湖北省孝感市孝南区孝感高级中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题

湖北省孝感市孝南区孝感高级中学2020-2021学年高二上学

期9月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2--

B ．()1,2-

C ．()1,2-

D ．()1,2

2．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,m n αβαβ??，则//m n B ．//,//m m n α，则//n α C ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n β D ．,//m m n α⊥，则n α⊥

3．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的公切线条数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知数列{}n a 满足1393n n a a +=?，*n N ∈，且2469a a a ++=，则

3

579

1

log a a a =++

A ．13

- B ．3 C ．3-

D ．

13

5．如图所示，已知平面CBD ⊥平面ABD ，且DA ⊥平面ABC ，则ABC 的形状为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，

42a =且满足()

*212n n n a a a n N ++=-∈，若510S a λ=，则λ的值为（ ） A ．1

3

-

B ．3-

C ．12

-

D ．2-

7．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且7

6

1a a <-，则满足0n S >的最大正整数n 的值为（ ） A ．6

B ．7

C ．11

D ．12

8．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）

A ．3

4

k ≥

或 4k ≤- B ．34k ≥或 14

k ≤- C ．3

44

k -≤≤

D ．

3

44

k ≤≤ 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，己知430S =，8100S =，则12(S = ) A ．110

B ．200

C ．210

D ．260

10．边长为2的两个等边,ABD CBD ??所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A

B ．6π

C ．

203

π

D ．16π

11．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且

7453

n n A n B n +=+，则7

7

a b =（ ） A ．

9310

B ．

172

C ．

143

17 D ．15 12．已知点(,1),P t t t R -∈，点E 是圆22

14

x y +=上的动点，点F 是圆

229

(3)(1)4

x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为（ ）

A ．2

B ．5

2

C ．3

D ．4

二、填空题

13．已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 .

14．已知圆22:9O x y +=上到直线:l (4)0a x by ++=（,a b 是实数）的距离为1的点有

且仅有2个，则直线l 斜率的取值范围是__________．

15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，

3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实

数λ的最小值为__________．

三、双空题

16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中

(2,0),(2,0)A B -，则满足||2||PA PB =的点P 的轨迹的圆心为____________，面积为

____________.

四、解答题

17．已知圆心C 的坐标为（1，1），圆C 与x 轴和y 轴都相切． （1）求圆C 的方程；

（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．

18．单调递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2

44n n S a n =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2

n

n n a b =

，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．已知圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0和直线l ：x －y ＋1＝0. (1)试判断直线l 与圆C 之间的位置关系，并证明你的判断； (2)求与圆C 关于直线l 对称的圆的方程．

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面是棱长为1的菱形，

ADC 60∠=，PA =M 是PB 的中点．

（1）求证：PD //平面ACM ；

（2）求直线CM 与平面ABCD 所成角的正切值．

21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()13a a a =≠，13n n n a S +=+，*n N ∈.

（1）设3n

n n b S =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并写出数列{}n b 的通项公式；

（2）若1n n a a +>对任意*n N ∈都成立，求实数a 的取值范围. 22．已知动点P 与两个定点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比为1

2

. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点(2,1)B -的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求线段MN 长度的最小值； （3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.

参考答案

1．B 【分析】

根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m 的值． 【详解】

()()21250m x m y -+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y ++-++=恒过定点，由

20,250,x y x y +=??-++=?解得1,

2,

x y =??

=-?即直线()()21250m x m y -+++=恒过定点()1,2-. 【点睛】

本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键． 2．D 【分析】

根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】

两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；

//m α且//m n ，此时//n α或n ?α，可知B 错误；

αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β?，可知C 错误；

两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题. 3．B 【分析】

判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数. 【详解】

圆2

2

20x y x +-=的标准方程为()2

211x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径长为1r =.

圆2

2

40x y y ++=的标准方程为()2

224x y ++=，圆心坐标为()0,2-，半径长为2R =.

圆心距为

d =

=13<<，即R r d R r -<<+，

所以，两圆相交，公切线的条数为2，故选B. 【点睛】

本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：

①两圆相离4?条公切线；②两圆外切3?条公切线；③两圆相交2?条公切线； ④两圆内切1?条公切线；⑤两圆内含?没有公切线. 4．C 【解析】 【分析】

利用已知条件判断数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可． 【详解】

因为123933n n n a a a ++=?=，所以12n n a a +=+，所以数列{}n a 是以2为公差的等差数列，所以579246246333999227a a a a d a d a d a a a d ++=+++++=+++=+?=，故

3

5791

log a a a =++ 31log 327

=-．故选C ．

【点睛】

本题考查数列的递推关系式，等差数列的判断以及等差数列的性质的应用，考查计算能力． 5．B 【分析】

通过证明BC ⊥平面DAB ，由此证得BC AB ⊥，从而得到三角形ABC 为直角三角形. 【详解】

过A 作AE DB ⊥于E ，则AE ⊥平面DBC ，AE BC ∴⊥，又DA ⊥平面ABC ，

DA BC ∴⊥，又DA AE A =，BC ∴⊥平面DAB ，BC AB ∴⊥,ABC ∴为直角三角

形.故选B.

