全国通用版高考数学一轮复习第六单元解三角形高考达标检测十九正余弦定理的3个基础点__边角形状和面积理
2019年高考数学一轮： 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理学案 文
第六节 正弦定理和余弦定理 [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(对应学生用书第50页) [基础知识填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理
公式 asin A＝bsin B＝csin C＝2R.(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A； b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C
公式 变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R cos A＝b2＋c2－a22bc； cos B＝c2＋a2－b22ca；
cos C＝a2＋b2－c22ab 2. 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角
图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解
3. 三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A． (3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识拓展] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋B2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sinA＋B2＝cos C2；(4)cosA＋B2＝sin C2. 3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( ) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．( ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.( )
高考数学一轮复习 第六单元 解三角形 高考达标检测(十八)三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应
高考达标检测（十八） 三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ， 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.3．(2018·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A ．－35B.35 C ．－45D.45解析：选B ∵sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35.4．(2018·东北三省模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝34，则tan θ2＝( )A.7B.17 C ．7D.77解析：选D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ2＝cos θ＋12＝144， 所以sin θ2＝24，所以tan θ2＝77.法二：由题意得sin θ＝74，所以tan θ＝73. 因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以由tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝73， 解得tan θ2＝77或tan θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(2018·吉林大学附中检测)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：选D ∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26， 两边平方得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－45B ．－35C ．－25D ．－15解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 8．(2018·长沙模拟)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：110．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7911．(2018·东北三省四市联考)已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2 x 2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 即tan x ＝－2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－312．(2018·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋β·tan β＝25－131＋25×13＝117，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98.答案：98三、解答题13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin x cos x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 故当2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值1，故当f (x )取得最大值1时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π，k ∈Z. (2)由(1)可知f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，∴x 1＋x 2＝5π6，即x 1＝5π6－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝f (x 2)＝23.14．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos 2x2－1－cos⎝⎛⎭⎪⎫2x－π32＝12⎝⎛⎭⎪⎫12cos 2x＋32sin 2x－12cos 2x＝34sin 2x－14cos 2x＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f⎝⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f(x)＝sin2ωx2＋12sin ωx－12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，58D.⎝⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58解析：选D f(x)＝sin2ωx2＋12sin ωx－12＝12sin ωx－12cos ωx＝22sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π4，因为π<x<2π，所以ωπ－π4<ωx－π4<2ωπ－π4，因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≥0，22sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≤0，22sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧2k＋14≤ω≤2k＋54，k＋18≤ω≤k＋58(k∈Z)或⎩⎪⎨⎪⎧2k－34≤ω≤2k＋14，k－38≤ω≤k＋18(k∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin 2ωx ＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间； (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求函数g (x )的值域． 解：(1)由题意得，f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 令k ＝－1，得－3π4≤x ≤－π4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4.(2)由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，所以－2π3≤4x －π3≤π3， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3≤32，g (x )∈[－2，3]，即函数g (x )的值域为[－2，3]．。
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
2019年高考数学一轮复习第六单元解三角形高考达标检测十八三角恒等变换的3个考查点--化简求值和应用理
2019年高考数学一轮复习第六单元解三角形高考达标检测十八三角恒等变换的3个考查点--化简求值和应用理一、选择题1．(xx·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ， 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.3．(xx·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A ．－35B.35 C ．－45D.45解析：选B ∵sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35.4．(xx·东北三省模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 5．(xx·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝34，则tan θ2＝( )A.7B.17 C ．7D.77解析：选D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ2＝cos θ＋12＝144， 所以sin θ2＝24，所以tan θ2＝77.法二：由题意得sin θ＝74，所以tan θ＝73. 因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以由tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝73，解得tan θ2＝77或tan θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(xx·吉林大学附中检测)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：选D ∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26， 两边平方得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－45B ．