第2讲 函数单调性

第5讲函数的简单性质——单调性
知识 整合
【基础知识】
1．函数单调性
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数，I 称为y ＝f (x )的单调增区间．
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调减函数，I 称为y ＝f (x )的单调减区间．
2．最大(小)值
一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)；
如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．
【基础自测】
1．如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－5,4]的图象，则它的最大值是________，最小值是________．
第1题图
2．已知函数①y ＝|x |；②y ＝3－x ；③y ＝1x
；④y ＝－x 2＋4.其中在区间(0,1)上是增函数的是__________．
3．若函数f (x )＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________．
4．函数f (x )＝－3x 2＋1是减函数的区间为__________．
5．已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )是R 上的__________．(填“增函数”或“减函数”)
重难点 突破
考点1 函数单调性的判断 重点阐述
函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；利用定义法的关键是对f (x 1)－f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等． 难点释疑
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，函数在某个区间上是单调增(或减)函数，但在整个定义域上不一定是单调递增(或减)函数．
例1
已知a 、 b 是正整数，函数f (x )＝ax ＋2x ＋b
(x ≠－b )的图象经过点(1, 3)． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)判断函数f (x )在(－1, 0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
【解】
【点评】 熟悉判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法是解答此题的关键．
考点2 复合函数的单调性 难点释疑
复合函数的单调性：复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
例2：
函数y ＝lgsin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递减区间为______________． 【解】
【点评】 本题是对数函数与三角函数知识的交汇．复合函数的单调性及单调区间的判断与求解是高考的一个热点．要注意对数函数真数为正的条件限制(即应当首先求得该函数的定义域)，另外在答案中还不能忽视k ∈Z 这个条件．
举一反三：
函数f (x )＝ln(2x ＋1)的单调增区间是________．
例3:
(13江苏模拟)函数f (x )＝log 2(x 2－4)的单调减区间为________．
【解】
【点评】 本题是对数函数与二次函数的交汇，注意这两个函数在定义域内增减性的差异是解题的关键．
举一反三：
函数f (x )＝log 12
(x ＋1)的单调减区间 为________．
考点3 已知函数单调性求参数范围
例3:
设f (x )是定义在区间(1, ＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1, ＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P(a )．
(1)设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1
(x ＞1)，其中b 为实数． ①求证： 函数f (x )具有性质P(b )；
②求函数f (x )的单调区间；
(2)已知函数g (x )具有性质P(2)．给定x 1, x 2∈(1，＋∞), x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2, β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1, β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．
【解】
【点评】 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
举一反三：
已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在
(2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
失分 诊断
易错点：求解分段函数的单调性问题中忽视定义域
(13江苏模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．
课堂 训练
1．函数y ＝(3k ＋2)x ＋b 在R 上是单调增函数，则k 的取值范围是________．
2．函数f (x )＝x 2－2x ＋1的单调增区间为________，当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝________.
3．给定函数①f (x )＝－x 2＋x ＋1，②f (x )＝
1x ，③f (x )＝log 13
x ，④f (x )＝ln x ，其中在其定义域内是减函数的序号是__________． 4．函数f (x )＝1x －1
在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a
x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的单调减函数，那么a 的取值范围是________．。