高中数学典型例题解析导数及其应用之欧阳文创编

三、经典例题导讲

时间：2021.03.12

创作：欧阳文

[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .

错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.

正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则

)

2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.

[例2]已知函数

????

???>+≤+=)1)(1(2

1)1)(1(21)(2

x x x x x f 判断

f(x)在x=1处是否可

导？

错解：1)1(,1)

11(21

]1)1[(21lim 220='∴=?+-+?+→?f x

x x 。

分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

解：1

)

11(21

]1)1[(21lim lim 2200=?+-+?+=??--→?→?x

x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导.

注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即

x f x x f x ?-?+→?)()(lim

000

，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－

，因

此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.

[例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是

y '在1=x 处的函数值；

点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4

.4,3212='∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为

04x ，又2

00--=

x y k PQ ，故002042

62x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：

点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

[例4]求证：函数x

x y 1+=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.

分析：由导数的几何意义知，要证函数x

x y 1+=的图象上各

点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

解：（1）111,12<-='∴+=x y x x y ，即对函数x

x y 1+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数x

x y 1+=图象上各点处切线的斜率都小于1.

（2）令0112

，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ，

∴曲线x

x y 1

=的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)

2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。

点评：在已知曲线 )(x f y =

切线斜率为k 的情况下，要求其切

线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =

的导数

值为k 时的解，即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入

)(x f y =就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线

方程，要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

[例5]已知0>a ，函数a x x f -=3)(，[)+∞∈,0x ，设01>x ，记曲线)(x f y =

在点))(,(11x f x M 处的切线为 l .

（1）求l 的方程；

（2）设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证： ①3

12a x ≥

； ②若3

11a x >

，则

1x x a <<

分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1）

x a x x x y x f x x ?+--?+=??=→?→?3300/

)(lim

lim )(2

113)(x x f ='∴∴切线l 的方程为)

)(()(111x x x f x f y -'=-即)(3)(12131x x x a x y -=--.

（2）①依题意，切线方程中令y=0得， ②由①知2

31123x a x x x --

=，2

31123x a x x x --

=-∴[例6]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.

分析：可设 ),(2x x P 为抛物线上任意一点，则可把点P 到直线的距离表示为自变量x 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02=--y x 的距离即为本题所求.

解：根据题意可知，与直线 x －y －2=0平行的抛物线y=x 2

的切线对应的切点到直线x －y －2=0的距离最短，设切点坐标为（

），那么12|2|0'0

=====x x y x x x x ,∴2

0=x ∴ 切点坐标为)4

1,21(，切点到直线x －y －2=0的距离

8272

24121|

=--=d ，

∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为8

三、经典例题导讲

[例1]已知曲线x x x y S 43

2:23++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲

线S 的切线方程.

错解：4222++-='x x y ，∴过点P 的切线斜率40='==x y k ，∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=.

错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P 凑巧在曲线S 上，求过点P 的切线方程，却并非说切点就是点P ，上述解法对求过点P 的切线方程和求曲线在点P 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.

正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ，则过点P 的曲线S 的切线斜率

[例2]已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.

错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数，0)(<'∴x f 在R

上恒成立，

01632<-+∴x ax 对一切R x ∈恒成立，0

01236<+a ，3-<∴a .

正解:+='23)(ax x f 16-x ，)(x f 在R 上是减函数，∴)(x f '0≤在

R 上恒成立，0≤?∴且0

[例3]当 0>x ，证明不等式x x x

<+<+)1ln(1. 证明：x x

x x f +-

+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(，则2

)1()(x x x f +='，

当0>x 时。)(x f ∴在()+∞,0内是增函数，)0()(f x f >∴，即

01)1ln(>+-

+x x x ，又x

x g +-=

'1)(，当0>x 时，0)(<'x g ，)(x g ∴在()+∞,0内是减函数，)0()(g x g <∴，即0)1ln(<-+x x ，因此，当

0>x 时，不等式

x x x

<+<+)1ln(1成立. 点评：由题意构造出两个函数x

x x f +-

+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(.利用导数求函数的单调区间，从而导出)0()(f x f >及)0()(g x g <是解决本题的关键.

[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?

解：设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.

如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为5

元/km.故从原料

供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y

为:=y )100(5

3x a -+a 4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得

2++-x x x a ,令0='y ,即得

252x =9(2x 400+),解之得

1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15

是函数y 在

定义域内的唯一驻点,所以1x =15是函数y 的极小值点,而且也是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与

B 相距15km 处时,运费最省.

点评：这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. [例5]函数5)()(,133)('3--=

-+=ax x f x g ax x x f ，其中)('x f 是)

(x f 的导函数.（1）对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有)(x g ＜0，求实数x 的取值范围；

（2）设a ＝－2m ，当实数m 在什么范围内变化时，函数y ＝

)(x f 的图象与直线y ＝3

只有一个公共点.

解：（1）由题意()2335g x x ax a =-+- 令()()2335x x a x ?=-+-，11a -≤≤

对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ?<

时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有

()0g x <.

（2）()'2233f x x m =-

①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点

∴()()2211f x f x m m ==--<-极小

又∵()f x 的值域是R ，且在(),m +∞上单调递增

∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.

当x m <时，恒有()()f x f m ≤- 由题意得()3f m -< 即3221213m m m -=-<

[例6]若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠?照度与?sin 成正比，与2r 成反比）

分析：如图，由光学知识，照度y 与?sin 成正比，与2r 成反比，

即2

sin r C

y ?=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最

，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =

在点

a 取极大值，也是最大值。即当电灯与O 点距离为

a 时，点A 的照度y 为最大.