－35C ．－25D ．－15解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 8．(xx ·长沙模拟)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：110．(xx·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7911．(xx·东北三省四市联考)已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2 x 2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 即tan x ＝－2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－312．(xx·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tan β1＋α＋ββ＝25－131＋25×13＝117，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98.答案：98三、解答题13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin x cos x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 故当2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值1，故当f (x )取得最大值1时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π，k ∈Z. (2)由(1)可知f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，∴x 1＋x 2＝5π6，即x 1＝5π6－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝f (x 2)＝23.14．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 因为π<x <2π，所以ωπ－π4<ωx －π4<2ωπ－π4， 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≥0，22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≤0，22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58(k ∈Z)或⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18(k ∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin2ωx ＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间； (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求函数g (x )的值域． 解：(1)由题意得，f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 令k ＝－1，得－3π4≤x ≤－π4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4.(2)由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，所以－2π3≤4x －π3≤π3， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3≤32，g (x )∈[－2，3]，即函数g (x )的值域为[－2，3]．2019年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业三十五6.1不等式的性质及一元二次不等式理一、选择题(每小题5分,共35分)1.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式成立的是( )A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0【解析】选D.当b≥0时,a+b<0;当b<0时,a-b<0,所以a<b<0,所以a+b<0.2.(xx·运城模拟)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac>bdB.ac<bdC.ad<bcD.ad>bc【解析】选B.根据c<d<0,有-c>-d>0,由于a>b>0,两式相乘有-ac>-bd,ac<bd.3.(xx·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B= ( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解题指南】先求出集合B,再利用Venn图求出A∪B.【解析】选C.B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z},所以B={0,1},所以A∪B={0,1,2,3}.【变式备选】(xx·全国卷Ⅲ)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T= ( )A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解题指南】根据集合的运算法则进行集合的交集运算.【解析】选D. 在集合S中(x-2)(x-3)≥0,解得x≥3或x≤2,所以S∩T=.4.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意得-x2+4x-3>0,即x2-4x+3<0,所以1<x<3,又ln(-x2+4x-3)≠0,即-x2+4x-3≠1,所以x2-4x+4≠0,所以x≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3).5.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|-a<x<5a}C.{x|x<5a或x>-a}D.{x|5a<x<-a}【解析】选C.不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0.因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,a<-,所以5a<-a,所以不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}.【变式备选】若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是( )A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}【解析】选D.由题意知a=0时,满足条件.当a≠0时,由得0<a≤4.所以0≤a≤4.6.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( ) A. B. C. D.【解析】选A.由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.7.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则a的取值范围为 ( )A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【变式备选】若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是( )A.B.C.∪D.【解析】选C.因为x∈(0,2],所以a2-a≥=.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥.由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即=,故a2-a≥,解得a≤或a≥.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为________.【解析】由题意知-1,2是方程ax2+bx+2=0的根.由根与系数的关系得⇒所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0.可知-1,是对应方程的根.所以所求不等式的解集为.答案:9.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题①若ab>0,bc-ad>0,则->0;②若ab>0,->0,则bc-ad>0;③若bc-ad>0,->0,则ab>0.其中正确的命题是________.【解析】ab>0,bc-ad>0,所以-=>0,所以①正确;因为ab>0,又->0,即>0,所以bc-ad>0,所以②正确;因为bc-ad>0,又->0,即>0,所以ab>0,所以③正确.故①②③都正确.答案:①②③10.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________.【解析】由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有=1,故a=2.结合f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.答案:b<-1或b>21.(5分)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+>b+B.>C.a->b-D.>【解析】选A.取a=2,b=1,排除B与D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a) >f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立.2.(5分)已知a>b>0,则-与的大小关系是 ( )A.->B.-<C.-=D.无法确定【解析】选B.(-)2-()2=a+b-2-a+b=2(b-)=2(-),因为a>b>0,所以-<0,所以(-)2-()2<0,所以-<.3.(5分)已知下列不等式①x2-4x+3<0;②x2-6x+8<0;③2x2-9x+a<0,且使不等式①②成立的x也满足③,则实数a的取值范围是( )A.a≥B.a≤10C.a≤9D.a≥-4【解析】选C.联立①②得即解得2<x<3,所以2<x<3也满足③2x2-9x+a<0,所以③的解集非空且(2,3)是③的解集的子集.令f(x)=2x2-9x+a,即2<x<3时,f(x)max<0,又f(x)的对称轴为x=.由f(x)=2x2-9x+a<0,得f(2)=8-18+a≤0,且f(3)=18-27+a≤0,解得a≤9.【一题多解】选C.分离变量可得a<-2x2+9x=-2(x-)2+,x∈(2,3)恒成立.记g(x)=-2x2+9x,x∈(2,3),由g(x)>9可知a≤9.4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求a的取值范围.(2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.【解析】(1)因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+2ax+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0恒成立.当a≠0时,则有解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是[0,1].(2)因为f(x)==,a>0,所以当x=-1时,f(x)min=,由题意得,=,所以a=,所以不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0.解得-<x<,所以不等式的解集为.。
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=， 所以233c a c a ==或， 当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =， 所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =． 【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=． （1）求角A 的值； （2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ． 【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=； （2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算． （2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭， 因为203ACD π<∠<， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2） 【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =； 删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24A A π+=或24A A ππ+=-， 解得4A π=； （2）112a b c+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】 【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。
2019届高考数学(理)一轮复习讲练测：专题4.6 正弦定理和余弦定理(讲)(解析版)
2019年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第四章 三角函数与解三角形第06节 正弦定理和 余弦定理【课前小测摸底细】1. 【教材改编】在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．5 6【答案】C【解析】由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：asin A ＝c sin C ， 即1032＝c 22. ∴c ＝1063. 2. （2019全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =【答案】2113[解析] 解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=.解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b ==.解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b aB A=，解得2113b =．3. 【2019甘肃兰州实战】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若sin 3sin b A c B =， 3a =，2cos 3B =，则b =（ ） A ．14 B．6 C【答案】D.【解析】由题意得，sin 3sin 331b A c B ab bc a c c =⇒=⇒=⇒=，∴22222cos 9123163b ac ac B b =+-=+-⋅⋅⋅=⇒=，故选D ． 4.【基础经典试题】设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的形状为（ ）A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不确定【答案】A【解析】因为bcosC ccosB asinA +=，由正弦定理可得：sinBcosC sinCcosB sinAsinA +=，所以2sin B C sin A +=（），即2sinA sin A =，A 为三角形内角，所以sinA =1，A =2π，所以三角形是直角三角形．故选A ．5. 【高考题改编】在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为.2B C .4D【答案】B【考点深度剖析】高考对正弦定理和余弦定理的考查，会以选择和填空的形式考查正弦定理和余弦定理在三角形中边和角的应用；也会以大题的形式考查与平面向量和三角恒等变换的结合，试题难度不大，主要考查灵活运用公式求解计算能力．【经典例题精析】考点1 正弦定理 【题组全面展示】【1-1】ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C【解析】2222cos a c b cb A =+-213923cos 60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．【1-2】若满足 c =cos sin a C c A =的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．2)D ．2) 【答案】D【1-3】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，则C＝________. 【答案】15°【解析】由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.故填15°.【1-4】 (2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( ) A ．－19B.13 C ．1 D.72【答案】D【解析】由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2sin 2B sin 2A －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.故选D .【课本回眸】正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【方法规律技巧】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则a ＜b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥b【新题变式探究】【变式1】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =则B =A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】C【解析】由正弦定理得B a A b cos 3sin ⋅=⋅，B A A B cos sin 3sin sin ⋅=⋅，由于0sin ≠A ，3tan cos sin ==B B B ，3π=∴B ，故答案为C. 【变式2】在中，已知，，则为（ ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形ABC ∆c B a =cos 2ABC ∆C.锐角非等边三角形D.钝角三角形 【答案】B【解析】由正弦定理得,在三角形中.，,整理的， ，又，考点2 余弦定理【 2-1】在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________．【答案】1【2-2】(2019·东北三校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sin B ＝513，cos B ＝12ac，则a ＋c 的值为________．【答案】37C B A sin cos sin 2=π=++C B A )sin(sin B A C +=∴B A B A B A sin cos cos sin cos sin 2+=∴B A B A sin cos cos sin =B A tan tan =∴()π,0,∈B A BA =∴B A =【解析】由a ，b ，c 成等比数列知b 2＝ac ， ∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213，∴ac ＝b 2＝13.余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝1213，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37.【2-3】【2019山东潍坊一模】已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC= ．【答案】【课本回眸】余弦定理：2222cos a b c ab C+-= ，2222cos b c a ac A +-= ，2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理． 【方法规律技巧】已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解.已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边. 【新题变式探究】【变式1】【2019年高考江西】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3BC ．【答案】C【解析】 由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-；由3C π=及余弦定理可得222a b c ab +-=，所以6ab =，所以1sin 2ABC S ab C ∆=3sin 3π==． 【变式2】ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∴3,0πA .考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用以及判断三角形形状【3-1】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状.方法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形．【3-2】在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，则cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B1 （C（D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=， 设ABC ∆外接圆的半径为R，则22sin a R A ===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C +=+=+sin cos )B C B C B C ==-，故cos S B C +的最大值为C ．【3-3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2220a b c ab +--=．