三重积分的”先二后一“积分法
高等数学§9.3.1-2三重积分的计算
例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
用三重积分推导抽水做功的计算公式
水面
这一层水受到的力 (重力)：
μ为水的密度，g 为重力加速度
抽出这一层水功的近似值：
抽出这一层水的路程：
功的元素：
抽出全部水的功：
点评：求解这种问题的关键是分析出瓶高 x 处的截面面积 A(x)，其余的量都是固定的。 (1)
下面用三重积分来计算抽水的功
先用定积分计算
作为比较，我们用两种方法来计算抽水所做的功。
设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
功的元素
再用三重积分计算
如图建立坐标系。 圆锥面是直线 z=3y/2 绕 z 轴旋转而成的，其方程为： 在水中(x,y,z)处取体积元素 dv 则功的元素：
Байду номын сангаас
XUXZ, June 17, 2012, Math of SCU
(2)
从以上推导看出：用三重积分建立抽水做功的公式是比较简单的。
下面来说明公式(2)与公式(1)相等。
假设（如图）
结果同公式(1)。
其中 A(z) 是 D(z) 的面积。
则用“先二后一”积分法
下面来看一个例子
例
同济六版292页，习题 6
设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
抽水的功：
转化为柱面坐标计算 注：如果用“先二后一”积分法计算以上三重积分，则相当于前面的定积分计算过程。
Maple check：
mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:
Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2..15),r=0..10),theta=0..2*PI)
三重积分详解
f ( x , y, z )dxdydz
I = dxdy
D
z ( x , y )
z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程：
z
z2 z1
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
先做二重积分，后做定积分
Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z
Dz
z
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
高等数学 -三重积分的计算
dv r2 sin drd d
5
23
例3. 设由锥面
和球面
所围成 , 计算
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
z 2
利用对称性
(x2 y2 z2 ) dv
4
oy
用球坐标
x
2 d
0
4 sin d
0
2r 4 d r 32 2
0
5
2
24
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
o
y
x
(x,
y,0)
13
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
z d
因此 f (x, y, z)dxdydz
z
d
dz
d d dz
o
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
适用范围:
x
d
d
y
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
f (x, y, z) d v f (,, )V
2
二、三重积分的计算 1） 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2. 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
3
方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
z2
(x,
y)
z z2 (x, y)
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法蒋银山【摘要】There are several calculation methods of triple integral, such as the first one then two methods, the first two then one method, the use of cylindrical coordinates triple integral calculation using the spherical coordinates triple integral calcul-ation, and the use of parity symmetry with the plot function integration region etc. several articles in this calculation method are discussed and illustrated respectively.%三重积分有几种计算方法,如先一后二法、先二后一法、利用柱面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分、以及利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性等,文章对这几种计算方法进行了讨论,并分别举例说明.【期刊名称】《科教导刊》【年(卷),期】2015(000)034【总页数】2页(P51-52)【关键词】先一后二;先二后一;柱面坐标;球面坐标【作者】蒋银山【作者单位】广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部广东·广州 510545【正文语种】中文【中图分类】O172AbstractThere are several calculation methods of triple integral,such as the first one then two methods,the first two then one method,the use of cylindrical coordinates triple integral calculation using the spherical coordinates triple integral calculation,and the use of parity symmetry with the plot function integration region etc.several articles in this calculation method are discussed and illustrated respectively.Key wordsfirst one then two;first two then one;cylindrical coordinates;spherical coordinates方法一：先一后二法。
10.4 三重积分的计算
导数，其雅可比行列式 (x, y, z) 0 ，则 (u,v, w)
f
(x,
y, z)dxdydz
f
( x(u, v, w),
y(u,v, w), z(u,v, w))
(x, y, z) (u,v, w)
dudvdw
注：其中 (x, y, z) 可理解为变换前后体积元素dxdydz 与dudvdw 之比． (u,v, w)
例4.计算三重积分
其中
由旋转抛物面 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成 .
解:
I dx d y 2x2y2 (x2 y2 ) dz x2 y2 D
2 (x2 y2 )(1 x2 y2 ) dx d y
D
极坐标
2
2
d
1r2 (1 r2 )r dr 1 .
b
DZ
a dz f (x, y, z) d x d y
DZ
适用范围：当
且 DZ 的面积易求，则
f (x, y, z)d v
b a
g
(
z)
DZ
的面积
d
z
例1. 计算三重积分 I xdxd ydz, 其中 为三个
坐标面及平面 x 2y z 1 所围成的闭区域 .
解:可表示为 0 z 1 x 2 y, 0 y 1 (1 x), 0 x 1
0
0
0
4
2
d
4
1
R5
sin
d
0
05
oy x
dv 2 sin d d d
2 1 R5 (1 2 ) d 1 R5 (2 2)
05
2
5
例9. 计算三重积分 I
三重积分的计算方法总结
摘要三重积分可用于求空间立体的体积及空间物体的质量，在几何与力学中也有广泛的应用，因此三重积分的计算显得非常重要。
本文给出了三重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了三重积分的几种计算方法。
首先，给出了在直角坐标系下将三重积分转化为三次累次积分的“先一后二法”和“先二后一法”，接着介绍了三重积分的柱面坐标变换和球面坐标变换以及由此引申的广义柱面坐标变换和广义球面坐标变换，最后又给出了利用对称性和奇偶性的计算方法，并作了推广即n重积分的计算。
每种方法都有相应的例题，以此加深了对这些方法的理解及应用。
三重积分的计算方法很多，本文主要从以上四个方面对三重积分的算法进行了概括总结，使三重积分的计算系统化。
关键词：三重积分，计算方法，坐标替换Three the calculation of multiple integral methodsAbstractThree points could be used to calculate the spatial volume and spatial object quality, in geometry and mechanics, but also has a wide application, so in three the calculation of multiple integral is very important.This paper gives three integral concept and its basic properties, are summarized on the basis of three integral of several calculation methods. First of all, given in Cartesian coordinates triple integral into three times of repeated integral" one after two " and" after the first two a law", then introduces the three integral cylindrical transform of coordinate and spherical coordinate transformation and the extended generalized cylindrical coordinate transform and generalized spherical coordinate transformation, finally, given the use of symmetry and parity calculation method, and made the promotion that the calculation of multiple integral. Each method has a corresponding example, to deepen to the understanding of these methods and application.Three integral calculation methods, this article mainly from the above four aspects of three integral algorithm is summarized in this article, the three triple integral calculation system.Key words:Three integral ，Calculation method ，Coordinate substitution目录1⋅引言 (1)2⋅三重积分的概念 (1)3⋅三重积分的基本性质 (2)3.1常值函数的积分值 (2)32⋅.函数线性组合的积分 (2)33⋅.积分对区域的可加性 (2)34⋅积分的不等式性质 (3)35⋅.积分的值与被积函数在分片光滑曲面上的值无关 (3)4⋅三重积分的计算方法 (3)41⋅在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算 (3)⋅⋅当空间积分区域是由长方体、四面体或任意体形成时，将三重积分411转化成三次累次积分． (3)⋅⋅用“先一后二”的方法计算三重积分 (3)412⋅⋅用“先二后一法”计算三重积分 (5)4134．2⋅三重积分的变量替换法 (7)4．2．1一般原理体积元素 (7)4.2.2 球面坐标变换 (9)4．2．3 柱面坐标替换 (10)4.2.4 其他变量替换 (11)4.3 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇、偶性来进行计算 (12)4.4 三重积分算法推广——n重积分的计算 (14)4．4．1 仿射变换 (14)5．结论 (19)6．参考文献 (19)7．致谢............................................. 错误!未定义书签。
第3讲 三重积分
第3讲 三重积分的计算一．直角坐标系下三重积分的计算设(,,)f x y z 是空间有界闭区域V 上的有界(连续)函数，用平行于坐标平面的三组平面划分区域V ，将V 分成n 个小立体，每个小立体的体积V x y z ∆=∆∆∆，因而体积微元dV dxdydz =，所以(,,)(,,)V Vf x y z dV f x y z dxdydz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰设V 在xOy 面上的投影区域为xy D ,且V 可以表示为12{(,,)|(,)(,),(,)}xy V x y z z x y z z x y x y D =≤≤∈这里1(,)z x y ,2(,)z x y 为xy D 上的连续函数.V 为以曲面1(,)z x y 为底,以曲面2(,)z x y 为顶,而侧面是以xy D 的边界为准线,母线平行于z 轴的柱面所围的立体.称V 为xy 型空间区域.此时任何一条平行于z 轴且穿过V 内部的直线与V 的边界曲面相交不多于两点.类似可定义yz 型和zx 型空间区域.1. “先一后二法”或“坐标面投影法”取(,)xy x y D ∈,将(,,)f x y z 在1[(,)z x y ,2(,)]z x y 上作定积分,得21(,)(,)(,)(,,)z x y z x y F x y f x y z dz =⎰若(,,)f x y z 为密度函数,则当(,)x y 固定时, (,,)f x y z 为z 的函数,此时(,)F x y 表示V 内由1(,)z x y 到2(,)z x y 的”有质量的线段”,则V 的总质量为(,)xy D F x y dxdy ⎰⎰即(,,)V f x y z dxdydz ⎰⎰⎰21(,)(,)[(,,)]xyz x y z x y D f x y z dz dxdy =⎰⎰⎰ 21(,)(,)(,,)xy z x y z x y D dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰又若12{(,)|,()()}xy D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤,则 (,,)V f x y z dxdydz ⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(,,)b y x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰ 例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域.解:将V 向xOy 面投影,{(,)|01,01}xy D x y x y x =≤≤≤≤-{(,,)|01,(,)}xy V x y z z x y x y D =≤≤--∈1111100000(1)x x y x V xdV dx dy xdz dx x x y dy ----==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122200111[(1)(1)](1)2224x x x x dx x x dx =---=-=⎰⎰ 例2 计算V zdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤例 3 计算三重积分cos()Vy x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.“先二后一法”或“截面法”设V 在z 轴承投影是区间[,]c d ，即V 介于两平面,z c z d ==之间.过[,]c d 上任一点作垂直于z 轴的平面,交V 所得截面为z D ,则{(,,)|(,),}z V x y z x y D c z d =∈≤≤(,,)(,,)zdc V D f x y z dxdydz dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例4 计算sin V z dxdydz z⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体.例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b c ρ=++,求该椭球体的质量m .练习：求222()V I x y z dV =++⎰⎰⎰，其中222222:1x y z V a b c ++≤.2224()15abc a b c π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦1.柱面坐标与直角坐标的关系cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0r ≤<+∞ 02()θππθπ≤≤-≤≤ z -∞<<+∞ dV rdrd dz θ= (,,)(cos ,sin ,)V Vf x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般当V 是旋转体,它在坐标面上的投影为圆域、或与圆有关的区域、或用极坐标表示方便的曲线所围区域，或被积函数中含有22x y +，22y z +，22z x +，,x xy y之一时，用柱面坐标计算较方便. 例1 计算V I zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域.例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.sin cos sin sin cos x y z ρϕθρϕθρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0ρ≤<+∞0ϕπ≤<02()θππθπ≤<-≤<2sin dV d d d ρϕρϕθ=(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin Vf d d d ρϕθρϕθρϕρϕρϕθ=⎰⎰⎰例1 计算2VI x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z =0R >围成.例2计算Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222x y z a ++≤在第一卦限的部分.例3求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.例4计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例5 计算z V e dV ⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1}V x y z x y z =++≤例6 计算22()V I x z dV =+⎰⎰⎰,其中222{(,,)|1}V x y z x y z =++≤例7 计算222(235)V I xy z dxdydz =++⎰⎰⎰，其中222:1,0V x y z z ++≤≥[利用积分区域的对称性和坐标的轮换对称性]。
三重积分的概念及其计算
= ∫ dx
a
∫
dy
∫
f (x, y, z )dz
y1(x )
z1 ( x , y )
所以有
∫∫∫ f (x, y, z )dV
D
= ∫ dx
a
b
y2 ( x )
∫
z 2 ( x ,y )
dy
∫
f (x, y, z )dz (2)
y1 (x )
z1 ( x , y )
公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分 同理对于区域
I =
∫−1 dx ∫x
1
1
2
dy ∫
x 2 +y 2
0
f (x , y , z )dz
.
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω2
z = x2 + y2 + 1
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
z Ω: 曲面 z = x + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域
Ω2
取第一卦限部分
z = x2 + y2 + 1
y