2）3 5【解析】【分析】（1）先根据卡方公式求卡方，再对照数据作判断；（2）先根据分层抽样确定各层抽取人数，再利用枚举法确定事件所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】解：（1）()2210010503001009.09110.8285050455511K ⨯-==≈<⨯⨯⨯∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很兴趣，设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d 、e 中随机选取3名的基本事件有{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,a d e 、{},,b c d 、{},,b c e 、{},,b d e 、{},,c d e 共10个.其中,d e 恰有1个的有{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,b c d 、{},,b c e 共6个 ∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为35. 【点睛】本题考查卡方公式以及古典概型概率，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.18. 已知非零数列{}n a 满足11a =，1121n na a +=+； （1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）()212122n n n n S n ++=-⋅-【解析】 【分析】（1）根据递推关系式，利用等比数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式即可求解. （2）利用分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】解：（1）依题意：1121n na a +=+，所以111211n na a ++=+， 即数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比2q 的等比数列，所以1111112n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得121n n a =-，所以121n n a =- （2）由（1）可知2n nnn n a =⋅-，令23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅， 则23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，所以()21121222 (22212)n n n n n T n n ++--=+++⋅=-⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，所以()212122n n n nS n ++=-⋅- 【点睛】本题考查了等比数列的定义、递推关系式求通项公式、分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式，属于中档题.19. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别为棱1111,,BB DD D C 和1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1EFC ；（2）求点1A 到平面1EFC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）证法一：连结1AC 交EF 于点G ，利用平几知识证四边形1NGC M 为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结果；证法二：取1CC 中点P ，利用平几知识证MN ∥112AC 11=2MN AC ，再根据线面平行判定定理得结果；（2））解法一与解法二，利用等体积法求点到直线距离.【详解】（1）证法一：如图连结1AC 交EF 于点G ，则点G 为1AC 的中点，连结1AD ，NG ∵N 为1AD 的中点，∴NG 为11AC D △的中位线，∴NG ∥11C D ，1112NG C D =∵M 为11C D 的中点，∴NG ∥1C M ，1NG C M =，∴四边形1NGC M 为平行四边形 ∴MN ∥1C G ，∵MN ⊄平面1BFC ，1C G ⊂平面1EFC ∴MN ∥平面1EFC .证法二：如图取1CC 中点P ，连接,AF AE ，,PF PB ，因为正方体1111ABCD A B C D -，,,E F P 分别为111,,BB DD CC 中点，所以可得四边形1BPC E 和四边形ABPF 均为平行四边形，所以AF ∥BP ∥1EC ，所以平面1EFC 即为平行四边形1AEC F 所在平面，因为N 为1A D 的中点，所以也为1AD 中点，且M 为11C D 中点，所以MN ∥112AC 11=2MN AC ，∴MN ∥平面1EFC .（2）解法一：延长1DD 到点O ，使得112DD D O =，连结1A O ，则1A O ∥平面1EFC ， 则1A 到平面1EFC 的距离即O 到平面1EFC 的距离，112OC F S =△，点E 到平面1OC F 的距 离为1，16C EF S =△，设1A 到平面1EFC 的距离为h ，则1111A EFC O EFC E OC F V V V ---==，即111613234h ⋅⋅=⋅⋅可得6h =，即点1A 到平面1EFC 6解法二：由证法二知点1A 到平面1EFC 的距离为1A 到平面1AEC F 的距离，所以11A AEF E A AF V V --=，且1362224AEFS==，112A AFS =，所以1A 到平面1EFC 的距离为1113A AFAEFSS⨯==.【点睛】本题考查线面平行的判断以及利用等体积法求点面距离，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20. 已知函数()sin ln1f x x x=+-.（1）求函数()f x在点,ln22ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程；（2）当()0,xπ∈时，讨论函数()f x的零点个数.【答案】（1）2ln12y xππ=+-（2）()f x区间()0,π内有且只有一个零点【解析】【分析】（1）求出2fπ⎛⎫⎪⎝⎭和2fπ⎛⎫' ⎪⎝⎭，应用点斜式求出切线的方程；（2）应用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数.【详解】（1）因为()1cosf x xx'=+，所以22k fππ⎛⎫'==⎪⎝⎭，所求切线方程为：2ln22y xπππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即2ln12y xππ=+-（2）∵()1cosf x xx'=+，∴当0,2xπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x'>，则()f x在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，且ln022fππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，1ln0662fππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以()f x在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点当,2xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由()21sin0f x xx''=--<，知()f x'在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()20f xπ'=>，()110fππ'=-+<，知存在唯一,2xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x'=，当0,2x xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x'>，()f x单调递增；当(),x xπ∈时，()0f x'<，()f x单调递减且02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()ln 10f ππ=->，所以()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，综上可知()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数在某个点处的切线方程，利用导数研究函数的零点，属于简单题目.21. 