函数表示法
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法全文共852字，预计阅读时间：3分钟上周，我们学习了函数的概念和三个要素。
你记得他们吗？如果忘记了，请及时复习！今天我们将继续函数的学习，主要学习函数的不同表达方式和相关知识点，并额外拓展映射的内容，大家看好了！一，函数的常见表示方法在初中阶段，我们已经学习了函数的三种常用表示法，即解析法、列表法和图像法。
你知道这三种方法各自的适用范围和优缺点吗？解析法：使用数学表达式表示两变量之间的对应关系，也就是函数式表达法，其优点是比较简洁明了，并且可以在已知定义域（自变量）的情况下根据函数式的特点求得值域（函数值），但是这种方法往往非常抽象，因此在之后的学习过程中，解析法常常和图像法结合使用；列表法：使用表格表示两变量之间的对应关系，这种方法的优点是并不需要计算就可以清晰地看出函数值，适合银行利率表之类的问题，但是大家也会发现，列表法的容量是非常有限的，而且是离散的，并不是连贯的；图像法：用图像来表示两个变量之间的对应关系，与前两者相比，图像法更直观，能看到变化趋势。
然而，提取图像的过程往往很复杂，因此它常常与分析方法一起使用。
二，分段函数分段函数是指在一个定义域内，自变量的不同范围有不同对应关系的函数。
需要同学们注意的是：1）虽然分段函数包括几个不同的对应关系，但是它依然是一个函数；2）分段函数的定义域是几个部分的“并”（什么是并，大家还记得吗？）；3）分段函数定义域的不同部分并不能相交；4)由于分段函数包含若干对应关系，因此分段函数的图像不一定是连续曲线。
三，扩展学习 - 映射人教版教材中已经删除了映射的内容，但是为了让学生更好的理解函数，我们先简单的了解一下映射的基本概念，并不是强制性的！映射的定义是：其中“f：A→B”表示A到B的映射，而“f：B→A”表示B到A的映射，这两者并不是同一个映射！映射也有三个要素，即两个集合和一个对应的规则，和函数很像。
但函数要求两个集合必须是数的集合，映射对集合没有特殊要求。
函数表示法
解
(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，
解(2)函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知，当－1≤x≤1 时，f(x)＝x 的值 域为[0,1]， 当 x>1 或 x<－1 时，f(x)＝1，所以 f(x)的值 域为[0,1]．
2
题型三 映射的概念
【例】 设 M＝{x|0≤x≤3}， N＝{y|0≤y≤3}， 给出 4 个图形， 其中能表示从集合 M 到集合 N 的映射关系的有( A．0 个 B．1 个 ) C．2 个 D．3 个
【练习】
若 函 数 f(x) ＝
x＋1 fx＋2
x≥0， 则 f( － 3) x<0，
＝________.
题型二 【例 2】 已知
分段函数的图象 －1≤x≤1， x>1或x<－1，
x2 f(x)＝ 1
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
思考 ： 函数与映射的主要联系与区别是什
么？答 映射是函数的推广，而函数是映射 的特殊情况，函数是非空数集 A 到非空数集
B 的映射，而映射而言，A，B 不一定是非空
数集，所以映射不一定是函数，函数一定是 映射．
【例】判断下列对应是不是从集合 A 到集合
B 的映射：
(1)A＝N ，B＝N ，对应关系 f：x→|x－3|；
2
作业
信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100 邮资(y)/元
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
人教八下数学第2课时 函数的三种表示方法
状元成才路
解析：用表格列出s与t的对应关系，如下表
t
0
2
4
6
s
200 150 100
50
观察上表可得出t与s的关系式为：
s=200-25t(0≤t≤8) 所以小船与码头的距离s是时间t的函数.
状元成才路
画函数图象
t
0
2
4
6
s
200 150 100
50
s(m)
由图象可知，在
200
第8min时，小船与码
时刻 t(时)
0
4
8 12 16 20 24
温度 T(℃)
16 18.1 19.9 22
21
19 17.2
状元成才路
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
9时10分至9时15分： 在家 ； 9时30分至9时50分：在书店买书 .
