冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子

收稿日期:1996206225.

刘思峰,男,1955年生,博士研究生;武汉,华中理工大学自动控制工程系(430074).原工作单位:河南农业大学系统工程研究所.

3国家自然科学基金(79170078)、河南省首批杰出青年科学基金(964012800)资助项目.

冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子3

刘思峰

(自动控制工程系)

摘　要　探讨克服冲击扰动系统预测陷阱的一种新途径.建立了缓冲算子的概念和公理系统;研究了缓冲算子的特性;构造了若干具有普遍意义的实用弱化算子与强化算子.从而使实际预测工作中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不相符问题得到有效解决.关键词　冲击波;预测陷阱;缓冲算子分类号　N 94

冲击扰动系统预测陷阱一直是预测工作中的

一大难题.所谓“预测陷阱”是指在实际预测工作中,收集到的系统行为数据有时由于系统本身受到某种冲击波的干扰而失真,亦即系统行为数据序列未能确切地反映系统的真实变化规律.在这种情况下,如果不事先排除冲击干扰,而用业已失真的数据直接建模、预测,则得到的定量预测结果很可能与人们直观的定性分析结论大相径庭,从而使预测结果令人感到难以置信.

为了寻求定性与定量相结合的有效途径,防止退回“拍脑袋”预测的泥潭,多年来,笔者一直在思索“量化”定性研究结果的可能性.80年代末,在参与“河南省十县战略规划试点研究”技术指导工作的过程中,对“量化”定性研究结果的意义有了较为深刻的认识[1,2].本文进一步拓展了已有的结果.

1　基本概念与公理

定义1　设X 为系统行为数据序列

X =(x (1),x (2),…,x (n )),

a .若Πk =2,3,…,n ,x (k )-x (1)>0,则称X 为增长序列;若进一步有x (k )-x (k -1)>0,则称X 为单调增长序列;

b .若a 中不等号反过来成立,则分别称X 为衰减序列及单调衰减序列;

c .若存在k ,k ’

∈{2,3,…,n },有x (k )-x (1)>0,x (k ’

)-x (1)<0,则称X 为振荡序列[3].

定义2　设系统行为数据序列

X =(x (1),x (2),…,x (n )),

a .令r (k )=[x (n )-x (k )]

(n -k +1)(k =1,2,…,n ),称r (k )为振荡序列X 中x (k )到

x (n )的平均变化率

.对于单调增长序列,r (k )>0为平均增长率;对于单调衰减序列,r (k )<0为平均衰减率;

b .令M =m ax {x (k ) k =1,2,…,n };m =m in {x (k ) k =1,2,…,n },称M -m 为振荡序列X 的振幅.

定义3　若系统行为数据序列X 中某些数据因受冲击波干扰而失真,则称X 为冲击扰动序列;与之对应的系统称为冲击扰动系统.

定义4　设X 为冲击扰动序列,D 为作用于X 的算子,X 经算子D 作用后所得序列记为X D

=(x (1)d (1),x (2)d (2),…,x (n )d (n )

),称D 为序列算子,X D 为一阶算子作用序列.

序列算子的作用可以多次进行.相应地,若D 1,D 2,…皆为序列算子,称D 1D 2为二阶序列算

子,并称X D 1D 2=(x (1)d (1)1d (1)2,x (2)d (2)1d (2)

2,

…,x (n )d (n )1d (n )

2)为二阶算子作用序列;三阶序列算子及三阶算子作用序列等等依此类推.

公理1(不动点公理)　设X 为冲击扰动序

列,D 为序列算子,D 满足x (n )d (n )

=x (n ).

不动点公理限定在序列算子作用下,作为发展基础的现期数据x (n )保持不变.

根据定性分析结果,亦可规定与x (n )相邻

第25卷第1期 华　中　理　工　大　学　学　报 V o l .25　N o.11997年　1月 J.H uazhong U niv .of Sci .&T ech. Jan.　1997

的若干个数据在序列算子作用下保持不变,而着重淡化其以前数据的冲击干扰.如令

x(i)d(i)≠x(i)(i=1,2,…,k-1);

x(j)d(j)=x(j)(j=k,k+1,…,n).

公理2(信息充分利用公理)　在算子作用过程中应充分利用冲击扰动序列X中的每一个数据x(k)(k=1,2,…,n).

