4.1 比例线段(2)
九年级数学 第四章 图形的相似 4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
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第2课时(kèshí) 等比性质
解：设 c－b＝k.
由(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，
a－c＝－2k， a＝3k，
得 a＋b＝7k， 解得 b＝4k，
c－b＝k，
c＝5k，
而(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即 a2＋b2＝c2，
所以△ABC 为直角三角形．
∴DE＋EF＋DF＝34×18＝227(cm)，
即△DEF 的周长为227 cm.
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2 第 课时(kèshí) 等比性质
例 2 (1)[教材补充例题]若a5＝b7＝8c，且 3a－2b＋c＝3， 求 2a＋4b－3c 的值；
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总结反思
小结(xiǎojié)
知识点 比例的性质
如果a ＝ c ＝…＝m (b ＋d ＋…＋n ≠0)，
bd
n
那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ba.
我们把比例的这个性质称为比例的等比性质．
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第2课时(kèshí) 等比性质
[拓展] 如果ab＝cd，那么a±b b＝c±d d.
第2课时(kèshí) 等比性质
解：(1)设a5＝b7＝c8＝x，则 a＝5x，b＝7x，c＝8x. ∵3a－2b＋c＝3，∴15x－14x＋8x＝3，解得 x＝1，
3 ∴a＝5x＝53，b＝7x＝73，c＝8x＝83. ∴2a＋4b－3c＝2×53＋4×73－3×83＝134.
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第2课时(kèshí) 等比性质
解：∵AB＝BC＝AC＝4，∴AB＋BC＋AC＝4， DE EF DF 3 DE＋EF＋DF 3
4.1.2成比例线段
三、课堂小结：
比例的性质
a c m 1.等比性质: 如果 （ b d n 0）， b d n a c m a 那么 b d n b
2.要运用方程的思想来认识比例式，设出未知数，列 出比例式，化为方程求解.
2a+5b–c 的值. 3a–2b+c
解： 设 a=2k, b=5k,
c=6k,
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 ∴ = = . 2 3a–2b+c 6k–10k+6k
目标2： 理解并掌握等比性质
练习：
目标3： 理解比例的基本性质
（1） （2） （3） （4）
a c b d a c b d a c b d a c b d
第四章
4.1
第2课时
图形的相似
成比例线段
等比的性质及其应用
学习目标：
1、理解并掌握比例的基本性质， 2、能够运用比例的性质进行简单的计算和应用。
一、温故知新(5分钟)
比例的基本性质
a c 如果 b d ，那么 ad = bc.
a c 如果 ad = bc(a、b、c、d都不等于0)，那么 b d
四、作业布置：
名师测控P66的第1至8题
二、新课讲授(25分钟)
A D
H E
G F
B
已知：
AB BC CD AD 2 HE EF FG HG
C
你能求出
AB BC CD AD ? 2 HE EF FG HG
的值吗？由此你能得出什么结论？
等比性质：
目标1： 掌握设比值法 例1.已知 a:b:c =2：5：6， 求
相似三角形全章教案
4.1比例线段(1)教学目标：1.理解比例的基本性质。
2.能根据比例的基本性质求比值。
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。
教学重点、难点：教学重点：比例的基本性质教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。
知识要点：1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。
2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =cd ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。
3.基本性质：a b =cd <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零)重要方法：1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例，方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等；方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =cd )2.“a c =b d <=>a b =cd ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。
3.记住一些常用的结论：a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋cb ＋d 。
教学过程： 一、复习引入1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
你知道0.618这个比值的来历吗？说明学习本章节的重要意义。
3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题(1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。
如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？回答(1)2：（—3）=—23 ；—4：6=—46 =—23 ；2—3 =—46 ，2，—3，—4，6四个数成比例。
4.1成比例线段
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值 k
b,c叫比例内项。
如果两个数的比值与另两个数的比值相等， 就说这四个数成比例。
记为：
比例外项
a：b=c：d 或
ac
bd
比例内项
d叫做a，b，c的第四比例项
点评：四条线段a,b ,c,d成比例，有顺序关系。即
a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b, d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c
