三角函数在初中竞赛中的应用
三角函数在初中竞赛中的应用
1、(09-10迎新杯)已知如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为DC 、BC 上的点，若AEF 是等边三角形，则AF 的长为 ．
2、（第8届希望杯第二试）如图，ABC ?中0
90,2BAC B C ∠=∠=∠，D 点在BC 上，AD 平分BAC ∠，若AB=1，则BD 的长为 。
3、（第8届希望杯第二试）如图，ABC ?中，0
60,8,5B AB BC ∠===，E 点在BC 上，若CE=2则AE 的长等于 。
4、（第8届希望杯第一试）如图，ABC ?中，0
90,C BAC ∠=∠的平分线交BC 于D ，且CD=15，AC=30,则AB 的长为 。
F
5、（第16届希望杯第一试）点D 是ABC ?的边BC 上一点，如果AB=AD=2,AC=4，且BD:DC=2:3，则ABC ?按角来分是 三角形。
6、（第13届希望杯第二试）已知ABC ?中，0
60,,,A AB c BC a CA b ∠====，AP 是BC 边上的中线，则AP 的长为 。
7、（第13届希望杯第一试）若,a b 的长，那么这个三角形的面积等于 。
8、（第11届希望杯第二试）正方形ABCD 中，AB =
，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且
0030,15BAE DAF ∠=∠=，求AEF ?的面积。
学习必备 欢迎下载 9、设AD 是△ABC 的中线，求证：AB 2＋AC 2=2(AD 2＋BD 2
)
10、（20XX 年全国初中数学联赛）如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知EG =k ，FH =l ，四边形EFGH 的面积为S 。 （1）求证：sinθ=
kl
S 2； （2）试用S l k ,,来表示正方形的面积。
11、（1999年全国初中数学联合竞赛）在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则tan ∠ABM ＝________
。
A B
C
D
E
F
G H
|èO
12、（1993年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 13、（20XX 年“TRULY ?信利杯”全国初中数学竞赛）如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45o，∠A =60o CD =4m ，BC =()
2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.
15、（20XX 年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛）△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．已知
a =10，
b =23+，
c =23-，则b sin B +c sin C 的值等于 ．
16、（1991年全国初中数学联赛题）已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135 ，∠BCD＝120 ，CD＝6，AB＝6，BC＝5－3。求：AD的长.
O
D
17、如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30 ，∠CAD ＝45 ，∠DBC＝75 ，∠DBA＝45 ，AB＝3。试求C，D的距离。
18、(1985年全国初中数学联赛题)已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补
19、已知：二次方程mx 2－(m －2)x +
4
1
(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。
三角函数在初中竞赛中的应用
1、(09-10迎新杯)已知如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为DC 、BC 上的点，若AEF 是等边三角形，则AF 的长为 ．
解：因为AE=AF,AD=AB,由HL 可得ADE ABE ???， 所以0
15DAE BAF ∠=∠=，
因为0
cos154
AB AF ==
，所以AF =
2、（第8届希望杯第二试）如图，ABC ?中0
90,2BAC B C ∠=∠=∠，D 点在BC 上，AD 平分BAC ∠，若AB=1，则BD 的长为 。
解：因为0
90,2BAC B C ∠=∠=∠，AD 平分BAC ∠； 所以0
60,45,75B BAD ADB ∠=∠=∠=； 由正弦定理可得：
000
sin 45
1sin 75sin 45sin 75
BA BD BD =?=== 3、（第8届希望杯第二试）如图，ABC ?中，0
60,8,5B AB BC ∠===，E 点在BC 上，若CE=2则AE 的长等于 。
解：由余弦定理可得：
2221
2cos 649283492
AE AB BE AB BE B =+-??=+-???