已知圆()()222:11C x y r r +-=>，设点A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，点P 为圆C 上一点，且满足AP 的中点在x 轴上.（1）当r 变化时，求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，M 、N 为曲线E 上两个不同的点，且在M 、N 两点处的切线的交点在直线2y =-上，证明：直线MN 过定点，并求此定点坐标.【答案】（1）()240x y y =>；（2）证明见解析，定点坐标为()0,2. 【解析】【分析】（1）求得点()0,1A r -，设点(),P x y ，求得线段AP 的中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由0CD DP ⋅=结合平面向量数量积的坐标运算化简可求得点P 的轨迹方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx b =+，利用导数求出曲线E 在点M 、N 的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点Q 的坐标，可得出128x x =-，再将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，利用韦达定理可求得b 的值，进而可求得直线MN 所过定点的坐标.【详解】（1）依题意()0,1A r -，设(),P x y ，则弦AP 中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由0CD DP ⋅=得,1,022x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()240x y y =>； （2）设()11,M x y 、()22,N x y ，依题意可设抛物线在M 、N 两点处的切线交点为()0,2Q x -，设直线MN 的方程为y kx b =+，对函数24x y =求导得2x y '=， 所以，抛物线在点M 处的切线为()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-， 抛物线在点N 处的切线为()22212y y x x x -=-，即2221124y x x x =-， 联立211222124124x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12012224x x x x x +⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 联立直线MN 与曲线E 的方程得24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=， 由韦达定理得1248x x b =-=-，解得2b =，所以，直线MN 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线过定点问题的处理，考查了抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中等题.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x 2tcos y 3tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求3πα=时直线l 的普通方程；（2）若直线l 和曲线C 交于两点,A B ，点P 的直角坐标为()2,3，求PA PB +的最大值.【答案】（1）22220x y x y +--=30y --=（2）【解析】【分析】（1）由4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得2sin 2cos ρθθ=+，两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t 的几何意义求解即可．【详解】解：（1）因为2sin 2cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得22sin 2cos ρρθρθ=+ ∴黄线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=当3πα=时，直线l 过定点()2,3，斜率k =∴直线l 的普通方程为)32y x -=-30y --=（2）把直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22220x y x y +--=， 得()22cos 4sin 30t t αα+++=. 设A 、B 的参数分别为12,t t ，所以()122cos 4sin t t αα+=-+，123t t ⋅=，则1t 与2t 同号，()22cos 4sin 120αα=+->△，则()22cos 4sin 12αα+>，即2cos 4sin αα+>得2cos 4sin αα+>或2cos 4sin αα+<-∴()122cos 4sin PA PB t t αααθ+=+=+=+≤∴PA PB +的最大值为【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题．23. 已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=.证明： （1）114a b c+≥+； （2）1113222a b b c c a ++≥+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由条件有()11112a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++ ⎪+++⎝⎭，由均值不等式可证明结论. （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，即证1113x y z++≥，则()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式可证. 【详解】证明：（1）因为,,a b c R +∈，又因为1a b c ++=所以()1111224a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++≥+= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当b c a +=时取等号. 所以114a b c+≥+ （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，且,,x y z R +∈， 所以111111222a b b c c a x y z++=+++++， 所以()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭133x x y y z z y z x z x y ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭1333⎛≥+= ⎝（当且仅当x y z ==时取等号.） 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，考查条件的应用，注意数字1的灵活处理，属于中档题.。
江西省上饶市2020届六校高三下学期第一次联考文科数学试题(含答案解析)
（1）某人计划 11 月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率； （2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的 11 月份共 90 天的空气质量进 行统计，其结果如表：
根据限行前 6 年 180 天与限行后 90 天的数据，计算并填写 2 ×2 列联表，并回答是否有 90%的把握认 为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关。
20. ( 本小题满分 12 分)
己知抛物线 C= : y2 2 px( p > 0) 的焦点为 F, P 为抛物线上一点,当 P 的横坐标为 1 时,| PF |= 3 . 2
(1)求抛物线 C 的方程;
(2)已知过定点
M(m,0)的直线
l:
x=ky+m
与抛物线
C
相交于
A,
B
两点,若
|
1 AM
|2
当 x x0 , ，p（x）＜0， G/ x 0 ；
D. π 3
10. 已知三棱锥 A- BCD 中，CD⊥平面 ABC, Rt△ABC 中两直角边 AB=5, AC=3,若三棱锥的体积为 10,则该
三棱锥的外接球的表面积为( )
A.50π
B.25π
C. 25π 2
D. 25π 4
11.已知函数 f (x=)
2sin(ωx + ϕ)(ω
> 0,| ϕ |< π ), 过点 A( π
ln
x2ex
x
x
……8 分
令 p x ln x x, p / x 1 1 0 ，
x
故
p（x）在（0，+∞）上单调递减，且
p
1 e
1
1 e
0,
p
江西省上饶市县第六中学2020年高三数学理月考试题含解析
江西省上饶市县第六中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是 ( )A. B. C. D.[-4,0]参考答案：C2. 已知复数z满足，则z的虚部是（）A. －1B. －iC. 2D. 2i参考答案：A【分析】根据复数除法运算，化简z，即可得z的虚部。
【详解】因为所以所以虚部为所以选A【点睛】本题考查了复数的除法运算和基本概念，属于基础题。
3. 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A B C D参考答案：C.根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C. 4. 已知,则A．B．C．D．参考答案：C略5. 已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是( )A．3πB．2πC．πD．参考答案：A考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得?=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答：解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且?=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．6. 读程序框图，若输入x=1，则输出的S=（）A． 0 B． 1 C． 2 D．﹣1参考答案：C7. 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是（）A． B． C． D ．参考答案：A试题分析：由题意得：，解得：，所以，因为，所以，即，所以实数的取值范围是，故选A．考点：线性规划．8. 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.参考答案：C 9. 函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示；则该几何体的体积是V=××（1+2）××2=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
江西省上饶市2020届高三下学期第一次联考数学(文)试题 Wrod版含答案
上饶市2020届六校高三第一次联考（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）文科数学试卷 第Ⅰ卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合{}1,2,1A =-，集合{}2|,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2,4C. {}1,1,2,4-D. {}1,42. 若复数()1a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A.13 B. 13C. 10D.103. 函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.4. 给出以下命题：①已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x -+≤；②已知,,a b c R ∈，a b >是22ac bc >的充要条件； ③命题“若1sin 2θ=，则6πθ=的否命题为真命题”. 在这3个命题中，其中真命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 设函数()2log f x x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<6. 已知非零向量a r ，b r 满足a k b =r r ，且()b a b ⊥+r r r ，若a r ，b r 的夹角为23π，则实数k 的值为（ ） A. 4B. 3C. 2D.127. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：x ，a ，b ，y 成等比数列，则2a b +的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 22D. 428. 若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为22C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.2D.339. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且面积为S ，若cos cos 2cos b C c B a A +=，()22214S b a c =+-，则角B 等于（ ） A.2π B.512π C. 712π D. 3π10. 已知三棱锥A BCD -中，CD ⊥平面ABC ，Rt ABC △中两直角边5AB =，3AC =，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 50πB. 25πC.252πD.254π11. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，当5,1212xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()2cos43g x mf x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为9，则m的值为（）A. 2B.52C. 2和52D. 2±12. 已知函数()()()211xf x x e mx m m=-+-≥-，若有且仅有两个整数使得()0f x≤，则实数m的取值范围是（）A.235,23e e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B. 258,23e e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 215,23e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D.51,2e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13. 函数()cosxf x e x=的图象在点()()0,0f处的切线方程为______.14. 设变量x，y满足约束条件2040440x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则11yx++的最大值是______.15. 已知等比数列{}n a的公比不为1，且{}n a前n项和为n S，若满足2a，52a，83a成等差数列，则36SS=______.16. 如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，3OA=，5AB=，6CODπ∠=，点E在弧CD上，F在AB上，3EOFπ∠=.设FOC x∠=，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分.17. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且535S=，21a a-，42a a-，12a a+成等比数列. （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()*11nn nb n Na a+=∈，求数列{}n b的前n项和n T.18. 如图所示，在四棱锥S ABCD-中，290BAD CDA CBD ABD∠=∠=∠=∠=︒，平面SBD⊥平面ABCD，且SBD△为边长为2的等边三角形.过S作//ST BD，使得四边形STDB为菱形，连接TA，TD，TC.