若ABC ∆的，则ab 的最小值为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．4 【答案】D【课本回眸】【方法规律技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 【新题变式探究】【变式1】在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，且直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是 ( ) A ．锐角三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C解法二 由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意，故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形.【变式2】(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .① ∵A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【变式3】(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【答案】3【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3. 在△ABC 中，由余弦定理得4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.故填3. 三、易错试题常警惕易错典例：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．易错分析：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．四、学科素养提升之交汇创新系列【典例】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C ．根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ．因为sin A >0，所以cos B ＝22， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.[方法总结] 1.三角形与三角恒等变换、平面向量、数列、基本不等式等知识交汇命题时，一般先将所给条件和待求(证)结论依据相关知识作等价变换，转化为纯三角函数内容，按三角函数的知识方法解答．2．在三角形问题中，若给出的条件式中既有边又有角，一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边，再按转化后的表达式特点选择变形解答方法．。
2019年全国版高考数学(文)一轮复习必刷题：第六单元 三角函数
第六单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=.【解析】∵α与β关于y轴对称,∴α+β=π+2kπ(k∈Z),则sin α=sin β=,∴=,cos α=-cos β,∴cos(α-β)=-cos2α+sin2α=-.【答案】-2.(2016年全国Ⅲ卷)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=().A.B.C.1D.【解析】cos2α+2sin 2α====.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为.【解析】由3sin x=1+cos 2x,得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.【答案】或考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是().A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】因为C2:y=sin=sin=cos,所以只需把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,即得到曲线C2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是().A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在上单调递减【解析】函数f(x)的周期为2kπ(k∈Z),故A正确;由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),当k=3时,x=,故B正确;f(x+π)=-cos,则当x=时,f(x+π)=0,故C正确;函数f(x)的图象是由函数y=cos x的图象向左平移个单位长度得到的,故函数f(x)在-上单调递减,在上单调递增,故D错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.【解析】f(x)=sin2x+cos x-=1-cos2x+cos x-=--+1,∵x∈,∴cos x∈[0,1],∴f(x)的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则().A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【解析】由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=4-=3π,∴ω=,即f(x)=2sin.∵|φ|<π,f=2,∴φ=.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为().A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin 2,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,①ω+φ=mπ+,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.①当φ=时,f(x)=sin,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-时,f(x)=sin-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§6.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五 诱导公式☞ 左学右考已知点P (sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限cos+tan 225° =( ).A. B .-C .D .-已知α∈ - - ,且sin α=- ,则cos α等于( ).A .-B .C.-D.已知tan(2017π+α)=,则-等于().A.-2B.C.-D.-在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin 2α的值为.已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=,R=10 cm,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线图形(2)正角负角零角三、y x四、1.sin2α+cos2α=12.=tan α五、cos αcos αsin α-sin α基础训练1.【解析】由题意得所以角α的终边在第四象限,故选D.【答案】D2.【解析】cos +tan 225°=-+1=.【答案】A3.【解析】=-=--=,∵α∈--,∴cos α<0,∴cos α=-,故选C.【答案】C4.【解析】tan(2017π+α)=tan α=,所以-=-=-,故选D.【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=∴cos α===,sin α===,则cos2α+sin 2α=+2sin αcos α=+=.【答案】6.【解析】(1)设弧长为l,扇形面积为S,则α=,R=10 cm,l=×10= cm,S=××10= cm2.(2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR,α=-2,S扇=α·R2=-R2=CR-R2=--=--+,∴当R=时,扇形面积取最大值,此时α=-2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=.∴S扇=α·R2=α·=α·=·≤.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x,则sin α+=.【解析】∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cos α=x,∴cos α==x.∵x≠0,∴x=±∴r=.当x=时,sin α+=-;当x=-时,sin α+=--.【答案】-【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(-1,),2α∈[2π,4π),则sin α等于().A.-B.C.-D.【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan 2α=-,∴2α=2π+,即α=π+,∴sin α=-.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.(2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=60°=,l=×10=,S弓=S扇-S△=××10-×102×sin=-=50-.(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=,∴S扇=αR2=α·==≤1.当且仅当α=,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r(0<r<10).∴扇形的面积S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.∴当r=5时,S有最大值25,此时l=10,α==2 rad.∴当α=2 rad时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin A cos A的值;(2)求tan A的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=,①∴两边平方得1+2sin A cos A=,∴sin A cos A=-.(2)由(1)得sin A cos A=-<0,又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A)2=1-2sin A cos A=1+=,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=.②由①②可得sin A=,cos A=-,=-.∴tan A==-【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin2α+sin αcos α-2cos2α=.(2)已知sin2α=3sin2β,tan α=2tan β,则cos2α=.【解析】(1)sin2α+sin αcos α-2cos2α=-=-=.(2)∵sin2α=3sin2β,①tan2α=4tan2β,②由①÷②得,4cos2α=3cos2β,③由①+③得,sin2α+4cos2α=3,∴cos2α=.【答案】(1)(2)题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin α,分别是方程5x2-12x-9=0的两根.(1)求cos-和sin的值;(2)若3π<α<,的值.求-------【解析】∵sin α,分别是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sin α=-,=3,∴cos=.(1)cos-=cos-=-cos=-,sin=sin=cos=.(2)∵3π<α<,∴α是第三象限角.∵sin α=-,∴cos α=-.=--=-1-cos α=-.【变式训练4】已知f=---.-(1)求f-的值.(2)若f(x)=,求sin+cos的值.【解析】f=-=-cos x·tan x=-sin x.(1)令+x=-,则x=--=-,∴f-=-sin-=sin=.(2)∵f(x)=-sin-=,∴sin-=-,∴sin+cos=sin-+cos=sin--cos=sin--cos-=2sin-=-.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴+kπ<<+kπ,k∈Z,∴是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当是第一象限角时,sin =AB,cos =OA,tan =CT,故cos <sin <tan .②当是第三象限角时,sin =EF,cos =OE,tan =CT,故sin <cos <tan .综上可得,当是第一象限角时,cos <sin <tan ;当是第三象限角时,sin <cos <tan .方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin--+cos-(n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin--+cos-=sin--+cos-=sin--+cos-=-sin+cos-=-sin+sin=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-cos-=sin-cos-=sin-sin=0.故sin--+cos-=0.1.(2017日照市三模)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则cos α的值为().A.B.-C. D.-【解析】因为sin(π-α)=sin α=,≤α≤π,所以cos α=--=-.【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则-=().A.3B.-3C.D.-【解析】因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以-=-=---=,故选C.【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos α+sin α=,则sin 2α的值为().A.B.- C. D.-【解析】∵cos α+sin α=,∴1+sin 2α=,∴sin 2α=.【答案】A4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=().A.-8B.-4C.2D.4【解析】因为sin θ==-,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin=,则cos-的值为().A.B. C.- D.-【解析】cos-=cos-=sin=,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则=.【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,则==1.【答案】1则f-+f=.7.(2016湖北二模)设f(x)=-【解析】f-+f=sin-+f-=+sin =.【答案】8.(2017郴州市四检)已知3cos2θ=tan θ+3,且θ≠kπ(k∈Z),则sin[2(π-θ)]=.【解析】由题意可得3cos2θ-3=tan θ,即-3sin2θ=,因为θ≠kπ(k∈Z),所以sin θcos θ=-,即sin 2θ=-,所以sin[2(π-θ)]=-sin 2θ=.【答案】9.(2016许昌二模)已知点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,则α的一个变化区间是().A.--B.-C.--D.【解析】因为点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,所以-根据三角函数的性质可知选项C正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=+(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=,终边位于第一象限,当k=1时,α=,终边位于第二象限,当k=2时,α=,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<时,函数f(x)=-的最小值是().A. B. C.2 D.4【解析】当0<x<时,0<tan x<1,f(x)=-=-,设t=tan x,则0<t<1,y=-=-≥4.当且仅当t=1-t,即t=时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tan α=3tan ,则--=.【解析】--=-=-=-=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若-=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(sin A-1)2=1,即4sin2A-2sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=,∴A=或A=,将A=或A=代入①知A=时等式不成立,∴A=.(2)由=-3,-得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§6.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、、-、. 二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)[-1,1][-1,1]R☞ 左学右考设点P 是函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象C 的一个对称中心,若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是,则ω= .函数y=2-3cos的最大值为 ,此时x= .函数f (x )=sin - 的图象的一条对称轴是( ).A.x=B.x=C.x=-D.x=-知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、x=kπ+x=kπ-[2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π]-基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的,故f(x)的最小正周期为T=4×=,∴ω==.【答案】2.【解析】当cos=-1时,函数y=2-3cos取得最大值5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),从而x=π+2kπ,k∈Z.【答案】5π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.取k=-1,则x=-.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+的定义域为.【解析】由题意得-即-解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.【变式训练1】函数y=-的定义域为.【解析】由题意得sin 2x-cos 2x≥0,即sin-≥0,则2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的定义域为.【答案】题型二三角函数的值域【例2】求函数f(x)=cos2x+sin x+在区间-上的最大值与最小值.【解析】f(x)=cos2x+sin x+=1-sin2x+sin x+=--+.∵x∈-,∴sin x∈-,∴当sin x=-时,函数f(x)取最小值,当sin x=时,函数f(x)取最大值.【变式训练2】已知函数f(x)=cos-+2sin-·sin,求函数f(x)在区间-上的最大值与最小值.【解析】由题意得f(x)=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin-.又x∈-,∴2x-∈-,∴sin-∈-.故当x=时,f(x)取最大值1;当x=-时,f(x)取最小值-.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.先将y=f(x)化成y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)形式,再结合求周期公式和求单调区间的方法即可求解.【变式训练3】已知函数f(x)=sin ωx(cos ωx-sin ωx)+(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间.【解析】f(x)=sin ωx(cos ωx-sin ωx)+=sin ωx·cos ωx-sin2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx=sin.(1)∵函数f(x)的最小正周期为,∴=,解得ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,∴+≤x≤+,k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin 2x+cos 2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f的图象关于点中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.(1)∵y=f(x+φ)=2sin的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴+2φ=+kπ,k∈Z,则φ=+,k∈Z.∵|φ|≤,∴φ=-或φ=.(2)∵y=f=2sin=2cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,∴2cos=2cos=2cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若f-=f(x),求φ;(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos的单调递减区间.【解析】(1)∵f-=f(x),∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,令2×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,又-π<φ<0,则-<k<-,k∈Z.∴k=-1,则φ=-.(2)∵函数y=f(x)是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-,∴g(x)=cos-.令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴y=g(x)的单调递减区间为,k∈Z.方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x-2.(1)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在-上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x-2=sin 2x+cos 2x=2sin.(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.解得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∵x∈,∴f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知函数f(x)在-上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【解析】∵y=2sin2-1=-cos(2x+3π)=cos 2x,∴y=2sin2-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin-cos-的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.-C.D.【解析】由题意知f(x)=sin-,令x-=kπ(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z).由k=-1,得x=-,即f(x)=sin-的一个对称中心是-.【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在-上是增函数.”的一个函数为().A.y=sinB.y=cos-C.y=cosD.y=sin-【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=时,y=cos=cos =-,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象在y轴左侧的第一个最高点为-,第一个最低点为-,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sin-B.f(x)=3sin-C.f(x)=3sin-D.f(x)=3sin-【解析】由题意得A=3,T=2-=π,∴ω=±=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点-,则+φ=2kπ+,得φ=.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,<,其图象的两条相邻对称轴的距离为,f为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A. B.C.和D.和【解析】∵函数f(x)图象的两条相邻对称轴的距离为,∴=,解得T=π,∴ω=2.又f为最大值,令2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=,∴函数f(x)=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈-,当k=1时,x∈,∴f(x)在区间上的单调增区间为和.【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos 2x+sin的最小值是.【解析】f(x)=cos 2x+sin=2cos2x+cos x-1=2-,故f(x)min=-.【答案】-7.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f=.【解析】由图象知,T=2-=,∴ω=2.由2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.又∵|φ|<,∴φ=.由A tan=1,知A=1,∴f(x)=tan,∴f=tan=tan =.【答案】8.(2017百校联盟)已知函数f(x)=-sin2x,则当f(x)取最小值时cos 2x的值为.【解析】f(x)=+-=+-,∵cos 2x+2>0,∴f(x)≥2×-=0,当且仅当=,即cos 2x=-时等号成立.【答案】-9.(2017辽宁四模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R 恒成立,则ω的最小值为().A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点,则sin φ=.结合|φ|<可得φ=,由f(x)≤f对x∈R恒成立,可得×ω+=2kπ+(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z),令k=0,可得ωmin=4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f(x)=sin-cos-(ω>0),满足f-=,则满足题意的ω最小值为().A.B. C.1 D.2【解析】由题意可得f(x)=sin-cos=sin+sin=sin,则f-=sin-=,∴-ω+=2kπ+或-ω+=2kπ+(k∈Z ),则ω=1-12k或ω=-12k-3(k∈Z ).结合ω>0可得,令k=0,ωmin=1.【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若-的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是().A.-,k∈ZB.-,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω==,又f(x)的图象关于点对称,从而f=1,即sin=0,因为|φ|<,所以φ=-,故f(x)=2sin-+1.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ=.【解析】由图象知sin φ=-⇒φ=2kπ-(k∈Z ),又<<T⇒<T<⇒<ω<.再由sin=0⇒ω+φ=2kπ+π(k∈Z)⇒φ∈--,解得φ=-.【答案】-13.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2a sin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈,∴2x+∈.∴sin∈-,∴-2a sin∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得f(x)=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)>0得g(x)>1,∴4sin-1>1,∴sin>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为,k∈Z.§6.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];3.周期:T=;4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:-(k∈Z);6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:☞左学右考把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得图象的函数解析式为.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为.求函数f(x)=cos的单调递减区间.知识清单一、4.x=-(k∈Z)6.---(k∈Z)--(k∈Z)二、|φ|基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin-的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=sin-的图象.【答案】y=sin-2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=,又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.【答案】6和3.【解析】由不等式2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为-(k∈Z).题型一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2)写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+,则y=2sin=2sin X.列表,并描点画出图象:(2)振幅A=2,周期T==π,初相φ=.(法一)把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.(法二)把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象;再把y=sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin的图象;最后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f(x)=cos-(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得的图象经过点,则ω的最小值是().A. B.1 C. D.2【解析】f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度后得g(x)=sin-ω的图象,故g=sinω=0,所以ω=kπ,k∈Z,即ω=2k,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(0)的值为.【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f(x)=sin(x+φ),且f=0,∴+φ=kπ,∴φ=kπ-,∴φ=,∴f(x)=sin,∴f(0)=sin=.【答案】【变式训练2】已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为.【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ),即sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.又∵是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x轴形成的零点,∴ω+=2π,∴ω=2,∴f(x)=2sin.【答案】f(x)=2sin题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ-是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=,所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin-+2.(2)令z=4sin-+2=6,得sin-=1.令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.y=A x+.【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,所以×=14-6,解得ω=.