状元成才路
3.用描点法画出函数y=x+2的图象. 解：列表 、描点、连线后得到的图象如图所示.
x -2 -1 0 1 2 y01234
状元成才路
4.用描点法画出函数y=-6x的图象. 解：列表 并描点、连线后得到的图象如图所示.
y
2
y=x+0.5
1
-2 -1 O 1 2 x -1 -2
状元成才路
(2) y 6 (x>0) x
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 12 6 4 3 2.4
从函数图象可以看
出，曲线从左向右下降，
即当x由小变大时，
y 6 x
(x>0)
随之减小.
2
1.2.2函数的表示法(三)课件
§1.2.2函数的表示法
例3.判断下列对应是否为从集合A到B的映射: (1) A=R,B={y|y>0},对应关系f:平方. (2) A=N,B=N,对应关系f:乘2减1. (3) A={1,2,3,4},B=R,对应关系f:平方. 解:(1)0∈A,在对应关系f 的作用下,02=0B, 故不是. (2)0∈A,在对应关系f的作用下,2×0-1=1N,故不是. (3)对于任意x∈A,依对应关系f都有x2∈B, 故是映射.
§1.2.2函数的表示法
1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点P P 和它对应. Ｏ a 2)对于坐标平面内的任何一点Ａ,都有唯一的 一个有序实数对(x, y)和它对应; y A (x,y) 3)对于任何一个三角形,都有 o x 唯一的面积和它对应; 4)本班每一个学生和教室内的座位对应; 5)本班每一个学生和班主任对应; 6)某人和他的书对应.
§1.2.2函数的表示法
例1.下面7个对应,其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射? 不是 不是 a1 a b
a1 a3 a2 a4 b1 b2 b3 a3 a2 a4
是
(2)
b1 b2 b3 b4
1
1
a3 a2 a4
(3)
b2 b3 b4
(1) 2 4 -1 0 4 8 -2 0
是
(4)
0 1 -1 2 -2
2
所以函数的定义域是 [ 5, 3] [ 3, 5].
§1.2.2函数的表示法
函数是两个非空数集间的一种确定的对 应关系．若将数集扩展到任意的集合时，会 得到什么结论？
阅读课本 P22~23.
§1.2.2函数的表示法
人椅 座位Fra bibliotek票对应是两个集合的元素之间的一种关系,对 应关系可用图示的方法或文字描述等来表示.一 个对应由两个集合和对应关系三部分组成.
函数的三种表示方式及取值范围
知识回顾：
1、你还记得什么是函数吗？ 2、函数的定义：在同一个变化过程中，如 果有__ __个变量，如果对于变量x取每一 个确定的值，变量y都____与它对应，那么 就说___是___的函数。 用图象法、列表法及解析法 3、函数的表示方法： ____、_____、____。
（1）黄河的一条支流上的某水文站记录了该支流 当天 9 时至 21 时河水水位的变化情况（图 5-1）.