点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得)(x f '=0且在该点两侧，)(x f '的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

导数及其应用大题精选

导数及其应用大题精选姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.

6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ，上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.

《导数及其应用》经典题型总结

《导数及其应用》一、知识网络结构题型一求函数の导数及导数の几何意义考点一导数の概念，物理意义の应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数の几何意义の应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c の值例3：已知曲线y=.3 4313+x (1)求曲线在（2，4）处の切线方程;(2)求曲线过点（2，4）の切线方程. 导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

题型二函数单调性の应用考点一利用导函数の信息判断f(x)の大致形状例1 如果函数y ＝f(x)の图象如图，那么导函数y ＝f(x)の图象可能是( ) 考点二求函数の单调区间及逆向应用例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )の单调区间．（含参函数求单调区间）例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a の取值范围．（单调性の逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a の取值范围。

2. 设a>0,函数ax x x f -=3)(在（1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a の取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a の取值范围。例3 已知x>1，证明x>ln(1＋x)．（证明不等式）证明方法总结：题型三函数の极值与最值例1 （1）求)f(x)＝ln x ＋1x の极值（不含参函数求极值）（2）求函数[]2,2,14)(2-∈+=x x x x f の最大值与最小值。（不含参求最值）例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋a x (x>1)の单调区间，并且如果有极值时，求出极值. （含参函数求极值）

导数的应用练习题

导数的应用二、典型例题题型一未定式及其逆问题的求解例1、求下列极限（∞∞）：（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→　（2）0lim ln x x x +→　（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n →∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x x x x ++ →→===．（2）解：原式1'ln 1 lim lim 0t x L H t t t t t =→+∞→+∞-==-=．（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11() x x x x x x a x x x a x a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12 x x x x x x a x x a x x a x a x π →-∞→-∞--==++．（4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1) lim an n an e a n -→∞++==（不能用'L H ）．注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快．例2、求下列极限（0 000,,1,,0∞ ?∞∞-∞∞，）：（1）4301 sin sin lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1 x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--；（4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x x x π→+∞；（6）101lim()x kx n x k e n →=∑；（7）2122lim()x x x a →∞+．（1）提示：原式3300 32000tan ~sin 11cos 1 lim lim sin lim 36 x x x x x x x x x x x x →→→--+==．（2）提示：解：原式2200 '2001~(1)ln(1)ln(1)1 lim lim 22x L H x x e x x x x x x x →→--++-+===-．（3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1 lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-．（4）提示：原式1'20ln(1)1 lim 2 t x L H t t t t =→-+==．（5）提示：原式22 2 2 ln arctan arctan 12[(1)]2 lim 1lim lim 111x x x x x x x x x e e e e ππ π π∞ →+∞ →+∞ →+∞ -+- -====（令 2 arctan 1x t π -=）．（6）提示：原式1 1 00 11 ln( ) 11 1lim 1'lim lim 2 n n kx kx n kx k k x x x k e n e n n ke L H n x x e e e e ∞==→→→=-+∑∑ ∑ ====．（7）提示：原式0 ∞=22222ln()2() 'lim lim 21x x x a x x a L H x x e e →∞→∞++==．注1 ：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0 1lim 1x x x ∞→+∞ =，而0 00 lim 1x x x + →=．

《导数及其应用》经典题型总结

精品文档《导数及其应用》经典题型总结、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用考点二导数的几何意义的应用例2:已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1 , 1)，且在点Q(2, -1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、 c 的值例3:已知曲线已。|(1)求曲线在(2,勺处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程题型二函数单调性的应用例1. (1)设函数f(x)在x 2处可导，且 (2)已知 f(x) x(x 1)(x 2)L (x 1 ，求h 叫 f(2 h) f(2 h) 2h 2008)，求 f (0).

考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1如果函数y = f(x)的图象如图，那么导函数y = f(x)的图象可能是() 例2已知函数f(x) = ；x2+ a l n x(a€ R, 0)，求f(x)的单调区间.(含参函数求单调区间) a 练习：求函数f(x) x 的单调区间。 x 例3若函数f(x) = x3—ax2+ 1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1：已知函数f(x) 2ax x3,x (0,1], a 0，若f (x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。 2. 设a>0,函数f (x) x3 ax在(1, +s)上是单调递增函数，求实数a的取值范围。 3 2 3. 已知函数f(x) = ax + 3x -x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。总结：已知函数y f (x)在(a,b)上的单调性，求参数的取值范围方法： 1 、利用集合间的包含关系 2 、转化为恒成立问题(即f/(x) 0或f/(x) 0 )(分离参数) 3 、利用二次方程根的分布(数形结合)

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

导数的应用练习题及详解

一、导数应用 1．单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)('x f 与)(x f 为增函数的关系。 0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。㈡ 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。若将 0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。㈢ 0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。 )(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有 0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y = （1）分析 )(x f y =的定义域; （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 )(x f y =在某个区间内可导。 2、求极值、求最值。用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是 )(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

导数及其应用典型例题

第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义：拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）（1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四曲线的切线问题例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考容之一。因此，针对这两各部分的容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 231(),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b +

第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t

《导数及其应用》经典例题

习题课一、基础过关 1．函数f(x)＝e x(sin x＋cos x)在区间上的值域为________． 2．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)

3．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________． 4．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________. 6．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．二、能力提升 7．如果函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)在R上不单调，那么a、b、c的关系为________． 8．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值．

10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. 三、探究与拓展 11．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

(完整版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算

第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。 ()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t

高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。