李维忠2013函数的导数在高考中的命题形式的汇总
【三维设计】2013高考数学一轮复习 第13节 导数的应用(二)课件
(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，
∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
答案：A
2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的
最小值是
()
A．－9
B．－16
C．－12
D．－11
解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2. 又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9， ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16. 答案： B
当1<k<e－e 1时函数f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e，当e－e 1≤k<2 时，函数f(x)的最大值为f(0)＝－k， 当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减． ∴f(x)在[0,1]上的最大值为f(0)＝－k. 综上所述，当k<e－e 1时，f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e. 当k≥e－e 1时，f(x)的最大值为f(0)＝－k.
[例2] (2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
第 二
第 十
章
三
节 函
数、
导
导
数
数
的
及
应
其
用
应
(
用
Hale Waihona Puke 二)抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
2013年全国高考理科数学导数与积分试题汇编
2013年全国高考理科数学导数与积分试题汇编18．（2013年高考湖南卷（理））已知 ,函数 . (I)记求的表达式; (II)是否存在 ,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】解: (Ⅰ) (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且 . 不妨设所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.19．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数 (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的极值. 【答案】解:函数的定义域为, . (Ⅰ)当时, , , , 在点处的切线方程为 , 即. (Ⅱ)由可知: ①当时, ,函数为上的增函数,函数无极值; ②当时,由 ,解得 ; 时, , 时, 在处取得极小值,且极小值为 ,无极大值. 综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值 ,无极大值. 20．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数 = , = ,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线(Ⅰ)求 , , , 的值;(Ⅱ)若≥-2时, ≤ ,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)由已知得 , 而= , = ,∴ =4, =2, =2, =2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , , 设函数 = = ( ), = = , 有题设可得≥0,即 , 令 =0得, = , =-2, (1)若 ,则-2< ≤0,∴当时, <0,当时, >0,即在单调递减,在单调递增,故在 = 取最小值 ,而= = ≥0, ∴当≥-2时, ≥0,即≤ 恒成立, (2)若 ,则= , ∴当≥-2时,≥0,∴ 在(-2,+∞)单调递增,而=0, ∴当≥-2时, ≥0,即≤ 恒成立, (3)若 ,则= = <0, ∴当≥-2时, ≤ 不可能恒成立, 综上所述, 的取值范围为[1, ]. 21．（2013年高考湖北卷（理））设是正整数, 为正有理数. (I)求函数的最小值; (II)证明: ; (III)设 ,记为不小于的最小整数,例如 , , .令 ,求的值. (参考数据: , , , ) 【答案】证明:(I) 在上单减,在上单增. (II)由(I)知:当时, (就是伯努利不等式了) 所证不等式即为: 若 ,则① , ,故①式成立. 若 , 显然成立. ② , ,故②式成立. 综上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:当时,22．（2013年高考陕西卷（理））已知函数. (Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线公共点的个数. (Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数 . 设直线y=kx+1与相切与点 .所以(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线的公共点个数即方程根的个数. 由 , 则 h(x)在 h(x) . 所以对曲线y=f (x) 与曲线公共点的个数,讨论如下: 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; (Ⅲ) 设令 . ,且 . 所以 23．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数 ( =2.71828是自然对数的底数, ). (Ⅰ)求的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.【答案】解:(Ⅰ) , 由 ,解得 , 当时, , 单调递减所以,函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是 , 最大值为(Ⅱ)令 (1)当时, ,则 , 所以, 因为 , 所以因此在上单调递增. (2)当时,当时, ,则 , 所以, 因为 , ,又所以所以因此在上单调递减. 综合(1)(2)可知当时, , 当 ,即时, 没有零点, 故关于的方程根的个数为0; 当 ,即时, 只有一个零点, 故关于的方程根的个数为1; 当 ,即时, ①当时,由(Ⅰ)知要使 ,只需使 ,即; ②当时,由(Ⅰ)知 ; 要使 ,只需使 ,即 ; 所以当时, 有两个零点,故关于的方程根的个数为2; 综上所述: 当时,关于的方程根的个数为0; 当时,关于的方程根的个数为1; 当时,关于的方程根的个数为2. 24．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知 ,函数 (1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ,且 ,所以所求切线方程为: ,即为: ; (Ⅱ)由已知得到: ,其中 ,当时, , (1)当时, ,所以在上递减,所以 ,因为 ; (2)当 ,即时, 恒成立,所以在上递增,所以 ,因为 ; (3)当 ,即时, ,且 ,即 2 + 0 - 0 + 递增极大值递减极小值递增所以 ,且所以 , 所以 ; 由 ,所以 (��)当时, ,所以时, 递增, 时, 递减,所以 ,因为 ,又因为 ,所以 ,所以 ,所以 (��)当时, ,所以 ,因为 ,此时 ,当时, 是大于零还是小于零不确定,所以①当时, ,所以 ,所以此时; ② 当时, ,所以 ,所以此时综上所述: .25．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数 (I)若时, ,求的最小值; (II)设数列【答案】26．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为 , 证明: 当时, 有 . 【答案】27．（2013年高考北京卷（理））设L为曲线C: 在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 【答案】解: (I)设 ,则 .所以 .所以L的方程为 . (II)令 ,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于 . 满足 ,且 . 当时, , ,所以 ,故单调递减; 当时, , ,所以 ,故单调递增. 所以, ( ). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解: 即变形为 ,记 ,则 , 所以当时, , 在(0,1)上单调递减; 当时, , 在(1,+∞)上单调递增. 所以 .)。
2013高考理科数学解题方法攻略—函数与导数2
A． B． C． D．
11．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 与时间 的函数图像可能是
()
12．函数 在定义域R内可导，若 ，且当 时， ，设 则（）
【例1】单位圆中弧 长为 ， 表示弧 与弦 所围成弓形面积的2倍。则函数 的图像是（）
【解析】解一：定量分析。可列出 ，知 时， ， 图像在 下方； 时， ， 图像在 上方。选D
解二：定性分析。当 从 增至 时， 变化经历了从慢到快，从快到慢的过程。
解三：观察 满足： ，故 图像以 为对称中心。
【注】此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求 解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。
A．-a B.0 C. a D.2a
【注】反函数是高考的必考点，在求反函数时要关注反函数的定义域——原函数的值域。
【考点4】导数的意义及应用
【例4】已知函数 ，过点 作曲线 的切线的方程为________.
