2007年高考福建数学(理)详细答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（ ）A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-解析：2)1(1i +=i i2121-=，选D.2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．130解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以512345S a a a a a =++++111111111512233445566=-+-+-+-+-=，选B.3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C.4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0 a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若 a b =a c ，则b =c解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B.5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称解析：由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得2=ω，由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），选A.6．以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45|020|=-=r ，圆方程为16)5(22=+-y x ，即A，选A.7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，，D ．(1)(1)-∞-+∞ ，，解析：由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C.8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥ D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D.9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n n a a ∞-+→等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2解析：令x=1得a n =1+2+22+ (2)=12212111-=--++n n ，222322lim112lim11=--⋅=--++∞→∞→n n n n n n a a ，选D.10．顶点在同一球面上的正四棱柱A B C D A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2C．4π D．2π解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R 2=1+1+2=4得R=1，AC=222R R +=，所以∠AOC=2π（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为2π，选B.11．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增, 当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B.12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A ．37B ．47C ．114D ．1314111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：从中任取三个数共有8439=C 种取法，没有同行、同列的取法有6111213=C C C ，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-，选D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．解析：画出可行域知z =2x -y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得 最大值7，范围是[-5，7].14．已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 解析：设c=1，则121212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=ac e a a c a ab.15．两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．解析：ξ的取值有0，1，2，11222244(0),(1),9999C C p p ξξ⨯======1(2).9p ξ== 所以E ξ=4412012.9993⨯+⨯+⨯=16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a ；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b ，则有b a ；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b ，b c ，则有a c ． 则称“~”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______． 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在A B C △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A B C △，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，A B ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，B C 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =sin sin AB BC CA=得：sin sin AB C A B C==所以，最小边BC =18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长 都为2，D 为1C C 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A B D ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；ABCD1A1C1B（Ⅲ）求点C 到平面1A B D 的距离．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距 离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取B C 中点O ，连结A O ．A B C △为正三角形，AO BC ∴⊥． 正三棱柱111ABC A B C -中，平面A B C ⊥平面11BCC B ，A O ∴⊥平面11BCCB ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC C C ，的中点， 1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A B D ．（Ⅱ）设1A B 与1A B 交于点G ，在平面1A B D 中，作1G F A D ⊥于F ，连结A F ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A B D ．1AF A D ∴⊥，A F G ∴∠为二面角1A A DB --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得5AF =，又112A G A B ==，sin 45AG AFG AF∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小为arcsin 4．（Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BC D S =△．ABC D1A 1C1BOF在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A B D 的距离为d ． 由11A BC D C A BD V V --=得11133BC D A BD S S d =△△，12BCD A BDd S ∴==△△．∴点C 到平面1A B D的距离为2．解法二：（Ⅰ）取B C 中点O ，连结A O ． A B C △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面A B C ⊥平面11BCC B ，A D ∴⊥平面11BCCB ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1O O ，O A的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，，1(120)B ，，，1(12AB ∴=-，，，(210)BD =- ，，，1(12BA =-，．12200AB BD =-++= ，11143AB BA =-+-1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A B D ．（Ⅱ）设平面1A A D 的法向量为()x y z =，，n ．(11A D =--，，，1(020)AA =，，．AD⊥n ，1A A ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，n n 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =得(1)=，n 为平面1A A D 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A B D ，1A B ∴为平面1A B D 的法向量．cos <n，1114A B A B A B >===-n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为arccos4．（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A B D 法向量，1(200)(12BC AB =-=-，，，，，．∴点C 到平面1A B D的距离112BC AB d AB ===．19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司 交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用 数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，． （Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）．35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2m ax (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时，23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P Q F FP FQ = ．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l1F，2M B BF λ=，求12λλ+的值.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及 研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由Q P Q F FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x m y ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1M A AF λ= ，2M B BF λ=得：1112y y mλ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121m y λ=--，2221m y λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=．解法二：（Ⅰ）由Q P Q F FP FQ = 得：()0F Q P Q P F +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）由已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=，得120λλ< ．则：12M A AF M B BFλλ=-．…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11M A AA AFM B BB BF== ．…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-= ，即120λλ+=．21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S =+=+，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n n S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分.解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n n==+假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列， 则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．（本小题满分14分） 已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N ．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查 分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e ex xF x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eee ee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。