难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)
专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 (1)【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 (7)【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 (13)【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】(1)天晴时打开“天幕”，若130∠=︒，求遮阳宽度CAE∠由130︒减少到90(2)下雨时收拢“天幕”，CAE【答案】(1)3.6m(2)1.2m∴ 2.2GE BF ==，当130CAE ∠=︒时，OAE ∠∴ 1.03m tan 65GE AG =≈︒，【变式训练】(1)BAD ∠=，ADB =∠；(2)求线段AD 的长；（结果保留整根号）(3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：【答案】(1)60︒，45︒；(2)()10103cm+(1)天晴时打开“晴雨伞，若60α∠=︒，求遮阳宽度(2)下雨时收拢“晴雨伞，使BAC ∠由120︒减少到106sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，3≈【答案】(1)3.46m∴90DFE ∠=︒，∵AD DQ ⊥，EQ DQ ⊥∴90ADQ EQD ︒∠=∠=，∴DFE ADQ EQD ∠=∠=∠(1)求CD 的长．(2)求点D 到底架CE 的高DF （结果精确到0.1cm ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，【答案】(1)13cm(2)7.8cm【分析】（1）根据题意得出13cm OA OB OC OD ====，由60COD AOB ∠=∠=︒，证明AOB【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形FECG 可由矩形ABCD 绕点C 旋转得到，点E 在AD 上，延长ED 交FG 于点H ．连接BE CH ，．(1)判断四边形BEHC 的形状并给予证明；(2)若点G 在水平地面上，AB 与水平地面平行，483cm 4cm BCE AB BC ∠=︒==，，，求点A 到水平地面的距离．（结果精确到0.1m ．）参考数据：sin480.75cos480.67tan48 1.11cos240.91tan240.45︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，【答案】(1)平行四边形，见解析(2)6.3m【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出CG CD EF ==，利用AAS 证明EDC HFE ≌△△，得到EH EC =，据此可证明四边形BEHC 是平行四边形；（2）延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．利用正切函数求得AE 的长，得到FG AD =，推出1.35GH AE ==，再根据余弦函数求得HM 的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形BEHC 是平行四边形．证明：∵四边形FECG 是矩形，∴90F ∠=︒，CG EF =，FG EC ∥，∴CED EHF ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90EDC F ∠∠=︒=，由旋转性质得CG CD =，∴CG CD EF ==，∴()AAS EDC HFE ≌，∴EH EC =，由旋转得EC BC =，∴EH BC =，∵EH BC ∥，∴四边形BEHC 为平行四边形；（2）解：如图，延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．∵48BCE ∠=︒，BC CE =，∴66EBC ∠=︒，∴9024ABE CBE ∠∠︒︒=-=，∴tan 30.45 1.35AE AB ABE ∠=⋅≈⨯=，由（1）知4FH ED EH BC ===，，又FG AD =，∴ 1.35GH AE ==，由平行线的性质知48GHM CED BCE ∠∠∠︒===，∴cos 1.350.670.90HM GH GHM ∠=⋅≈⨯≈，∴ 1.3540.90 6.3AM AE EH HM =++=++≈，即点A 到水平地面的距离约为6.3m ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积相等，且100cm AB =，CD EF ∥，14025CDE CGF ∠=︒∠=︒，(1)判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(2)求CG 的长．（参考数据：sin250.42cos25︒≈，【答案】(1)四边形CFED 是菱形，详见解析(2)182cm在Rt FGM △中，cos FGM ∠=cos25100GM ∴︒=，得91cm GM ≈∠=______︒；(1)杯子与水平线CM的夹角BCM(2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？︒≈，tan360.73︒≈)︒≈，cos360.81sin360.59【答案】(1)54(2)点A的位置是下降了0.3厘米过点A 作AG CM ⊥于点G ，延长AD 交∵AD BC ∥，∴54H BCM ∠=∠=︒，∴36DCH ∠=︒，在Rt HDC △中，tan DH DCH DC∠=，()1当点P向下滑至点N处时，测得DCE60∠= 时①求滑槽MN的长度；②此时点A到直线DP的距离是多少？