【解析】
【注】利用导数求切线的斜率，从而的切线的方程，这是基本思路；本题要注意;过某点的切线与再某点的切线是不同的概念。
A． B. C. D. -1
【注】这是一种呈周期萎缩的函数，一般的是f（x+T）=kf（x）（k≠1)，注意它的图像。
【考点3】反函数的概念
函数的反函数的概念、求法，反函数的定义域、值域与原函数的定义域、值域的关系在复习中要引起重视。
【例3】已知f(x)是定义在R上的函数它的反函数是f-1(x)，若f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数，且f(a)=a（a为非零常数），则f(2a)的值为
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)14：导数与积分
2013高考试题解析分类汇编（理数）14：导数与积分一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（理））已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．12()0,()f x f x <> D本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。
函数()(ln f x x x =12,x x 12()x x <，则12ln )('+-=ax x x f 有两个零点,即方程12ln -=ax x 有两个根,有数形结合易知210<<a 且2110x x <<<.因为在),(21x x 上)(x f 递增，所以)()1()(21x f f x f <<，即)()(21x f a x f <-<，所以121()0,()2f x f x <>-.故选D.2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = C若0c =则有(0)f =，所以A 正确。
由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。
导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型归纳1.高考命题回顾例1已知函数千3=6*—小&十巾).(2013全国新课标11卷)(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性;⑵当mW2时，证明f(x)>0.例2已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(2013全国新课标I卷)(I)求a,b,c,d的值(II)若x2—2时，f(x)-kg(x)，求k的取值范围。
2. 在解题中常用的有关结论※⑴曲线产f (x )在X =X 0处的切线的斜率等于f (x 0),且切线方程为产f'(X 0)(x -X 0)+f (x 0)。
(2)若可导函数y =f(x)在X =X 0处取得极值，则f (x 0)=0。
反之，不成立。
(3)对于可导函数f (x )，不等式f ，(x )>0(<0)的解集决定函数f (x )的递增(减)区间。
(4)函数f (x )在区间I 上递增(减)的充要条件是：v x e I f (x )>0(<0)恒成立(f (x )不恒为0).(5)函数f(x )(非常量函数)在区间I 上不单调等价于f (x )在区间I 上有极值，则可等价转化为方程尸(x )=0在区间I 上有实根且为非二重根。
(若f (x )为二次函数且I=R ，则有A>0)。
(6) f(x )在区间I 上无极值等价于f (x )在区间在上是单调函数，进而得到f (x )>0或f (x )<0在I 上恒成立 ⑺若V x G I ，f (x )>0恒成立，则fx )min >0;若V x G I ，f (x )<0恒成立，则f (x )max<0 ⑻若三x 0G l ，使得f (x 0)>0，则^>0；若三x 0Gl ，使得f(x 0)<0，则)皿<0. (9)设f (x )与g (x )的定义域的交集为D ，若V x G D f (x )>g (x )恒成立，贝第[f (x )-g (x )]>0.min(10)若对V X|G I、匕e1,f(x J>g(x)恒成立，则f(x).>g(x).112212minmax若对V x e I3x e I，使得f(x)>g(x)，则f(x)>g(x).112212minmin若对V x]e I，3x2G I2，使得f(x)<g(x)，则f(x)<g(x).112212maxmax(11)已知f(x)在区间11上的值域为A,,g(x)在区间I2上值域为B,若对V x1e11,3x2e I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则A之B。
导数的应用2013高考
导数的应用1.[2013·安徽卷] 设函数f n (x)＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x∈R ，n∈N *)．证明：(1)对每个n∈N *，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.2.[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值．3.10．B9，B12[2013·安徽卷] 若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．64.[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝x －aln x (a∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．5.[2013·湖北卷] 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1；(3)设x ∈R ，记[x]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，－32＝－1.令S ＝381 ＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7)6.2013·湖北卷] 已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－127.[2013·江西卷] 已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．8.[2013·北京卷] 设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．9.2013·辽宁卷] 已知函数f(x)＝(1＋x)e －2x，g(x)＝ax ＋x 32＋1＋2xcos x ．当x ∈[0，1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11＋x； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．10.[2013·辽宁卷] 设函数f(x)满足x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时，f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值11.[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x （1＋λx ）1＋x.(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，证明：a 2n －a n ＋14n＞ln 2.12.[2013·全国卷] 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞) 13.[2013·山东卷] 设函数f(x)＝xe 2x＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R )． (1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数． 14.[2013·陕西卷] 已知函数f(x)＝e x ，x∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k 的值； (2)设x>0，讨论曲线y ＝f(x)与曲线y ＝mx 2(m>0)公共点的个数； (3)设a<b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由．15.[2013·四川卷] 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．16.[2013·四川卷] 设函数f(x)＝e x ＋x －a (a∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sinx 上存在(x 0，y 0)使得f(f(y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[e －1－1，1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]17.[2013·四川卷] 函数y ＝x 33x －1的图像大致是()图1－518.[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝x 2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s ，使t ＝f(s)；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g(t)．证明：当t>e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.19.[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.（1－52，0） B.（1－32，0） C.（1－52，0）∪（0，1＋32）D ．（－∞，1－52） 20.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)． (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0.21.[2013·浙江卷] 已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极大值22[2013·重庆卷] 设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．1．证明：(1)对每个n∈N *，当x>0时，f′n (x)＝1＋x 2＋…＋xn －1n>0，故f n (x)在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n 2>0.故f n (1)≥0.又f n 23＝－1＋23＋∑=nk 223kk 2≤－13＋14∑=n k 2（23）k＝－13＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫2321－23n －11－23＝－13·23n －1<0.所以存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋xn ＋1（n ＋1）2≥f n (x)，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x)在(0，＋∞)内单调递增，x n ＋1<x n ，故{x n }为单调递减数列．从而对任意n ，p∈N *，x n ＋p <x n .对任意p∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x nnn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p （n ＋1）2＋…＋x n ＋pn ＋p（n ＋p ）2＝0，②①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得 x n －x n ＋p ＝∑=nk 2x kn ＋p －x kn k 2＋∑++=p n n k 1x k n ＋p k 2≤x kn ＋pk 2 ≤∑++=pn n k 11k 2<∑++=p n n k 11k （k －1）＝1n －1n ＋p <1n. 因此，对任意p∈N *，都有0<x n －x n ＋p <1n.2．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f(x)>0的解集为{x|x 1<x<x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d(a)＝a 1＋a 2，则d′(a)＝1－a2（1＋a 2）2.令d′(a)＝0，得a ＝1.由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增； 当1<a≤1＋k 时，d′(a)<0，d(a)单调递减．所以当1－k≤a≤1＋k 时，d(a)的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3<1， 故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k ，1＋k]上取得最小值1－k 2－2k ＋k 2，则I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k 2.3．A [解析] 因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f(x)＝x 1或f(x)＝x 2，当x 1是极大值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．4．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax .(1)当a ＝2时，f(x)＝x －2lnx ，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－a x ＝x －ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．5．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x ＝0. 当－1<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x≠0)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n .上式两边同乘nr ＋1，得(n ＋1)r ＋1>nr ＋1＋n r(r ＋1)，即n r<（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.②当n>1时，在①中令x ＝－1n (这时x>－1且x≠0)，类似可得n r >nr ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得 nr ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r<（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④(3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得 34(12543－8043)<S<34(12643－8143)， 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－8143)≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.6．D [解析] f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0 ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是0，12.因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.7.解：(1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a(1－2|x|)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a(1－2|x|)， 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a<12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x≤12，4a 2（1－x ），x>12.所以f(f(x))＝x 只有一个解x ＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点．当a ＝12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≤12，1－x ，x>12.所以f(f(x))＝x 有解集x⎪⎪⎪ )x ≤12，又当x≤12时f(x)＝x ，故x⎪⎪⎪ )x ≤12中的所有点都不是二阶周期点．当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x≤14a，2a －4a 2x ，14a <x≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a>12.(3)由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a21＋4a2，因为x 3为函数f(f(x))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a.