直线与圆基础知识
（一）直线
1、 直线的斜率与倾斜角
(1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=
≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180??
（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。
2、直线方程
(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线
（2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线
注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零
（3）两点式：1112122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：
1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）
（6）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x =
②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y =
③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx =
在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =
3、平面上两直线的位置关系及判断方法
（1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+
①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）
②重合：12k k =且12b b =
③相交：12k k ≠ 特别地，垂直：121k k =-
（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=
①平行：1221A B A B =且1221AC A C ≠（验证）
②重合：1221A B A B =且1221AC A C =
③相交：1221A B A B ≠ 特别地，垂直：12120A A B B +=
（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=
4、其他公式
（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y
，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22
x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33
x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式：d =
（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离
：d =,x y 的系数统一）
（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点
（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
（二）、圆
1、圆的方程
（1）圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径
（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --
只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l
的距离d =①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0?>
②直线与圆相切，则d r =或方程组的0?=
③直线与圆相离，则d r >或方程组的0?<
（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l
，满足：l =（3）直线与圆相切时，
①切线的求法：
（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；
（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222
:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点00(,)P x y 向圆222:()()C x a y b r -+-=引切线，记,P C 两点的距离为d ，则
切线长l =（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +
3、两圆的位置关系
圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=，两圆圆心距
离d =(1)两圆相离，则12d r r >+（2）两圆相外切，则12d r r =+（3）两圆相交，则1212r r d r r -<<+ 注：圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，则两圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
（4）两圆相内切，则12d r r =-（5）两圆内含，则120d r r ≤<-
特别地，当0d =时，两圆为同心圆
人教版初三数学圆的测试题及答案
九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么
(完整版)直线与圆知识归纳
直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系
例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =
圆的综合练习题及答案
圆的综合练习题及答案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
圆的综合练习题答案 1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. （1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°. ∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°. ∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ . AE BE AD AB = ∴ 5 5 12=AD . (5) 分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA＝∠AOE，交 AB 的延长线于点D. （1）求证：FD 是⊙O 的切线； （2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O
半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵O A ＝OC ，∴∠1＝∠A. ∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°. 又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°. ∴FD 是⊙O 的切 线. ……………………………………………………2分 （2）连接BC （如图②）， ∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥B C 且BC OE 2 1=.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG. 图② ∴ 2 1 ==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4. ∴OC ＝ 6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6. 3.如图，以等腰ABC ?中的腰AB 为直径作⊙O ， 交底边 BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． F 1 B D E O A C F G B D E O A C
九年级数学圆测试题及答案
九年级数学圆测试题 一、选择题 1．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（） A． 2b a + B． 2 b a - C． 2 2 b a b a- + 或 D．b a b a - +或 2．如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（） A．40° B．80° C．160° D．120° 4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．70° 5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位 6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（） A．80° B．50° C．40° D．30° 7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 图24—A—5 图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4
E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ． 310 B ．5 12 C ．2 D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题 12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。 13．如图24—A —9，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50゜，P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数为 。 图24—A —6 图24—A —7 图24—A —8 图24—A —9 图24—A —10
直线与圆基础知识
（一)直线 1、 直线的斜率与倾斜角 （1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -= ≠- (２)直线的倾斜角范围:)0,180?? （3)斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注:(1)每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率; （2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (１）点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线 （2）斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离,截距可正,可负，可为零 （3)两点式：1112122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 (４)截距式：1x y a b +=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=(,A B 不同时为0） （６）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直):0x x =；特别地,y 轴:0x = ②斜率为0的直线(与x 轴垂直）：0y y =;特别地，x 轴:0y = ③在两轴上截距相等的直线：(Ⅰ）y x b =-+；(Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ）y x b =+;（Ⅱ)y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ）y x b =+;(Ⅲ)y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （１）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行:12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合:12k k =且12b b =
