人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质(教师版)
高中数学必修五-等差数列
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
高一数学必修5PPT课件：等差数列的性质
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _列的 性质
变 式 1 ： 已 知 { a } 为 等 差 数 列 ， a a a 高一数学必修5PPT课件：等差数列的性质
n
4
5
6
a7 56,a4a7 187,求a1,d
变式2：已知{an }为等差数列，a2 a5 a8 9, a3a5a7 21,求数列通项公式
解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= 23（a3+a11）=15
(解3)：已a4+知a5+aa4+6+aa57+=a566+a7=a54+6a，7=a248a7①=187，求a14及公差d.
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17 或 a7= 11
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d
a 3=27
3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
笔记①: 三个数等差的设法：a-d，a，a+d
练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个 与第三个数之积为40，求这四个数。
笔记:
四个数等差的设法： a-3d，a-d，
a+d，a+3d
公差为2d
性质一、任意两项的关系
在等差数列 an 中，有
an
高中数学必修5：等差数列及其性质 知识点及经典例题(含答案)
等差数列及其性质【知识概述】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即*1(,2)n n a a d n N n --=∈≥.2.通项公式：1(1)n a a n d =+-()n N *∈3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 4.递推公式：+1+n n a a d =()n N *∈5．中项公式：若b a 、、M 成等差数列，则2M +a b =，称M 为b a 、的等差中项， 即+M 2a b =；若数列{}n a 是等差数列，则n 112+(2)n n a a a n -+=≥. 6.等差数列的简单性质：)N (*∈k q p n m 、、、、（1）若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+；（2）2m n p +=,则2m n p a a a +=；（3）112m m m a a a -+=+；2+m m k m k a a a -+=（4）()m n a a m n d =+-;（5）21(21)m m S m a -=-;（6）232,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列.（7）()()n S f n an b f n n ==+⇔是n 的一次函数{}()n S f n n ⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭成等差数列. （8）数列}{n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+是n 的二次函数且常数项为零.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列}{n a 中，（1）若12497,1,16a a a a 则==+= ；（2） 若1232,13,a a a =+= 则456a a a ++= .2．[难度] 中已知数列{}n a 是等差数列，（1）若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且k a =13,则k =________________.（2）若公差为-2，且,509741=+++a a a 则=++++99963a a a a .3．[难度] 中已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S（1）若.__________,4,8134111073==-=-+S a a a a a 则（2）若242,10,S S ==6S = .【经典例题】例1．在等差数列{}n a 中，259,33,a a ==求8a .例2．n S 设表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918,240,n S S ==若 430(9)n a n -=>，求n 的值.例3．在等差数列{}n a 中，230,100m m S S ==，3m S 求. 例4．已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5,n a a S ==-为其前n 项和.（1）求 {}n a 的通项n a ；（2）求n S 的最大值及相应的n 值；（3）12+n n T a a a =++….【本课总结】1．有关等差数列的计算问题一般有两种方法：基本量法：一个等差数列可以由首项1a 和公差d 完全确定，而首项1a 和公差d 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等差数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件，就可以列方程组求出1a d 、，将问题转化为等差数列中的两个基本量1a d 、进行计算，可以说基本量法是万能大法.性质法： 数列简单性质的使用可以简化运算，如果能恰当的使用数列性质，就可以绕开经过首项1a 的独木桥，获得简洁明快的解题方法，解题时需充分关注角标之间的关系，注意挖掘题目中的隐含条件, 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.2．证明或判断数列为等差数列主要有以下几种方法：①定义法：1n n a a d +-=恒成立{}n a ⇔成等差数列；②通项法：通项公式n a pn q =+是n 的一次函数{}n a ⇔成等差数列；③前n 项和法：前n 项和2n S pn qn =+是n 的二次函数且常数项为零{}n a ⇔成等差数列；④中项法：211n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+{}n a ⇔成等差数列；3．求等差数列前n 项和的最值问题，常用途径有：①二次函数法：用求二次函数最值的方法求n S 的最大值，但要注意*n ∈N ；②图象法：利用二次函数图象的对称性，数形结合求n S 的最值；③通项法：利用等差数列的通项公式，重在考查数列的变化规律，对无穷等差数列{}n a ， 其前n 项和n S 有如下几种情况：（i ）当10,0a d ><时，若满足0n a ≥的最大自然数为N ，则n S 的最大值为N S ； （ii ）当10,0a d <>时，若满足0n a ≤的最大自然数为N ，则n S 的最小值为N S ；（iii ）当10,0a d >>时，n S 无最大值；（iv ）当10,0a d <<时，n S 无最小值.【活学活用】1．[难度] 中等差数列}{n a 中，（1）若,36,31001==a a 则=+983a a ;（2）若262,162a a ==，则10a = ;（3）若,4,126473-=+-=a a a a 则n a = .2. [难度] 中设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若39S =，636S =，则789a a a ++= ;（2）若102030,100,S S ==则30S ＝ .3. [难度] 难已知数列{}n a 的通项为215n a n =-，前n 项和为n S .（1）当n 为多少时，n S 取最小值、n S 取最小值;（2）求201220T a a a =+++，并求12n n T a a a =+++.。
人教版高三必修五数学知识点：等差数列基本性质
⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d.
⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd.
⑶若{an}{bn}為等差數列，則{an±bn}與{kan+bn}(k、b為非零常數)也是等差數列.
⑷對任何m、n，在等差數列中有：an=am+(n-m)d(m、n∈N+)，特別地，當m=1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性.
⑸、一般地，當m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)時，am+an=ap+aq.
⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd(k為取出項數之差).
(7)下表成等差數列且公差為m的項ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+)組成公差為md的等差數列。
⑻在等差數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項.
⑼當公差d>0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時，等差數列中的數等於一個常數.。
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②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 －401=－5+(n－1)·(－4)成立 解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
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练习：1 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果 人教A版数学必修五《等差数列》课件PPT
0
是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
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（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A · P表示。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
由此得到 a n=a1+(n－1)d
高中数学必修5《等差数列：等差数列的性质》
(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8. 而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2， 即2a8－3a8＝2. ∴a8＝－2. ∴a3＋a13＝2a8＝－4. (3)∵a3＋a11＝2a7＝10， ∴a7＝5. 又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15. ∴a2＋a4＋a15＝15.
A．9
B．20
C．9.5
D．33
解析：方法一：∵a1＋a4＋a7＝45 ∴3a4＝45 又∵a2＋a5＋a8＝39 ∴3a5＝39 ∴d＝a5－a4＝13－15＝－2 a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝33，故选D.
方法二：∵{an}是等差数列， ∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，首项 为45，公差为39－45＝－6， ∴a3＋a6＋a9＝39－6＝33. 答案： D 3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________． 答案： －3 4 ． 在 等 差 数 列 {an} 中 ， a4 ＋ a5 ＝ 15 ， a7 ＝ 12 ， 则 a2 ＝ __________. 答案： 3
第二课时 等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点， 难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点) 3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中 低档题.
1．等差数列增减性
对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
2．等差中项
高三必修五数学等差数列基本性质知识点整理
高三必修五数学等差数列基本性质知识点整理人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。
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等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.⑶若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n-m)d(m、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地，当m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)时，am+an=ap+aq .⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差).(7)下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列。
⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
人教A版高中数学必修五课件：2.2.2等差数列的性质
).
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
等差数列的性质 剖析:若数列{an}是公差为d的等差数列,则 (1)当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时, 数列为递减数列.
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Hale Waihona Puke M 目标导航题型一 题型二 题型三
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)已知四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积 为-8,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,∴d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
2������ = ������ + ������, 则由题意,得 ������ + ������ + ������ = 18, ������2 + ������2 + ������ 2 = 116,
解得a=4,b=6,c=8. 故这三个数是4,6,8.
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高中数学必修五等差数列及等差数列的性质(
(2)在等差数列{an}中，a4+a16=20，a10=
.