()2当点P向上滑至点M处时，点A在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023·浙江舟山·统考模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为26cm ，图2是该自行车的车架示意图，立管AB 24cm =，上管32cm AC =，且它们互相垂直，座管AE 可以伸缩，点A 、B 、E 在同一条直线上，且75ABD ∠=︒．(1)求下管BC 的长；(2)若后下叉BD 与地面平行，座管AE 伸长到13cm ，求座垫E 离地面的距离．（结果精确到1cm 参考数据sin750.97cos750.26tan75 3.73︒≈︒≈︒≈，，）【答案】(1)下管BC 长40cm ;∵2413BE AB AE =+=+∴sin7537sin75EF BE =︒=∴()362662cm +=，答：座垫E 离地面的距离是【变式训练】(1)若30α=︒，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；tan 30CF OD EF DE︒== ，3753,3DE OD EF CF ∴====()50386.6cm DF DE EF ∴=-=≈故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为tan80EF DE CF OD︒== ，tan80,tan80DE OD EF CF ∴=⋅︒=⋅︒，()50tan80283.6cm DF DE EF ∴=-=⋅︒≈．(1)当起重臂AC 长度为20m ，张角127CAE ∠=︒，求云梯消防车最高点(2)已知该小区层高为2.7m ，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．果精确到0.1，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈【答案】(1)云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF 为(2)该消防车能有效救援10层(1)问悬臂端点C到桌面(2)已知摄像头点D到桌面度数约为多少？（参考数据：【答案】(1)52cm(2)28︒∵BAF AFG FGB ∠=∠=∠=∴四边形BAFG 是矩形，∴18FG AB cm ==，ABG ∠∵148ABC ∠=︒，∴CBG ABC ABG ∠=∠-∠=(1)求E ∠的度数；(2)求该雕塑的高度．【答案】(1)58︒(2)52m【分析】（1）连接,BI BD ．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,64AB AI A ︒=∠= ，(12ABI AIB ∴∠=∠=⨯又CB 与地面EF 平行，点CH EF ∴∥．（2）解：如图，过点A 作AM EF ⊥．,64AB BC CD AI A C ∠∠=====︒ ，∴ABI CDB ≌ ，.BI DB ∴=又,CH EF AM EF ⊥∥ ，AM CH ∴⊥即ANC ∠90=︒，BN IN ∴=，10m,58AB ABI ∠==︒ ，()cos58100.53 5.3m ,BN AB ∴=⋅︒≈⨯=210.6m.BI DB BN ∴===40.6m,DE = 61.2m,AE AB DB DE ∴=++=()sin5861.20.8552m AM AE ∴=⋅︒≈⨯≈故该雕塑的高度约为52m ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄5cm OA =，BE 是底座，OA 与BE 所成的夹角为36.8°，O 点是把柄转轴所在的位咒，且O 点到底座BE 的距离2cm OC =．OD 与一根套管相连，OD 可绕O 点转动，此时，OD BE ∥，套管内含打孔针MN ，打孔针的顶端M 触及到OA ，但与OA 不相连，MN 始终与BE 垂直，且1cm OM =，2cm MN =．(1)打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是多少厘米?(2)压下把柄OA ，直到A 点与B 点重合，如图3，此时，M ．D 两点重合，把柄它锲入放在底座BE 上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针（参考数据：3sin 36.85︒≈，4cos36.85︒≈，3tan 36.84︒≈）由题意可知，OC BE ⊥，∴∥OC MN∵2cm OC MN ==，∴四边形COMN 是平行四边形．在Rt NCP △中，sin 1sin36.80.6cm NP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．cos 1cos36.80.8cm CP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．∴打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是06．厘米．（2）解：如答图1，∵OD BE ∥，∥OC MN ，∴四边形CODP 是平行四边形．∴0.8cmOD CP ==如图3中，设MN 与BE 的交点为Q ，则0.8cm OM OD ==，– 4.2cm BM OB OM ==．∵MN OC ∥，∴BMQ BOC∴::BM OB MQ OC =，∴4.2:5:2MQ =，解得 1.68cm MQ =．∴–2 1.680.32cm QN MN MQ ==-=．∴打孔针MN 锲入底座BE 有0．32厘米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键．。
中考数学热点难点专题：相似形综合题（专题11）
中考数学热点难点专题：相似形综合题（专题11）
相似形综合题（专题11）
考纲要求:
1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方.