阅读章前引言，感知本章内容
你还能举出这样的例子吗？
对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相 应线段长度的比来描述它们的大小关系。
【一】探究一：阅读课本77页第二、三段 并完成学案探究一中1、2问题
同一个长 度单位
m 表示成比值k,那么 n
前项 后项 AB k,或AB k • CD CD
d a bc
ac db
ca bd
d b ac
bc da
cb ad
拓展应用：
1、如果裁成两面矩形彩旗，a的值应当是 多少？
2、如果裁成四面呢？ 3、如果裁成n面呢？
（1）已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同 一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？
（2）某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距 离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？
两条线段的比实际就是两个数的比。
怎样来刻画两个相似图形的大小关系？
用比值来刻画两个相似图形的大小关系
比的前项
比的后项
单位长度 单位
4.1-2成比例线段-性质
学习目标:1．经历探索、猜想的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能理解比例线段的性质。
3．能灵活运用比例线段的性质解决问题。
学习重点:理解并灵活运用等比性质与合比性质。
教学难点:等比性质与合比性质的证明理解。
学习过程（一）自主学习：1.阅读P79页课文,说说你是如何求出AB +BC+CD +AD HE +EF+FG+HG 的值的?尝试写出求解过程:阅读P80页的议一议,在题设的条件下，你认为等式a+c+e b+d+f =a b 成立吗?说说你的理由.等比性质: 且性质应用：1.已知d c b a ==fe =2且0b df ++≠,则 （1）f d b e c a ++++=,（2）fd be c a +-+-=; （3）f d b e c a 3232+-+-=;（4）f b e a 55--=. （二）交流合作：1.交流在自学过程中的两个问题的说明方法，互相学习，取长补短。
2.如何直接并灵活运用等比性质？你是怎么想的？（三）精讲释疑：例1.在△ABC 中和△A ‘B ’C ‘中，53''''''===CA AC CB BC B A AB 且△A ’B ’C ’的周长为50，求△ABC 的周长例2. （合比性质）已知d c b a ==3,求b b a -和d d c -,b b a -=dd c -成立吗？（四）练习：1.完成P80随堂练习。
2. 若==+yx y y x 则,917 ； 若89a b =-，则32 a b b += 如果k ba c c abc b a =+=+=+，且a+b+c 0≠.则k 的值为（ ） A ． 31 B. 21 C. 21或-1 D. -1 3.（提高）)已知a 、b 、c 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.。
4.1比例线段
a b 5 4
ab cd （1） b d
（2）
a ac b bd
a 3 b 4 2 a b ab ab 求（1） （2） （3） a 2b 的值 b b
1、 已知
扩展提高
x y z 3、已知 2 3 4 且 xyz≠0 ，求 2 x 3 y z 的值 x 3y z
2a 3 (3) 3 4
2、下列各组数能否成比例?如果能成比例,请写出 1 ( 4) 3 2
6, 1 0,
2 1 2, 33, 3 ,
5
2 ,2
3、根据下列条件，求a:b的值
(1)2a=3b
(2)
a c ，判断下列比例式是否成 4、已知 b d
成比例线段：
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比 等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
外项 内项
a c b d
内项
内项
外项
a ：b = c ：d.
外项
如果作为比例内项的是两条相等的线段即 或 a ： b = b ： d，
a b b d
a b 7 a a b 2、 若 ,求 , 的值. b 5 b b
2x 3y z 4、已知x:y:z=4:5:7, 求 的值 5z
5、已知 求
x：y=3：4， x：z=2：3 x：y：Z 的值
a c 利用等式性质，能从 推导出ab=dc,反 d b
过来由ab=cd,写出有关a,b,c,d成立的比例式
a d c b
b d c a
d a b c
a c d b
c a b d
41比例线段(2)课件
AB
AC
=
A′B′
A′C′
C
C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
比．即 a c 那么这四条线段叫做成比例线段，简 bd
称比例线段．
5
已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm， d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为 什么?
解：这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
∴
a c
＝
1 2
，
d b
＝
3 6
＝
1 2
∴
a c
＝
Hale Waihona Puke d b想一想:是否还可以 写出其他几组成比例
的线段.
例1，如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ 上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
8
如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基 隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距
离是多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位。
解：从图上量出高雄市到基隆市的距
离约35mm,设实际距离为s，则
35 s
＝
1 9000000
∴S＝35×9000000=315000000(mm)
即s＝315(km)
如果量得图中,我们还能确定基隆市 在高雄市的北偏东28的315km处。 答：略
取一张长与宽之比为 2 : 1的长方形，将它对折， 请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例， 如果成比例，请写出比例式
欣赏之后,请同学们思考: 以上图案为什么这样美丽?
它们与数学中的一种神圣的 分割和一个神奇的数有关.
同学们你知道这种神圣 的分割和神奇的数是什么吗?