当x 3＝14a 时，S(a)＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2.所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S(a)＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a>12，从而有S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时S(a)单调递增．8．解：(1)设f(x)＝ln x x ，则f′(x)＝1－ln xx2. 所以f′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于 g(x)>0( x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g ′(x)＝1－f′(x)＝x 2－1＋ln xx2. 当0<x<1时，x 2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0， 故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0， 故g(x)单调递增．所以g(x)>g(1)＝0( x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．9．解：(1)证明：要证x∈[0，1]时，(1＋x)e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x)e －x ≥(1－x)e x.记h(x)＝(1＋x)e －x －(1－x)e x ，则h′(x)＝x(e x －e －x)，当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x ，x∈[0，1]．要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x≤11＋x，只需证明e x≥x ＋1. 记K(x)＝e x－x －1，则K′(x)＝e x－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤11＋x ，x∈[0，1]．综上，1－x≤f(x)≤11＋x ，x∈[0，1]．(2)(方法一)f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋x 32＋1＋2xcos x ≥1－x －ax －1－x32－2xcos x＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G(x)＝x22＋2cos x ，则G′(x)＝x －2sin x.记H(x)＝x －2sin x ，则H′(x)＝1－2cos x ，当x∈(0，1)时，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2.从而a ＋1＋G(x)≤a＋3，所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明，当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤11＋x －1－ax －x32－2xcos x＝－x 1＋x －ax －x32－2xcos x ＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x . 记I(x)＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G(x)，则I′(x)＝－1（1＋x ）2＋G′(x )．当x∈(0，1)时，I′(x)＜0.故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0，1)，使得I(x 0)＞0，此时f(x 0)＜g(x 0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]． (方法二)先证当x∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2.记F(x)＝cos x －1＋12x 2，则F′(x)＝－sin x ＋x.记G(x)＝－sin x ＋x ，则G′(x)＝－cos x ＋1，当x∈(0，1)时，G′(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)＝0，从而F(x)在[0，1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)＝0.所以当x∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x.同理可证，当x∈[0，1]时，cos x ≤1－14x 2.综上，当x∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2.因为当x∈[0，1]时．f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋x 32＋1＋2xcos x≥(1－x)－ax －x 32－1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2 ＝－(a ＋3)x.所以当a≤－3时，f(x )≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明，当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为 f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋x 32＋1＋2xcos x ≤11＋x －1－ax －x 32－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 2 ＝x 21＋x ＋x 32－(a ＋3)x ≤32x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －23（a ＋3）， 所以存在x 0∈(0，1)例如x 0取a ＋33和12中的较小值满足f(x 0)＜g(x 0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．10．D [解析] 因为函数f(x)满足x 2f ′(x)＋2xf(x)＝[x 2·f (x)]′＝e xx，所以当x>0时，[]x 2·f （x ）′＝e xx>0，令函数g(x)＝x 2·f(x)，所以g(x)在x>0时递增． 由f(2)＝e 28，得g(2)＝e22.又f(x)＝g （x ）x2， 所以f′(x)＝g′（x ）·x 2－g （x ）·（2x ）x 4＝x·g′（x ）－2g （x ）x3＝e x－2g （x ）x3，x>0. 令h(x)＝e x －2g(x)，则h′(x)＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ，故当x∈(0，2)时，h′(x) <0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0， 故h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(2)＝e 2－2g(2)＝0. 所以f′(x)＝e x－2g （x ）x 3≥0，故f(x)在(0，∞)单调递增． 所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)即无极大值也无极小值．选D.11．解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝（1－2λ）x －λx2（1＋x ）2，f′(0)＝0. 若λ＜12，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若λ≥12，则当x ＞0时，f′(x)＜0，所以当x ＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)令λ＝12.由(1)知，当x ＞0时，f(x)＜0，即x （2＋x ）2＋2x ＞ln (1＋x)．取x ＝1k ，则2k ＋12k （k ＋1）＞ln k ＋1k .于是a 2n －a n ＋14n ＝∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k ＋12（k ＋1） ＝2k ＋12k （k ＋1）＞∑ln k ＋1k＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以a 2n －a n ＋14n＞ln 2.12．D [解析] f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.13．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x.由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是－∞，12，单调递减区间是12，＋∞，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －1＋c.(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c ，x∈(0，＋∞)．①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2xe 2x x ＋2x －1.因为2x －1>0，e2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2x－e2xx＋2x －1. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e2xx<－1.又2x －1<1，所以－e2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，(ⅰ)当x∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx －xe －2x－c≥lnx －12e －1＋c>lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需使lnx －1－c>0，即x∈(e1＋c，＋∞)；(ⅱ)当x∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe－2x－c≥－lnx －12e －1＋c>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.14．解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y ＝kx ＋1与g(x)＝ln x 的图像在P(x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e2.(2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝exx2与直线y ＝m 的公共点个数．令φ(x)＝e x x 2，则φ′(x)＝e x（x －2）x3，∴φ′(2)＝0.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e24.当0<m<e 24时，曲线y ＝exx 2与直线y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝exx2与直线y ＝m 恰有一个公共点；当m>e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝1m ，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝me 2，使得φ(x 2)>m ，由φ(x)的单调性知，曲线y ＝exx2与y ＝m 恰有两个公共点．综上所述，x>0时，若0<m<e 24，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2有一个公共点；若m>e 24，曲线y ＝f(x)与y ＝mx 2有两个公共点．(3)方法一：可以证明f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.事实上，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a e a＋e b2>e b－e ab －a b －a 2>e b－e ae b ＋e a b －a 2>1－2e ae b ＋e ab －a 2>1－2e b －a ＋1(b>a)．(*)令φ(x)＝x 2＋2e x ＋1－1(x≥0)，则φ′(x)＝12－2ex（e x ＋1）2＝（e x＋1）2－4e x2（e x ＋1）2＝（e x－1）22（e x ＋1）2≥0(仅当x ＝0时等号成立)．∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴x>0时，φ(x)>φ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 方法二：f （a ）＋f （b ）2－f （b ）－f （a ）b －a＝e b＋e a2－e b－eab －a＝be b ＋be a －ae b －ae a －2e b ＋2ea2（b －a ）＝e a2（b －a ）[(b －a)e b －a ＋(b －a)－2e b －a＋2]． 设函数u(x)＝xe x＋x －2e x＋2(x≥0)，则u′(x)＝e x ＋xe x ＋1－2e x，令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝e x ＋e x ＋xe x －2e x ＝xe x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x)单调递增，∴当x>0时，u′(x)>u′(0)＝0，∴u(x)单调递增． 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a)e b －a＋(b －a)－2eb －a＋2>0，∴e b＋e a2－e b－e ab －a>0，因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.15．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2. 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为 y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1.设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)， 则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0.所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数． 则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1， 所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 16．A [解析] 因为y 0＝sin x 0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x ＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，故a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x－2x ＋1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，e x＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，e x＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．17．C [解析] 函数的定义域是{x∈R |x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ； 当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像． 18．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝2xln x ＋x ＝x(2ln x ＋1)，令f′(x)＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，1e 1e 1e，＋∞ f′(x) － 0＋f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是0，1e ，单调递增区间是1e，＋∞.(2)证明：当0<x≤1时，f(x)≤0，设t>0， 令h(x)＝f(x)－t ，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(e t )＝e 2t ln e t －t ＝t(e 2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t ＝f(s)成立．(3)证明：因为s ＝g(t)，由(2)知，t ＝f(s)，且s>1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln sln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u，其中u ＝ln s.