3.了解两个三角形相似的概念；知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方；会利用两个三角形相似的条件判定两个三角形相似.
4.会利用图形的相似解决一些实际问题.
5.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.
方法、规律归纳:
1．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.
3．利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.
4．判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.
5.证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边，通过证明这两个三角形相似，得出结果.。
冀教版九年级上册数学教案7.难点探究专题：相似与几何图形的综合问题
难点探究专题：相似与几何图形的综合问题——突破相似与三角形、四边形等综合问题及含动点的解题思路◆类型一 相似与三角形1．(娄底中考)一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，0)，∠B ＝30°，则点B 的坐标为 ．第1题图第2题图2．(无锡中考)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处．再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为（ ）A.35B.45C.23D.32◆类型二 相似与四边形3．★(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图①所示的形状，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于P ，Q ，易证BP ∶PQ ∶QR ＝3∶1∶2.(1)若取四个直角三角形拼成如图②所示的形状，S 为EF 的中点，BS 分别交AC ，CD ，DE 于P ，Q ，R ，则BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ ；(2)若取五个直角三角形拼成如图③所示的形状，T 为FG 的中点，BT 分别交AC ，CD ，DE ，EF 于P ，Q ，R ，S ，则BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ .4．★★(安徽中考)如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC .(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图②，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求ADEF 的值．◆类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题5．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，CN ＝14CD ，若AB＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．6．★(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B (0，8)为端点的射线BG ∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点(点A 与点B 不重合)，在射线AG 上取AD ＝OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，与x 轴交于点F ，过点A 作AC ⊥OA ，交射线EF 于点C ，连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t .(1)用含t 的式子表示点E 的坐标为 ； (2)当t 为何值时，∠OCD ＝180°？7．★如图，在一块直角三角板ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，求AD 的长度．难点探究专题：相似与几何图形的综合问题1．(－3－3，33) 解析：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E .易证△EBC ∽△OCA ，∴EBOC ＝BC CA ＝ECOA .∵点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(－3，0)，∴OA ＝1，OC ＝3，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝10.在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝210，∴BC ＝AB 2－AC 2＝30，∴BCAC ＝ 3.∴BE ＝33，EC ＝3，∴EO ＝EC ＋CO ＝3＋3，∴点B 的坐标为(－3－3，33)．2．B 解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴AE ＝DE ，CE ⊥AB .易得△AEC ∽△ACB ，∴AC AB ＝AE AC ，∴AE ＝95.∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12AC ·BC ，∴CE ＝125.∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，∴∠ECF ＝45°，∴EF ＝CE ＝125，∴BF ＝AB －AE －EF ＝5－95－125＝45.故选B. 3．(1)4∶1∶3∶2 (2)5∶1∶4∶2∶3解析：(1)由题意可知ABBC ＝CE ＝12BE .设CQ ＝a .∵S 是EF 的中点，∴EF ＝2ES .∵CD ∥EF ，∴△BCQ ∽△BES ，∴CQ ES ＝BC BE ＝12，∴ES ＝2CQ ＝2a ，∴AB ＝CD ＝EF ＝2ES ＝4a ，QD ＝3a .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AB CQ ＝41.