【点睛】

本小题主要考查线线垂直、线面垂直间的相互转换，考查三角形形状的判断，属于基础题. 6．D 【分析】

由递推关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差2d =-；利用等差数列通项公式和前n 项和公式分别求得10a 和5S ，代入求得结果. 【详解】

由(

)*

212n n n a a a n N

++=-∈得：2

11n n n n a

a a a +++-=-

∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d

18a =，42a = 3286d ∴=-=-，解得：2d =- 101981810a a d ∴=+=-=-，5154

54020202

S a d ?=+=-= 51020210

S a λ∴=

==-- 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前n 项和公式的应用. 7．C 【解析】 【分析】

根据题干得到等差数列的项是先负后正，()671267060a a S a a +

116110S a =>进而得到结果.

【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可知等差数列的项是先负后正，又因为7

6

1a a <-可知670,0,a a ><故得到()671267060a a S a a +，故得到结果为：11. 故答案为：C. 【点睛】

这个题目考查了等差数列的性质的应用，以及前n 项和的性质的应用，属于基础题. 8．A 【分析】

先求出线段AB 的方程，得出()51332x y y =---≤≤-，在直线l 的方程中得到1

1

y k x -=-，将513x y =--代入k 的表达式，利用不等式的性质求出k 的取值范围． 【详解】

易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，

由直线l 的方程得()1195141115

51514514514

y y y y k x y y y +----===-=----++ ()

11955514y =-++，

当1435

y -≤<-

时，15140y -≤+<，此时，

()119455514k y =-+≤-+； 当1425

y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+． 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或3

4

k ≥，故选A ． 【点睛】

本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题． 9．C 【分析】

由等差数列的性质得4S ，84S S -，128S S -成等差数列，根据等差中项公式，列出方程，即可求解，得到答案． 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，430S =，8100S =， 由等差数列的性质得4S ，84S S -，128S S -成等差数列， 即30，1003070-=，12100S -成等差数列， 所以()1230100270S +-=?，解得12210S =． 故选C ． 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中根据等差数列的性质，得到4S ，84S S -，128S S -成等差数列，利用等差中项公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题． 10．C 【详解】

分析：过ABD ?和BCD ?中心作据平面的垂线，其交点就是四面体ABCD 外接球球心． 详解：如图，设,M N 分别是ABD ?和CBD ?的外心，E 是BD 中点，连接,AE CE ，则平面ACE 与平面ABD 和平面CBD 都垂直，过M 作OM AE ⊥，过N 作平ON EC ⊥，

两垂线交点为O ，则O 是四面体ABCD 外接球球心，由于2AB =，则AE =

AM OM EN =

==，OA ===

，

2220443

S OA π

ππ=?=?=

．

故选C ．

点睛：多面体外接球问题，关键是作出外接球球心，由外接球定义，只要过各面（三角形）的外心作此面的垂线，垂线交点就是外接球球心， 11．B 【分析】

利用等差数列的性质以及前n 项和公式，逆向构造得713

713

a A

b B =，从而求出其比值. 【详解】

因为

1137711313113771131313()

271345172=13()21332

2

a a a a a a A

b b b b b b B ++?+=====+++, 故答案选B . 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前n 项和公式的应用，属于中档题. 12．D 【分析】

由于两圆不在直线的同侧，先做出圆O 关于直线对称的圆1O ，把PF PE -转化为

PF PE '-，若PF PE '-最大，必须PF 最大，PE '最小.

【详解】 如图：

依题意得点(,1),P t t t R -∈在直线1y x =-上， 点E 关于直线1y x =-对称的点E ',

点E '在圆2

2

14x y +=

关于直线1y x =-对称的圆22

11:(1)(1)4

O x y ++-=上， 则PE PE '=，设圆22

9(3)(1)4

x y -++=的圆心为2O ，

因为11PE PO E O ''≥-，22PF PO FO ≤+， 所以

22112112()()224

PF PE PF PE PO FO PO E O PO PO OO ''-=-≤+--=-+≤+=，当12,,,,P E F O O '五点共线，E '在线段1O 上，2O 在线段PF 上时“=”成立. 因此，PF PE -的最大值为4. 【点睛】

本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法. 13．

【解析】 试题分析：

如图所示，CE ⊥AB,CD ⊥β,所以CD ⊥AB ，所以AB ⊥平面CDE,所以DE ⊥AB ，则∠CED 是二面角AB αβ--的平面角，即∠CED =θ，在Rt △CED 中，CE=4，CD=3，所以DE=，所以tan θ=

=

.