3、已知数列{an}的通项公式是an=3n-1， 求证：{an}为等差数列。
友情提示：利用等差数列的定义判断， 也就是看an+1-an是不是一个常数。
➢数列{an}为等差数列an=kn+b，k、b是常数。
am=a1+(m-1)d ② ①-②得：an-am=(n-m)d
∴ an=am+(n-m)d
1、等差数列的性质一：
• 设数列{an}是公差为d的等差数列，则：
an=am+(n-m)d (m，n∈N*)
【例】a10=a4+ d， a1=a12+ d
是等差数列通 项公式的推广
证明：在等差数列{an}中， 若m+n=p+q，m、n、p、q∈N*， 则am+an=ap+aq。
3、判断等差数列的方法：
• (1)定义法
an+1-an=d{an}是等差数列
• (2)中项公式法 2an+1=an+ an+2{an}是等差数列
• (3)通项公式法 an=kn+b，k、b是常数{an}为等差数列
知识盘点
1、公差=＿后＿项＿-＿前＿项＿，即：d＿=＿an＿-a＿n-1。 a b
2、等差数列a、A、b中， A叫等＿差＿中＿项，且A=＿2＿
3、等差数列的通项公式：＿an＿=a＿1+＿(n＿-1＿)d。
• 等差数列的性质：
1、设数列{an}是公差为d的等差数列， 则：an= am+(n-m)d (m，n∈N*)
2、在等差数列{an}中， 若m+n=p+q，m、n、p、q∈N*， 则am+an=ap+aq。 特别地，若m+n=2k，则 am+an=2ak。
高中数学必修五人教版课件：2.2.1等差数列
课堂小结
1、掌握等差数列、等差数列的公差的概念. 2、掌握等差数列通项公式：
an a1 (n 1)d.
3、已知等差数列通项公式中的任意三个量，能用通 项公式，求另外一个量. 4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.
2.2.1等差数列
教学目标
1.理解等差数列和等差中项的概念
2.掌握等差数列的通项公式及其应用 3.会判断数列是否为等差数列，并体会等差数列 和一次函数的关系
•教学重点：等差数列的概念及通项公式 •教学难点：通项公式以及等差中项的认识和应用
观察下面3组数列： （1）0，5，10，15，20，……
a3 7 4 3 1 2 3
a2 4 1 3
a20 ?
a20 58
a4 10 7 3 1 3 3
an 1 (n 1) 3
a5 … 13 10 3 1 4 3 …
等差数列的通项公式
导学：请同学们思考，如何求一个等差数列的通
（2） 28, 22, 16, 10, 4, …… （3）1，1，1，1，……
d=0
d=5
d=-6
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数，那么这个数列 请问： 它们有什么共同特点？ 共同特点： 从第 2项起，每一项与 就叫做等差数列 . 它的前一项的差等于同一个常 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 数。 表示.
即an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
例1：判断下面数列是否为等差数列？
(1)
(2) (3)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
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1 等差数列的概念、性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示。用递推关系系表
示为1nnaadnN或12,nnaadnnN 2. 等差数列的通项公式 若na为等差数列，首项为1a，公差为d，则11naand 3. 等差中项 如果三个数,,xAy组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项 4. 通项公式的变形 对任意的,pqN，在等差数列中，有： 11paapd
11qaaqd 两式相减，得pqaapqd 其中,pq的关系可以为
,,pqpqpq
5. 等差数列与函数的关系 2
由等差数列的通项公式11naand可得1nadnad，这里1,ad是常数，n是自变量，na是n的函数，如果设1,,daadb则naanb与函数yaxb对比，点,nna在函数yaxb的图像上。 6. 等差数列的性质及应用 （1）12132...nnnaaaaaa
（2）若2,mnpqw则2mnpqwaaaaa（,,,,mnpqw都是正整数） （3）若,,mpn成等差数列，则,,mpnaaa也成等差数列（,,mnp都是正整数） （4）nmaanmd（,mn都是正整数） （5）若数列na成等差数列，则,napnqpqR （6）若数列na成等差数列，则数列nab（,b为常数）仍为等差数列 （7）若na和nb均为等差数列，则nnab也是等差数列
类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解 例1.（2015河北唐山月考）数列na是首项11a，公差3d的等差数列，若2015,na 则n A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得1111334,naandnn令2015na，解得673n 答案：B 练习1. 数列na是首项11a，公差3d的等差数列，若2003,na 则n A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A
练习2. 数列na是首项11a，公差3d的等差数列，若2000,na 则n A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B 例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-6
解析：由题意知670,0aa 所以有 115235062360addadd解得3
2323,456ddZd
答案：C 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D 练习4.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B
例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列na满足1111,1,4nnaaa 其中nN设221nnba
（1） 求证：数列nb是等差数列 （2） 求数列na的通项公式
解析：（1）1144222222121212121nnnnnnnnnaabbaaaaa 所以数列nb是等差数列
（2）111121,21221212,212nnnabbbndnannaan 答案：（1）略 （2）12nnan
练习5.已知数列na满足1114,21nnnaaana令1nnba （1） 求证：数列nb是等差数列 （2） 求数列nb与na的通项公式 答案：（1）数列nb是公差为1的等差数列 （2）443nan ，34nbn 练习6.在等差数列na中，已知581,2,aa 求1,ad 4
答案：15,1ad 例4.已知数列8,,2,,abc是等差数列，则,,abc的值分别为____________ 解析：a为8与2的等差中项，得8252a ；2为,ab的等差中项得1b；由b为2与c的等差数列，得4c 答案：5，-1，-4
练习7. 已知数列8,,2,,ab是等差数列，则,ab的值分别为____________ 答案：5，-1 练习8. 已知数列2,,8,,abc是等差数列，则,,abc的值分别为____________ 答案：5，11,14 类型二：等差数列的性质及与函数的关系
例5.等差数列na中，已知100110142015aa，则12014aa=（） A.2014 B.2015 C.2013 D.2016 解析：1001101412014，且na为等差数列，12014100110142015aaaa故选B 答案：B 练习9.在等差数列na中，若4681012120,aaaaa则10122aa的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A
练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列na中，1007100812015,1,aaa则2014a _____ 答案：2016 例6.已知数列na中，220132013,2aa且na是n的一次函数，则 2015a=________
解析：na是 n的一次函数，所以设0naknbk代入22013,aa解得20151,20152015201520150nkbana
答案：0 练习11.若,,abc成等差数列，则二次函数22fxaxbxc的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2 答案：D
练习12.已知无穷等差数列na中，首项13,a 公差5d，依次取出序号被4除余3的项组成
数列nb 5
（1） 求1b和2b （2） 求nb的通项公式 （3） nb中的第503项是na的第几项 答案：数列nb是数列na的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于na
是等差数列，所以nb也是等差数列 （1）13,5,31585nadann 数列na中序号被4除余3的项是na中的第3项，第7项，第11项，…13277,27baba （2）设na中的第m项是nb的第n项即nmba
413414185411320nmnmnnbaann 则1320nbn
（3）503132050310047b ，设它是na中的第m项，则1004785m，则2011m，即nb中的第503项是na中的第2011项
1. 在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：A 2. 在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( ) A．49 B．50 C．51 D．52 答案：D 3. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案：C 4. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 答案：D 5. 等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( ) A．30 B．27 C．24 D．21 答案：B 6
6. 等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第( )项( ) A．60 B．61 C．62 D．63 答案： B
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
基础巩固 1. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝( )
A．11 B．12 C．13 D．14 答案：C 2. 若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝( ) A．24 B．27 C．30 D．33 答案：D 3. 已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于( ) A．15 B．30 C．31 D．64 答案：A 4. 等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( ) A．100 B．120 C．140 D．160 答案：B
5. 已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为( )
A.3 B.2 C.13 D.12 答案：A 6. 在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. 答案： 74
7. 等差数列{an}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______. 答案： 85