同理：PQ QR ＝CQ QD ＝13，QR RS＝QD ES ＝32.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ 4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2； (2)设CP ＝b .由题意可知BC ＝CE ＝EG ＝13BG .∵T 是FG 的中点，∴FG ＝2TG .∵AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，∴CP ER ＝BC BE ＝12，∴RE＝2CP ＝2b .同理：△BCP ∽△BGT ，∴CP TG ＝BC BG ＝13，∴TG ＝3CP ＝3b ，∴AC ＝DE ＝FG ＝6b ，∴AP ＝5b ，DR ＝4b ，FT ＝3b .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AP CP ＝51.同理：PQ QR ＝CPDR ＝14，QR RS ＝ DR RE ＝42，RS ST ＝ RE FT ＝23.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ 5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.方法点拨：根据已知条件，充分利用图形中平行的条件，连续用相似三角形的判定与性质，得出线段之间的比例关系，“遇平行，想相似；用相似，得比例”是相似形的常用思路之一．4．(1)证明：∵点E 是AB 的中点，GE ⊥AB ，∴GE 是线段AB 的垂直平分线，∴AG ＝BG .同理可得GD ＝GC .在△AGD 与△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝BG ，∠AGD ＝∠BGC ，GD ＝GC ，∴△AGD ≌△BGC ，∴AD＝BC ；(2)证明：∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠AGB ＝∠DGC .∵AG ＝BG ，DG ＝CG ，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴∠AGE ＝12∠AGB ，∠DGF ＝12∠DGC ，∴∠AGE ＝∠DGF ，∴∠AGE－∠DGE ＝∠DGF －∠DGE ，即∠AGD ＝∠EGF .∵GE ⊥AB ，GF ⊥CD ，∴∠AEG ＝∠DFG ＝90°，∴△AGE ∽△DGF ，∴AG DG ＝GE GF ，∴AG GE ＝DGGF.又∵∠AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ；(3)解：如图，延长AD 交BC 的延长线于点M .∵AD 、BC 所在的直线互相垂直，∴∠DAB ＋∠ABC ＝90°，即∠DAB ＋∠ABG ＋∠GBC ＝90°.由(1)可知△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD ＝∠GBC .∴∠DAB ＋∠ABG ＋∠GAD ＝90°，即∠GAB ＋∠GBA ＝90°.由(1)可知AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∴∠GAB ＝45°.又∵GE ⊥AB ，∴∠AEG ＝90°，∴GA ＝AE 2＋GE 2＝2GE ，∴GA GE ＝ 2.由(2)可知△AGD ∽△EGF ，∴AD EF ＝GAGE＝ 2.5.12或456．解：(1)(t ＋4，8)(2)∵EF 是线段AD 的垂直平分线，点C 在射线EF 上，AD ＝BO ＝8，∴AE ＝DE ＝12AD＝4，∠AEC ＝90°，∴∠ECA ＋∠EAC ＝90°.又∵AO ⊥CA ，∴∠OAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠EAC ＝90°，∴∠ECA ＝∠BAO .又∵BG ∥x 轴，∴BG ⊥y 轴，则∠OBA ＝90°，∴∠AEC ＝∠OBA ，∴△ABO ∽△CEA ，∴BO EA ＝AB CE ，即84＝t CE .∴CE ＝12t .当∠OCD ＝180°时，点C 在线段OD 上．∵EF ⊥BG ，BO ⊥BG ，∴CE ∥BO ，∴△CDE ∽△ODB ，∴CE OB ＝DE DB ，即12t 8＝4t ＋8，∴12t 2＋4t －32＝0，解得t 1＝45－4，t 2＝－45－4(不合题意，舍去)．∴当t ＝45－4时，∠OCD＝180°.7．解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝60°，∴△BDF 是等边三角形．∵BC ＝1，∴AB ＝2.∵BD ＝BF ，∴2－AD ＝1－CF ，∴AD＝CF ＋1.(Ⅰ)如图①，若∠FED ＝90°，则∠FED ＝∠ADE ，∴EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠A ＝30°，∴CF ＝12EF ，∠CEF ＝∠EDF .又∵∠C ＝∠FED ＝90°，∴△CEF ∽△EDF ，∴CF EF ＝EF DF ，即CF 2CF ＝2CF 1－CF，解得CF ＝15，∴AD ＝15＋1＝65；(Ⅱ)如图②，若∠EFD ＝90°，则∠CFE ＝180°－90°－60°＝30°，∴CE ＝12EF ，∠CFE ＝∠FDE .又∵∠C ＝∠EFD ＝90°，∴△CEF ∽△FED ，∴CF FD ＝CE FE ，即CF 1－CF ＝12，解得CF ＝13，∴AD ＝13＋1＝43.综上所述，若△CEF 与△DEF 相似，AD 的长为65或43.。
华师大版2019秋九年级数学上册专题 6.难点探究专题：相似与几何图形的综合问题