4.1 三角形中与比例线段有关的几个定理-梅涅劳斯定理及应用 --沈文选
4.1 梅涅劳斯定理及应用梅涅劳斯定理设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，若///C B A 、、 三点在一条直线上，则.1..//////=BC AC A B CB C A BA (4.1-1) 注若采用有向线段，上式右边为-1（下面均同）．证明 如图4-1，过A 作直线,////A C AD 交BC 的延长线于D ，则⋅==BA DABC ACD A CA A B CB ////////, 故 .1....////////////==BA DA D A CA C A BABC AC A B CB C A BA梅涅劳斯定理的逆定理设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点且其中仅一点在延长线上或三点均在延长线上，若,1..//////=BC AC A B CB C A BA (4.1-2) 则///C B A 、、三点在一条直线上．证明 不妨设仅有点/A 在BC 的延长线上，则直线//B A 与边AB 相交，设交点为1C ，由梅涅劳斯定理，得到.1..11////=BC AC A B CB C A BA 由题设，有 ,1..//////=BC AC A B CB C A BA则⋅=B C AC B C AC //11 又由合比定理，知 ,/1ABAC AB AC = 故有./1AC AC =从而1C 与/C 重合，即///.C B A 、、三点在一条直线上．梅涅劳斯定理是导出线段比例式的重要途径之一．梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点在一条直线上的理论依据之一．例1 已知D 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且AD ：DB=CF ：FA =2:3，连DF 交BC 边延长线于E 点，那么EF ：FD= ． (1990年“祖冲之”杯邀请赛题)解 填2:1．理由：如图4-2，对△DFA 与截线ECB ，由梅涅劳斯定理，有.52...EF DE BD AB CA FC EF DE = ,135=由此得,23=EF DE 从而,2=FDEF 即EF ：FD =2：1． 例2 已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，,43,32==EC AE DC BD AD 、BE 交于F ，则FEBFFD AF .的值是( )．37.A 914.B 123.5C 1556.D（1997年太原市竞赛题）解 选C 理由：如图4-3，对△ADC 与截线BFE ，由梅涅劳斯定理，有,134.52...==FD AF EA CE BC DB FD AF 得 ⋅=815FD AF对△BEC 与截线AFD ，由梅涅劳斯定理，有,123.73...==FE BF DB CD AC EA FE BF 得 ⋅=914FE BF故⋅==1235914.815.FE BF FD AF 例3 如图4-4，在△ABC 中，,90=∠A 点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F ．若BE ：ED ＝ 2AC ：DC ，求证：∠ADB＝∠FDC，证明 取BC 中点M ，连结AM 交BD 于G ，对△BCD 与截线AEF ，由梅涅劳斯定理，有.1.=⋅⋅LBDE AD CA FC BF 而,2DCACED BE =所以,.DC AC DC FC == ⋅+=DCDCAD FC BC 2 ①同理，对△ACM 与截线DGB ，有,1..=⋅GAMGBM CB DC AD 由),90(21=∠==A BC BM AM 因得 ,22,2DCAD ADAM AG DC AD GM AG +== ⋅+=DCAD ADBC AG 2 ② 由①、②得 ⋅=DCADFC AG又∠MAC=∠ACM，则△AGD∽△CFD． 故∠ADB＝∠FDC．例4 已知凸五边形ABCDE 满足,90,=∠=∠=DEA DCB DE DC 点F 是线段AB 内一点，并且AF:BF ＝ AE ：BC ．证明：∠FCE＝∠ADE，∠FEC＝∠BDC． （1997年波兰奥林匹克题） 证明 如图4-5，延长CB 、EA 交于点O ，连DO ，过A 作AG∥CE 交CO 于G ，交DO 于H ．由 ,90,=∠=∠=DEA DCB DE DC 知Rt△OCD ≌ Rt△OED.从而CE ⊥OD, AG ⊥ OD,AE = CG, GH = HA.注意到,1...==FBAFAE CB FB AF HA GH CG BC 由梅涅劳斯定理的逆定理，知C 、F 、H 三点在一条直线上．在△OHC 和△OAD 中，易知,DOA COH ∠=∠又由=OA OH ,cos cos DOCOCOH DOA =∠=∠则 △OHC ∽ △OAD,故有 .ODA OCH ∠=∠再由 ,9090ODE EOD COD OCE ∠=∠-=∠-=∠从而 .ADE ODA ODE OCH OCE FCE ∠=∠-∠=∠-∠=∠类似地，过B 作CE 的平行线交OD 于,/H 重复上述过程可证F H E 、、/在一条直线上，OBD E OH ∆∝∆/，进而可证∠FE C =∠BDC.例 5 在凸四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 上各取两点E 、G 和F 、H ，使得.41,41BD HD BF AC GC AE ====设AB 、CD 、EF 、GH 的中点分别为M 、N 、P 、Q 求证：M 、P 、Q 、N 四点共线． （第17届全俄奥林匹克题）证明 如图4-6，连MN ，分别交AC 、BD 于点S 、R ，设AC 与BD 交于点O. 直线SRM 与△OAB 相截，直线RSN 与△OCD 相截，由梅涅劳斯定理，有.1..,1..