2019年吉林省长春市中考数学模拟试卷(三)含答案解析
2019年吉林省长春市中考数学一模试卷(解析版)
2019年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如图，该几何体的俯视图是（）A.B.C.D.2.下列事件是随机事件的是（）A. 人长生不老B. 明天是2月30日C. 一个星期有七天D. 2020年奥运会中国队将获得45枚金牌3.已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A. B. C. D.4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，则cos B的值为（）A. B. C. D.5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=50°，则∠BCD的度数为（）A.B.C.D.6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（）A. FC：：3B. CE：：3C. CE：：4D. AE：：2．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.点（-2，5）关于原点对称的点的坐标是______．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cos A=，那么AC=______．9.抛物线y=5（x-4）2+3的顶点坐标是______．10.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．11.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知=，则的值为______．12.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为______．13.如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．14.已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为______．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.计算：sin30°+3tan60°-cos245°．16.如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cos A的值．18.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点C（-3，12）是抛物线上的另一点，求点C关于对称轴为对称的对称点D的坐标．19.A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF的长．21.重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．（1）求斜坡AB的坡度i．（2）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．23.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．24.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）求三角形DOE的面积；（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．25.已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．26.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G．（1）求C，D坐标；（2）已知抛物线顶点y=x-2上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值．（3）将（2）中抛物线沿直线y=x-2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从几何体的上面看可得两个同心圆，故选：D．找到从几何体的上面看所得到的图形即可．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2.【答案】D【解析】解：A、人长生不老是不可能事件；B、明天是2月30日是不可能事件；C、一个星期有七天是必然事件；D、2020年奥运会中国队将获得45枚金牌是随机事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C【解析】解：∵函数y=的图象分别位于第二、四象限，∴3k+1＜0，解得k＜-故选：C．先根据函数y=的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由于sinA==，∴cosB==故选：C．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查互余的三角函数关系，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=50°，∴∠DAB=90°-50°=40°，∴∠BCD=∠DAB=40°．故选：C．先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴△ECF∽△ADE，∵AD=3CF，A、FC：FB=1：4，错误；B、CE：CD=1：4，错误；C、CE：AB=1：4，正确；D、AE：AF=3：4．错误；故选：C．由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】（2，-5）【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（-2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，-5）．故答案为：（2，-5）．根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．8.【答案】2【解析】解：如图所示．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，∴cosA==，∴AC=AB=×6=2，故答案为2．利用锐角三角函数定义表示出cosA，把AB的长代入求出AC的长即可．此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．9.【答案】（4，3）【解析】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，∴顶点坐标为（4，3）．故答案为（4，3）．根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．10.【答案】k≤1且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，∴△=b2-4ac≥0，即：4-4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．11.【答案】【解析】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，∵=，∴=；故答案为：．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出=，再将已知数据代入求出即可．此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题的关键．12.【答案】y=-【解析】解：连接OA，如图所示．设反比例函数的解析式为y=（k≠0）．∵AB⊥y轴，点P在x轴上，∴△ABO和△ABP同底等高，∴S△ABO=S△ABP =|k|=8，解得：k=±16．∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=-16，∴反比例函数的解析式为y=-．故答案为：y=-．连接OA，设反比例函数的解析式为y=（k≠0），根据△ABO和△ABP同底等高，利用反比例函数系数k的几何意义结合△ABP的面积为4即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定k值，此题得解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义找出|k|=4是解题的关键．13.【答案】π【解析】解：连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，∵OA=AB=3，∴的长==π；故答案为：π．连接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案．本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．14.【答案】（2，-4）【解析】解：∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，∴-=2，∴a=-，∴抛物线的表达式为：y=-x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E．如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=，tan∠EOP=，∵OA⊥OP，∴∠OAE=∠EOP，∴=，∵AE=1，OE=2，∴=，解得PE=4，∴P（2，-4），故答案为：（2，-4）．根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．15.【答案】解：原式=+3×-（）2=+3-=3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16.【答案】解：∵=，∠AOB=∠EOD（对顶角相等），∴△AOB∽△EOD，∴==，∴=，解得AB=111.6米．所以，可以求出A、B之间的距离为111.6米．【解析】先判定出△AOB和△EOD相似，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．17.【答案】解：在Rt△DBC中，∵∠C=90°，BC=6，∴tan∠DBC==．∴CD=8．∴AC=AD+CD=12在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=，∴cos A=．【解析】先解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AC=AD+DC即可求得AC，再由勾股定理得到AB，最后再求cosA的值即可．本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x-1）2-4，根据题意得：a（3-1）2-4=0解得：a=1．则函数的解析式是：y=（x-1）2-4．（2）设点C关于对称轴为对称的对称点D的横坐标是m，则=1解得：m=5则点D的坐标是（5，12）．【解析】（1）已知顶点，和经过的一个点，利用待定系数法即可求解；（2）关于对称轴为对称的对称点纵坐标相同，横坐标的平均数是对称轴的值，据此即可求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式，理解关于对称轴对称的两点坐标之间的关系是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．【解析】（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20.【答案】（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠EFB=90°，∴∠DEF+∠AEB=90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵AD=12，AE=8，∴DE=4．∵△ABE∽△DEF，∴=，∴DF=，∴CF=CD-DF=6-=．【解析】（1）由同角的余角相等可得出∠DEF=∠ABE，结合∠A=∠D=90°，即可证出△ABE∽△DEF；（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF=CD-DF即可求出CF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF=∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．21.【答案】解：（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=DF=5米，∵AB=13米，∴AG==12米，∴AB的坡度i==1：2.4；（2）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，∵BE=4米，∴BF-EF═-=4，解得：CF=16．∴DC=CF+DF=16+5=21米．【解析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（2）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，得到方程BF-EF= -=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．22.【答案】解：（1）△A1BC1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求，C2的坐标为（-6，4）．【解析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；（2）作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；本题考查作图-位似变换、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的性质，所以中考常考题型．