（3）物体从 490 m 的高度处自由下落，物体
距地面的高度 h（m）与物体下落的时间 t（s） 之间的关系满足表达式 h = 490 - 4.9t2 在这个实际问题中，物体距地面的高度 h与物体 下落的时间 t之间是函数关系吗？ 如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
3、一根蜡烛长20cm，点燃后每 小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高 度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数 关系用图象表示为（ ）
x3 y 4、函数 的自变量的 x 取值范围是（ ）
Ａ． x ≥ 3 Ｂ． x 3 x ≥ 3且 x 0 Ｃ． x 0 且x 中，弹簧长度 y与拉力 x之间 是函数关系吗？如果是，函数关系吗？ 是用哪种方法表示的？
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
（3）物体从 490 m 的高度处自由下落，物体
距地面的高度 h（m）与物体下落的时间 t（s） 之间的关系满足表达式 h = 490 - 4.9t2 在这个实际问题中，物体距地面的高度 h与物体 下落的时间 t之间是函数关系吗？ 如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？
想一想：下列自变量x可以取何值？
（1）y = 3x - 2； （3） y=
1 （ 2） y 2x 1
函数的三种表示方法
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量 称为常量． 2．常量和变量是两个对立而又统一的量．它们是对“某一过程”而言 的，是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同． 3．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．其中x是自 变量．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 4．一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义 的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义． 5．可以用图表和式子表示函数关系．
由表可看出，三角形内角和为180°，边数每 增加1条，• 内角和度数就增加180°．故此m、 n函数关系可表示为： m= 180° （n-2）（n≥3的自然数）．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a 的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所 以周长L与边长a的函数关系可表示为： L=3a （a>0） 我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象． 列表： a … 1 2 3 4 … L … 3 6 9 12 … 描点、连线：
LOGO
函数的表示方法
LOGO
1.自学归纳
1。函数的三种表示方法：列表法、图象 法和解析法。 2。三种表示方法的转化
3。列表、描点、连线，作函数的图象。
归纳 表示函数关系的方法：
1、解析法：准确地反映了函数与 自变量之间的数量关系。 2、列表法：具体地反映了函数与 自变量的数值对应关系。
三种表示法的比较：
优点 缺点
不够形 象直观，而 且并不是所 有的函数关 系式都可以 用数学式子 表示
函数的表示方法
表格能否直观地分析出三位同学成绩高低？如何才 能更好的比较三个人的成绩高低？
y
100
90 80
.
班♦ 平 均 分
■
▲
. . . .
▲
.
■ ▲
王伟
♦
▲
♦ ▲
■ ■
♦
♦ 张城
▲ ■
■
♦
70
60 0
赵磊 1
2
3
4
5
6
x
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示 出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城 同学的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较大；赵 磊同学的成绩低于班级平均水平，但成绩在稳步提高。
y 5x, x 1,2,3,4,5
用图象法可将函数表示为下图 yy
25 20
15 10 5 0
． ． ．
1 2 3
.
4
．
5
x
问题 （1）用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？
函数的定义域是函数存在的前提，在写函数 解析式的时候，一定要写出函数的定义域。
三、学习例4，学会利用表格画出函数的图象
图象法
列表法
二、由例6引入分段函数的概念
例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
问题 ①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分 成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段上的函数 解析式是怎样求出的？
1.2.2函数的表示法
| x 1| 2, (| x | 1) f ( x) 1 求 f [ f (1 2 )] . , (| x | 1) 2 1 x
x 2( x 1) 2 2．在函数 f ( x) x ( 1 x 2) 中，若 f ( x) 3 2 x ( x 2)
练习1: 画出函数y=|x-1|的图象.
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集。
例4(P21)．某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定：（1） 5公里以内（含5公里），票 价2元； （2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
60o
3 2
90o
（2）
1
求平方Ｂ Ａ １ １ －１ ２ 4 －２ ３ ９ －３
（3 ）
Ａ １ ２ ３
乘以２ １ Ｂ ２ ３ ４ ５ ６
（4 ）
注意：一、映射f:A→B，可理解为以下几点：
1、集合A、B必须是非空的任何集合；
二、对应、映射与函数的关系 1、对应是映射的推广，映射是一种特殊的对应； 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。 2、对应变映射，只是变唯一；
。
函数三种表示法的特点
⑴解析法: 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以 通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中 学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法: 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的 函数值. ⑶图象法： 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值 变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某 些性质.
函数的概念及表示法PPT课件
4
5
6
y（元）
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
解 f 0 20 1
3
f 5 2 5 1
3
， f 2 2 2 1
3
， f b 2b 1
3
， ．
巩固知识 典型例题
动 脑思考 探索新 知
作函数图像的一般方法——描点法
.
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
总结演示
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1)能(2)不能(3) 能 (4)不能
应用知识 强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
x4
2．已知 f x 3x 2 ，求 f 0 ， f 1 ， f a ．