考点：二面角. 14

．(,)-∞?+∞ 【解析】

由题意，圆心到直线的距离大于2，

2>，

解得(,(,)33a b -∈-∞-?+∞ ，

故填(,)33

-∞-?+∞. 15．

13

【分析】

先根据数列的递推公式可求出

11

1

n n a n a n -+=-，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n ＝T 2n ﹣T n ，判断数列的单调性，即可求出 【详解】

∵3S n ＝（n +m ）a n ，

∴3S 1＝3a 1＝（1+m ）a 1，解得m ＝2， ∴3S n ＝（n +2）a n ，①，

当n ≥2时，3S n ﹣1＝（n +1）a n ﹣1，②，

由①﹣②可得3a n ＝（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1， 即（n ﹣1）a n ＝（n +1）a n ﹣1，

∴11

1

n n a n a n -+=-， ∴

2131a a =，3242a a =，4353a a =，…，122n n a n a n --=-，11

1

n n a n a n -+=-，

累乘可得a n ＝n （n +1）， 经检验a 1＝2符合题意， ∴a n ＝n （n +1），n ∈N*， ∵a n b n ＝n ， ∴b n 11

n =

+， 令B n ＝T 2n ﹣T n 111

23

21

n n n =++++++， 则B n +1﹣B n ()()()

34

22232n n n n +=

+++＞0，

∴数列{B n }为递增数列， ∴B n ≥B 113

=

， ∵存在n ∈N*，使得λ+T n ≥T 2n 成立， ∴λ≥B 113

=

， 故实数λ的最小值为13

， 故答案为

13

． 【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大. 16．10,03??

???

649π 【分析】

由阿波罗尼斯圆求出点P 的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积 【详解】 设()P x y ，

2PA PB =，

=即()()2

2

222424x y x y ++=-+

化简可得2

2106439x y ??-+= ??

? 故圆心坐标为1003?? ???

， 面积为

649

π 【点睛】

本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以求出圆的标准方程，从而得到结果

17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2

）0,0,20x y x y ==+-=．

【详解】

试题解析：（1）根据题意易知圆的半径为1，有圆心坐标为（1,1） 故圆C 的方程为：2

2

(1)(1)1x y -+-=；

（2）根据题意0,0x y ==满足题意，当直线斜率存在时可设所求直线方程0x y a +-=，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故d r =，

1=

可得2a =

20x y +-=．

因此0,0,20x y x y ==+-=

考点：1、圆的方程；2、点到直线的距离；3、直线方程的求法． 18．（1）a ｎ＝2n ；（2）4-（n +2）()n-1 【解析】 试题分析：

（1）考察11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?的公式得到112a S ==，22

144n n n a a a -=-+，整理得到

12n n a a --=，为等差数列，求通项；（2）122

n n n n a n

b -=

=，利用错位相减法的基本方法，12222n n n n T T +-=-，从而解出12

42

n n n T -+=-。

试题解析： (1)

244n n S a n =+，()21141n n S a n --∴=+-，

当1n =时，112a S ==；

当2n ≥时，22

114444n n n n n a S S a a --=-=-+，即()2

212n n a a --=，又{}n a 单调递增，

()12,22n n n a a a n n -∴-=∴=≥ ，又12a =也满足，

2n a n ∴=

（2）122n n n n a n

b -=

=， 1211211222n n n n n

T ---∴=++++，①

121112122222

n n n n n

T --=++++，② ②-①得：

121111

122122222

22222

n n n n n n n n n

T -+=++++

-=--=-， 12

42

n n n T -+∴=-

点睛：本题考察数列的基本方法，为基础题型。（1）需要掌握11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?公式的

应用，同时学会式子的化简；（2）需要学生对错位相减法非常熟悉，属于错位相减法的基本解题套路。

19．（1）见解析；（2）2

2

35(2)24x y ??++-= ??

?

【分析】

(1)求出圆心与直线的距离与半径比较，即可得出结论.

(2)求出圆心C 关于直线l 对称点，即可求得圆C 关于直线l 对称的圆的方程. 【详解】

(1)直线l 与圆C 的位置关系是相离．

证明如下：由2

2

20x y x y +-+=整理，得2

2

15(1)24x y ??-++= ??

?，

即圆C 的圆心1,12C ??

-

???，半径r =.

圆心到直线l ：x －y ＋1＝0

的距离4d ==

，d ＞r ，即直线l 与圆C 相离． (2)设圆心C 关于直线l 的对称点为C ′(x ，y )，则CC ′的中点112,22x y ??

+ ?- ? ???

在直线l 上，且CC′⊥l ，

∴11210221112x y y x ?