由图可知A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,故y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,可取φ=.综上所述,所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14].方法数形结合思想1.掌握“五点法”作图,确定定义域,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,抓住函数y=A sin(ωx+φ)的图象的特征;2.从整体思想和数形结合思想确定函数y=A sin(ωx+φ)的性质.【突破训练1】已知向量a=(sin x,-1),b=(cos x,m),m∈R,设函数f(x)=2(a+b)·b-2m2-1,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上有两个零点,求m的取值范围.【解析】∵f(x)=2(a+b)·b-2m2-1=2x cos x+2cos2x-2m-1=sin 2x+cos 2x-2m=2sin-2m,∴g(x)=2sin--2m=2sin--2m.∵x∈,∴2x-∈-,则2sin-∈[-1,2].设y1 =2sin-,y2=2m,由数形结合知,若函数g(x)在上有两个零点,则2m∈[1,2),∴m的取值范围是.【突破训练2】已知函数f(x)=2sin 2x,记函数f(x)在区间上的最大值为M t,最小值为m t,设函数h(t)=M t-m t.若t∈,则函数h(t)的值域为.【解析】由已知得函数f(x)的周期T=π,区间的长度为,作出函数f(x)在上的图象(图略),又t∈,则由图(图略)可得,当t∈时,h(t)=f-f=2-2cos 2t∈;当t∈时,函数f(x)为减函数,则h(t)=f(t)-f=2sin-∈[2,2],∴h(t)的值域为[1,2].【答案】[1,2]1.(2017阜阳二模)将函数f(x)=sin-的图象向右平移个单位长度后得到的图象的一条对称轴是().A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】由题意得平移后函数为y=sin--=sin-,其图象的对称轴为2x-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),因此直线x=为平移后函数图象的一条对称轴,故选C.【答案】C2.(2017淮北二模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin【解析】由图可得A=2,=π⇒ω=,由f-=2得-+φ=(0<φ<π),则φ=,∴f(x)=2sin.【答案】B3.(2017鹰潭市一模)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为().A.f(x)=2sin-+7(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin-(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)【解析】由题意得b=7,则A=9-7=2,T=2(7-3)=8,∴ω==,又x=3时,×3+φ=2kπ+(k∈Z),得φ=-,故选A.【答案】A4.(2017河北联考)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为,则φ的一个可能取值是().A. B. C. D.【解析】图象F'对应的函数为y=sin,则++φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.令k=1,得φ=.【答案】D5.(2017唐山二模)已知函数f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则f(x)在区间-上的最小值为().A.-1B.C.-D.-2【解析】由题意可知f(x)=2cos-,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得f(x)=2cos-的图象.又该函数图象关于y轴对称,可得-φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2cos.在区间-上,2x+∈-,则2cos∈[,2],故f(x)的最小值为-.【答案】C6.(2017长沙二模)函数y=2sin的最小正周期在内,则正整数m的值是.【解析】∵T=,又<<,∴8π<m<9π,且m∈Z,∴m的值为26,27,28.【答案】26,27,287.(2017咸阳二模)函数y=sin x+cos x的图象可由函数y=sin x-cos x的图象至少向左平移个单位长度得到.【解析】y=sin x+cos x=2sin,y=sin x-cos x=2sin-,将y=2sin-向左平移个单位长度得到y=2sin的图象.【答案】8.(2017昆明二模)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f-,且f=-3,则实数m的值等于.【解析】依题意得,函数f(x)的图象关于直线x=对称,于是当x=时,函数f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.【答案】-1或-59.(2017贵阳一模)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是().A. B. C. D.3【解析】由函数向右平移个单位后与原图象重合,得是此函数周期的整数倍.又ω>0,∴·k=,∴ω=k(k∈Z),∴ωmin=.【答案】C10.(2017广西联考)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是().A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的值域为[-4,4]C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=A sin ωx的图象【解析】由图可得T=2-=2,∴ω=π,∵f=0,∴+φ=kπ.∵-π<φ<0,∴φ=-.又f(0)=-2,∴A sin-=-2,得A=4,∴f(x)=4sin-,故选项D错误.【答案】D11.(2017锦州质检)已知f(x)=sin x cos x-sin2x,把f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到y=g(x)的图象,若对任意实数x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,则g+g=().A.3B.4C.2D.【解析】f(x)=sin 2x--=sin-,所以g(x)=sin-+2-=sin 2x+.因为2a=+kπ(k∈Z),所以g+g=sin++sin+=sin(π+kπ)+4=4,故选B.【答案】B12.(2017山西二模)已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=.【解析】依题意,当x==时,f(x)有最小值,∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).∵f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴-<,即ω<12,令k=0,得ω=.【答案】13.(2017北京一模)已知函数f(x)=A sin ωx,ω>0的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)cos,求g(x)在上的单调递减区间.【解析】(1)由图象可知A=2,设函数f(x)的周期为T,则--=T,求得T=π,从而ω=2,所以f(x)=2sin 2x.(2)因为g(x)=2sin 2x cos=sin 2x cos 2x-sin22x=sin 4x+cos 4x-=sin-,所以+2kπ≤4x+≤+2kπ,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,所以g(x)在上的单调递减区间为.。
2019届高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用训练理新人教版
丰富丰富纷纷第 6 节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,2,3,7与面积相关的问题4,8,9,10实质应用问题5,11综合问题6,12,13,14,15基础坚固 ( 时间 :30 分钟 )1. 在△ ABC中 ,a,b,c 为角 A,B,C 的对边 , 若 A=,cos B=,b=8, 则 a 等于 ( D )(A)(B)10(C)(D)5剖析 : 因为 cos B=,0<B< π ,因此 sin B==,因此由正弦定理可得 a= = =5.应选 D.2. 设△ ABC的内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ ABC的形状为( B )(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定剖析 : 由正弦定理及已知2 , 得 sin Bcos C+sin Ccos B=sinA,因此 sin(B+C)=sin 2A,即 sin( π -A)=sin 2A,sin A=sin 2A.因为 A∈ (0, π ), 因此 sin A>0, 因此 sin A=1, 即 A=, 应选 B.3.(2017 ·南开区一模 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若 cos A=,c-a=2,b=3, 则 a 等于 ( A )(A)2 (B) (C)3 (D)剖析 : 因为 c=a+2,b=3,cos A=,因此由余弦定理可得cos A=,即=,解得 a=2. 应选 A.丰富丰富纷纷则△ ABC的面积为 ( B )(A)(B)(C)(D)2剖析 : 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,因为 a= ,b+c=3,A=60 °, 因此 3=9-3bc, 解得 bc=2,因此 S△ABC=bcsin A= ×2×=,应选 B.5.(2017 ·甘肃一模 ) 要测量电视塔AB的高度 , 在 C点测得塔顶的仰角是45°, 在 D 点测得塔顶的仰角是30° , 并测得水平面上的∠BCD= 120°,CD=40 m, 则电视塔的高度是( B )(A)30 m (B)40 m(C)40 m(D)40 m剖析 : 由题意 , 设 AB=x m, 则 BD=x m,BC=x m,在△ DBC中, ∠ BCD=120° ,CD=40 m,依照余弦定理 ,22 2得 BD=CD+BC-2CD· BC·cos ∠ DCB,即(x) 2=402+x2-2 ×40· x·cos 120 ° ,整理得 x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍),即所求电视塔的高度为40 m.应选 B.6.(2017 ·山东卷 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ ABC为锐角三角形, 且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则以低等式成立的是( A )(A)a=2b (B)b=2a(C)A=2B (D)B=2A剖析 : 因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C)=sin Acos C+sin(A+C)=sin Acos C+sin B,等式左边 =sin B+2sin Bcos C,因此 sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B.