难点探究专题：相似与几何图形的综合问题——突破相似与三角形、四边形等综合问题及含动点的解题思路◆类型一 相似与三角形1．(娄底中考)一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，0)，∠B ＝30°，则点B 的坐标为 ．第1题图第2题图2．(无锡中考)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处．再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为（ ）A.35B.45C.23D.32◆类型二 相似与四边形3．★(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图①所示的形状，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于P ，Q ，易证BP ∶PQ ∶QR ＝3∶1∶2.(1)若取四个直角三角形拼成如图②所示的形状，S 为EF 的中点，BS 分别交AC ，CD ，DE 于P ，Q ，R ，则BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ ；(2)若取五个直角三角形拼成如图③所示的形状，T 为FG 的中点，BT 分别交AC ，CD ，DE ，EF 于P ，Q ，R ，S ，则BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ .4．★★(安徽中考)如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC .(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图②，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求ADEF 的值．◆类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题5．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．6．★(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B (0，8)为端点的射线BG ∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点(点A 与点B 不重合)，在射线AG 上取AD ＝OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，与x 轴交于点F ，过点A 作AC ⊥OA ，交射线EF 于点C ，连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t .(1)用含t 的式子表示点E 的坐标为 ； (2)当t 为何值时，∠OCD ＝180°？7．★如图，在一块直角三角板ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，求AD 的长度．难点探究专题：相似与几何图形的综合问题1．(－3－3，33) 解析：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E .易证△EBC ∽△OCA ，∴EB OC ＝BC CA ＝ECOA .∵点A的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(－3，0)，∴OA ＝1，OC ＝3，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝10.在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝210，∴BC ＝AB 2－AC 2＝30，∴BCAC ＝ 3.∴BE ＝33，EC ＝3，∴EO ＝EC ＋CO ＝3＋3，∴点B 的坐标为(－3－3，33)．2．B 解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴AE ＝DE ，CE ⊥AB .易得△AEC ∽△ACB ，∴AC AB ＝AE AC ，∴AE ＝95.∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12AC ·BC ，∴CE ＝125.∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，∴∠ECF ＝45°，∴EF ＝CE ＝125，∴BF＝AB －AE －EF ＝5－95－125＝45.故选B.3．(1)4∶1∶3∶2 (2)5∶1∶4∶2∶3 解析：(1)由题意可知ABBC ＝CE ＝12BE .设CQ＝a .∵S 是EF 的中点，∴EF ＝2ES .∵CD ∥EF ，∴△BCQ ∽△BES ，∴CQ ES ＝BC BE ＝12，∴ES ＝2CQ ＝2a ，∴AB ＝CD＝EF ＝2ES ＝4a ，QD ＝3a .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AB CQ ＝41.同理：PQ QR ＝CQ QD ＝13，QR RS ＝QDES＝32.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ 4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2； (2)设CP ＝b .由题意可知BC ＝CE ＝EG ＝13BG .∵T 是FG 的中点，∴FG＝2TG .∵AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，∴CP ER ＝BC BE ＝12，∴RE ＝2CP ＝2b .同理：△BCP ∽△BGT ，∴CP TG ＝BC BG ＝13，∴TG ＝3CP ＝3b ，∴AC ＝DE ＝FG ＝6b ，∴AP ＝5b ，DR ＝4b ，FT ＝3b .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝APCP ＝51.同理：PQ QR ＝CP DR ＝14，QR RS ＝ DR RE ＝42，RS ST ＝ RE FT ＝23.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ 5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.方法点拨：根据已知条件，充分利用图形中平行的条件，连续用相似三角形的判定与性质，得出线段之间的比例关系，“遇平行，想相似；用相似，得比例”是相似形的常用思路之一．4．(1)证明：∵点E 是AB 的中点，GE ⊥AB ，∴GE 是线段AB 的垂直平分线，∴AG ＝BG .同理可得GD ＝GC .在△AGD 与△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝BG ，∠AGD ＝∠BGC ，GD ＝GC ，∴△AGD ≌△BGC ，∴AD ＝BC ；(2)证明：∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠AGB ＝∠DGC .