信息充分利用公理限定构造序列算子必须以现有数据为基础[4],不允许抛开原始数据另搞一套.

公理3(解析化、规范化公理)　任一x(k)

d(k)(k=1,2,…,n)皆可由一个统一的x(k) (k=1,2,…,n)的初等解析式表达.

公理3要求由系统行为数据序列生成算子作用序列的程序清晰、规范、统一,且尽可能简化,以便于生成过程的操作并使之易于在计算机上实现.

定义5　称公理1,2和3为缓冲算子三公理;满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子;一阶、二阶、三阶…缓冲算子作用序列分别称为一阶、二阶、三阶…缓冲序列.

定义6　设X为冲击扰动序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时,a.若缓冲序列X D比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,则称缓冲算子D为弱化算子;b.若缓冲序列X D比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子.

2　缓冲算子的性质

定理1　设X为单调增长序列,X D为其缓冲序列,则有:a.D为弱化算子Ζx(k)≤x(k)d(k) (k=1,2,…,n);b.D为强化算子Ζx(k)≥x(k)d(k)(k=1,2,…,n).即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀,在强化算子作用下数据萎缩.

证明　由定义2并注意到缓冲序列X D中

x(k)d(k)到x(n)d(n)的平均增长率

r(k)d(k)=(x(n)d(n)-x(k)d(k)) (n-k+1)

(k=1,2,…,n)　以及x(n)d(n)=x(n),有

r(k)-r(k)d(k)=x(k)d(k)-x(k)

n-k+1

.(1)

从而:a.若D为弱化算子,则r(k)≥r(k)d(k),即r(k)-r(k)d(k)≥0,由式(1)可知,必有x(k)d(k)-x(k)≥0,亦即x(k)d(k)≥x(k)(k=1,2,…, n);反之亦然;b.若D为强化算子,则r(k)≤r(k)d(k),即r(k)-r(k)d(k)≤0,同样由式(1)得x(k)d(k)-x(k)≤0,亦即x(k)d(k)≤x(k)(k=1, 2,…,n);反之亦然.

定理2　设X为单调衰减序列,X D为其缓冲序列,则有:a.D为弱化算子Ζx(k)≥x(k)d(k) (k=1,2,…,n);b.D为强化算子Ζx(k)≤x(k)d(k)(k=1,2,…,n).即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩,在强化算子作用下数据膨胀.

定理2的证明与定理1类似,此处从略.

对于振荡序列,易知以下结论成立.

定理3　设X为振荡序列,X D为其缓冲序列,则有:

a.若D为弱化算子,则

m ax

1≤k≤n

{x(k)}≥m ax

1≤k≤n

{x(k)d(k)};

m in

1≤k≤n

{x(k)}≤m in

1≤k≤n

{x(k)d(k)};

b.若D为强化算子,则

m ax

1≤k≤n

{x(k)}≤m ax

1≤k≤n

{x(k)d(k)};

m in

1≤k≤n

{x(k)}≥m in

1≤k≤n

{x(k)d(k)}.

3　实用缓冲算子的构造

定理4　设X=(x(1),x(2),…,x(n))为冲击扰动序列,其缓冲序列X D=(x(1)d(1), x(2)d(2),…,x(n)d(n)),其中

x(k)d(k)=

x(k)+x(k+1)+…+x(n)

n-k+1

(k=1,2,…,n),　(2)则当X分别为单调增长、单调衰减或振荡序列时,D皆为弱化算子.

利用定义2或定理1可直接由式(2)中x(k)d(k)的构造推知定理4结论成立.

推论1　对于由式(2)定义的弱化算子D,令X D2=X DD=(x(1)(d(1))2,x(2)(d(2))2,…, x(n)(d(n))2),其中,x(k)(d(k))2=[x(k)d(k)+x(k +1)d(k+1)+…+x(n)d(n)] (n-k+1)(k=1,2,…,n),则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列,皆为二阶弱化算子.

定理5　设冲击扰动序列X及其缓冲序列X D分别为X=(x(1),x(2),…,x(n)),X D= (x(1)d(1),x(2)d(2),…,x(n)d(n)),其中,缓冲算子D定义为

x(k)d(k)=[x(1)+x(2)+…+x(k-1)+

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