要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u<u 2.当t>e 2时，若s ＝g(t)≤e ，则由f(s)的单调性，有t ＝f(s)≤f(e)＝e 2，矛盾． 所以s>e ，即u>1，从而ln u>0成立．另一方面，令F(u)＝ln u －u 2，u>1.F′(u)＝1u －12，令F′(u)＝0，得u ＝2.当1<u<2时，F′(u)>0；当u>2时．F ′(u)<0，故对u>1，F(u)≤F(2)<0，因此ln u<u2成立．综上，当t>e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.19．A [解析] 方法一：排除法：当x ＝0时，由f(x ＋a)<f(x)可变为a(1＋a|a|)<0，易得－1<a<0，可得a 的取值范围一定是(－1，0)的子集，排除C ，D 选项；当a ＝－12时，由f(x)>f(x ＋a)可解得－34<x<54，满足[－12，12] ⊆A ，可排除B 选项；故答案为A. 方法二：直接分类：易知a<0，f(x ＋a)是把f(x)向右平移，且f(x)为奇函数，要使[－12，12] ⊆A ，只要使f(x)与f(x ＋a)最左边的交点横坐标小于－12即可，在x<0时，f(x)＝－ax 2＋x ，f(x ＋a)＝－a(x ＋a)2＋x ＋a ，令f(x)＝f(x ＋a)，则x ＝1－a 22a ，令1－a 22a <12，可得a 2＋a －1<0，故1－52<a<0.20．解：(1)f′(x)＝e x－1x ＋m.由x ＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m ＝1.于是f(x)＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝e x－1x ＋1.函数f′(x)＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时， f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明：当m≤2，x∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m)≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f(x)>0.当m ＝2时，函数f′(x)＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)．当x∈(－2，x 0)时，f′(x)<0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0，从而当x ＝x 0时，f(x)取得最小值． 由f′(x 0)＝0得ex 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f(x)≥f(x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝（x 0＋1）2x 0＋2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0.21．C [解析] 当k ＝1时，f(x)＝(e x －1)(x －1)，f′(x)＝e x (x －1)＋(e x －1)＝xe x－1，则在x ＝1处取不到极值．当k ＝2时，f(x)＝(e x －1)(x －1)2，f′(x)＝e x (x －1)2＋(e x －1)×2(x－1)＝(x －1)(xe x ＋e x－2)，f′(1)＝0，f′(2)>0，f′12<0，所以在x ＝1处取得极小值．22．解：(1)因f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ， 故f′(x)＝2a(x －5)＋6x.令x ＝1，得f(1)＝16a ，f′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x ＞0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x，令f′(x)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2，3)上为减函数．由此可知，f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。
2013-2017高考理数分类汇编：第3章 导数与定积分-1 导数的概念与运算(理科)
第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型30 导数的定义——暂无 题型31 求函数的导数1．（2013江西理13）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且(e )e x xf x =+，则(1)f '=．2.（2016全国丙理21）21.设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A .（1）求()f x '；（2）求A ；（3）证明2.f x A '（）…2.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点，()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由上图，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a ++=.综上，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩…. （3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述，有()2f x A '….题型32 导数的几何意义1.(2013广东理10）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =．2.（2014 大纲理 7）曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（）.A ．2eB ．eC ．2D ．13.（2014 新课标2理8）设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（）.A.0B.1C.2 D.34.（2014江苏理11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．5.（2014 江西理 13）若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是.6.（2015陕西理15）设曲线e x y =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．6.解析因为()0,1在e x y =上，所以在()0,1处切线的斜率()10e 1xx k ='==.设001,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x =在P 处的切线斜率022011'x x k x x =⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为121k k =-，所以020111x x -=-⇒=±.又因为0x >，所以01x =，()1,1P . 7.（2015四川理15）已知函数()2xf x =，()2g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数12,x x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 7. 解析①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m …时，()F x 为单调递减函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2xy =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 集合与常用逻辑用语函数与到导数不等式(解析)
本专题包括：集合与常用逻辑用语、函数的图像与性质、基本初等函数及函数的应用、不等式、导数五部分内容．该部分的复习要突出“一心”、“一性”，即围绕函数这个中心，抓住导数的工具性，以函数、不等式、导数等几个方面围绕它们的定义、运算、性质、图像和应用展开复习．定义是学好集合与常用逻辑用语的关键，必须准确掌握各个基本概念，把握定义的实质和各个概念之间的关系．定义是函数的基础，性质是函数的核心，要准确把握函数的三要素，牢固树立定义优先原则，熟练记忆指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数、二次函数等基本初等函数的定义、形式、图像和性质．不等式的性质是不等式的核心，是不等式的求解与证明、利用基本不等式求解最值问题的重要依据．解不等式时要注意不等式的等价变形，而利用基本不等式求最值应构造“定积求和”或“定和求积”的形式，从而求得最值，而解决线性规划问题的关键是正确做出可行域．导数的工具性是解决函数综合问题的金钥匙，利用导数研究函数问题，首先熟练把握基本初等函数的导数以及求导法则，再利用导数可判定一些函数的单调性，以及求函数的极值和最值，从而充分体现导数的工具性．第一节集合与常用逻辑用语1．熟记三个概念(1)集合中的元素具有三个性质：无序性、确定性和互异性．元素与集合之间的关系是属于和不属于．(2)四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若綈p，则綈q”，逆否命题是“若綈q，则綈p”，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的．(3)充要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．2．活用四个公式与结论(1)运算性质及重要结论：①A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.②A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.③A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.④A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(2)命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.(3)含有一个量词的命题的否定：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．(4)“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．3．正确区分几个易误(1)认清集合元素的属性及元素所代表的意义．(2)区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．(3)“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[考情分析]集合的基本概念、集合间的包含关系与运算是高考考查的热点，几乎每套试卷都会出现此类题型，一般以填空题、选择题形式出现，多属容易题，考查集合中元素的特征、集合的子集、集合的交集、并集、补集运算，该类问题出题背景广泛，常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题．[例1] (2012·广东九校联考)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)[思路点拨] 首先明确集合A、B中的元素属性，再确定阴影部分如何用集合表示．[解析] 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．[答案] D[类题通法]解答集合问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．[冲关集训]1．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，1)解析：选A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围，抓住1∉A作为解题的突破口，1∉A即1不满足集合A中不等式，所以12－2×1＋a≤0⇒a≤1.2.设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|y＝x}，则右图中的阴影部分表示的集合为( )A．{x|－1<x≤0，x∈R} B．{x|－1<x<0，x∈R}C．{x|x<0，x∈R} D．{x|x>－1，x∈R}解析：选B 由1＋x>0得x>－1，即P＝{x|x>－1}；Q＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P ∩(∁RQ)＝{x|－1<x<0，x ∈R}．3．(2012·重庆高考)设平面点集A ＝{(x ，y)|(y －x)(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y)|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35π C.47π D.π2解析：选D A ∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S1＝S2，S3＝S4.因此A ∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为π2.[考情分析] 高考对本部分内容的考查主要是全称命题、特称命题的否定和含逻辑连结词的命题的真假判断，题型以选择、填空题为主．预计今后的高考仍以基本概念和方法为考查对象，重点考查全称命题、特称命题的否定，命题真假的判断．[例2] 给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β ”的逆否命题；②“∃x0∈R ，使得x20－x0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x2－x<0”；③命题“x2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c}，q ：{a}⊆{a ，b ，c}，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)[思路点拨] ①由于原命题与逆否命题等价，故判断原命题的真假即可；②利用全(特)称命题的定义进行判断；③由x2＝4⇔x ＝2或x ＝－2，则可判定命题的真假；④根据真值表判定．[解析] 对①，因命题“若a ＝β，则cos α＝cos β ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x0∈R ，使得x20－x0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x2＝4”得x ＝±2，所以“x2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．[答案] ①④[类题通法]命题真假的判定方法(1)一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定；(4)全称命题与特称命题的真假的判定：①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x ，验证p(x)成立．如果在集合中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可．否则，这一特称命题就是假命题．[冲关集训]4．(2012·山东高考)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．5．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x2＋2x>4x －3均成立；②若log2x ＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选A ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x ＋1log2x≥2，得x>1；③中由a>b>0，得1a <1b，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真； ④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．6．(2012·安徽名校模拟)命题“∃x ∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：“∃x ∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22][考情分析] 充分条件、必要条件、充要条件一直是高考命题的热点，该类问题出题的背景选择面广，易形成知识交汇题，命题多为选择题或填空题，难度为中低档．[例3] (2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[思路点拨] 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系判定．[解析] 当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α. 又∵a ⊂α，∴b ⊥a.∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件．而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β ”不是“a ⊥b ”的必要条件．[答案] A[类题通法]对充分、必要条件的判断要注意以下几点(1)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(2)要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么綈p 是綈q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么綈p 是綈q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么綈p 是綈q 的充要条件．[冲关集训]7．(2012·威海质检)设集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为p ＝3时，A ∩B ＝B ；又若A ∩B ＝B ，则p ＝3.8．(2012·徐州检测)已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．解析：∵p ：－2≤x －3≤2,1≤x ≤5.∴綈p ：x<1或x>5.易得q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x<m －1或x>m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.答案：[2,4]9．(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：选D ①∵f(x)在R 上是偶函数，∴f(x)的图像关于y 轴对称．∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)在R 上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．探究新定义下的集合问题以集合为背景的新定义问题，历来是高考进行创新命题的一个考点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生理解问题、解决问题的能力．[典例] (2012·深圳调研)设S 是实数集R 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有a ＋b ∈S ，a －b ∈S ，则称S 是一个“和谐集”．下面命题中假命题是( )A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{x|x ＝ka ，k ∈Z}都是“和谐集”C ．若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D ．对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1≠R ，S2≠R ，则S1∪S2＝R[思路点拨] 利用定义一一判断即可．[解析] 对于A ，如S ＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S ，因此A 正确；对于B ，设任意x1∈{x|x ＝ka ，k ∈Z}，x2∈{x|x ＝ka ，k ∈Z}，则存在k1∈Z ，k2∈Z ，使得x1＝k1a ，x2＝k2a ，x1＋x2＝(k1＋k2)a ∈{x|x ＝ka ，k ∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a ∈{x|x ＝ka ，k ∈Z}，因此对任意无理数a ，集合{x|x ＝ka ，k ∈Z}都是“和谐集”，B 正确；对于C ，依题意，当S1，S2均是“和谐集”时，若a ∈S1，则有a －a ∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C 正确；对于D ，如取S1＝{0}≠R ，S2＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}≠R ，易知集合S1，S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R ，D 不正确．[答案] D[名师支招]求解集合中的新定义问题，主要抓两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[高考预测]对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n 2；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b)|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N*}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b 2＝6⇒a ＋b ＝12，由2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，知符合题意的点(a ，b)有2×5＋1＝11个；(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，由1×36＝3×12＝4×9＝36，知符合题意的点(a ，b)有2×3＝6个．综合(1)(2)，集合A 中的元素个数为17个．答案：17[配套课时作业](A)1．(2012·江西高考)若全集U ＝{}x ∈R|x2≤4，则集合A ＝{}x ∈R||x ＋1|≤1的补集∁UA 为( )A.{}x ∈R|0<x<2B.{}x ∈R|0≤x<2C.{}x ∈R|0<x ≤2D.{}x ∈R|0≤x ≤2解析：选 C 因为U ＝{x ∈R|x2≤4}＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|x ＋1|≤1}＝{x ∈R|－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁UA ＝{x ∈R|0<x ≤2}．2．(2012·江西高考)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．3．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B “存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．4．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )A ．∃x0∈R ，ex0≤0B ．∀x ∈R,2x ＞x2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D 因为∀x ∈R ，ex ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出a b＝－1，故排除C. 5．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，且m ＝ta ＋b ，n ＝a －kb(t 、k ∈R)，则m ⊥n 的充要条件是( )A ．t ＋k ＝1B ．t －k ＝1C ．t ·k ＝1D ．t －k ＝0解析：选D ∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝0，|a|＝|b|＝5，∴m ⊥n ⇔m ·n ＝0⇔(ta ＋b)·(a －kb)＝0⇔ta2－kta ·b ＋a ·b －kb2＝0⇔5t －5k ＝0，即t －k ＝0.6．(2012·潍坊模拟)命题“∀x ∈[1,2]，x2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“∀x ∈[1,2]，x2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．7．下列命题中假命题是( )A ．命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题B ．“两非零向量a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ·b<0”C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若x ∈R ，则x2＋x ＋1<0”的否定解析：选B 命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题为：“若x ＝1，则x2－3x ＋2＝0”，是真命题；若两非零向量a ，b 的夹角为钝角，则a ·b<0，反之，若a ·b<0，则两非零向量a ，b 的夹角为钝角或两向量反向，即得“两非零向量a ，b 的夹角为钝角”的必要不充分条件是“a ·b<0”，即命题B 是假命题；命题C 显然正确；命题D 为假命题，其否定为真命题．8．(2012·山东高考)设a>0且a ≠1，则“函数f(x)＝ax 在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝ax 在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝ax 在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的充分不必要条件．9．如图所示程序框图，已知集合A ＝{x|x 是程序框图中输出的值}，集合B ＝{y|y 是程序框图中输出的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当x ＝－1时，(∁UA)∩B 等于( )A ．{－3，－1,5}B ．{－3，－1,5,7}C ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}解析：选D 根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0,1,2,3,4,5,6；y 值依次为－3，－1,1,3,5,7,9.于是A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，因此(∁UA)∩B ＝{－3，－1,7,9}．10．定义差集A －B ＝{x|x ∈A ，且x ∉B}，现有三个集合A 、B 、C 分别用圆表示，则集合C －(A －B)可表示下列图中阴影部分的为( )解析：选A 如图所示，A －B 表示图中阴影部分．故C －(A －B)所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分．11．命题“∃k0∈R ，函数y ＝k0x在(0，＋∞)上单调递增”的否定是________． 解析：特称命题的否定是全称命题．答案：∀k ∈R ，函数y ＝k x在(0，＋∞)上非单调递增 12．设集合A ＝{5，log2(a ＋3)}，B ＝{a ，b}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log2(a ＋3)＝2，得a ＝1，所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}13．已知R 是实数集，M ＝{x|2x<1}，N ＝{y|y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁RM)＝________. 解析：M ＝{x|2x<1}＝{x|x<0或x>2}， N ＝{y|y ＝x －1＋1}＝{y|y ≥1}，∁RM ＝{x|0≤x ≤2}，∴N ∩(∁RM)＝{x|1≤x ≤2}＝[1,2]．答案：[1,2]14．下面有四个关于充要条件的命题：①向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b ＝λa ；②函数y ＝x2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0；③两个事件为互斥事件是这两个事件为对立事件的充要条件；④若p ：2x x －1<1，q ：(x ＋1)(x －m)(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是m ≥1.其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：由共线向量定理，知命题①为真；函数y ＝x2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是对称轴为y 轴，即－b 2＝0，b ＝0，因此②为真；对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假；在④中，命题p 对应集合A ＝{x|－1<x<1}，当m>3时，q 对应集合B ＝{x|－1<x<3或x>m}，有A B ，符合p 是q 的充分不必要条件； 当m ＝3时，q 对应集合B ＝{x|x>－1且x ≠3}．A B 符合题意；当－1<m<3时，q 对应集合B ＝{x|－1<x<m 或x>3}，若p 是q 的充分不必要条件，那么m ≥1； 当m ≤－1时，不符合题意．综上，可得m 的取值范围是m ≥1，④为真．答案：①②④(B)1．(2012·山东高考调研卷)已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，B ＝{x|－1≤x ≤a}，且(A ∪B)⊆(A ∩B)，则实数a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 由(A ∪B)⊆(A ∩B)易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝1.2．(2012·辽宁高考)已知命题p ：∀x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B ．∀x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C ．∃x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D ．∀x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：选C 命题p 的否定为“∃x1，x2∈R ，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．3．(2011·陕西高考)设集合M ＝{y|y ＝|cos2x －sin2x|，x ∈R}，N ＝{x||x －1i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：选C 对于集合M ，函数y ＝|cos 2x|，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x2＋1＜2，即x2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．4．已知a ，b 是非零向量，则a 与b 不共线是|a ＋b|<|a|＋|b|的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A 若a 与b 不共线，则|a ＋b|<|a|＋|b|成立，反之，若|a ＋b|<|a|＋|b|，则a 与b 可能不共线也可能反向共线．5.设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z|x 3－x≥0}，B ＝{x ∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x|0≤x<3}D ．{x|0≤x ≤3}解析：选 B 图中阴影表示的是A ∩B ，化简集合：A ＝{x ∈Z|xx －3≤0}＝{x ∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z|－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}． 6．设A ：xx －1<0，B ：0<x<m ，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞) 解析：选Dxx －1<0⇔0<x<1.由已知得，(0,1) (0，m)． 所以m>1.7．(2012·安庆模拟)下列命题中错误的是( )A ．命题“若x2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22成立”的充要条件C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．若命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x2＋1≥0解析：选C 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假．8．已知命题p ：“∀x ∈[1,3]，x2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|a ≤－2或a ＝1} B ．{a|a ≥1}C ．{a|a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a|－2≤a ≤1}解析：选A 命题p 成立，则a ≤x2对x ∈[1,3]恒成立． 当x ∈[1,3]时，1≤x2≤9.所以a ≤1，命题q 成立，即方程x2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， 则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a ≥1或a ≤－2，所以当a ＝1或a ≤－2时，命题“p 且q ”是真命题．