+?--+=???+?=-?-??

解得232x y =-???=??即对称圆的圆心为32,2C ??'- ???

，对称圆的半径2r =

，方程为2

235(2)24x y ??++-= ??

? 【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，点关于直线对称的应用. 20．（1）见解析（2

【分析】

（1）连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点，由中位线的性质得出//PD OM ，再利用直线与平面平行的判定定理得出//PD 平面ACM ；

（2）取AB 的中点E ，连接ME ，由中位线的性质得到//ME PA ，且1

2

ME PA =

，可得出ME ⊥平面ABCD ，于此得出直线CM 与平面ABCD 所成的角为MCE ∠，然后在

Rt MCE ?中计算tan MCE ∠即可.

【详解】

（1） 连接BD ，交AC 于点O ，连接OM ，由底面ABCD 是菱形，知O 是BD 的中点，又M 是BP 的中点，∴ //OM DP .

又∵OM ?平面ACM ，DP ?平面ACM ,∴//PD 平面ACM ；

（2）取AB 中点E ，连接,ME CE ， ∵,M E 分别为,PB AB 的中点，∴//ME PA ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴ME ⊥平面ABCD ， ∴直线CM 与平面ABCD 所成角为MCE ∠，

∵12ME PA =

=

，CE =

，∴tan ME MCE CE ∠==. 【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题． 21．（1）()1

32n n b a -=-?（2）()()9,33,a ∈-?+∞

【分析】

（1）由13n

n n a S +=+可得13n n n n S S S +-=+，则123n n n S S +=+，所以

()+1

13

23n n

n n S S +-=-，即1

2n n

b b +=，即可证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式；（2）由（1）可求出1n a +及n a 的表达式，结合1n n a a +>对任意*n N ∈都成立，可得到不等

式()1

33282n a n --??<≥ ?

??

恒成立，即可求出a 的范围.

【详解】

解：（1）由13n

n n a S +=+得13n n n n S S S +-=+，

即123n

n n S S +=+，所以()

+11323n n n n S S +-=-，即

1

2n n

b b +=. 则{}n b 是首项为13b a =-，公比为2的等比数列，

()132n n b a -∴=-?.

（2）解：由(1)知()1

3=32

n

n n S a ---?

()1323n n n S a -∴=-?+

则()1

13=32

23n

n n n n a S a -+=+-?+?

()()2-132232n n n a a n -∴=-?+?≥

由1n n a a +>，得10n n a a +->，

代入后解得()1

33282n a n --??

<≥ ?

??

恒成立．

因为函数32x

y ??= ???

在R 上单调递增， 所以21

3382a --??< ?

??

，解得9a >-，

而当1n =时，23a a =+，2130a a -=>成立， 由3a ≠，故()()9,33,a ∈-?+∞. 【点睛】

n S 与n a 关系问题的求解思路：

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用()12n n n a S S n --≥=转化为只含1n n S S －,的关系式，再求解； (2)利用()12n n n S S a n --=≥转化为只含1,n n a a －的关系式，再求解. 22．(1) 22(1)4x y ++=

.(2)

[3-+. 【分析】

（1）根据两点间距离公式，及动点P 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为

1

2

，代

入化简即可求得动点P 的轨迹方程．

（2）根据（1）中求的轨迹方程，判断出点()2,1B -在圆内，则当直线l 满足BC MN ⊥时MN 的值最小，根据垂径定理即可求得最小值．

（3）表示出圆Q 的方程，根据两个圆有公共点的条件，可知两个圆的圆心距满足

22t CQ t -≤≤+，解不等式即可求得t 的取值范围．

【详解】

（1）由题意知：设(),P x y

则2AP OP =，即2

2

|4|AP OP =， 所以()(

)2

2

2

2

34x y x y

-+=+，

整理得()2

214x y ++=.

所以动点P 的轨迹C 的方程为()2

214x y ++=.

（2）由（1）知轨迹C 是以()1,0C -为圆心，以2为半径的圆. 又因为()2

22114-++<，所以点B 在圆内， 所以当线段MN 的长度最小时，BC MN ⊥，

所以圆心C 到直线MN 的距离为BC =

=，

此时，线段MN 的长为MN ===

所以，线段MN 长度的最小值为（3）因为点Q 的坐标为(),(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以，圆Q 的方程为()()2

2

2x t y t t -+-=. 因为，圆Q 与圆C 有公共点， 又圆Q 与圆C 的两圆心距离为

CQ =

=

所以22t CQ t -≤≤+，

即()()22

222212t t t t -≤++≤+，

解得：33t -+≤≤.

所以，实数t 的取值范围是3??-+??.

【点睛】

本题考查了曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系及垂径定理的应用，圆与圆位置关系的应用，属于中档题．