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
(易错题精选)初中数学圆的基础测试题及答案解析(1)
（易错题精选）初中数学圆的基础测试题及答案解析(1) 一、选择题 1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（ ） A ．2π B ．3π C ．6π D ．8π 【答案】B 【解析】 【分析】 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】 解：圆锥的侧面积为：12 ×2π×1×3＝3π， 故选：B ． 【点睛】 此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式. 2．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ） A ．260cm π B ．260013cm π C ．272013cm π D ．272cm π 【答案】C 【解析】 【分析】 连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ?中利用勾股定理得12AB =，利用面积法求得6013 BH = ，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】
解：连接OB ，作BH OA ⊥于H ，如图， Q 圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ， OB AB ∴⊥， 在Rt AOB ?中，18513OA =-=，5OB =， 2213512AB ∴=-=， Q 1122 OA BH OB AB =g g ， 512601313 BH ?∴==， Q 圆锥形纸帽的底面圆的半径为6013BH = ，母线长为12， ∴形纸帽的表面2160720212()21313 cm ππ=?? ?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算． 3．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ?的面积为（ ） A ．18 B ．27 C ．36 D ．54 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．首先证明A ，Q ，T 共线时，△ABC 的面积最大，设QT=TB=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．
直线与圆单元测试题(含答案)
《直线与圆》单元测试题（1） 班级 学号 姓名 一、选择题： 1. 直线20x y --=的倾斜角为( ) A ．30? B ．45? C. 60? D. 90? 2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.1133y x =-+ B. 113 y x =-+ C.33y x =- D.31y x =+ 30y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A ．- B ．- D ．或4．过点(0,1)的直线与圆22 4x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．5.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准 方程是（ ） A. 1)3 7()3(22=-+-y x B. 1)1()2(2 2=-+-y x C. 1)3()1(2 2=-+-y x D. 1)1()2 3(22=-+-y x 6.已知圆1C ：2 (1)x ++2 (1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方 程为（ ） A.2 (2)x ++2 (2)y -=1 B.2 (2)x -+2 (2)y +=1 C.2 (2)x ++2 (2)y +=1 D.2 (2)x -+2 (2)y -=1 7.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的 方程为（ ） A.2 2 (1)(1)2x y ++-= B. 2 2 (1)(1)2x y -++= C. 2 2 (1)(1)2x y -+-= D. 2 2 (1)(1)2x y +++= 8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是( ) A.（1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）
人教版初中数学圆的基础测试题
人教版初中数学圆的基础测试题 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ?绕一逆时针方向旋转40?得到ADE ?，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( ) A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259 π 【答案】D 【解析】 【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积． 【详解】 ∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ， ∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°， ∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ， ∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ， ∴S 阴影= 4025360π?=259π， 故选D. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等. 2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ） A 3 B ．3 C ．32 D 23 【答案】A 【解析】
连接OC ， ∵OA=OC ，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3， ∴OC=PC ?tan30°=3， 故选A 3．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．123 B ．1536π-π C ．30312π- D ．48336π-π 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可． 【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =33,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==?=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=(224369330312ππ?-= .
《圆》基础练习题
初中数学总复习：《圆》基础练习题 （一）选择题（每题2分，共20分） 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ． 【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件． 2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ． 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ） （A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度 【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等， 而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以的度数＝的度数．【答案】C ． 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝2 1×60°＋2 1×100°＝80°． 【答案】C ． 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．又因为∠A ︰∠B ︰∠C
点,直线,圆与圆的位置关系学习知识讲解(基础学习知识)
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．
圆测试题及答案
、选择 1。下列命题中正确的有（）个 （1）平分弦的直径垂直于弦 （2 ）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3 ）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4 ）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 （A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个 2。如图，直线PA PB是圆0的两条切线， A B分别为切点，/ AP B 120 , 0P 10厘米，则弦 A. 5、3厘米 B . 5厘米 C. 10 3厘米 3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半 圆形的是（ 球的直径约为（） A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm 6. 一个圆 锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为（） A. 2: 1 B . 1: 2 C . 3: 1 D . 1: 3 7. 如图，AB是O O的弦，ODLAB于D交O O于E,则下列说法错误的是（） A. AD=BD B. Z ACB M AOE C.弧AE=M &半径为R的圆内接正三角形的面积是（） 9.如图，直线AB与O O相切于点A,O O的半径为Z OBA= 30。，贝U OB的长为（） 《圆》复习题 A B C D 4。已知在△ ABC中，AB=AC=13 , BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 10 A . 3 12 C. 2 5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅 BE D.OD=DE A .