9．(2012·河南省三市调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X*Y ＝∁U(X ∩Y)．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X*Y)*Z ＝( ) A ．(X ∪Y)∩∁UZ B ．(X ∩Y)∪∁UZC ．(∁UX ∪∁UY)∩ZD ．(∁UX ∩∁ UY)∪Z 解析：选B 依题意得(X*Y)＝∁U(X ∩Y)， (X*Y)*Z ＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X ∩Y)∩Z] ＝{∁U[∁U(X ∩Y)]}∪(∁UZ)＝(X ∩Y)∪(∁UZ)．10．(2012·浙江高考)设a>0，b>0，e 是自然对数的底数( ) A ．若ea ＋2a ＝eb ＋3b ，则a>b B ．若ea ＋2a ＝eb ＋3b ，则a<b C ．若ea －2a ＝eb －3b ，则a>b D ．若ea －2a ＝eb －3b ，则a<b 解析：选A ∵a>0，b>0，∴ea ＋2a ＝eb ＋3b ＝eb ＋2b ＋b>eb ＋2b.对于函数y ＝ex ＋2x(x>0)，∵y ′＝ex ＋2>0，∴y ＝ex ＋2x 在(0，＋∞)上单调递增，因而a>b 成立．11．已知集合A ＝{3，m2}，B ＝{－1,3,2m －1}．若A ⊆B ，则实数m 的值为________． 解析：∵A ⊆B ，∴m2＝2m －1，或m2＝－1(舍)． 由m2＝2m －1得m ＝1.经检验m ＝1时符合题意． 答案：112．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x2＋y2≥4，所以充分性满足；反之不成立，例如x ＝y ＝74，满足x2＋y2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以“x ≥2且y ≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件． 答案：充分不必要13．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0，l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”，那么f(p)＝________.解析：由l1∥l2⇒a1b2－a2b1＝0，但a1b2－a2b1＝0⇒/ l1∥l2，故原命题、逆否命题正确，逆命题和否命题错误．所以f(p)＝2. 答案：214．设命题p ：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(|a ＋1|，|a －2|)(a ∈R)在直线x ＋y －2＝0的异侧；命题q ：若向量a ，b 满足a ·b>0，则a 与b 的夹角为锐角．则p 或q 为________命题，p 且q 为________命题．解析：命题q ：若向量a ，b 满足a ·b>0，则a 与b 的夹角为锐角，显然为假，因为当a ＝b 时，a ·b>0，但是a 与b 的夹角是0；由sin α＋cos α≤2得sin α＋cos α－2<0，由|a ＋1|＋|a －2|＝|a ＋1|＋|2－a|≥|a ＋1＋2－a|＝3>2，得|a ＋1|＋|a －2|－2>0，所以M 、N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故命题p 正确，所以p 或q 为真命题，p 且q 为假命题． 答案：真 假第二节函数、基本初等函数的图像与性质1．熟记指数与对数式的七个运算公式am ·an ＝am ＋n ；(am)n ＝amn ；loga(MN)＝logaM ＋logaN ；loga MN ＝logaM －logaN ；logaMn ＝nlogaM ；alogaN ＝N ；logaN ＝logbNlogba (a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，M>0，N>0)．2．把握两个特殊函数的图像性质3．识破函数三个基本性质(1)单调性是函数在其定义域上的局部性质，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，则f(x)在D 上是增函数(都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D 上是减函数)． (2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x ＋T)＝f(x)(T ≠0)，则f(x)是周期函数，T 是它的一个周期． 4．辨明抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x ＋a)＝f(x －a)，则f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f(x)是R 上的偶函数，且图像关于直线x ＝a(a ≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f(x)是R 上的奇函数，且图像关于直线x ＝a(a ≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图像的对称性①若函数y ＝f(x)满足f(a ＋x)＝f(a －x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图像关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f(x)满足f(a ＋x)＝－f(a －x)，即f(x)＝－f(2a －x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f(x)满足f(a ＋x)＝f(b －x)，则函数f(x)的图像关于直线x ＝a ＋b2对称．[考情分析] 此类问题多以选择和填空题出现，其考查形式有两种：一是以分段函数为载体，求函数值；二是求简单函数的定义域转化为解不等式的问题．预测2013年的高考仍会以考查基本概念为主，难度不会太大．[例1] (2012·江苏高考)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．[思路点拨] 由函数f(x)是周期函数可推出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12及f(－1)＝f(1)，从而得到关于a ，b 的方程，则可求解．[解析] 因为f(x)的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f(－1)＝f(1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a.②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10. [答案] －10 [类题通法]1．求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 2．求函数值时应注意形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地，对具有周期性的函数求值要用好其周期性．[冲关集训]1．(2012·山东高考)函数f(x)＝1ln x ＋1＋4－x2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1 ≠0，4－x2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f 2xln x的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选D 因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x ≤2且x>0，x ≠1，故x ∈(0,1)． 3．(2012·江南十校联考)设函数y ＝f(x)在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数fM(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤M ，M ，f x >M ，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(fM(0))的值为( ) A ．2 B ．1C. 2 D ．－ 2解析：选B 由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，fM(x)＝2－x2；当－1<x<1时，fM(x)＝1，所以fM(0)＝1，fM(fM(0))＝fM(1)＝2－12＝1.4．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：由题意知：a ≠0.f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)＝bx2＋(2a ＋ab)x ＋2a2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0⇒b ＝－2.所以f(x)＝－2x2＋2a2，且值域为(－∞，2]．所以2a2＝2.所以f(x)＝－2x2＋2. 答案：－2x2＋2[考情分析] 高考对此类问题的考查常有两种类型，一是以抽象函数给出；二是以几种初等函数为基础结合函数的性质综合考查．考查形式有：知图选式，知式选图，知图选图，图像变换等．[例2] (2012·河北唐山模拟)形如y ＝b|x|－a (a>0，b>0)的函数，因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x|图像的交点个数为n ，则n ＝________.[思路点拨] 在同一坐标系中作出两函数的图像，即可判定交点个数． [解析] 由题易知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1 x ≥0且x ≠1 ，－1x ＋1 x<0且x ≠－1 ，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg |x|的图像如图所示，易知它们有4个交点．[答案] 4[类题通法]作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图像变换法．图像变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． (2)识图：从图像与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图像的对应关系．(3)用图：图像形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图像数形结合研究． [冲关集训]5．(2012·四川高考)函数y ＝ax －1a(a>0，且a ≠1)的图像可能是( )解析：选D 法一：当0<a<1时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且其图像可视为是由函数y ＝ax的图像向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y ＝ax －1a(a>0，且a ≠1)必过点(－1,0)，所以选D.6．函数y ＝xln(－x)与y ＝xln x 的图像关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称解析：选D 若点(m ，n)在函数y ＝xln x 的图像上，则n ＝mln m ，所以－n ＝－mln[－(－m)]，可知点(－m ，－n)在函数y ＝xln(－x)的图像上，而点(m ，n)与点(－m ，－n)关于原点对称，所以函数y ＝xln x 与y ＝xln(－x)的图像关于原点对称．7.(2012·江南十校联考)定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f(x)>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f(x)与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f(x)的图像与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图像可知，不等式f(x)>x 的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎪⎫0，23[考情分析] 函数的奇偶性、周期性等问题常以选择题或填空题的形式出现，而函数的单调性和最值常出现在解答题中．其中函数的单调性在比较函数值的大小、求解函数的最值与值域、求解不等式方面的应用是高考的重点．预测分段函数与函数性质的结合仍是2013年高考的热点．[例3] (2012·山东高考)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012[思路点拨] 由已知可判断函数为周期函数，可利用周期性求值． [解析] ∵f(x ＋6)＝f(x)，∴T ＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2 0106＝335.而f(2 011)＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＝3， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝335＋3＝338. [答案] B[类题通法]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题若能画出图像一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法． 2．函数的奇偶性(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称．(2)确定函数的奇偶性，务必先判定函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． [冲关集训]8．(2012·天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝ex －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x3＋1，x ∈R解析：选B 由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log2|x|＝log2x 为增函数．9．(2012·山西省四校联考)定义在R 上的函数y ＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x)>0，若x1<x2且x1＋x2>3，则有( )A ．f(x1)>f(x2)B ．f(x1)<f(x2)C ．f(x1)＝f(x2)D ．不确定解析：选B 依题意得f(x1)＝f(3－x1)，当x>32时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．若x1≥32，则x2>x1≥32，f(x2)>f(x1)；若x1<32，则由x1<x2及x1＋x2>3得x2>3－x1>32，所以f(x2)>f(3。
2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件1.5导数及其应用
2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是曲线 y＝f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是 y－f(x0)＝ f′(x0)(x－x0)；导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．
3．几种常见函数的导数 (1)C′＝0(C 为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)； (3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；
Байду номын сангаас
变式迁移
(2012·辽宁)已知 P，Q 为抛物线 x2＝2y 上两点，点 P， Q 的横坐标分别为 4，－2，过 P，Q 分别作抛物线的切线， 两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为________．
解析：由已知可设 P(4，y1)，Q(－2，y2)，
图3
∵点 P，Q 在抛物线 x2＝2y 上，
3．(2012·重庆)设函数 f(x)在 R 上可导， 其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的 是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
图2
C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)
(5)(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae； (6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna.
4．导数的运算法则 (1)(u±v)′＝u′±v′.(2)(uv)′＝u′v＋uv′. (3)(vu)′＝u′v－v2uv′(v≠0)．
5．复合函数的求导法则 若函数 y＝f[g(x)]，则令 u＝g(x)，有 y′x＝y′u·u′x.