∵AG ＝BG ，DG ＝CG ，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴∠AGE ＝12∠AGB ，∠DGF ＝12∠DGC ，∴∠AGE ＝∠DGF ，∴∠AGE －∠DGE ＝∠DGF －∠DGE ，即∠AGD ＝∠EGF .∵GE ⊥AB ，GF ⊥CD ，∴∠AEG ＝∠DFG ＝90°，∴△AGE ∽△DGF ，∴AG DG ＝GE GF ，∴AG GE ＝DG GF .又∵∠AGD＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ；(3)解：如图，延长AD 交BC 的延长线于点M .∵AD 、BC 所在的直线互相垂直，∴∠DAB ＋∠ABC ＝90°，即∠DAB ＋∠ABG ＋∠GBC ＝90°.由(1)可知△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD ＝∠GBC .∴∠DAB ＋∠ABG ＋∠GAD ＝90°，即∠GAB ＋∠GBA ＝90°.由(1)可知AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∴∠GAB ＝45°.又∵GE ⊥AB ，∴∠AEG ＝90°，∴GA ＝AE 2＋GE 2＝2GE ，∴GA GE ＝ 2.由(2)可知△AGD ∽△EGF ，∴AD EF ＝GAGE＝2.5.12或456．解：(1)(t ＋4，8)(2)∵EF 是线段AD 的垂直平分线，点C 在射线EF 上，AD ＝BO ＝8，∴AE ＝DE ＝12AD ＝4，∠AEC ＝90°，∴∠ECA＋∠EAC ＝90°.又∵AO ⊥CA ，∴∠OAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠EAC ＝90°，∴∠ECA ＝∠BAO .又∵BG ∥x 轴，∴BG ⊥y 轴，则∠OBA ＝90°，∴∠AEC ＝∠OBA ，∴△ABO ∽△CEA ，∴BO EA ＝AB CE ，即84＝t CE .∴CE ＝12t .当∠OCD ＝180°时，点C 在线段OD 上．∵EF ⊥BG ，BO ⊥BG ，∴CE ∥BO ，∴△CDE ∽△ODB ，∴CE OB ＝DE DB ，即12t 8＝4t ＋8，∴12t 2＋4t－32＝0，解得t 1＝45－4，t 2＝－45－4(不合题意，舍去)．∴当t ＝45－4时，∠OCD ＝180°.7．解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝60°，∴△BDF 是等边三角形．∵BC ＝1，∴AB ＝2.∵BD ＝BF ，∴2－AD ＝1－CF ，∴AD ＝CF ＋1.(Ⅰ)如图①，若∠FED ＝90°，则∠FED ＝∠ADE ，∴EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠A ＝30°，∴CF ＝12EF ，∠CEF ＝∠EDF .又∵∠C ＝∠FED ＝90°，∴△CEF ∽△EDF ，∴CF EF ＝EF DF ，即CF 2CF ＝2CF 1－CF ，解得CF ＝15，∴AD ＝15＋1＝65；(Ⅱ)如图②，若∠EFD ＝90°，则∠CFE ＝180°－90°－60°＝30°，∴CE ＝12EF ，∠CFE ＝∠FDE .又∵∠C ＝∠EFD＝90°，∴△CEF ∽△FED ，∴CF FD ＝CE FE ，即CF 1－CF ＝12，解得CF ＝13，∴AD ＝13＋1＝43.综上所述，若△CEF 与△DEF 相似，AD 的长为65或43.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做) ——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路 ◆类型一 相似与特殊三角形
1．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为______________．
第1题图 第2题图 2．(2016·黄冈中考)如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝________．
3．(2016·福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系； (2)求∠ABD的度数．
◆类型二 相似与特殊四边形
4．(2016·东营中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正确的结论有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1.如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________cm. 6．(2016·滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则CFCD＝________． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD.连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H. (1)求EG∶BG的值； (2)求证：AG＝OG； (3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．
◆类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题
8．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD，若AB＝4，设BM＝x，当x＝________时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．
第8题图 第9题图 9．(2016·宜春模拟)如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝________． 10．(2016·梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 11．(2016·赤峰中考)如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E. (1)求证：△ABP∽△QEA； (2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA? (3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围)．[提示：解答(2)(3)时可不分先后]
