电路课件第8章 相量法
电路(第八章)相量法
t
t1
解 i(t ) = 100cos(103 t +θ )
0
t = 0 →50 = 100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
称为旋转因子。 除以旋转因子时， 故把 ejθ 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 除以旋转因子时 相当于A顺时针旋转一个角度 模不变。 相当于 顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π 2
π
2
Re
8.2 正 弦 量
正弦量 正弦电流电路 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i T 波形： 波形：
1. 正弦量
瞬时值表达式： 瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ψ/ω
O
t
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。
第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
8章相量法
j ＝ 0， 同相
0
i
规定： |j |
wt
j /2：u 超前 i /2，正交
例 解
计算下列两正弦量的相位差。
结论
两个正弦 量进行相位比 较时应满足同 频率、同函数、 同符号，且在 主值范围比较。
(1) i1 (t ) 10 cos(100π t 3π 4) i2 (t ) 10 cos(100π t π 2)
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb F | F | e
j
指数式
三角函数式
F | F | e | F |
j
极坐标式
2. 复数运算
① 加减运算 —— 采用代数式 若 则 Im F2 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2 Im F1+F2 F2
相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0， u超前i j 角，或，i 滞后 u j 角； j <0， i 超前 u j 角，或，u 滞后 i j 角。
等于初相位之差
u, i
u i 0
yu
wt yi j
特殊相位关系
u u i 0 0 i
wt
wt
u
j = (180o ) ，反相
（4）正弦信号的和、差、导数及积分仍是同频率的正弦信号，其
分析计算最简单。 交流电在工业生产和日常生活中 应用极为广泛，即使必须采用直流电 的场合，如化工、交通、通信等，往 往也是利用整流设备将交流电变换为 直流电。
8.1 正弦量
第8章 相量法
Chapter 8 相量法主要内容：1.复数；2.正弦量；3.相量、相量法；4.电路定律的相量形式。
§8-1复数一、复数的几种表示形式1. 代数形式：jb a F +=2. 三角形式：)sin cos ( θθj F F += 欧拉公式 θθθsin cos j e j +=3. 指数形式：θj eF F =4. 极坐标形式：θ∠=F F二、复数的运算1.相等若两复数的实部和虚部分别相等，则这两复数相等；若它们的模相等，辐角相等，则这两复数相等。
2.加减运算)()()()(2121221121b b j a a jb a jb a F F ±+±=+±+=±复数的加减运算可以在复平面上用图形来表示。
求复数之和的运算在复平面上符合平行四边形求和法则。
3.乘法运算)(2122121211θθθθ+==j j j eF F eF eF F F)arg()arg()arg( , 21212121F F F F F F F F +==∴复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。
4.除法运算)arg()arg(arg,212121212121221121F F F F F F F F F F F F F F -==∴-∠=∠∠=θθθθ复数相除时，其模相除，其辐角相减。
5.旋转因子 ①)( , ,1θθθθθθ+==∠=a aj j j j eA eA eA A e则若② 1 ,1 , ,222=-=-==-ππππj j jjeej e j e例8-1：设 212121,13510,43F F F F F j F 和求+︒∠=-=。
解：)252543135104321j j j F F +-+-=︒∠+-=+（ ︒∠=+=1435.13.07-4.07j︒∠=︒-∠=︒∠︒-∠=︒∠-=9.1715.01.1885.0135101.535135104321j F F§8-2 正弦量一、正弦量时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。
第8章-相量法
拉 cos ej e-j
公
2
式
sin
ej
e-j 2
F* a jb F ej F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标形式
设 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2 F1 ej1
F2 ej2 F1
F ej(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
模相乘 角相加
F1F2 F1 F2
Im F1F2
argF1F2 argF1 argF2
F2 θ2 θ1 F1
2
2
us
2Us cos wt u
1 2
U sme jwtu
U
e-jwt
sm
u
i
2I cos wt i
1 2
I
m
e
jwt
i
Ime-jwti
取Usmejwtu
Imejwti
代入方程
Ri L
di dt
1 C
idt us
RImejwti jwLImejwti
1
jwC
Ime jwti
高频
HF
330MHz
短波
100m10m 天波与 地波
甚高频 VHF 30-
300MHz 米波
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
高等教育出版社第六版《电路》第8章_相量法
即 i2 超前 i1 。
注 意
① Ψi 与参考方向的设定有关，不同则差180º 。 ②正弦量的一个重要性质： 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 正弦量
o
频域
o U U0
I
C
i (t ) C
I j C U
+
U
1
有效值关系 I=C U 相位关系 i 超前u 90°
I j C U
- j C
相量模型
I
U
U
1 jC
I j 1 I
C
相量图
三个含义：
23
容抗： X C 容抗的物理意义：
代数式和向量图解法。 1、加减： 代数式、指数式。 2、乘除： 乘除的几何意义： 模放大，幅角逆时针旋转。 旋转因子： e
j
±j、－1均可视为旋转因子。
4
§8 －2 正弦量
一、正弦量被广泛采用的原因：
1、电力工程中，发、输、用电采用正弦量使设备简单，效 率高且较经济； 2、实验室易于产生标准的正弦量； §8-2 正弦量 3、有一套成熟的分析正弦电路的方法； 4、非正弦量可由傅立叶级数分解为正弦量。
(2) 感抗和频率成正比。
XL
0(直 流 ) , X , X
L
0, 短 路 ;
L
, 开路.
(3) 由于复数感抗的存在使电流滞后电压。
22
3、电容： i (t) + u(t) 时域模型 时域
第八章 相量法1 优质课件
j b
|F|
2、三角形式：
F
F=a+jb
a 1
=|F|（cos + jsin ）
|F| 为复数的模， 为复数的幅角。
a=|F|cos b=|F|sin
或：
|F
|
a2 b2
θ：
欧拉公式
ej cos jsin
i 一般规定：| | 。
O
t
=0 =－/2
二. 相位差 ： 两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umcos(w t+ u) i(t)=Imcos(w t+ i)
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
(2) 角频率(angular frequency)w
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) i
i
T
Im
反映正弦量的计时起点。 i/w O
2 twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
O
wt
u i
j
j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
三. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 大小工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
直流I R
第8章电路邱关源课件PPT
i = i1 + i2= Re 2 I&1e jωt + Re 2 I&2 e jωt
jω t 1 2
] [ ] & +I & + L)e ] = Re [ 2 I &e ] = Re [ 2 ( I
jω t
[
&=I & +I & +L I 1 2
相 量 法
电 路 例8-2 设两个同频率正弦电压分别为
F2 = −7.07 + j 7.07 F1 + F2 = (3 − j 4) + (−7.07 + j 7.07) = −4.07 + j 3.07 3.07 = 143o arg( F1 + F2 ) = arctan − 4.07
F1 + F2 = (−4.07) 2 + 3.07 2 = 5.1
相 量 法
电 路 正弦量的有效值 在相同时间内, 在相同时间内,正弦电流 正弦电流 i 对电阻R所做的功 == 直流电流I 在R 所做的功, 所做的功, I 就称为正弦 就称为正弦电流 正弦电流i 的有效值。 的有效值。
1 T
∫
T
0
i Rdt = I R
2 2
1 T
∫
T
0
i 2 dt = I 2
或
& =U & +U & = 200∠10o + 300∠ − 30o U s1 s2
= 197 + j17.4 + 259.8 − j150 = 456.8 − j132.6 = 475.8∠ − 16.2o
u = 475.8 sin( ωt − 16.2o )