2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练

一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为
．
【答案】 P 5
6
【解析】 1只白球设为 a ，1只红球设为 b ， 2 只黄球设为 c ， d ，
则摸球的所有情况为 a,b ， a, c ， a,d ， b,c ， b,d ， c,d ，共 6 件， 满足题意的事件为 a,b ， a,c ， a,d ， b, c ， b,d ，共 5 件，故概率为 P 5 ．
【解析】 不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，
随机选取两数有 45 （种）情况，其中两数相加和为 30 的有 7 和 23，11 和 19，
31
P
13 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得
45 15 .故选 C .
3.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1只白球， 1只红球， 2 只黄球，从中
5
【易错点】 没有读懂题意 ,计算错误 .不会用函数思想处理问题 【思维点拨】 根据题意分情况写出函数解析式； 2 牵涉到策略问题 ,一般可以转化 为比较两个指标的大小 . 题型四 回归与分析 例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线 图
年
生 1.80 活
2.89
0.99 .
i1
i1
0.55 2 2.646
因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99 ，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以 用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 .
（1）变量 y 与 t 的相关系数 r
7
(ti t )( yi y)
i1
7
7
(ti t )2 ( yi y)2 7
6
题型二 几何概型
1.某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，学 .小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车
对称 .在正方形随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 （ ）.
A. 1
4
B. π
8
B
C
C. 1
2
D. π
4
【答案】 B
【解析】不妨设正方形边长为 a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积
相等，即各占圆面积的一半 . 由几何概型概率的计算公式得，所求概率为
2
1
a
2
2
a2
.故选 B.
8
例 2 在区间 [0,5] 上随机地选择一个数 p ，则方程 x2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根 的概率为 ________.
0.8 0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 金额 /万元
【答案】 a 3
人数为 0.6 10000 6000
【解析】 由频率分布直方图及频率和等于 1，可得
0.2 0.1 0.8 0.1 1.5 0.1 2 0.1 2.5 0.1 a 0.1 1 ，解之得 a 3 .
于是消费金额在区间 0.5，0.9 频率为 0.2 0.1 0.8 0.1 2 0.1 3 0.1 0.6 ，
垃 圾
1.60
无
害 1.40
化
处 1.20 理
量 y 1.00
0.80 1
2
3
4
5
6
7
年份代码 t
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说 明
（2）建立 y 关于 t 的回归方程 （系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害 化处理量 .
7
7
7
【易错点】 没有读懂题意 ,计算错误 . 【思维点拨】 将题目的已知条件分析透彻 ,利用好题目中给的公式与数据 .
题型五 独立性检验 例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验，并用 回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：
甲乙丙丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
所以消费金额在区间 0.5，0.9 的购物者的人数为 0.6 10000 6000.
例 4 某城市 100户居民的月平均用电量（单位：度） ，以 160,180 ， 180,200 ， 200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图 所示．
频率 组距 0.0125
0.011
0.0095 x
0.005
0.0025 0.002
0
160 180 200 220 240 260 280 300 月平均用电量 /度
（1）求直方图中 x 的值； （ 2）求月平均用电量的众数和中位数； （ 3）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取 11户居民，则从月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取 多少户？
【答案】 2
3
【解析】 方程 x2 + 2 px + 3p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是
4 p2 4(3 p 2) x1 x2 2 p 0 x1x2 3 p 2 0
0
即
2 p 1, 或 p 2 ，又因为 p [0,5] ，所以使方程 x2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的 p
36 6
2.我国数学家景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜 想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 ”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）.
A． 1
12
B． 1
14
C． 1
15
D． 1
18
【答案】 C
所以月平均用电量的中位数在 220,240 .
设中位数为 a ，由 0.002 0.0095 0.011 20 0.0125 a 220 0.5 ，
得 a 224 ，所以月平均用电量的中位数是 224 . （ 3）月平均用电量为 220,240 的用户有 0.0125 20 100 25 （户）；
m 115 106 124 103
则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相关性？ ( )
A ．甲 D．丁
B．乙
C．丙
【答案】 D
【解析】 D 因为 r>0 且丁最接近 1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数 r 的绝对值越趋向于 1,相关性越强 .残差平方和 m 越小相 关性越强
【答案】见解析 【解析】（1）由 0.002 0.0095 0.011 0.0125 x 0.005 0.0025 20 1 ，
得 x 0.0075 ．
（ 2）由图可知，月平均用电量的众数是 220 240 230 .
2
因为 0.002 0.0095 0.011 20 0.45 0.5，
又 0.002 0.0095 0.011 0.0125 20 0.7 0.5 ，
i1
i1
7
7
7
7 ti yi
ti
yi
i1
i1
i1
7
(ti t ) 2
i1
7
( yi
i1
，
y)2
7
7
7
7
7
又 ti 28 ， yi 9.32 ， ti yi 40.17 ， (ti t )2 2 7 5.292 ， ( yi y )2 0.55 ，
i1
i1
i1
i1
i1
所以 r 7 40.17 28 9.32 0.99 ，故可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系 .
1000
例 2 已知样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的均值 x 5 ，则样本数据 2x1 1 ，2x2 1 ， ，
Hale Waihona Puke 2xn 1的均值为．
【答案】 11 【解析】 因为样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的均值 x 5 ，又样本数据 2x1 1 ， 2x2 1 ，
， 2xn 1 的和为 2 x1 x2 L xn n ，所以样本数据的均值为 2x 1 ＝ 11.
参考数据： yi 9.32 ， ti yi 40.17 ， ( yi y) 2 0.55 ， 7 2.646 .
i1
i1
i1
参考公式：相关系数 r
n
(ti t )( yi y )
i1 n
(ti
n
t )2 (y i
， y) 2
i1
i1
回归方程 $y a$ b$t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
例 1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200 ， 400 ，
300 ，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取
60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
________件．
【答案】 18 【解析】 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取 300 60 18 (件)．
月平均用电量为 240,260 的用户有 0.0075 20 100 15 （户）； 月平均用电量为 260,280 的用户有 0.005 20 100 10 （户）；
月平均用电量为 280,300 的用户有 0.0025 20 100 5 （户） .
抽取比例为
11
1，
25 15 10 5 5
所以从月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取 25 1 5 （户）．
3
的取值围为 ( 2 ,1]U[2,5] ，故所求的概率