23.【答案】（1）证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE，∵BF=6，∴BH=3，在Rt△BHO中，OB=5，∴OH==4，∴CE=4．【解析】（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．24.【答案】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，∴点E的坐标为（2，1），∵代入反比例函数解析式得=1，解得k=2，∴反比例函数解析式为y=，∵点D在边BC上，∴点D的纵坐标为2，∴y=2时，=2，解得x=1，∴点D的坐标为（1，2）；（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），∴BD=3，OC=2．∵点E是OB的中点，∴S△DOE=S△OBD=××3×2=；（3）如图，设直线与x轴的交点为F，矩形OABC的面积=4×2=8，∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC的面积为×8=3，或×8=5，∵点D的坐标为（1，2），∴若（1+OF）×2=3，解得OF=2，此时点F的坐标为（2，0），若（1+OF）×2=5，解得OF=4，此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，当D（1，2），F（2，0）时，，解得，此时，直线解析式为y=-2x+4，当D（1，2），F（4，0）时，，解得．此时，直线解析式为y=-x+，综上所述，直线的解析式为y=-2x+4或y=-x+．【解析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；（2）根据点D的坐标求出BD的长，再由点E是OB的中点可知S△DOE =S△OBD，由此可得出结论；（3）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF 的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．25.【答案】解：（1）连结AQ、MD，∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，∴3t=3-3t，解得：t=，∴t=s时，四边形AQDM是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AMP∽△DQP，∴=，∴=，∴AM=t，即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）∵MN⊥BC，∴∠MNB=90°，∵∠B=45°，∴∠BMN=45°=∠B，∴BN=MN，∵BM=AB+AM=1+t，在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，∴y=×AP×MN=×3t×（1+t）=t2+t（0＜t＜1）．假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，∴t2+t=×3×，整理得：t2+t-1=0，解得：t1=，t2=（舍去），∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．【解析】（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出=，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=（1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出t2+t=×3×，最后进行整理，即可求出t的值．本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．26.【答案】解：（1）令y=2，2=x-2，解得x=4，则OA=4-3=1，∴C（4，2），D（1，2）；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为=，令x=，则y=×-2=，∴顶点坐标为（，），∴设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入得，a=，∴解析式为y=（x-）2+，即，∴M（0，）又∵C（4，2），∴直线CM的解析式为y=过点Q作QH⊥x轴交直线CM于点H设Q（m，m2-m+），则H（m，-m+）∴S△MCQ==所以当m=2时，S△MCQ最大=，此时Q（2，）（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0）∴可设解析式为y=（x-m）2+m-2，①若FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得m2+m-2=2m-2，得m=0（舍去），m=-，此时所求的解析式为：y=（x-+）2+3-；②若GE=EF时，FG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得：m2+m-2=2m-2，解得m=0（舍去），m=，此时所求的解析式为：y=（x-）2-；③若FG=FE时，∵平移后抛物线的顶点在y轴右侧，∴∠GEF为钝角，∴此种情况不存在．【解析】（1）先令y=2求出x的值，故可得出OA的长，根据正方形的性质即可得出C、D的坐标；（2）由二次函数对称性得出其顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入求出a的值，故可得出二次函数的解析式，得出点M的坐标．利用待定系数法求出直线CM的解析式，再根据三角形的面积即可得出结论；（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m ，m-2）（m＞0），故可设解析式为y=（x-m）2+m-2，再分FG=EG，GE=EF及FG=FE三种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合题，涉及到轴对称的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．第11页，共11页。
2019年吉林省中考数学试卷含答案
吉林省 2019 年初中毕业生学业水平考试
数学答案解析
一、单项选择题 1．【答案】D 【解析】蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有 1 有可能，选 D.
【考点】数轴的定义 2．【答案】D 【解析】从上面往下看，能看到一排四个正方形，D 符合.
【考点】三视图 3．【答案】B
________(结果保留 ).
三、解答题(每小题 5 分,共 20 分)
15.先化简,再求值： a 12 a a 2 ,其中 a 2 .
17.已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x 2 时, y 6 . (1)求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x 4 时,求 y 的值.
BAC 70 , CED 50 ,则 B
°.
数学试卷 第 2页（共 16页）
12.如图,在四边形 ABCD 中, AB 10 , BD AD .若将 △BCD 沿 BD 折叠,点 C 与边 AB
的中点 E 恰好重合,则四边形 BCDE 的周长为
.
16.甲口袋中装有红色、绿色两把扇子,这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有 红色、绿色两条手绢,这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇 子,从乙口袋中随机取出一条手绢,用画树状图或列表的方法,求取出的扇子和手绢 都是红色的概率.
余 7 根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？
答
题
反思归纳
现有 a 根竹签, b 个山楂.若每根竹签串 c 个山楂,还剩余 d 个山楂,则下列等式成立
的是________(填写序号).
(1) bc d a ； 无
(3) ac d b .
(2) ac d b ；
2019年吉林省长春市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×1093．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤25．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算：3﹣＝．10．（3分）分解因式：ab+2b＝．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a＝，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（）A．﹣2B．2C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，故选：B．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．故选：C．3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：A．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2系数化为1得：x≤2．故选：D．5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：．故选：D．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9C．D．【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），∴OA＝OC＝3，在Rt△AOC中，AC＝，又∵AC＝2BC，∴BC＝，又∵∠ACB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，∴CD＝BD＝＝，∴OD＝3+＝∴B（，）代入y＝得：k＝，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算：3﹣＝2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解．【解答】解：原式＝2．故答案为：2．10．（3分）分解因式：ab+2b＝b（a+2）．【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．故答案为：b（a+2）．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是5．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，故答案为：5．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为57度．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD＝33°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．故答案为：57．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为4+2．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC＝∠A＝45°，∴GC＝FC＝2，由勾股定理得，GF＝＝2，则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，故答案为：4+2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为2．【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：﹣＝5，解方程即可．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：﹣＝5，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为 2.5，众数n的值为 2.5．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；（2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.4×18＝43.2（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）200×＝130（人），答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为75千米/时，a＝ 3.6，b＝ 4.5．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；（2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，∴；（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为6．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG ∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF 与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为25；②PN的长用含t的代数式表示为3t．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．∴AB＝＝＝25．∴，由题可知AP＝5t，∴PN＝AP•sin∠CAB＝＝3t．故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，∴，解得t＝，即当▱PQMN为矩形时t＝．（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，由（1）题可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．∴AN＝AP•cos A＝4t，BG＝BQ•cos B＝9﹣3t，QG＝BQ•sin B＝12﹣4t，∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12﹣4t，∴0＜t．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG ＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，NK＝PN•cot∠PKN＝3t＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，∴NH＝GH＝，HR＝，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．∴KH＝HR•cot∠HKR＝＝，∵NK+KH＝NH，∴，解得：t＝，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝，解得t＝．综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点，24．（12分）已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【分析】（1）①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；故函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝，所以＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣x2+x+中，得到n＝2，n＝，所以2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n＞0时，n＞，①如图1中，当点A的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．【解答】解：（1）当n＝5时，y＝，①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴b＝；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；∴函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝，∴＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，∴n＝，∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：＜n＜4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；（3）n＞0时，n＞，函数图象如图实线所示．①如图1中，当点A的纵坐标为4时，则有﹣++＝+＝4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去），观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．n＜0时，n＜，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：﹣++n＝4时，解得n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2或n＝4或n≥8．。
2019年吉林省长春市中考数学一模试卷(精品解析版)
2019年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题1.-的绝对值是( )A.B. 2019C.D.【答案】D 【解析】【分析】：直接利用绝对值的定义进而得出答案． 【详解】的绝对值是．故选D ．【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2.据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( )A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】421 0000=4.21×106，故选C ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形．故选B．考点：简单几何体的三视图．4.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式3x-1≤2，得：x≤1，解不等式x+2＞0，得：x＞-2，则不等式组的解集为-2＜x≤1，故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】：利用三角形内角与外角关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【详解】如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选B．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( )A. B. C. 11m D.【答案】A【解析】如图，作DE⊥FC于点E，∴△ABC∽△CED，∴．设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米．∴，解得x＝5.5．故选A．7.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为()A.米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】D【解析】【分析】：根据正切的定义解答即可．【详解】由题意得，∠B=，在Rt△ACB中，tanB=，则BC=米，故选D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分贝为(0，3)、(1，0)，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，若点C落在函数y=(x＞0)的图象上，则k的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】试题分析：根据旋转的性质和勾股定理可求得AB=AC=，然后设C的坐标为（4，），则AC=，解得k=±4，由图像可知k=4.故选：B.点睛：此题主要考查了勾股定理在平面直角坐标系中的应用，解题关键是明确旋转后的坐标变化，表示出C点的坐标，从而根据反比例函数的图像的性质，求出k的值.二、填空题9.比较大小：______3(填写“＜”或“＞”)．【答案】.【解析】【分析】：首先把两个数分别平方，然后比较平方结果即可比较大小．【详解】∵7＜9，∴＜3．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．10.（a2）3=_____．【答案】a6【解析】分析：直接根据幂的乘方法则运算即可．详解：原式=a6．故答案为a6．点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘法：（a m）n=a mn（m，n是正整数）；（ab）n=a n b n（n是正整数）．11.如图，直线L：y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第三象限，则a的值可以为______．(写出一个即可)【答案】答案不唯一，只要-3＜a＜0即可【解析】分析：首先求出方程组的解，然后根据第三象限内点的坐标特征，列出关于a的不等式组，从而得出a的取值范围．【详解】解方程组，得．∵交点在第三象限，∴，解得-3 <a＜0．故答案不唯一，只要-3＜a＜0即可．点睛：本题主要考查了一次函数与方程组的关系及第二象限内点的坐标特征．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的大小为______度．【答案】100【解析】试题分析：根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠B=180°-∠ADC=50°，然后跟据圆周角定理可求得∠AOC=2×50°=100°.故答案为：100°.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD．则CD的长为______．【答案】【解析】解：由作图可知，E F垂直平分AB，即DC是Rt△ABC斜边上的中线，故DC=AB= ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是______．【答案】2【解析】【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．【详解】解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，∴A(0，-1)，把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，解得x1=0，x2=2，∴B(2，-1)，∴AB=2，∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，∴△PAB边AB上的高为2，∴S=×2×2=2．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．三、解答题15.小明解方程=3出现了错误，解答过程如下：方程两边都乘以(x-2)，得1-(1-x)=3(第一步)去括号，得1-1+x=3(第二步)移项，合并同类项，得x=3(第三步)检验，当x=3时x-2≠0(第四步)所以x=3是原方程的解．(第五步)(1)小明解答过程是从第____步开始出错的，原方程化为第一步的根据是_____．(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，方程两边都乘以（或都除以）同一个不为0的数，方程的解不变；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质判断可得；（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．【详解】（1）一方程两边都乘以（或都除以）同一个不为0的数，方程的解不变（2）解答过程如下：方程两边都乘以，得．解得．检验，当时所以是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．16.某校对初三学生进行物理、化学实验操作能力测试．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理实验分别用①、②、③表示，化学实验分别用a、b、c表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．王刚同学对物理的①、②号实验和化学的b、c号实验准备得较好．请用画树状图(或列表)的方法，求王刚同学同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．【答案】【解析】试题分析：根据题意画出树状图，再求出一共有的等可能结果数，及他两科都抽到准备得较好的实验题目的情况数，利用概率公式求解即可。
2019年吉林省长春市中考数学一模考试试卷（解析版）
2019年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.-法;的绝对值是（ ）2.3. A. -2019B.201912019据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000 A , 4210000这个数用 科学记数法表示为（）A. 42.1 x 105 B. 4.21 x 105 C. 4.21 x 106如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（ ）D. 4.21 x 107A.4,不等式｛乂竿项Mo 的解集在数轴上表示正确的是（ ）-1 05.已知如图，/kABC 为直角三角形，zC=90°,若沿图中虚线剪去乙C,贝0zl+z2等于（ ）A. 315°B. 270°C. 180°D. 135°6,如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱 子（人与箱子的总高度约为2.2m ）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答， 两层楼之间的高约为（）A. 5.5m D. 2.2m7,如图，某地修建高速公路，要从3地向。
地修一座隧道（B,。
在同一水平面上）,为了测量。
两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从。
地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为a,则B,C两地之间的距离为（）A.200sina米B.200tana米C.竺米sina8,如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分贝为（0,3）、（1,0）,将线段AB绕点B顺时针旋转90。
，得到线段3C,若点。
落在函数y=§（x>0）的图象上，贝琳的值为（）A.3B.4C.6D.8二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：V73（填写或">”）.10.（a2）3=.11.如图，直线L：y=-|x-3与直线y=a（a为常数）的交点在第三象限，则a的值可以为.（写出一个即可）12,如图，四边形ABCQ内接于若ZADC=130°,则zAOC的大小为度.DB13.如图，在Rt「AB C中，zACB=90。
2019年吉林省长春市中考数学试题及答案解析
2019年吉林省长春市中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题2的点A 到原点的距离是（ ）A ．﹣2B ．2C ．12-D ．122．（2019年）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．727.510⨯B ．90.27510⨯C ．82.7510⨯D ．92.7510⨯3．（2019年）下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立休图形的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2019年）不等式20x -+≥的解集为（ ） A ．2x ≥-B ．2x -≤C ．2x ≥D ．2x ≤5．（2019年）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ）A ．911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．911616x yx y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6．（2019年）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）A ．3sin α米B ．3cos α米C ．3sin α米 D ．3cos α米 7．（2019年）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2019年）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是()()0,33,0、，090ACB ∠=，2AC BC =，则函数()0,0ky k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A ．92B ．9C ．278D ．274二、填空题9．（2019年）计算：=_____． 10．（2019年）分解因式：2ab b +=_____．11．（2019年）一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．12．（2019年）如图，直线//MN PQ ，点A 、B 分别在MN PQ 、上，033MAB ∠=．过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ，则CDB ∠的大小为_____度．13．（2019年）如图，有一张矩形纸片ABCD ，8,6AB AD ==．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则GCF ∆的周长为_____．14．（2019年）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()28203y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为_____．三、解答题15．（2019年）先化简，再求值：()()22141a a a +--，其中18a =． 16．（2019年）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（2019年）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（2019年）如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作O ，点E 在BC 边上，连结AE 交O 于点F ，连结BF 并延长交CD 于点G ．（1）求证：ABE BCG ∆≅∆；（2）若055,3AEB OA ∠==，求BF 的长．（结果保留π）19．（2019年）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m 的值为 ，众数n 的值为 ．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数． 20．（2019年）图①、图①、图①均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A B C D E F 、、、、、均在格点上．在图①、图①、图①中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB 为边画一个ABM ∆，使其面积为6． （2）在图①中以线段CD 为边画一个CDN ∆，使其面积为6．（3）在图①中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且090EFG ∠=．21．（2019年）已知A 、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为 千米/时，a = ，b = ． （2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（2019年）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图①，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图①，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．23．（2019年）已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ①求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．2019年中考数学试题答案解析1．B 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：数轴上表示﹣2的点A 到原点的距离是2， 故选B 【点睛】考核知识点：绝对值.理解定义是关键.2．C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】解：将275000000用科学记数法表示为：82.7510⨯． 故选：C 【点睛】考核知识点：科学记数法.理解科学记数法定义是关键. 3．A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形， 故选：A ． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．D 【解析】 【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x 的取值． 【详解】解：移项得：2x -≥- 系数化为1得：2x ≤． 故选：D 【点睛】考核知识点：解不等式.掌握不等式性质是关键. 5．D 【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案． 【详解】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y-=⎧⎨+=⎩ 故选D 【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键. 6．A 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BCAB α==，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故()3sin BC m α=． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 7．B 【分析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案． 【详解】解：①ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠， ①B BCD ∠=∠， ①DB DC =，①点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选B 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键. 8．D 【解析】 【分析】根据A 、C 的坐标分别是()()0,33,0、可知3OA OC ==，进而可求出AC ，由2AC BC =，又可求BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B 的坐标，再求出k 的值． 【详解】解：过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ①A C 、的坐标分别是()()0,33,0、， ①3OA OC ==，在Rt AOC ∆中，AC ==， 又①2AC BC =，①BC =又①090ACB ∠=，①045OAC OCA BCD CBD ∠=∠==∠=∠，①32CD BD ===， ①39322OD =+= ①93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入k y x =得：274k =，故选：D ． 【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.9．【解析】 【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：原式＝故答案为：【点睛】考核知识点：二次根式减法.合并同类二次根式是关键. 10．()2b a + 【解析】 【分析】直接提取公因式b ，进而分解因式即可． 【详解】解：()22ab b b a +=+． 故答案为：()2b a + 【点睛】考核知识点：因式分解.运用提公因式法是关键. 11．5 【详解】 解：x 2﹣3x+1＝0①=24b ac -=（-3）2-4×1×1=9-4=5． 故答案为5． 12．57 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质得出ABD ∠的度数，再结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：①直线//MN PQ ， ①033MAB ABD ∠=∠=， ①CD AB ⊥， ①090BCD ∠=，①000903357CDB ∠=-=． 故答案为：57 【点睛】考核知识点：三角形内角和定理.利用平行线性质是关键. 13．4+【分析】根据折叠的性质得到045DAF BAF ∠=∠=，根据矩形的性质得到2FC ED ==，根据勾股定理求出GF ，根据周长公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，045DAF BAF ∠=∠=， ①6AE AD ==， ①2EB AB AE =-=，由题意得，四边形EFCB 为矩形， ①2FC ED ==， ①//FC AB ，①045GFC A ∠=∠=， ①2GC FC ==，由勾股定理得，GF ==则GCF ∆的周长4GC FC GF =++=+故答案为4+【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分析问题是关键. 14．2 【分析】先根据抛物线解析式求出点A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M 坐标，利用点M 为线段AB 中点，得出点B 坐标；用含a 的式子表示出点P 坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B 坐标代入即可求解出a 的值． 【详解】解：①抛物线()28203y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ， ①80,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线的对称轴为1x =①顶点P 坐标为81,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点M 坐标为82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭①点M 为线段AB 的中点， ①点B 坐标为84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线OP 解析式为y kx =（k 为常数，且0k ≠） 将点81,3P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得83a k -=①83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将点84,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得88433a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭解得2a = 故答案为2 【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键. 15．2 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2244144a a a a ++-+81a =+，当18a =时，原式18128=⨯+=． 【点睛】考核知识点：整式化简取值.掌握整式乘法公式是关键. 16．59． 【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个， ①小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59．【点睛】考核知识点：求概率.画树状图是关键. 17．原计划每天加工这种彩灯的数量为300套． 【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，由题意列出方程：9000900051.2x x-=，解方程即可． 【详解】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套， 由题意得：9000900051.2x x-=， 解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套． 【点睛】考核知识点：分式方程应用.理解题意，列出分式方程并解是关键. 18．（1）详见解析；（2）76π【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O 的直径，得到090ABE BCG AFB ∠=∠=∠=，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF ，根据三角形的内角和得到000905535BAE ∠=-=，根据圆周角定理得到0270BOF BAE ∠=∠=，根据弧长公式即可得到结论．【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是正方形，AB 为O 的直径， ①090ABE BCG AFB ∠=∠=∠=，①090BAF ABF ∠+∠=，090ABF EBF ∠+∠=， ①EBF BAF ∠=∠， 在ABE ∆与BCG ∆中，EBF BAF AB BCABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()ABE BCG ASA ∆≅∆； （2）解：连接OF ，①0090,55ABE AFB AEB ∠=∠=∠=， ①000905535BAE ∠=-=， ①0270BOF BAE ∠=∠=， ①3OA =， ①BF 的长70371806ππ⨯==．【点睛】考核知识点：正方形、弧长计算.熟记圆的性质和弧长公式.19．（1）2.5，2.5；（2）估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人． 【解析】 【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数； （2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可． 【详解】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， ①中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5；（2）2.41843.2⨯=（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时． （3）1320013020⨯=（人）， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人． 【点睛】考核知识点：中位数，平均数，众数.理解定义和公式是关键. 20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案． 【详解】解：（1）如图①所示，ABM ∆即为所求； （2）如图①所示，CDN ∆即为所求； （3）如图①所示，四边形EFGH 即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.21．（1）75；3.6；4.5；（2）()()1352702 3.660 3.6 4.5x x y x x ⎧-<≤⎪=⎨<≤⎪⎩；（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米． 【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a b 、的值； （2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）乙车的速度为：()270602275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．故答案为75；3.6；4.5；（2）60 3.6216⨯=（千米），当2 3.6x <≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， ①()1352702 3.6y x x =-<≤； 当3.6 4.5<≤x 时，设60y x =，①()()1352702 3.660 3.6 4.5x x y x x ⎧-<≤⎪=⎨<≤⎪⎩；（3）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：()2027070606-÷=（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=（千米）． 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米． 【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键. 22．教材呈现：详见解析；结论应用：（1（2）6． 【解析】 【分析】教材呈现：如图①，连结ED ．根据三角形中位线定理可得//DE AC ，12DE AC =，那么DEGACG ∆∆，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：（1）如图①．先证明BEF DAF ∆∆，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =即可求出OF ；（2）如图①，连接OE ．由（1）易证2BFOF=．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF ∆与OEF ∆的面积比2BFOF==，同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比＝2，那么CEG ∆的面积BEF +∆的面积＝2（OEG ∆的面积OEF +∆的面积）＝1212⨯=，所以BOC ∆的面积32=，进而求出ABCD 的面积3462=⨯=．【详解】 教材呈现： 证明：如图①，连结ED ．①在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点， ①1//,2DE AC DE AC =， ①DEG ACG ∆∆，①2CG AG ACGE GD DE===， ①3CG GE AG GDGE GD++==，①13GE GD CE AD ==；结论应用： （1）解：如图①．①四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ， ①111//,,222AD BC BE BC AD BO BD ===， ①BEF DAF ∆∆，①12BF BE DF AD ==， ①12BF DF =， ①13BF BD =， ①12BO BD =，①111236OF OB BF BD BD BD =-=-=， ①正方形ABCD 中，6AB =，①BD =①OF =．（2）解：如图①，连接OE ． 由（1）知，11,36BF BD OF BD ==， ①2BFOF=． ①BEF ∆与OEF ∆的高相同， ①BEF ∆与OEF ∆的面积比2BFOF==， 同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比＝2，①CEG ∆的面积BEF +∆的面积＝2（OEG ∆的面积OEF +∆的面积）1212=⨯=， ①BOC ∆的面积32=， ①ABCD 的面积3462=⨯=． 故答案为6． 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质，相似三角形判定和性质是关键. 23．（1）①92b =①458；（2）当1845n <<或823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，n≤-8或n=2-或n=4或n≥8． 【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++； ①当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458； （2）根据题意，对n 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，列出不等式组即可得出结论；（3）根据题意，分别画出满足题意的图形，然后根据图形列出不等式组即可得出结论． 【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++， ①92b =； ①当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ①函数的最大值为458； （2）当n ＜0时，如下图所示，显然此时不符合题意；当0≤n ＜2时，如下图所示，显然此时不符合题意；当n≥2时，如下图所示，此时应满足2221222222222444nn n n n n ⎧-⨯+⨯+<⎪⎪-++≥⎨⎪-++≤⎪⎩解得：823n ≤<； 当n≥83时，如下图所示，此时应满足222122221222222442n n n n nn n n ⎧-⨯+⨯+<⎪⎪⎪-⨯+⨯+≥⎨⎪⎪-++>⎪⎩解得：1845n <<； 当n≥4时，如下图所示，显然此时不符合题意综上：当1845n<<或823n≤<时，图象与线段AB只有一个交点；（3）如下图所示，当2214222422n nn nn nn n⎧-⨯+⨯+≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+⋅+>⎪⎪⎝⎭⎩时，符合题意解得：n≤-8；如下图所示：当222142224224n nn nn nn nn n n n⎧-⨯+⨯+>-⎪⎪⎪⎛⎫-+⋅+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+⋅+<-⎪⎩时，符合题意解得：n=2-； 如下图所示：当2214222224n n n n n n n n ⎧⎛⎫-⨯+⨯+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-+⋅+≥⎩时，符合题意解得：n=4； 如下图所示，当22142224n n n n n n n n ⎧-⨯+⨯+≥⎪⎨⎪-+⋅+>⎩时，符合题意解得：n≥8；【点睛】此题考查的是二次函数综合大题，此题难度较大，掌握数形结合分析问题是关键．。
2019年吉林省长春市中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，32CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF = 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴， 270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同，BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =，即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么CEG △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∴PQ AB ∥，CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =. 综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。
2019年长春市中考数学试卷-2019带答案解析
2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×1093.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤25.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3si nα米B.3cosα米C.米D.米7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=10.分解因式:ab+2b=11.一元二次方程x23x+1=0根得判别式得值为.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.16.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.21.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.22.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.解:数轴上点A表示数为2,2到原点距离为2故选B2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×109解:科学记数法为:把一个数表示成a与10得n次幂得相乘得形式(1≤a＜10,n为整数),故275000000用科学记数法表示为2、75×108故选C3.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()解:如图所示,主视观瞧第二列有两个正方形,第一列右上有一个正方形,故观察为.故选A.4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤2解:解不等式x+2≥0,移项可得x≥2,再系数化1,两边同时除以1(注意改变不等号方向),得x≤2,故选D.5.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.解:根据题意,人数为x,鸡得钱数为y,当每人出9钱时,多出11钱,则可列方程9x11=y,当每人出6钱时,差16钱,则可列方程6x+16=y,则解x,y可列方程组为.故选D6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3sinα米B.3cosα米C.米D.米解:如图所示:α对应角为∠BAC,则sinα=,已知AB=3米,则BC=sinα,AB=3sinα米故选A7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()解:由题意作图∠ADC=2∠BA、作图痕迹,为点D在线段AC垂直平分线上,能使∠A=∠ACD,不能使∠ADC=2∠B,故舍掉;B、作图痕迹为点D在线段BC垂直平分线上,能使∠B=∠DCB,如图∠B+∠DCB=∠ACD,∴∠ADC=2∠BC、作图痕迹为点D为AB中点,故不能使∠ADC=2∠B(舍)D选项(舍)故选B8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.解:如图所示,AC坐标分别为(0,3),(3,0)故∠AOC为等腰直角三角形∠ACO=45°,∴∠ACB=45°,过点B作BD⊥x轴,交x轴于点D,∴∠BDC=90°,∠CBD=45°,∴∠BDC为等腰直角三角形,∴∠AOC=∠BDC,∠ACO=∠BCD∴△AOC∽△BDC∴=又∵AC=2BC,∴AO=2BD∴BD=∴CO=∴D坐标为(,0),B坐标为(,)∵点B在函数y=(k＞0,x＞0)图象上将点B坐标(,)代入y=中,得k=,故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=解:根据二次根式加减法则故答案为:2.10.分解因式:ab+2b=解:利用乘法结合律,提取出b,得b(a+2)故答案为:b(a+2)解:∵a=1,b=﹣3,c=1,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5,故答案为:5.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.解:∵MN∥PQ∴∠ABD=∠MAB=33°∵CD⊥AB∴∠DCB=90°∴∠ABD+∠CDB=180°90°=90°∴∠CDB=90°33°=57°故答案为:57°13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为解:由图可知,FC=EB=ABAD=86=2,∠CFG=45°∴GC=FC=2,∴FG=FC=2∴△GCF周长为2+2+2=4+2;故答案为:4+214.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为解:将x=0代入原式得y=,∴A(0,)将y=代入得ax22ax+=,ax22ax=0,x=2.∴M(2,)∵M为线段AB中点,∴B(4,)代入y=kx中求得OB解析式为y=x,将x=1代入得P(1,)将P代入抛物线解析式中得a=2.故答案为:2.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.解:原式=4a2+4a+14a2+4a=8a+1将a=代入原式=×8+1=216.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.解:树状图如下:两次摸出相同小球得情况共有5种,故答案为17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.解:设原计划每天加工这种彩灯x套,则实际每天加工这种彩灯1、2x套+5=51800=6xx=300经检验x=300就是方程得根.答:原计划每天加工这种彩灯300套.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)(1)证明:∵F在圆上,∴AF⊥BF,∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠CBF=90°∴∠BAF+=∠CBF,∵∠FBE+∠FEB=90°,∠FBE+∠BGC=90°∴∠FEB=∠BGC,在△ABE与△BGC中∴△ABE≌△BCE(ASA)(2)解:连接OF,则OF=OB,由(1)可得∠ABF=∠AEB=∠BGC=55°∴∠BFO=55°,∠BOF=70°∴=×2π×3=π19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.解:将调查数据由小到大排列为:0、6,1,1、5,1、5,1、8,2,2,2、2,2、4,2、5,2、5,2、5,2、5,2、8,3,3、1,3、3,3、3,3、5,4.(1)则中位数m为第10与,11两个数得平均数为=2、5,众数n为出现最多得数为2、5.(2)由题中表格可知平均数为2、4,即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为2、4小时,则平均每人一学期学生时间为2、4×18=43、2时.(3)由调查可知,每周上网学习超过2小时得学生占=,则200名学生中每周上网超过2小时得学生人数估计为200×=130人.故答案为:(1)2、5;2、5.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.解:(1)因小正方形边长为1,已知AB=3,则要使△ABM面积为6,只要以AB为底,高为4即可,如图,M在直线NP上任意一点均可.(2)CD竖向距离为3,可瞧为以水平方向为底,竖直方向为高得三角形一边,高为3,当底为4时,面积就为6,如图(答案不唯一)(3)以线段EF为边画一个四边形,使其面积为9,我们已知最规则面积为9得四边形就是边长为3得正方形,但E、F不就是网格上得边,我们可用割补法来求出我们想要图形,如图所示,S△FGI=S△EJF,则S四边形EFGH=S四边形JFIH=921.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.解:(1)共270千米,2小时两车相遇,即两车共走270千米,V总=270÷2=135(km/h)∵V甲=60km/h,∴V2=V总V甲=13560=75km/ha点为乙车到A地时得时间,即t乙==270÷75=3、6b点为甲车到B地得时间,即t甲==270÷60=4、5(2)设函数关系式为y=kx+b,当2＜x≤3、6时,斜率k为两车速度与135∴y=135x+b,又有x=2时,y=0,∴b=270,∴y=135x270当3、6＜x≤4、5时,斜率k为甲车速度为60,∴y=60x+b,又有x=4、5时,y=270,∴b=0,∴y=60x,综上所述,(3)甲距B地70千米处时,t==,当x=时,y=135×270=180km∴甲乙两车之间路程为180千米.故答案为:(1)75;3、6;4、522.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为解:教材呈现:连接ED∵E、D分别为AB、BC中点∴E、D为三角形AB得中位线∴ED∥AC,且ED=AC,而由于ED∥AC∴∠DEC=∠ECA又∠EGD=∠AGC∴△EGD∽△CGA∴又EC=EG+GC,AD=AG+AD∴结论应用:(1)在△ABC中,O为AC中点,E为BC中点,故在△ABC中,F点为中线得交点,即,而AB=AC=6,故AC=6,BO=3,OF=(2)连接OE,OE为△OBC中线,故S△OBE=S△OEC,在△ABC中,可得OF=OB,而在△OEB中,由于△OEB与△OEF等高,故S△OFE:S△OEB=OF:OB=1:3同理S△OGE:S△OEC=1:3,故S△FEG:S△OBC=1:3,故S△FEG:S ABCD=1:12故S ABCD=×12=6故答案为:(1);(2)623.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q 同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.解:(1)①由于△ABC为直角三角形,由勾股定理得AB==25②由于PN⊥AB,故∠PNA=90°=∠C,即∠A=∠A,故△ANP∽△ACB故∴PN=3t(2)由于PNMQ为矩形,PN⊥NM,故M点落在AB上,而PN=4t,△QBM∽△ABC,故QM=(155t)QM=PN得t=(3)在运动过程中,起始为PNQM得平行四边形就是阴影部分(图一)后,M总落在AB上,形成矩形,后M总落在三角形处,阴影部分为梯形(图二),后Q达到B点继续移动,阴影部分为三角形(图三),而题意及(2)得分总为t=与t=3,求前两种①当0＜t＜时,以PN为底,延长QM与O,NO为高,由PN=3t,PA=5t,∴AN=4t,而△QOB∽△ACB,故QB=(155t),OB=(155t)S=PN·NO=PN×(ABANOB)=3t×[254t(155t)]=48t3t2当＜t＜3时,设QM与AB交于O,QO=(155t)S=(PN+QO)×NO=[×5t+(155t)]×[254t(155t)]=(16t)(12t)=14t+96(4)作PH∥CB,则H可能在NM上或QM上当H在NM上,则NH=HM,过N作NR∥CB,MS∥BC设PS=a,设SM与PQ交点为O,易得O为RQ中点,由平行线等分线段定理得,RP=RS=SC=a而NR∥CB,∴NR⊥AC,易得△RPN∽△NPN;△ARN∽△ANP,∴AR=a,而解得t=＜4成立当H在QM上,则QH=HM,设RS=a,由上一种情况,我们得到RS=SP=PC=a,在△PRM中,RN=a,故AP=a∴∴t=＜4成立故答案为:(1)①25;②3t.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.解:(1)当n=5时,y=①由于4＜5,故b=(42+5×4+5)=②y=当x≥5时,x=5最大y=5当x＜5时,x=最大y=＞5,故最大值为(2)①首先以A点为边界,设当x≥n时得图形如α当x＜n时为β如图一:此时函数图象与线段AB恰好有一个交点,交点在α上,随着n得不断增大,图象逐渐右移直至β与B相交.如图二,将(2,2)分别代入α,β得n=2,n=.图一情况下,恰有一个交点,所以n可以取到2,而图二情况下,恰有两个交点,故n不能取到综上2≤n＜②n从图二得情况开始继续不断增大得一段时间内函数图象与线段一直有两个交点,直到如图三,此时β与线段有一个交点,而α刚要离开线段.在此之后直至运动至图四情况.β刚要离开线段AB在此期间之内,函数图象与线段AB一直只有一个交点,图三中将(4,2)代入α得n=,图四中将(4,2)代入β得n=4,注意图三时恰有两个交点,因此n＞,而在图四情况下,恰有一个交点,故n≤4综上＜n≤4.综上所述n得取值范围就是2≤n＜或＜n≤4.(3)当有4个点到x轴得距离等于4,即函数图象与直线y=4与直线y=4恰有四个交点.①设x＜n时图象为β,x≥n时图象为α.当n很小时函数图象与y=±4一直有4个交点,不断增大n,直到如图五情况,此时β刚要经过y=4,之后得一段时间内,函数与y=±4有5个交点,此时n2+·n+=4,n=8故n≤8时恒成立.②在图五之后得一段时间内,函数与y=±4共有5个交点.直到运动到图六情况α得顶点落在y=4上,即+n=4,∴n=22(舍n＞0解)。
2019年吉林省中考数学试题（，含解析）
吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。
全卷满分120分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A.3B.2C.1D.-1答案：D考点：数轴。
解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有一1有可能，选D。
2.如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）/7/正面—（第2题）__A. B. C. D.答案：D考点：三视图。
解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D符合。
3.若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（)A.6Z+1B.<2—1C.oxiD.<24-1考点：实数的运算。
解析：a-1表示比a小1的数，所以，B符合。
4.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A.30°B.90°C.120°D.180°（第4题）答案：C考点：旋转。
解析：一个圆周360°,图中三个箭头，均分圆，每份为120。
，所以，旋转］20。
后与自身重合。
选C。
5.如图，在。
中，AB所对的圆周角ZACB=50°,若P为AB上一点，ZAOP=55°,则ZPOB的度数为（）A.30°B.45°C.55°D.60°C（第5题）答案：B考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。
解析：圆周角ZACB,圆心角ZA0B所对的孤都是弧AB,所以，ZA0B=2ZACB=100°,ZP0B=ZA0B-ZAOP=100°—55°=456.曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。
2019年吉林省中考数学试题(解析版)
2019年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A．C．B．D．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．a+1B．a﹣1C．a×1D．a÷14．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 5．（2分）如图，在⊙O中，的度数为（）所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a ﹣1＝．8．（3分）不等式3x ﹣2＞1的解集是．9．（3分）计算：•＝．2210．（3分）若关于x 的一元二次方程（x +3）＝c 有实数根，则c 的值可以为（写出一个即可）．11．（3分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥BC ．若∠BAC ＝70°，∠CED ＝50°，则∠B ＝°．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为m ．14．（3分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）2．15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）+a（a+2），其中a＝16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．18．（5分）如图，在ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 以cm /s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD ﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x （s ），在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y （cm ）．（1）AE ＝cm ，∠EAD ＝°；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ ＝cm 时，直接写出x 的值．226．（10分）如图，抛物线y ＝（x ﹣1）+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．22019年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A ．3B ．2C ．1D ．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D ．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键．2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A ．C ．B ．D ．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D ．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2分）若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（）A ．a +1B ．a ﹣1C ．a ×1D ．a ÷1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A ．a +1＞a ，选项错误；B ．a ﹣1＜a ，选项正确；C ．a ×1＝a ，选项错误；D ．a ÷1＝a ，选项错误；故选：B ．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C ．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2分）如图，在⊙O 中，的度数为（）所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为上一点，∠AOP ＝55°，则∠POBA ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB 的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB ＝50°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∵∠AOP ＝55°，∴∠POB ＝45°，故选：B ．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A ．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a ﹣1＝（a +1）（a ﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）．【解答】解：a ﹣1＝（a +1）（a ﹣1）．故答案为：（a +1）（a ﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3分）不等式3x ﹣2＞1的解集是x ＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x ﹣2＞1，∴3x ＞3，∴x ＞1，∴原不等式的解集为：x ＞1．故答案为x ＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．22229．（3分）计算：•＝．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x 的一元二次方程（x +3）＝c 有实数根，则c 的值可以为5（答案不唯一，只有c ≥0即可）（写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x +6x +9﹣c ＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c ）＝4c ≥0，解上式得c ≥0．故答为5（答案不唯一，只有c ≥0即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c 的取值范围．11．（3分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥BC ．若∠BAC ＝70°，∠CED ＝50°，则∠B ＝60°．22【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED ＝∠C ＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED ＝∠C ＝50°，又∵∠BAC ＝70°，∴△ABC 中，∠B ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为20．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE ＝BE ＝AB ＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD ⊥AD ，点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ＝AB ＝5，由折叠可得，CB ＝BE ，CD ＝ED ，∴四边形BCDE 的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为54m ．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为60m ，∴＝，解得h ＝54（m ）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在π）．上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留【分析】连接OC ，根据同样只统计得到▱ODCE 是矩形，由矩形的性质得到∠ODC ＝90°．根据勾股定理得到OC ＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC ，∵∠AOB ＝90°，四边形ODCE 是平行四边形，∴ODCE 是矩形，∴∠ODC ＝90°．∵OD ＝8，OE ＝6，∴OC ＝10，∴阴影部分图形的面积＝故答案为：25π﹣48．﹣8×6＝25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a ﹣1）+a （a +2），其中a ＝2．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a ﹣2a +1+a +2a ＝2a +1，当时，原式＝5．222【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝4时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x ＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设当x ＝2时，y ＝6．所以，k ＝xy ＝12，所以，（2）当x ＝4时，y ＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5分）如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．；，【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE ＝FC ，在平行四边形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠C在△ABE 和△CDF 中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组：反思归纳由每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，得出ac +d ＝b 即可．【解答】问题解决解：设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得：解得：，，，解方程组即可；答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则ac +d ＝b ，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【分析】过C 作CF ⊥AB 于F ，于是得到∠AFC ＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C 作CF ⊥AB 于F ，则∠AFC ＝90°，在Rt △ACF 中，AC ＝30，∠CAF ＝43°，∵cos ∠CAF ＝，∴AF ＝AC •cos ∠CAF ＝30×0.73＝21.9，∴CE ＝BF ＝AB +AF ＝170+21.9＝191.9≈192（cm ），答：花洒顶端C 到地面的距离CE 为192cm ．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝4，n＝120；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；故答案为：4；120；（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y关于x的函数解析式为y＝60x，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣60+240（2≤x ≤4）；（3）当x ＝3.5时，y ＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km ．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；．（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ．①求证：∠EFG +∠EHG ＝∠FGH ；②在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sin α（用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°，由等腰三角形的性质得出AD ＝BD ，∠A ＝∠B ＝30°，由直角三角形的性质得出AC ＝2CD ，AD ＝理解运用（1）同上得出则AC ＝2CD ，AD ＝CD ＝2，得出AB ＝4CD ，由等腰三角形的周长得出4CD +2CD ＝8+4，解得：CD ，得出AB ＝2AD ＝2CD ，即可得出结果；，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG ＝∠EGF ，∠EGH ＝∠EHG ，得出∠EFG +∠EHG ＝∠EGF +∠EGH ＝∠FGH 即可；②连接FH ，作EP ⊥FH 于P ，由等腰三角形的性质得出PF ＝PH ，由①得：∠EFG +∠EHG ＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5，得出FH＝2PF＝10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB ×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝∴AB＝2AD＝2∴＝CD，CD，＝；故答案为：理解运用；（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝∵AC+BC+AB＝8+4∴4CD+2CD＝8+4，，CD，解得：CD＝2，∴AB＝4，×2＝4；∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH ＝30°，∴PE ＝EF ＝5，∴PF ＝PE ＝5，，∴FH ＝2PF ＝10∵点M 、N 分别是FG 、GH 的中点，∴MN 是△FGH 的中位线，∴MN ＝FH ＝5类比拓展解：如图③所示：作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠BAC ＝α，∵sin α＝，；∴BD ＝AB ×sin α，∴BC ＝2BD ＝2AB ×sin α，∴＝＝2sin α；故答案为：2sin α．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝3cm ，E 为边BC 上一点，BE ＝AB ，连接AE ．动点P 、Q 从点A 同时出发，点P 以cm /s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD ﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x （s ），在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y （cm ）．（1）AE ＝3cm ，∠EAD ＝45°；2（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ ＝cm 时，直接写出x 的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB ＝3cm ，BE ＝AB ＝3cm ，∴AE ＝∵∠BAD ＝90°∴∠DAE ＝45°故答案为：3，45＝3cm ，∠BAE ＝∠BEA ＝45°（2）当0＜x ≤2时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，∵AP ＝x ，∠DAE ＝45°，PF ⊥AD∴PF ＝x ＝AF ，∴y ＝S △PQA＝×AQ ×PF ＝x ，（2）当2＜x ≤3时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，2∵PF ＝AF ＝x ，QD ＝2x ﹣4∴DF ＝4﹣x ，∴y ＝x +（2x ﹣4+x ）（4﹣x ）＝﹣x +8x ﹣8当3＜x ≤时，如图，点P 与点E 重合．22∵CQ ＝（3+4）﹣2x ＝7﹣2x ，CE ＝4﹣3＝1cm∴y ＝（1+4）×3﹣（7﹣2x ）×1＝x +4（3）当0＜x ≤2时∵QF ＝AF ＝x ，PF ⊥AD∴PQ ＝AP∵PQ ＝cm∴x ＝∴x ＝当2＜x ≤3时，过点P 作PM ⊥CD∴四边形MPFD 是矩形∴PM ＝DF ＝4﹣2x ，MD ＝PF ＝x ，∴MQ ＝x ﹣（2x ﹣4）＝4﹣x∵MP +MQ ＝PQ ，∴（4﹣2x ）+（4﹣x ）＝∵△＜0∴方程无解当3＜x ≤时，22222∵PQ ＝CP +CQ ，∴∴x ＝＝1+（7﹣2x ），或2222综上所述：x ＝【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，抛物线y ＝（x ﹣1）+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．2【分析】（1）将点C （0，﹣3）代入y ＝（x ﹣1）+k 即可；（2）易求A （﹣1，0），B （3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值；（3））①当0＜m ≤1时，h ＝﹣3﹣（m ﹣2m ﹣3）＝﹣m +2m ；当1＜m ≤2时，h ＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m ﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m ﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m +2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m ﹣2m +1＝9，则m ＝4，则P （4，5），△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；22222222【解答】解：（1）将点C （0，﹣3）代入y ＝（x ﹣1）+k ，得k ＝﹣4，∴y ＝（x ﹣1）﹣4＝x ﹣2x ﹣3；（2）令y ＝0，x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，S ＝＝8；2222（3）①当0＜m ≤1时，h ＝﹣3﹣（m ﹣2m ﹣3）＝﹣m +2m ；当1＜m ≤2时，h ＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m ﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m ﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m +2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m ﹣2m +1＝9，则m ＝4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，﹣3），2222∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。
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2018
年吉林省长春市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□
内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D
．÷
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000
立方米，
632000
这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×10
6
3．（3
分）下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D
．
4．（3
分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
5．（3分）已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y
的最大值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3
的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
7．（3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠ACE=25°，∠BDE=15°
，则
圆心角∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
8．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C
1
，若点
B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C
1
的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ﹣1（填“＞”、“=”或“＜”
）
10．（3分）某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是
元．
11．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有
个交点．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D
，
交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ．
13．（3分）如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16
，
则OA的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点D的函数y=（x＞0
）的图象上，
DA垂直x轴于点A，点C为线段AD的中心，延长线段OC交函数y=（x＞0
）
的图象于点E，EB垂直x轴于点B，若直角梯形ABEC的面积为1，则k的值
为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x=
．
16．（6分）一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1，2，3
，每
个小球除数字外其他均相同，小刚从袋中随机取出1个小球，记下标号后放回；
再从袋中随机取出1个小球记下标号．请用画树状图（或列表）的方法，求小刚
两次摸出的小球标号之和等于4的概率．
17．（6分）如图，AC是▱ABCD的对角线，以点C为圆心，CD
长为半径作圆弧，
交AC与点E，连结DE并延长交AB于点F，求证：AF=AE．
18．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B
均在格点上，AB=．
（1）在图①、图②中，按要求各画一个△ABC，且两个三角形不全等．
要求：在网格中画出线段AC=，且点C在格点上，连结线段BC．
（2）直接写出上述操作后所构成的三角形中最小角的正切值．
19．（7分）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB
，无人
机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处
的俯角为39°，求教学楼的高度AB．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°=0.63，
cos39°=0.78，tan39°=0.81
】
20．（7
分）近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某社区为了调查本社区
居民对雾霾天气主要成因的认识情况，随机对该社区部分居民进行了问卷调查，
要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项，被调查居民都按要求填写了问
卷．社区对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表．被调查居民选
择各选项人数统计表
雾霾天气的主要成因 频数（人数）
（A）大气气压低，空气不流动
m
（B）地面灰尘大，空气湿度低
40
（C）汽车尾气排放
n
（D）工厂造成的污染
120
（E）其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m= ，n= ，扇形统计图中C选项所占的百分比
为 ．
（2）若该社区居民约有6 000人，请估计其中会选择D选项的居民人数．
（3）对于“雾霾”这个环境问题，请你用简短的语言发出倡议．
21．（8分）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB
和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
22．（9分）甲、乙两辆汽车分别从A、B
两地同时出发，沿同一条公路相向而行，
乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分
别为y甲（km），y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲、y乙与x之间的函数
图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）乙车休息了 h．
（2）求乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当两车相距40km时，求x的值．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点AB坐标分别为（1，1）、（1，2
），
经过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+
c
经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分
别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点P的横坐标为m，矩形
PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L
．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直
接写出m的取值范围．
24．（12
分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段
的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如
图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线
CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“
对角线正
方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠
A
的平分线上时，直接写出t的值．
2018
年吉林省长春市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□
内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D
．÷
【解答】解：若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“﹣”，
故选：B．
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000
立方米，
632000
这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×10
6
【解答】解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．
故选：B．
3．（3
分）下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D
．
【解答】解：A、C、D经过折叠均能围成正方体，B•折叠后上边没有面，不能折
成正方体．
故选：B．
4．（3
分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
【解答】解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，