= 所以AE=7
4、（第8届希望杯第一试）如图，ABC ?中，0
90,C BAC ∠=∠的平分线交BC 于D ，且CD=15，AC=30,则AB 的长为 。 解：由角平分线定理可得
AB AC
BD DC
=，所以AB=2BD ； 设BD x =，则有2
2
4(15)90025x x x =++?=，所以AB=50。
F
5、（第16届希望杯第一试）点D 是ABC ?的边BC 上一点，如果AB=AD=2,AC=4，且BD:DC=2:3，则ABC ?按角来分是 三角形。
解：设2,3(0)BD k DC k k ==>，由余弦定理可得：
2222
2222
428912
212AD BD AB k ADB AD BD k
AD CD AC k ADC AD CD k
+-∠==
?+--∠==
? 因为0
180ADB ADC ∠+∠=，
所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=即22249124
08125
k k k k k -+=?= 所以2222
2520BC k AB AC ===+及ABC ?为直角三角形。
6、（第13届希望杯第二试）已知ABC ?中，0
60,,,A AB c BC a CA b ∠====，AP 是BC 边上的中线，则AP 的长为 。
由余弦定理可得：
22222221
2cos 2()2
AE AB BE AB BE ABE b c bc b c bc
=+-??∠=+-?-=++
所以12AP AE ==
7、（第13届希望杯第一试）若,a b
的长，那么这个三角形的面积等于 。
解法2：
设m n p === 由余弦定理可得：
()22
2222cos 2a b n p m M np np
++-==
，
所以sin M ==
3ab
np
=
，
8、（第11届希望杯第二试）正方形ABCD
中，AB =，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且
0030,15BAE DAF ∠=∠=，求AEF ?的面积。
解：易证得,ADF ABH AEH AEF ??????
因为0
tan152DF AD =
==-
所以3DF =
所以2EF HE BE DF ==+=
所以3AEF S ?=
9、设AD 是△ABC 的中线，求证：AB 2＋AC 2=2(AD 2＋BD 2)
证明：
因为0
180ADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=。 由余弦定理可得：
2222
2
2
2cos 2cos AB AD BD AD BD ADB AB AD CD CD BD ADC
=+-??∠=+-??∠
所以AB 2＋AC 2=2(AD 2＋BD 2)。
10、（20XX 年全国初中数学联赛）如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知EG =k ，FH =l ，四边形EFGH 的面积为S 。 （1）求证：sinθ=
kl
S 2； （2）试用S l k ,,来表示正方形的面积。 略。 A B
C
D
E
F
G H
|è
O
11、（1999年全国初中数学联合竞赛）在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则tan ∠ABM ＝________。 解：作HN ∥BM 交BC 于H ，易证得ABM
CNH ??，
其相似比为2：1，且四边形BMNH 为等腰梯形。
设,HC a CN b ==
所以2,BH b a NM =-=；
所以2
2
430b
ab a --=
因为b a >，所以13,tan 3
b a ABM =∠=
12、（1993年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.
解：设,AB c AC b ==。因为BC 为⊙O 直径，所以设0
90BDC BEC ∠=∠=；
又因为0
30A ∠=，所以0
150,30DPE EPC ∠=∠=。
所以1111,2222
BE AB c CD AC b =
===。 由正弦定理可得：211
sin ,216
S CD BE EPC bc =∠=
011sin 3024ABC S bc bc ?==，所以1113
41616
S bc bc bc =-=，所以S 1:S 2=3：1。
13、（20XX 年“TRULY ?信利杯”全国初中数学竞赛）如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45o，∠A =60o CD =4m ，BC =()
2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.
解：由已知可得，0
45,105,30DCO CDO O ∠=∠=∠=， 由正弦定理可得：
00
441sin 30sin1052
OC OC =?=
?=
所以BO =AB ==
15、（20XX 年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛）△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．已知
a =10，
b =23+，
c =23-，则b sin B +c sin C 的值等于 ． 解：易得2
2
2
a b c =+，所以ABC ?中0
90A ∠=，
所以222
sin sin b c a b B c C a a a a
+=
+=== 16、（1991年全国初中数学联赛题）已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120 ，CD ＝6，AB ＝6，BC ＝5－3。求：AD 的长.
解： 由已知可得，
00060,45,75BCO CBO O ∠=∠=∠=，
由正弦定理可得：
00
sin 45sin 602OC OB ==?==
所以8,OC OB ==
所以2OA OB ==， 所以由余弦定理可得：
22202cos75AD AO DO AO DO =+-
21611225276=--+=
所以AD =17、如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30
，∠CAD
＝45 ，∠DBC ＝75 ，∠DBA ＝45
，AB ＝3。试求C ，D 的距离。
解：在△ABC 中，∵∠ACB ＝∠CAB ＝30
，
∴BC ＝AB ＝3, ∴AC ＝23cos30
=3.
在△ABD 中，∠ADB ＝60
由正弦定理，
45sin AD ＝
60
sin AB
， AD ＝
60
sin AB ×sin45
=3÷23×22＝2. 在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝32＋（2）2－2×3×2Cos45
=5
18、(1985年全国初中数学联赛题)已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补 证明：根据正弦定理，得
5sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin OA OD OC OC OB OB ======9
sin 8sin 7sin 6sin OA
OE OE OD =
==. ∴sin10=sin9
∴∠9和∠10相等或互补。 19、已知：二次方程mx 2－(m －2)x +
4
1
(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。
解：作Rt △ABC 斜边上的高CD.
则sinA=AC CD , sinB=BC
CD
.
∵sinA 和 sinB 是方程的两根，
根据韦达定理，得
sinA+ sinB=m m 2
-； (1)
sinA sinB=m
m 41
- . (2)
即AC CD BC CD =m
m 41-. （3） (1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=(m m 2-)2－m
m 21
-.
∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1， ∴(
m m 2-)2－m
m 21
-=1， m 2+7m －8=0, ∴m =1， m =－8. 由（3）
AC CD BC CD
＝AB CD ABCD CD 2
＝＝m
m 41-.
∴
CD AB ＝1
4-m m
. 当 m =1 时，没有意义； 当m =－8时，
CD AB =9
32
。 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9。
初中数学竞赛 知识点和真题 第20讲 锐角三角函数
第20讲 锐角三角函数 没有精确的数学计算，没有多种测量和 几何作图，社会生产就无从进行。 ——凯洛夫 知识方法扫描 三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。 ① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如α ααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0o≤α≤90o时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形； ④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题； ⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题 经典例题解析 例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。 解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。 +∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++= 211cos cos 12=+=++=θθ 例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证： 1114sin cos sin cos αααα ++>。 证明 1114s i n c o s s i n c o s αααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα -+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα ---++
初中数学竞赛专题：三角函数
初中数学竞赛专题：三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?,tan46?,sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70?化sin20?,再与sin19?比大小． 因为() ?=?-?=?,而 cos70cos9020sin20 ??>, ??>?=． tan52tan46tan451 因为() ?=?-?=?, cos1cos9089sin89 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较
九年级三角函数竞赛题(含答案)
锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
全国高中数学竞赛专题三角函数
全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数
九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
锐角三角函数及应用
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案 （湖北省3月17日复试） 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 5 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.- <<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 11 6.-≤≤-t D 【分析】20232 353 5 2<<-??????? ?<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以211 6152314- ≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程 x x x a x x x x 22222 --=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】 422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212 ===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212 =-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222 =-+-a x x ，2 70)4(84=→=--=?a a ，当21 ,272,1==x a . 故27,8,4=a ，2 1 ,1,1-=x 共3个.本题选C ．
最新全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．
初中数学竞赛：三角函数
初中数学竞赛：三角函数 直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有： 利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式： (1)倒数关系 tgα·ctgα=1； (2)商的关系 (3)平方关系 sin2α+cos2α=1． 这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用． 如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：
sinB=sin(90°-A)=cosA， cosB=cos(90°-A)=sinA， tgB=tg(90°-A)=ctgA， ctgB=ctg(90°-A)=tgA． 上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值 由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A增大时，sinA 与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0． 由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有 0＜sinα＜1，0＜cosα＜1． 我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题． 例1 不查表，求15°的四种三角函数值． 分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．
初中数学三角函数难题(含答案)
1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（） A．1 B．C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．3．观察下列等式 ①sin30°=cos60°= ②sin45°=cos45°= ③sin60°=cos30°= … 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ． 4．有四个命题： ①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； ③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个． 其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）． 5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ． 7．如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=度． 8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣； 因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣； 猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于． 9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= ． 10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= ． 11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β； ②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分） 12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
最新初中数学三角函数经典考题知识讲解
P A B C ? 20P A B C ? 20 (第14题图) 一.选择题 1、如图，已知：ο ο90 45< 1、如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30o，∠ABD =45o，BC =50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）. 2、如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长. 第17题图 B C l D A 第19题图 三角函数与一次函数练习卷 _____班 姓名______________ 一、选择题:(40分) 1.抛物线y=ax 2与直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则a 的取值范围是( ) (A)14≤a ≤1. (B)12≤a ≤ 2. (C)12≤a ≤1. (D) 14 ≤a ≤2. 2.设x 是实数,函数y=丨x-1丨+丨x+1丨,则下列结论,正确的是( ) (A)y 没有最小值. (B)x 只有一个值,使y 取到最小值. (C)x 有有限多个值(不止一个),使y 取到最小值. (D)有无穷多个x 值,使y 取到最小值. 3.下面四个数中,最大的是( ) (A)tan460+ctg460. (B)sin460+cos460. (C)tan460+cos460. (D)cot460+sin460. 4.设cosA+cosA 2=1,A 为锐角,则sinA+sinA 2的值（ ） (A)大于1. (B)小于1. (C)等于1. (D)与1的大小关糸不确定. 5.cot67.50的值是( ) -1. (D)12 二、填空:(40分) 1.求值:sin210+sin220+sin230+ ┉+sin290=_____. 2.设A 为锐角,且sinA=3cosA,则sinAcosA 的值为______. 3.当丨x 丨≤4时,函数y=丨x-1丨+丨x-2丨+丨x-3丨的最大值与最小值的差是___. 4.设直线y=-11 k k x k k ++- (k 为自然数)与两坐标轴围成的三角形的面积为S K ,则S 1+S 2+S 3+┉+S 1994的值为_______. 5.已知点P 在直线y=kx (k>0)上,PA ⊥x 轴于A,PO=5,S ΔPOA =6,则该直线的解析式为______. 三、解答题:(60分) 1.已知:点A(-1,-2)、B(4,2)和Q(-3,n),且QA+QB 的值最小.求n 的值. 5月10日锐角三角函数的简单应用 一、选择题 1.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为（） Ａ．4m Ｂ．3mＣ．43 m 3 Ｄ．43m 2. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为（）A．17.5m B．35m C．3 35m D．70m 第1题图第3题图 3. 客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（） A.156km B.152km C.15(62) +km D.5(632) +km 4.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点， 又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（） Ａ．82米Ｂ．163米Ｃ．52米Ｄ．70米 第4题图第5题图第6题图Ａ Ｂ Ｃ A A B B C C 30° A B C D A B C 北 东 第3题图 第2题图 二、填空题 5. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=0.75， 则梯子AB 的长度为 米． 6. 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响 了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_________m． （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97） 三、解答题 7.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(100) ，，点B在 第一象限内，5 BO=，3 sin 5 BOA= ∠， 求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO ∠的值． A 第7题图 8.“村村通路工程”加快了淮安市建设社会主义新农村的步伐．C村村民 们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连．在公路A处测得C村在北 偏东60°方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向． （1）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度． （结果保留整数） （2）经预算，修建1000米这样的水泥公路约需人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元． 县级公路 北 第8题图 竞赛辅导——三角函数与解三角形 一、单选题 1．已知函数（）的图象经过点和.若函数 在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（） A．B．-C．D．- 【答案】D 【分析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得，解得，故， 因为，令，得，即， 又由，得， 因为，所以，所以， 又由，则，所以 令，则由题意得在上有唯一的解， 根据正弦函数图象可得或， 解得，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 2．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则点满足的关系为（） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】由辅助角公式，对原式化简，再利用是函数的一条对称轴，且，求得a、b的关系可得答案. 【详解】因为，根据辅助角公式可得： 因为是函数的一条对称轴，即，即 因为 ，所以 即 故选B 【点睛】本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键，属于中档题. 3．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,, ,则的面积（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和面积公式求得结果即可. 【详解】由题，， 所以 所以 又因为锐角三角形ABC，所以 由题 ，即 根据代入可得，，即 再根据正弦定理： 面积 故选D 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用是解题的关键，属于中档偏上题. 课题：锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切） 技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边） 简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2：常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sinα 2 1 2 2 2 3 分母都是2，分子分别是 √1、3 cos α 23 2 2 2 1 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 3 3 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ======== cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等 例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠＝30°，∠＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)． 