==RODR ND CN SC OS RO BR MB AM SA OS而 AM = MB, CN = ND,则,DRCSOR OS BR AS == 故 ⋅==++=BDBRAC AS BD AC DR BR CS AS BR AS ,又 ,41,,41,BD BF BF BR FR AC AE AE AS ES =-==-=于是，⋅===OROSBR AS BD AC FR ES 又EP = PF ，则.1...==⋅ESFR OR OS RO FR PF EP SE OS 、 由梅涅劳斯定理的逆定理，知S 、R 、P 共线．即M 、P 、 N 三点在一条直线上． 同理，M 、Q 、N 三点在一条直线上．所以，M 、P 、Q 、N 四点共线．习 题 4.11 在△ABC 中，D 、E 是边BC 的三等分点，点M 是AC 的中点，BM 交AD 于G ，交AE 于H ，则BG ：GH ：HM等于 ． （1990年江苏省竞赛题） 2 在△PQR 中，延长PQ 到S ，使PQ ＝QS ，点U 在边PR 上，且=PU ,32UR 连结SU ，设SU 与QR 的交点为T ，则=QRQT(1994年上海市竞赛题） 3 在△ABC 中，D 是AB 内一点，E 是AC 延长线上一点，DE 与BC 相交于F ，已知,34,25==CE AC DB AD 则=FC（1994年“祖冲之”杯邀请赛题） 4 在△ABC 中，D 、E 是BC 上的点，BD ：DE ：EC ＝3：2：1，点M 在AC 上，2:1:=MA CM ，BM 交AD:AE 于H 、G ，则BH ：HG ：GM 等于( )．A.3:2:1B.5:3:1C.25: 12:5D.51: 24: 10 （1995年黄冈地区竞赛题） 5 在正△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别有内分点D 、E 、F ，将边分成2：(n-2)（其中n>4），线段AD 、BE 、CF 相交所成的△PQR 的面积是△ABC 的面积的,71则n 的值是( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 （1995年河北省竞赛题） 6 平面上有P 、Q 两点，由点P 引出三条射线，由点Q 引出两条射线分别与前三条射线相交于A 、B 、C 、E 、F 、G(前三点在一条射线上，后三点在另一条射线上）．如果AB ＝B C ，求证：=+GP GC EP EA ⋅PFBF2 （1991年“汉江杯”竞赛题）7 令P 是△ABC 的一个内点，延长AP 、BP 、CP 与对边相交，图中a 、b 、c 、d 为各线段之长．已知a+b+c＝43，d ＝3．求abc 等于多少？ （第6届美国邀请赛题，同习题3.1第7题）答案。
4.1比例线段
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个
数成比例可写成怎样的形式？
a b
=
c d
，
或
a：b=c：d，
a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
做一做
2、请指出下列比例式的比例内项和比例外项, 并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
D
E
B
C
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
探究活动：在平面直角系中， 过点（a,b）和坐标原点的直线 是一个怎样的正比例函数图象？ 如果a,b,c,d四个数成比例，你 认为点（a,b），点（c,d）和 坐标原点在一条直线上吗？请 说明理由。
24
63
3、利用等式性质，能从 a c 推导出ad=bc吗？
பைடு நூலகம்
反过来呢
bd
练一练
已知ab=cd,请写出有关a,b,c,d成立的 比例式.(至少写4个)
ad cb
bd ca
d a bc
ac db
ca bd
d b ac
bc da
cb ad
想一想
ac b d ____ = ____
a____ b
你知道吗?
美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之 比约为0.618.一些长方形的画框，宽与 长之比也设计成0.618,许多美丽的形状 都与0.618这个比值有关。你知道0.618 这个比值的来历吗？
人体肚脐不但是黄金点美 人与黄金分割
4.1比例线段
6.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高 B 线，求证：AD：CE=AB：BC
7.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC, 请找出一组比例线段，并说明理由。
8.如图，已知
AD AE 3 DB EC 2
,求
AB , EC , AB DB AE AD
A E
D
C
bd
ad=bc
a ____ b
c
= ____
d
ad=bc
ad=bc
…………
试一试 根据下列条件，求下列相应的值.
(1) a 1 54
(3) a b 54
(2)3：4 x：5
(4) 2a 3b
3
4
(5)2a 3b (6)4x 3y
(7) x x 1 32
下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式 ，并指出比例的内项与外项.
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边 的长。
4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离A1B1是6cm，求这幅图 的比例尺。
5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上 去直接测量，你有什么好的方法吗？
拓展：相同时刻的物高与影长成比例 。如果一电视塔在地面上影长为 180m，同一时刻高为2m的竹竿的影 长为3m，那么电视塔的高是多少？
9︰12 = 3︰4
6︰8 =
9︰12 = 6︰8
已知:a=-2，b=6，c=3，d=-9，
3︰4
求a：b和c：d 结论：a：b=c：d或
ac bd
比例的基本性质：
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac