第三讲：分式及其运算
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是一种特殊的数字表示形式,由一个分子和一个分母组成。
分子位于分数线的上方,分母位于分数线的下方。
分式的意义是将整体(单位)等分为若干等份,取其中的几份。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母:先将分子相加或相减,保留分母不变。
- 异分母:先通分,使分母相同,再进行加减运算。
2. 分式的乘法
将两个分式的分子相乘作为新的分子,将两个分式的分母相乘作为新的分母。
3. 分式的除法
分子与分母互换,再乘以原分式的倒数。
4. 分式的化简
分子和分母互素时,分式已经是最简形式。
否则,可以约分为最简形式。
三、分式的应用
分式在日常生活中有广泛应用,例如:
1. 比例计算
2. 百分数转化
3. 概率计算
4. 混合运算等
掌握分式及其运算,可以帮助我们更好地理解和处理一些实际问题。
高中分式及其运算
高中分式及其运算
摘要：
1.分式的定义与基本概念
2.分式的运算法则
3.分式的应用与实际问题解决
正文：
一、分式的定义与基本概念
分式是代数学中的一种表达式，表示一个整体被划分为若干部分，其中的一部分或几部分的比值。
分式通常由两个整式相除构成，其中分子是一个整式，分母是另一个整式。
分式中，分子表示被划分的部分，分母表示整体被划分成的部分。
在代数学中，分式可以进行各种运算，如加、减、乘、除等。
二、分式的运算法则
1.加法：将两个分式的分子相加，分母保持不变，即(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd。
2.减法：将两个分式的分子相减，分母保持不变，即(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd。
3.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，即(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)。
4.除法：将两个分式的分子相除，分母相除，即(a/b) / (c/d) = (ad) / (bc)。
三、分式的应用与实际问题解决
分式在实际问题中有广泛应用，例如在物理、化学、生物等科学领域中，
经常需要用分式表示各种比例关系。
掌握分式的运算法则，有助于更好地解决实际问题。
例如，在物理学中，我们可能会遇到这样的问题：一个物体在竖直方向上受到两个力的作用，其中一个力为F1，另一个力为F2，物体在两个力的作用下上升的高度之比为h1:h2，求两个力的大小之比。
通过设分式，我们可以很容易地解决这个问题。
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
【名师面对面】2015中考数学总复习 第1章 第3讲 分式及其运算考点集训
分式及其运算一、选择题1．(2013·成都)要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是( A ) A ．x ≠1 B ．x >1 C ．x <1 D ．x ≠－12．(2013·南京)计算a 3·(1a)2的结果是( A ) A ．a B ．a 5 C ．a 6 D ．a 93．下列运算正确的是( D )A.y －x －y ＝－y x －yB.2x ＋y 3x ＋y ＝23C.x 2＋y 2x ＋y ＝x ＋yD.y －x x 2－y 2＝－1x ＋y4．计算：(a b －b a )÷a －b a ＝( A ) A.a ＋b b B.a －b b C.a －b a D.a ＋b a5．对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a .若1⊕(x ＋1)＝1，则x 的值为( C )A.32 B ．1 C ．－12 D.126．(2013·杭州)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( B )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C.12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12二、填空题7．(2014·昆明)当x ＝__10__时，分式1x －10无意义． 8．若代数式2x －1－1的值为0，则x ＝__3__． 9．当x ＝－12时，y ＝1，分式x －y xy －1的值为__1__． 10．(2014·襄阳)计算：a 2－1a 2＋2a ÷a －1a ＝__a ＋1a ＋2__． 11．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截出5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为__5m n __米．12．若分式1x 2－2x ＋m 无论x 取何值都有意义，则m 的取值范围是__m>1__． 三、解答题 13．(2014·珠海)化简：(a 2＋3a)÷a 2－9a －3. 原式＝a (a ＋3)×a －3（a ＋3）（a －3）＝a14．(2014·玉林)先化简，再求值：2x x 2－1－1x －1，其中x ＝2－1. 原式＝x －1（x ＋1）（x －1）＝1x ＋1，当x ＝2－1时，原式＝12－1＋1＝2215．已知x ＝2015，求分式(x －6x －9x )÷(1－3x)的值． 原式＝x 2－6x ＋9x ÷x －3x ＝（x －3）2x ·x x －3＝x －3.当x ＝2015时，原式＝201216．从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．选取①②，得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝6－33＝1(有6种情况)17．已知M ＝2xy x 2－y 2，N ＝x 2＋y 2x 2－y2，用“＋”或“－”连结M ，N ，有三种不同的形式：M ＋N ，M －N ，N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2.(1)M ＋N ＝2xy x 2－y 2＋x 2＋y 2x 2－y 2＝（x ＋y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x ＋y x －y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝52y ＋y 52y －y ＝73 (2)M －N ＝2xy x 2－y 2－x 2＋y 2x 2－y 2＝－（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝y －x x ＋y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝y －52y 52y ＋y ＝－37 (3)N －M ＝x 2＋y 2x 2－y 2－2xy x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝52y －y 52y ＋y ＝3718．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，…. (1)计算：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝__56__； (2)探究11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝__n n ＋1__；(用含n 的式子表示) (3)若11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）的值为1735，求n 的值． 11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，由n 2n ＋1＝1735，解得n ＝17。
分式及其运算课件完整版课件
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是整式 ； ②分母字中母含有
。
思考：
1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
分类：
单项式
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
特征：
2.6 , 5 5 13
5, x , a xy
y , 2004
。。x。 y。。x。
2004
x 30
。
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式
分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
第4课 分式及其运算
张玲玲
§4.1 分式的概念
问题1：
请将下列的几个代数式按照你认为的共同特 征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自 己选定,若不够可再画），并说明理由。
2.6 , 5 , 5 , x , y , 2004 , 2004 5 13 a x y x y x x 30
(7)
探索与发现（求代数式的值）
x … -2 -1 0 1
分式及其运算课件精编版
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中
任何两个，分式的值不变．
用式子表示为：a＝－ a ＝ －a ＝－ －a ，
b
－b －b
b
－ a ＝ a ＝ －a . b －b b
(2)分式的加减法：
同分母加减法：
a ±b ＝a±b cc c
；
异分母加减法：
b±d＝ bc±ad a c ac
x2－1 ＝x＋1·x－1＝ x－1.
x2＋2x＋1 x＋12
x＋1
将x＝2代入xx－＋11
，得原式＝22－＋11＝
1 3
.
shiqianxian pingdichang zhonxue
题型四 分式方程的解法
【例4】
解分式方程：x2＋5 3x
－
1 x2－x
＝0.
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
shiqianxian pingdichang zhonxue
2．注意分式运算的法则和顺序 分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后， 能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于 乘除、乘方混合运算，就遵循“先乘方，后乘除”的运 算顺序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算， 可把整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式 相加减来进行运算．分式运算中，每步运算都要符合法 则或运算律，不能随意套用运算律．
1y－2－1x
－1x－1y－2
＝ －6－14 ＝－20
－3－2 －5
＝4.
shiqianxian pingdichang zhonxue
探究提高 1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形 都不得与此相违背，否则分式的值改变. 2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式， 如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然 后再约分，约分应彻底. 3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应 用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结 果．
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式及其运算
分式及其运算分式，也叫有理式，是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式，分子与分母都可以是整数多项式，且分母不能为0。
分式的运算是数学中的重要内容之一，主要包括分式的加减乘除四则运算。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成，用横线隔开。
分子表示分子部分的表达式，分母表示分母部分的表达式。
分式的形式可以用以下表示方法：$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。
例如，$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。
其中，3是分式的分子，5是分式的分母；$x^2+1$是分式的分子，2x是分式的分母。
二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算：将同分母分式的分子相加（或相减），分母保持不变，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$；$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。
2.异分母分式的加减运算：先找到它们的最小公倍数（简称最小公倍数），然后将分子通分，再进行加减运算。
最后将结果化简到最简形式。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。
三、分式的乘除运算1.分式的乘法：将分式的分子与分母分别相乘，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。
（完整版）分式的运算及题型讲解
（完整版）分式的运算及题型讲解§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：bd ac d c b a =?（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示：2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。
分式运算课件ppt
详细描述
在进行分数与小数的混合运算时，应先将小数转换为分数，然后 按照分数的运算法则进行计算。例如，计算(2/3) + (3/4)时，可 以先将小数0.75转换为分数3/4，然后进行分数的加法运算，得到 结果为5/6。
总结词
理解分数与整数的混合运算规则，避免运算错误。
详细描述
在进行分数与整数的混合运算时，应先将整数看作分数，然后 进行分数的加减乘除运算。例如，计算(2/3) + 3时，可以将整 数3看作分数9/3，然后进行分数的加法运算，得到结果为 11/3。
统计学
分式在统计学中用于表示概率、频率 等统计量，以及进行数据分析和预测 。
乘除混合运算的注意事项
总结词
注意约简和化简运算过程
详细描述
在进行乘除混合运算时，应注意分子和分母的约简，以简化表达式。例如，将$frac{2a}{4b} times frac{3c}{6d} div frac{4e}{2f}$化简为$frac{a}{2b} times frac{c}{2d} div frac{2e}{f}$。
总结词
理解分式除法在数学和实际问题中的应用
详细描述
分式除法在解决实际问题，如速度、密度、面积等问题中 有着广泛的应用。通过分式除法可以方便地计算出一个比 例与另一个比例的倒数之积。
乘除混合运算的注意事项
总结词
掌握乘除混合运算的顺序和规则
详细描述
在进行乘除混合运算时，应遵循“先乘后除”的原则，即先进行乘法运算再进行 除法运算。例如，计算$frac{a}{b} times frac{c}{d} div frac{e}{f}$时，应先进行 $frac{a}{b} times frac{c}{d}$的乘法运算，然后再进行除法运算。
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分式及其运算
知识点：
分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算。
教学目标：
了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式
的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。
教学重难点：
分式的化简求值（在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习
题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，
化简要认真仔细）。
教学过程：
1、知识要点：
考点1 分式的有关概念：
设A、B表示两个整式，如果B中含有字母，式子BA就叫做分式；注意分
母B的值不能为零，否则分式没有意义（分式有意义的条件： B≠0 ；
分式的值为0的条件： A＝0且 B≠0 ）；
判断某一个代数式属于不属于分式，不能看化简后的结果，而应看到它的本
来面目，分式的概念是以形式上规定的．
解有关分式是否有意义的问题时，常用到“或”与“且”来表达，正确使用
“或”与“且”也是解题的关键．“或”表示一种选择关系，含有“你行，他也
行”的意思；“且”表示递进关系，也有“同时”的意思．
考点2 分式的基本性质：
MBMABA
， MBMABA（M为不等于零的整式）；
考点3 分式的运算：(分式的运算法则与分数的运算法则类似)
1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式
的值不变．
用式子表示为：ba＝－ba ＝ ba ＝－ba，
－ba＝ ba＝ba .
2)分式的加减法：
同分母加减法：cbacbca；
异分母加减法： bdbcaddcba.(异分母相加，先通分)；
(3)分式的乘除法： bdacdcba ； bcadcdbadcba ；
(4)分式的乘方：nnnbaba)(
考点4 分式的约分、通分：
把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，其根据是分式的基
本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式
的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分
母．
备注：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要
进行约分化简。
考点5 分式的混合运算：
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最
后进行加减运算．遇有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须
是最简分式或整式．
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围
【例1】 （1）．(2011·江津)下列式子是分式的是( )
A. 2x B. 1xx C.2x＋y D.3x
(2)当x＝_______时，分式12x无意义；
(3)(2011·泉州)当x＝_______时，分式22xx 的值为0.
探究提高
1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分
式有意义．
2.首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，
当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
知能迁移1 (1)使分式 42xx 有意义的x的取值范围是________．
(2)当x＝________时，分式 33xx 的值为0.
(3)若分式 122xx的值为0，则x的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
题型二 分式的性质
【例2】 (1)(2011·湛江)化简 baa2－bab2 的结果是( )
A．a＋b B．a－b C．22ba D．1
(2)已知 x1－y1＝3，求分式yxyxyxyx22142的值．
探究提高
1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，
否则分式的值改变.
2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多
项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底.
3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求
的算式向已知条件“凑”而求得结果．
知能迁移2 (1)(2011·聊城)化简：bababababa2222222=_______________.
(2)下列运算中，错误的是( )
A. ＝bcacba(c≠0) B. baba ＝－1
C. baba3.02.05.0 ＝baba32105 D. yxyx＝xyxy
题型三 分式的四则混合运算
【例3】 先化简代数式(2aa＋22a)÷412a，然后选取一个合适的a值，代
入求值．
探究提高
准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取a的值时，不能取使分式
无意义的±2.
知能迁移3 (1)(2011·安徽)先化简，再求值：11x－122x，其中x＝－2.
(2)计算：(33aa－3aa)·aa92
(3)(2011·贵阳)在三个整式2x－1，2x＋2x＋1，2x＋x中，请你从中任意选择
两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行
化简，再求当x＝2时分式的值．