江苏省2013届高考数学复习专题4 导 数
江苏省2013届高考数学复习专题4 导 数(Ⅱ)解答题中出现导数的几率非常大，导数的考查思路比较清晰，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一起综合考查，特别是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，所以在平时的学习当中，注重函数模型化的识别.1．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值是________．解析：由题意得：y ′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，故切点(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－12．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是________．解析：令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x2>0，(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，x >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则f (x )的图象最有可能的是________．(填图象序号)解析：利用导函数的图象的零点，可知函数f (x )在(－∞，0)及(2，＋∞)上单调递增，而在(0,2)上单调递减．从而只有图象③符合要求．答案：③4．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，则实数a 的最大值为________． 解析：法一：f ′(x )＝1－a2x ，由已知，得1－a2x ≥0，即a ≤2x 在区间[1,4]上恒成立． ∴a ≤(2x )min ＝2，∴a max ＝2. 法二：令t ＝x ，则把函数f (x )＝x －a x 看成是函数y ＝t 2－at ，t ∈[1,2]，与函数t ＝x ，x ∈[1,4]的复合函数，∵t ＝x 在区间[1,4]上单调递增，∴要使函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，只要y ＝t 2－at 在区间[1,2]上单调递增即可． 当且仅当a2≤1，即a ≤2，∴a max ＝2.答案：25．(2012·南通模拟)各项均为正数的等比数列{}a n 满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：各项为正的等比数列{}a n 满足：a 1a 7＝4，a 6＝8，推算出a 1＝14，q ＝2，所以a n＝2n －3.又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋10a 10x 9，将x ＝12代入得na n x n －1＝14n ，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝14(1＋2＋…＋10)．答案：554[典例1](2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2.于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有惟一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有惟一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有惟一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|<2，i＝3,4,5.现考虑函数y ＝h (x )的零点．(ⅰ)当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．(ⅱ)当|c |<2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |<2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点； 当|c |<2时，函数y ＝h (x )有9个零点．本题考查函数的概念、性质以及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合、分类讨论思想分析与解决问题的能力．第一问利用极值点列方程组，求出a 和b 的值；第二问先求极值点．第三问要注意整体换元思想，要注意变形的等价性和函数的零点的认识，极值和极值点的理解．[演练1](2012·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＋12a ln x －2ax . (1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围． 解：(1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x >0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x ＝0，∴x 1＝－2－54，x 2＝－2＋54.∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞上单调递增．∴f (x )在x ＝－2＋54时取极小值． (2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x >0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ， 设g (x )＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)， (ⅰ)当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0， ∴f (x )单调递增，满足题意． (ⅱ)当Δ>0时，即a <0或a >2时，①若x 1<0<x 2，则34a 2＋12a <0，即－23<a <0时，f (x )在(0，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x －2a ，f ″(x )＝1－34a 2＋12a x 2≥0， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； ②若x 1<x 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ≥0，a <0，即a ≤－23时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；③若0<x 1<x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a >0，a >0，即a >2时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，不合题意． 综上得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0,2]． [典例2](2012·徐州最后一卷)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e ，t 无解；②0<t ≤1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ③1e <t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ； 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t ≤1e，t ln t ，t >1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减，x ∈[1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．本题第一问考查单调和分类讨论的思想；第二问是通过转化与化归思想解决h (x )的最小值问题；第三问有一定的难度，如果直接化成ln x －1e x ＋2e x >0来解决，对p (x )＝ln x －1e x ＋2e x 求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成x ln x >x e x －2e ，分别求f (x )的最小值和m (x )的最大值来研究，则不难获得证明．[演练2]设a ≥0，f (x )＝x －1－ln 2 x ＋2a ln x (x >0)．(1)令F (x )＝xf ′(x )，讨论F (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值； (2)求证：当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1.解：(1)根据求导法则有f ′(x )＝1－2ln x x ＋2ax ，x >0，故F (x )＝xf ′(x )＝x －2ln x ＋2a ，x >0，于是F ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，x >0.列表如下：故知F (x )在(0,2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数，所以在x ＝2处取得极小值F (2)＝2－2ln 2＋2a .(2)证明：由a ≥0知，F (x )的极小值 F (2)＝2－2ln 2＋2a >0.于是由上表知，对一切x ∈(0，＋∞)，恒有F (x )＝xf ′(x )>0.从而当x >0时，恒有f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)内单调递增． 所以当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即x －1－ln 2 x ＋2a ln x >0.故当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1. [典例3](2012·泰州中学期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解] (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． 因此，x ＝1是g (x )的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0.因此h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0，成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e.所以a 的取值范围为(0，e)．(1)先求出原函数f (x )，再求得g (x )，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对于恒成立问题可转化为求函数的最值问题． [演练3]若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0,1]都成立，则实数a 取值范围是________． 解析：显然x ＝1时，有|a |≥1，a ≤－1或a ≥1.令g (x )＝ax 3－ln x ，g ′(x )＝3ax 2－1x ＝3ax 3－1x.①当a ≤－1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x <0，g (x )在(0,1]上递减，g (x )min ＝g (1)＝a ≤－1，此时g (x )∈[a ，＋∞)，|g (x )|的最小值为0，不符合题意． ②当a ≥1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x ＝0⇒x ＝313a .|g (x )|的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫313a ＝13＋13ln (3a )≥1，解得a ≥e 23. 答案：⎣⎡⎭⎫e23，＋∞ [专题技法归纳] (1)利用导数研究函数极值问题需注意解题步骤． (2)根据函数的极值求参数值一定要注意进行检验．(3)利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则实数a 的取值为________．解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝1.答案：－2564或12．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4.可得曲线C 在点P 处切线的斜率范围为[0,1]，又y ′＝2x ＋2，设点P 的横坐标为x 0，则0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 3．(2012·启东期末)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1，结合图象知4≤a －1≤6，故a ∈[5,7]．答案：[5,7]4．(2012·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x .因为函数f ′(x )存在单调递减区间，所以f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，从而ax 2＋2x －1>0有正解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1>0总有正解； ②当a <0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向下的抛物线，要使ax 2＋2x －1>0总有正解，则Δ＝4＋4a >0，解得－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，等价于f ′(x )＝0在区间(－1,1)上有实数解，且无重根．又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.从而⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23， 或⎩⎨⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为________．解析：考查线性规划思想，有导函数f ′(x )≤0恒成立构造线性区域，得到b ＋c 的最大值为－152.答案：－1527．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的解析式为________．解析：令x ＝0列一个方程，然后求导，再令x ＝1，列一个方程，从而求出f ′(1)＝e ，f (0)＝1，f (x )＝e x －x ＋12x 2.答案：f (x )＝e x －x ＋12x 28．(2012·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，x ∈[0，π]，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．解析：因为f (x )≤1＋sin x ⇔ax ≤1＋sin x . 当x ＝0时，0≤1＋sin 0＝1恒成立． 当0<x ≤π时，ax ≤1＋sin x ⇔a ≤1＋sin x x ⇔a ≤⎣⎡⎦⎤1＋sin x x min .令g (x )＝1＋sin xx (0<x ≤π)，则g ′(x )＝x cos x －1－sin xx 2，令c (x )＝x cos x －1－sin x ， c ′(x )＝－x sin x ≤0，x ∈(0，π]．故c (x )在(0，π]上单调递减，c (x )<c (0)＝－1<0. 综上可知x ∈(0，π]时，g ′(x )<0， 故g (x )在区间(0，π]上单调递减． 所以[g (x )]min ＝g (π)＝1π.故a ≤1π.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，1π 9．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0， 知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6. 又g (x )＝ax －2a 恒过(2,0)．①若a >6时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (2)<0⇒a >7， ②若a <－2时，a 2<－1， 又f (1)>4，显然不成立．答案：(7，＋∞)10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.答案：411．(2012·南通学科基地)已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x . ①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意； ③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1. 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0. ①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值；②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 12．(2012·苏中五市联考)如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2 km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．解：(1)过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST ＝12SH ·RT .由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离；RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P (H )时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST ＝12×4×2＝4(km 2)．(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P (如上右图)，再设∠BP A ＝θ，则有S 四边形ABCD ＝12×2×2×sin θ×2＋12×2×2×sin(π－2θ)＝4(sin θ＋sin θcos θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. 令y ＝sin θ＋sin θcos θ，则y ′＝cos θ＋cos θcos θ＋sin θ(－sin θ)＝2cos 2 θ＋cos θ－1.令y ′＝0，则cos θ＝12，θ＝π3. 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，y ′>0，θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，y ′<0， 函数y ＝sin θ＋sin θcos θ在θ＝π3处取到极大值也是最大值，故θ＝π3时，场地面积取得最大值为3 3km 2.。
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函数的导数在高考中的命题形式的汇总 贵州省余庆中学 李维忠（摘要：函数的导数在解决实际问题中有着极其重要的作用，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用，是微积分的核心概念，是高考中对函数问题的解决的重要方法和手段，在高考中份量比重较重的考点，通过笔者在教学中总结，命题形式汇总。
）函数的导数在解决实际问题中有着极其重要的作用，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用，是微积分的核心概念，是高考中对函数问题的解决的重要方法和手段，在高考中份量比重较重的考点，通过笔者在教学中总结，命题形式有以下几种形式：命题形式1：导数的定义 由函数的定义可知：（1）'00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆（是一个常数）推广：0'00000()()()()()lim limx x x f x n x f x f x f x f x n x x x ∆→→+∆--==∆- (2) '00()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆（是一个函数）例：已知'(1)3f =，则0(1)(1)lim_________3x f x f x x→--+= 分析：此题以函数()f x 在0x x =处可导的定义入手，进行命题，要求学生要充分掌握和理解定义，并加以利用。
解：00(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 33x x f x f x f x f f f x x x→→--+--+-+= =001(1)(1)(1)(1)lim lim 3x x f x f f x f x x →→--+-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =001(1)(1)(1)(1)lim lim 3x x f x f f x f x x →→--+-⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦ =''1(1)(1)3f f ⎡⎤-+⎣⎦ =2-命题形式2：正确地进行函数求导，注重法则的应用。
正确地进行函数求导是关键，是基础，常常在考题中充分利用函数的求导公式和法则进行命题。
例：设(),()f x g x 是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且''()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时有（ ）.()()()()A f x g x f b g b > .()()()B f x g a f a g x > .()()()()C f x g b f b g x > .()()()D f x g X f a g a> 解析：联想到'''2()()u x u v uv v x v ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（子导母不导减子不导母导）就很容易得到，构造一个新函数()()()f x h xg x =，然后求导得'()0h x <说明()h x 在x R ∈上时减函数，根据a x b <<得()()()()()()f a f x f bg a g x g b >>，从而选Ｃ 类似：设(),()f x g x 是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时''()()()()0f x g x f x g x +>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是 （ ）()().3,03,A -+∞ ()().3,00,3B - ()().,33,C -∞-+∞ ()().,30,3D -∞- 命题形式3：利用函数导数的几何意义、物理意义解决实际问题。
（1） 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()00()P x f x ，处的切线的斜率k,也就是说，曲线()y f x =在点()00()P x f x ，处的切线的斜率是'0()f x ，切线方程为'000()()()y f x f x x x ==- （2） ''()(),()v t s t v t a ==（加速度）（3） 利用导数解决生活中的优化问题。
生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等实际问题，往往可以归结为最值问题，注意：常常遇到所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也就是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使优化问题得以解决。
例1：（11年辽宁）设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线=()y f x 过(1,0)P 且在点P处的切线斜率为2 （1） 求,a b 的值 （2） 证明：()22f x x ≤-例2：用铁皮制作一个体积为v 的正三棱柱形包装盒，问底面边长为何值时，使用的铁皮面料最省？解：设正三棱柱的底面边长为x ,高为h ，由题意得：2021s i n 6024v x h x h h =⋅=⇒=又2021()2sin 6032s x x hx x =⋅+=3'2244()-v x vs x x x x -∴==令'()0s x =，得x =由分析得x =()s x 的一个极值点所以当x =()s x 取得最小值命题形式4：函数导数与其它数学考点的交汇；函数的导数与不等式，函数的单调性、极值、存在性、三角函数、圆锥曲线等知识的交汇，是高考中常考题型，也是高考命题的一个热点 （Ⅰ）导数与数列的交汇例：设曲线1*()n y x n N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则12399..._________a a a a ++++=解： 过点()1,1的切线斜率为()'11()|1|1n x x k f x n x n ====+=+ ∴ 切线方程为：1(1)(1)y n x -=+-令0y =得：1n x n =+，即与x 轴的交点的横坐标为：1n n x n =+ 又 lg lg 1n n na x n ==+∴12399123991...lg lg lg ...lglg 2234100100a a a a ++++=++++==- （Ⅱ）导数与不等式的交汇要证不等式()()f x g x >，则构造函数()()()x f x g x ψ=-，只需证()0x ψ>，由此转化成求()x ψ的最小值问题，借助于导数解决。
例：求证：23112ln (1)1(1)23x x x x +--≥+- 证明：设23112()ln (1)(1)1(0)23f x x x x x x =+--+-->23221121'()(1)2(1)(1)x f x x x x x x x+∴=---+-=-⋅令'()0f x =解得1211,2x x ==-（舍去）当'01()0,x f x <<<时，当'1()0,x f x >>时， ()f x ∴在(0,1)在递减，在(1,)+∞上递增 故当1x =时，()f x 取最小值min (1)0f =()(1)0f x f ∴≥=，即()0f x ≥ ∴ 23112ln (1)1(1)23x x x x +--≥+-成立 （Ⅲ）导数与恒成立问题的交汇一些求题中参数取值范围的问题，经常采用分离常数法，常转化成为恒成立，利用[]max ()()f x a f x a <⇔< []m i n()()f x a f x a >⇔> 例：已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值，（1） 求,a b 的值及函数()f x 的单调区间（2） 若对[]1,2x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围解：（略解）由条件易得：1,22a b =-=-由当[]1,2x ∈-时，2()f x c <成立，转化为：322122x x x c c --<-恒成立令321()2,2g x x x x =--[]1,2x ∈-'2()32(32)(-1g x x x x x ∴=--=+）由'()0g x =得：122,13x x =-=当213x -≤<-或12x <≤时，'()0,g x >当213x -<<时，'()0,g x <()g x ∴在(]21,,1,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数∴当2x =时，max ()2g x =22c c ∴->即2-20c c ∴->解得1c <-或2c >故2()f x c <在[]1,2x ∈-上恒成立，c 的取值范围是(,1)(2,)c ∈-∞-+∞ （Ⅳ）与圆锥曲线的交汇导数与圆锥曲线的交汇体现在曲线的切线问题。
例：已知抛物线24x y =的焦点为F,A,B 是抛物线上的两动点,且(0)AF FB λλ→→=>，过A,B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M( 1)证明: FM AB →→⋅为定值（2）设ABC ∆的面积为S,写出()s f λ=的表达式。
解：（1）由2'11,42y x y x =∴= 又(0)AF FB λλ→→=>，即三点A 、B 、F 共线且()0,1Fi ）当直线l 的斜率存在且k=0时，(2,1),(2,1)A B - 切线AM 的方程为：1(2)1y x y x -=-+⇒=-- 切线BM 的方程为：121y x y x -=-⇒=-∴交点为(0,1)M -∴(0,2)(4,0)0FM AB →→⋅=-⋅=为定值ii)当直线l 的斜率存在且不为0时，1y kx =+2244401x yx kx y kx ⎧=⇒--=⎨=+⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y 由韦达定理得：121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩∴切线AM 的方程为：1111()2y y x x x -=- 切线BM 的方程为：2221()2y y x x x -=-联立方程得 ：121222(2,1)114x x x k M k y x x +⎧==⎪⎪-⎨⎪==-⎪⎩即 21212121(2,2)(,)2(()2()FM AB k x x y y k x x y y →→∴⋅=-⋅--=---=2221212121112()2()()2()42k x x x x x x k x x ⎡⎤--⨯-=--+⎢⎥⎣⎦=211()2402x x k k ⎡⎤-⋅-⨯=⎢⎥⎣⎦（定值）综合i ）ii)知：0FM AB →→⋅=为定值（Ⅴ）与三角函数的交汇（2008年全国Ⅱ）设函数sin ()2cos xf x x=+（1）求函数()f x 的单调区间，（2）略解：(1) sin (),2cos xf x x R x=∈+22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+∴==++∴当12cos 10cos -2x x +≥≥即时，也就是'222,2,,()033x k k k Z f x ππππ⎡⎤∈-+∈≥⎢⎥⎣⎦时 当12cos 10cos -2x x +<<即时，也就是'242,2,,()033x k k k Z f x ππππ⎡⎤∈++∈<⎢⎥⎣⎦时 ∴函数()f x 的递增区间是222,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 递减区间是242,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅵ）导数与方程的根的交汇经常在考题中出现告诉某方程()0f x =有唯一根，有几根的题，去求某一参数的范围的问题。