A. P A B （第10 题）
10。 如图，O P 内含于O O , o O 的弦AB 切o P 于点C ，且 AB // OP ?若阴影部分的面积为 9 ，则弦AB 的长为（ ） A. 3 B. 4 C . 6 D . 9 11。 如图9,在10X 6的网格图中（每个小正方形的边长均为 1个单位长），0 A 的半径为1, O B 的半径为 2，要使O A 与静止的O B 内切，那么O A 由图示位置需向右平移 个单位长. 12。 一扇形的圆心角为 150。，半径为4,用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面 积是 13。 已知等腰厶ABC 的三个顶点都在半径为 5的O O 上，如果底边 BC 的长为8,那么BC 边上的 高为 _____________ 。 14。 直角三角形的两条直角边分别为 5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为 _______ 15。 点A 是半径为 3的圆外一点，它到圆的最近点的距离为 5,则过点 A 的切线长为 上，开始时，P0=6cm .如果O P 以1cm/秒的速度沿由 A 向B 的方向移动，那么当O P （第 17 题） 10，点P 是0 O 上的动点（P 与A, B 不重合）， AP 于 E , OF PB 于 F ，则 EF . 18。已知BC 是半径为2cm 的圆内的一条弦，点 A 为圆上除点 B, C 外任意一点，若 BC 2. 3cm ，贝U BAC 的度数为 ___________ . 19oO 0的半径为5, A 、B 两动点在O 0 上, AB=4,AB 的中点为点C,在移动的过程中，点 C 始终在半径为 _______ 的一个圆上，直线 AB 和这个圆的位置关系是 __________ 20. Rt △ ABC 中，/ C=90°, AB=5内切圆半径为 1,则三角形的周长为 ______________ 三、解答 21。 已知：△ ABC 内接于O O ,过点A 作直线EF 。 （1） 如图1, AB 为直径，要使 EF 为O O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情 况）: ① __________ :② _______________ :③ ________________ 。 （2） 如图2, AB 是非直径的弦，/ CAE / B ,求证：EF 是O O 的切线。 图1 图2 16、如图，直线 AB 、CD 相交于点 0，/ AOC=300，半径为1cm 的O P 的圆心在射线 0A 的运动时间t （秒）满足条件 _________________________ 时， 17。如图，点A, B 是00上两点，AB 连结AP , PB ，过点0分别作0E
直线与圆圆与圆的位置关系―知识讲解(提高)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
圆基础练习题
《圆》基础练习题 一.选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ） （A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是………………………………………………（ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）3 1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝2 3 ，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ） 33 （B ）23 （C ）1 （D ）3 9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、 PD
直线与圆位置关系知识点与经典例题
直线与圆位置关系 一．课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 二．知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三．直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判 定。 （1）?
（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2 2=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？ （位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2 2 =+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 （最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142 2 =+-+x y x ， （1）求 x y 的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值； （3）求2 2 y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。 （位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切，则n m +的取值围是（） （位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值围是 6．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π （位置关系）7．圆01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 2 1+ D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆 C 的方程为（ ） A ．0322 2 =--+x y x B ．042 2=++x y x C ．0322 2 =-++x y x D ．042 2 =-+x y x
(完整word版)直线和圆基础习题(答案版)
直线和圆的位置关系基础练习 命题人：杨健文 一、【直线与圆相切】 1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋5 2=0相切的直线的方程为（） A．y=－3x 或y=1 3x B．y=3x 或y=－ 1 3x C．y=－3x 或y=－1 3x D．y=3x 或y= 1 3x A． 提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． ２．圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（） A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0 C．提示：依据圆心和半径判断． 3．已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为． －18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． ４．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为（）A．±2 B．±2 C．±2 2 D．±4 B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．
二、【直线与圆相交】 １．设直线0132=++y x 和圆0322 2=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心． ２．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长 为2 3 ，则a 等于 ． 0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解． ３．设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程． 设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相 交的弦长为2 2 ，，故r 2－ 2=2,依据上述方程解得： ｛b 1=－3 a 1=6r 12=52 或 ｛b 2=－7a 2=14r 22=244 ∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．