（1）求证：DS⊥平面TBC；（2）求多面体ABCDTS的体积.19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 2.5PM浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(]0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,300()300,+∞空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）.（1）某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染严重污染天数1639181052根据限行前6年180天与限行后90天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优良空气质量污染合计 限行前 限行后 合计参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k >0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87920. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，32PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过定点(),0M m 的直线l ：x ky m =+与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2211AMBM+恒为定值，求m 的值.21. 已知函数()ln f x x x =+，()212g x ax ax =+，()1x h x mxe =-. （1）讨论()()()F x g x f x =-的单调性；（2）若不等式()()h x f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围请考生在第22、23题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.22. 选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若A 、B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=，求1212b b +++的最小值.上饶市2020届六校高三第一次联考数学答案（文科）一、选择题（12×5=60分） 1-5：ADBCD6-10：CDCBA11-12：BA二、填空题（4×5=20分）13. 10x y -+= 14. 2 15.34 16. 45三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，()12154535242a d d d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得：13a =，2d =， ∴()32121n a n n =+-=+； （2）∵111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L 111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18.（1） 证明：∵90CBD ∠=︒，∴CB BD ⊥，又平面SBD I 平面ABCD BD =，平面SBD ⊥平面ABCD ， 故CB ⊥平面SBD ；又SD ⊂平面SBD ，故CB DS ⊥； 又四边形STDB 为菱形，∴DS BT ⊥， ∴DS ⊥平面TBC . （2）∵12222BSTD BDS S S ⨯===△，∴1322ABCDTS A BSTD C BSTD V V V --⎛=+=+= ⎝19.（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为()10.0030.0040.0050.006500.1-+++⨯=，因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为0.05. （2）列联表如下：由表中数据可得22270(90359055) 2.979 2.70618090145125K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 20. 解：（1）抛物线C 的准线方程为2p x =-，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 当P 的横坐标为1时，32PF =，∴3122p +=，解得1p =， ∴抛物线C 的方程为22y x =.（2）由直线l 的方程为x ky m =+与抛物线C ：22y x =联立，消去x 得：2220y ky m --=，则122y y m =-，122y y k +=，11x ky m =+，22x ky m =+，()()22222211221111x m B y y Mm A x M=+-+-++()()2222121111k y k y =+++ ()()()2221212122222221212211y y y y y y k y y k y y +-+==++()()22222244141k m k mk m k m++==+⨯+⨯，对任意k R ∈恒为定值，当1m =，此时22111AMBM+=，∴1m =，满足题意.21.（1）()21(1)ln 2ax a x F x x =+--， 1(1)(1)'()1(0)ax x F x ax a x x x-+=+--=>，①当0a ≤时，()'0F x <，所以()F x 在()0,+∞上单调递减； ②当0a >时，可知()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）不等式()()h x f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xmxe x x -≥+恒成立，因为0x >，所以ln 1xx x m xe ++≥，令()ln 1xx x G x xe ++=，2(1)(ln )'()xx x x G x x e +--=，令()ln p x x x =--，()1'10p x x =--<， 故()p x 在()0,+∞上单调递减，且1110p e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10p =-<， 故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0p x x x =--=， 即00ln 0x x +=即00x x e-=，当()00,x x ∈时，()0p x >，()'0G x >； 当()0,x x ∈+∞，()0p x <，()'0G x <； 所以()00000max 00ln 11()1x x x x x G x G x x e e e -++====⋅，故实数m 的取值范围是1m ≥.22. 解：（1）C ：2cos ρθ=，l：30x +-=. （2）不妨设2cos OA θ=，2cos 3OB πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则2cos 2cos 3OA OB πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭2cos 2cos 3πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，∴OA OB +的最大值为23. 解：（1）因为()3,112112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩.从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=， 从而[]12212(1)(2)12912a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭222(1)222(1)332912912b a b a a b a b ⎡⎡++⎤++⎛⎫++≥+⋅⎢ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣=642+=. 当且仅当22(1)12b a a b ++=++时，等号成立， ∴1212a b +++642+。
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4.
在△ABC
中，D
在边
AC
上满足
AD
1
DC
，E
为
BD
的中点，则
CE
＝（
）
3
A．
7
BA
3
BC
88
B.
3
BA
7
BC
88
C.
3
BA
7
BC
88
D.
7
BA
3
BC
88
5.已知等差数列{an}的公差为﹣2，前 n 项和为 Sn，a1，a2，a3 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角
C． ( 7 ，15 ] 8 16
D． ( 15 ，31 ]
16 32
8. 已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法 数为（ ）
则下列结论正确的是（ ） A.与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加 B.与 2016 年相比，2019 年一本达线人数减少 C.与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.3 倍 D．2016 年与 2019 年艺体达线人数相同
A．432
B．576
C．696
D．960
9.已知正项等比数列{an}满足
a7＝2a6+3a5，若存在两项
am，an，使得
am·an=9
a12
，则
1 m
9 n
的最小值为（
）
A．16
B． 28 3
C．5
D．4
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9
A． (，9] 4
B． (，19] 3
C． (，7]
D． (，23] 3
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
x y≥0
13．已知实数 x，y 满足约束条件 x y 4 ≤ 0 ，则 z＝ 23x y 的最大值是
。
y ≥1
18. （本小题满分 12 分）
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19. （本小题满分 12 分） 已知某种细菌的适宜生长温度为 12℃﹣27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量 y（单位：个）随温度 x （单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
温度 x/℃
14
16
18
20
ห้องสมุดไป่ตู้
22
24
26
繁殖数量 y/个
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3. 某中学 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.2 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况， 统计了该校 2016 年和 2019 年的高考情况，得到如图柱状图：
7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为 5，则 P 的取值范围是（ ） A． ( 3 ，7 ] 48 B． ( 5 ，9 ] 6 10
10. 函数 f（x）＝ 1 e x sin2x 的部分图象大致是（ ） 8
11.如图所示，已知双曲线 C：ax22
y2 b2
=（1 a
0，b
0）的右焦点为
F，双曲线
C
的右支上一点
A，它关于原点
O 的对称点为 B，满足∠AFB＝120°，且|BF|＝2|AF|，则双曲线 C 的离心率是（ ）
A. 3 3
25
30
38
50
66
120
218
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：
如图，空间几何体 ABCDE 中，△ACD 是边 长为 2 的等边三角形， EB EC 6 , BC 2 3, ACB 90, 平面 ACD⊥平面 ABC，且平面 EBC⊥平面 ABC，H 为 AB 中点。
（1）证明：DH∥平面 BCE； （2）求二面角 E﹣AB﹣C 平面角的余弦值。
14. 已知函数 y＝ f (x) 的图象在点 M（3，f（3））处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 f (3) + f （ 3）的值等
B． 7 2
C. 3
D． 7
16. 已知三棱锥 P﹣ABC 中，AB⊥BC，PA＝PB＝AB＝ 2 3 ，BC＝ 2 ，且二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 135°，
则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为
。
三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共 70 分）
(一)必考题（共 60 分）
3
于
。
15．定义在封闭的平面区域 D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 D 的“直径”．已知锐角三角形的三个
顶点 A，B，C，在半径为 3 的圆上，且∠BAC＝ π ，分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个 3
半圆和△ABC 构成平面区域 D，则平面区域 D 的“直径”的最大值是
。
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上饶市 2020 届六校高三第一次联考
（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）
理科数学试卷
命题学校：广信中学 主命题：姚旺河 副命题：祝光华
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 总分：150 分 时间：120 分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。） 1.已知集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合 B＝{x|x﹣1 0}，则 CR ( A B) ＝（ ）
为 120°，若 Sn≤Sm 对任意的 n∈N*恒成立，则实数 m＝（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6.设 F 为抛物线 x 4 y2 的焦点， A, B, C 为抛物线上三点，若 FAFBFC0，则| FA| | FB| | FC|（ ）
A.9
B.6
3
3
C.
D.
8
16
2. 已知 z z 2i （i 为虚数单位， z 为 z 的共轭复数），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） 3
17. （本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 cos 2C 3cos C 1 0
（1）求角 C 的大小；
（2）若 b＝3a，△ABC 的面积为 3 sinAsinB，求 sinA 及 c 的值。
12.设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 2) 2 f (x) ，且当 x (0,2] 时， f (x) x(x 2) 。若对任意 x (，m] ，都有 f (x) ≤ 40 ，则 m 的取值范围是（ ）