◆类型四 相似中的探究型问题
12．(2016·宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 参考答案与解析 1．(－3－3，33) 解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴EBOC
＝BCCA＝ECOA.∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝OA2＋OC2＝10.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝210，∴BC＝AB2－AC2＝30，∴BCAC＝3.∴BE＝33，EC＝3，∴EO＝EC＋CO＝3＋3，∴点B的坐标为(－3－3，33)．
2.43 解析：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴ABBI＝24＝12，BCAB＝12，∴ABBI＝BCAB.又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴ACAI＝ABBI.∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴QIAI
＝GICI＝13，∴QI＝13AI＝43.
3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝5－12，∴AD＝5－12，DC＝1－5－12＝3－52.∴AD2＝5＋1－254＝3－52，AC·CD＝1×3－52＝3－52.∴AD2＝AC·CD； (2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即BCAC＝CDBC.又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC.∴ABAC＝BDCB＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°. 4．A 解析：过D作DM∥BE交AC于N.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC.∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF.∵AE＝12AD＝12BC，
∴12＝AFCF，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确． 5．7 解析：作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝12BC＝1.∵四边形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋∠AC1B＝90°，∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴BEAB＝ABBC1.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴13＝3BC1，∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距离为7cm. 6.13 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝3，BC＝6，∴BD＝AB2＋AD2＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴DFAB＝DEBE，即DF3＝1.21.8，解得
DF＝233，则CF＝CD－DF＝33，∴CFCD＝333＝13. 7．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EGGB＝AGGC＝AEBC.∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3； (2)证明：∵GC＝3AG(已证)，∴AC＝4AG，∴AO＝12AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG； (3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴AHHC＝AFBC＝2AE3AE＝23，∴AHAC＝25，即AH＝25AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝14AC，b＝AH－AG
＝25AC－14AC＝320AC，c＝AO－AH＝12AC－25AC＝110AC，∴a∶b∶c＝14∶320∶110＝5∶3∶2. 8．2或165 解析：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－x.∵CN＝14CD，∴CN＝1.当△ABM∽△MCN时，ABCM＝BMCN，即44－x＝x1，解得x＝2；当△ABM∽△NCM时，ABCN＝BMCM，即41＝x4－x，解得x＝165.综上所述，当x＝2或165时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 9．1或116 解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C
＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC＝ACCB，∴CE＝AC2CB＝256，∴BE＝6－256＝116，∴BE＝1或116. 10．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝53.由题意知：BM＝2t，CN＝3t，∴BN＝53－3t.∵BM＝BN，∴2t
＝53－3t，解得t＝532＋3＝103－15；
(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则MBAB＝BNBC，即2t10＝53－3t53，解得t＝52；