【分析】 第一步：确定相关直角三角形 本题中∠、∠ 分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】 由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠＝30°，∠PBO=∠＝45°，PO=450m 在RtΔAOP 中，tan ∠PAO=PO/AO 在RtΔBOP 中，tan ∠PBO=PO/BO 代入数值，计算得 tan ∠PAO=PO/AO=tan ∠= 3 3 所以AO=3PO tan ∠PBO=PO/BO=tan ∠=1 所以BO=PO AB=AO-BO=(3-1）PO=450(3-1）m 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x , 正切函数tan α= x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1 ； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数，在区间?? ? ?? ?++ πππ π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+ 2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。 单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。 有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2 π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β, s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1() tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222 sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+- 1995年全国初中数学联赛参考答案及详解 第一试 一、选择题 1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a ＜25611＝(44)11＝b。选C。 利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。 2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组 直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。 3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三 根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x 1－x 2 ｜＜1又 有0≤4－4m＜1． 4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由 AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122） ＝52×132 ＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2 故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D． 5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D． 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S △ ACE －S △ADE ＝S △AEF ＝2S △AOE ．同理，S △BCE －S △BDE ＝2S △BOE ．相加，得S △ABC －S △DAB ＝2S △OAB ，即M＝N．选B． 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有 ｜CE－DF｜＝2OL． 即M＝N．选B． 6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有 ｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜． 显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有 两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即 广州卓越一对一初中数学教研部编著 1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 2 2．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90° 3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝b a 4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角 叫做 仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用1:m 的形式，例如上图的1:2 的形 式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越 陡。 例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m ，求AB. 解法：设AB = x ，在R t △BAD 中，tan tan AB x DA ββ = =， 在R t △ABC 中，tan tan AB x CA αα == ∵ CA = CD + DA ∴ tan tan x x m αβ =+ 通过解方程求出知数x 的值 例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。 变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30o，∠ABD =45o，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）. 变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30 ． （1）如果A B ，两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落． 在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ 正弦、余弦、正切函数的简单应用 150团中学贺宗才一、教学目标 知识与能力： 1、理解正弦、余弦的定义，会求特殊锐角的正弦、余弦值；掌握根据锐角的正弦、余弦值及直角三角形的一边求其他边长的方法。 2、进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 过程与方法：经历正弦、余弦意义的探索过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。 情感态度与价值观目标：使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时培养学生的合作精神。 二．学习重点难点： 重点：进一步用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 难点：灵活运用三角函数解决实际问题. 三、教学策略 让学生学会学习，活跃学生思维，激发兴趣。通过回顾旧知，让学生用类比的方法学习正弦、余弦的定义及特殊值。通过自主学习，理解记忆三角函数定义，为理解直角三角形中边与角的关系打下基础。一起探究，为利用边角关系解决计算问题打下基础。通过典形例题学习，进行巩固练习，达到能力提高，最后掌握知识。 四、教学过程 （一）思考与回顾 1. （1）锐角三角形函数是如何定义的？ 在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦，记作sin A 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 我们把A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数 （2）直角三角形的边角关系包括哪些内容？ （3）、30°、45°、60°特殊角的三角函数值 直击中考： 2. 总结直角三角形的边角关系，完成下面的表格． sin A a A c ∠==的对边斜边cos A b A c ∠==的邻边斜边tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边sin B b B c ∠==的对边斜边cos A a B c ∠==的邻边斜边tan B b B B a ∠==∠的对边 的邻边初中数学竞赛三角函数与一次函数练习及解答
锐角三角函数的简单应用
2019年初中数学竞赛辅导——三角函数与解三角形
中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用
全国高中数学竞赛专题三角函数
详解——1995年全国初中数学竞赛试题
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数应用