由 cos C>0, 得 sin A=2sin B,依照正弦定理 , 得 a=2b, 应选 A.7.(2017 ·全国Ⅲ卷 ) △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60° ,b=,c=3, 则A=.因此 sin B=,又 b<c, 因此 B<C,因此 B=45°,A=180 °-60 ° -45 ° =75° .答案 :75 °8.(2017 ·江西湘潭二模) 在△ ABC中 ,a,b,c分别是内角A,B,C 的对边 , 若 A= ,b=, △ABC 的面积为, 则 a 的值为.剖析 : 因为由 S△ABC=bcsin A,可得×× c×sin= , 解得 c=2,因此 a2=b2+c2-2bccos A=2+8-2×× 2× (-)=14,解得 a=.答案 :能力提升 ( 时间 :15 分钟 )9. △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ ABC的外接圆的面积为 ( C )(A)4 π(B)8 π(C)9 π(D)36 π剖析 : 因为 bcos A+acos B=2,因此由余弦定理可得b×+a×=2,解得 c=2,又因为 cos C=, 可得 sin C==,因此设三角形的外接圆的半径为R,则 2R===6, 可得 R=3,2因此△ ABC的外接圆的面积S=π R =9π .10.(2017 ·河北一模 ) △ ABC中,AB= ,AC=1, ∠ B=30° , 则△ ABC的面积等于 ( D )(A)(B)(C)或(D)或剖析 :AB= ,AC=1,cos B=cos 30° =,由余弦定理得2 2 2AC=AB+BC-2AB· BCcos B,2即 1=3+BC-3BC,即(BC-1)(BC-2)=0, 解得 BC=1或 BC=2,当 BC=1时 , △ ABC的面积S=AB· BCsin B= ××1× =,当 BC=2时 , △ ABC的面积S=AB· BCsin B= ××2× =,因此△ ABC的面积等于或.应选 D.11.(2017 ·山西二模 ) 为了竖一块广告牌, 要制造三角形支架, 如图 , 要求∠ ACB=60° ,BC 的长度大于 1 米 , 且 AC比 AB长 0.5 米 , 为了坚固广告牌, 要求 AC越短越好 , 则 AC最短为 ( D )(A)(1+ )米 (B)2 米(C)(1+ ) 米 (D)(2+ ) 米剖析 : 设 BC的长度为 x 米 ,AC 的长度为 y 米 , 则 AB的长度为 (y- 0.5) 米,在△ ABC中, 由余弦定理得2 2 2,AB =AC+BC-2AC·BCcos∠ACB,即(y-0.5) 2=y2+x2-2yx × ,2化简得 y(x-1)=x -,因为 x>1, 因此 x-1>0, 因此 y==-=-=x+1+, 因此 y=(x-1)+ +2≥ +2,即 x=1+时,y有最小值2+.应选 D.12.(2017 ·浙江卷 ) 已知△ ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D为 AB延长线上一点,BD=2, 连接 CD,则△BDC的面积是,cos ∠BDC=.剖析 : 依题意作出图形, 以下列图 .则 sin ∠ DBC=sin∠ ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则 cos ∠ ABC=,sin ∠ ABC=.因此 S△BDC=BC· BD· sin ∠ DBC=× 2× 2×=.因为 cos ∠DBC=-cos∠ ABC=-==,因此 CD=.由余弦定理 , 得cos ∠ BDC==.答案 :13.(2017 ·天津卷 ) 在△ ABC 中 , 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a 2-b 2-c 2).(1)求 cos A 的值 ;(2)求 sin(2B-A) 的值 .解:(1)由asin A=4bsin B及=, 得 a=2b.由 ac= (a 2-b 2-c 2), 及余弦定理 , 得cos A===-.(2) 由 (1) 可得 sin A=, 代入 asin A=4bsin B,得sin B==.由(1) 知 ,A 为钝角 , 因此 cos B==.于是 sin 2B=2sin Bcos B=,2故 sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=×(-)- ×=-.14.(2017 ·北京卷 ) 在△ ABC中, ∠ A=60° ,c=a.(1)求 sin C 的值 ;(2)若 a=7, 求△ ABC的面积 .解:(1) 在△ ABC中 , 因为∠ A=60° ,c=a,因此由正弦定理得sin C==×=.(2) 因为 a=7, 因此 c=× 7=3.22 2由余弦定理 a =b +c -2bccos A得 72=b2+32-2b ×3× ,解得 b=8 或 b=-5( 舍).因此△ ABC的面积 S=bcsin A= × 8× 3×=6.15.(2017 ·全国Ⅲ卷) △ ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求 c;(2)设 D 为 BC边上一点 , 且 AD⊥ AC,求△ ABD的面积 . 解:(1)由已知可得tan A=-,因此A=,在△ ABC中, 由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即 c2+2c-24=0.解得 c=-6( 舍去 ) 或 c=4.(2)由题设可得∠ CAD=,因此∠ BAD=∠ BAC-∠CAD=.故△ ABD面积与△ ACD面积的比值为=1.又△ ABC的面积为× 4× 2sin ∠BAC=2,因此△ ABD的面积为.。
2019届高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用训练理新人教版
第节正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固(时间分钟).在△中为角的对边,若 ,则等于( )()() ()()解析:因为 <<π,所以,所以由正弦定理可得.故选..设△的内角, 所对的边分别为,若 ,则△的形状为( )()锐角三角形 ()直角三角形()钝角三角形 ()不确定解析:由正弦定理及已知,得 ,所以(),即(π) .因为∈(,π),所以 >,所以 ,即,故选..(·南开区一模)在△中,内角的对边分别为,若 ,则等于()() () () ()解析:因为 ,所以由余弦定理可得,即,解得.故选..(·山东平度二模)在△中所对的边分别为,若°,则△的面积为( )()()() ()解析:由余弦定理可得 () ,因为°,所以,解得,所以△××,故选..(·甘肃一模)要测量电视塔的高度,在点测得塔顶的仰角是°,在点测得塔顶的仰角是°,并测得水平面上的∠° ,则电视塔的高度是( )() () () ()解析:由题意,设 ,则 ,在△中,∠° ,根据余弦定理,得··∠,即()×··°,整理得,解得或(舍),即所求电视塔的高度为 .故选..(·山东卷)在△中,角的对边分别为.若△为锐角三角形,且满足 ( ) ,则下列等式成立的是( )() ()() ()解析:因为等式右边 ( )(),等式左边 ,所以 .由 >,得 ,根据正弦定理,得,故选..(·全国Ⅲ卷)△的内角的对边分别为.已知°,则.解析:由正弦定理得,所以,又<,所以<,所以°°°°°.答案°。
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1 高考达标检测（十九） 正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：选B 因为a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，所以由正弦定理可得sin B＝bsin Aa
＝32，则B＝60°，所以C＝90°，则A∶B∶C＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．根据增加的长度确定三角形的形状 解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2＝b2＋c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A＝b＋d2＋c＋d2－a＋d22b＋dc＋d＝2bd＋2cd＋d2－2ad2b＋dc＋d>0，所以新三角形中最大的角是一
个锐角，故选A. 3．(2018·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2
＝3bc，且b＝3a，则下列关系一定不成立的是( ) A．a＝c B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2
解析：选B 由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，则A＝30°.又b＝3a，
由正弦定理得sin B＝3sin A＝3sin 30°＝32，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立，故选B.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )
A.1010 B.31010 2
C.55 D.255 解析：选B 如图所示，设CD＝a，则易知AC＝5a，AD＝2a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(2a)2＋(5a)2－
2×2a×5a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝31010. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A.34 B.43
C．－43 D．－34 解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 则由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab， 即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
即sin2C－4sin Ccos C＋4cos2Csin2C＋cos2C＝4，
所以tan2C－4tan C＋4tan2C＋1＝4， 解得tan C＝－43或tan C＝0(舍去)． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，AB―→·BC―→>0，a＝32，则b＋c的取值范围是( )
A.1，32 B.32，32 C.12，32 D.12，32 解析：选B 在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12， ∵A是△ABC的内角，∴A＝60°. ∵a＝32， ∴由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C＝csin120°－B＝1， 3
∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝32sin B＋32cos B ＝3sin(B＋30°)． ∵AB―→·BC―→＝|AB―→|·|BC―→|·cos(π－B)>0， ∴cos B<0，B为钝角， ∴90°
故sin(B＋30°)∈12，32，
∴b＋c＝3sin(B＋30°)∈32，32. 二、填空题 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面
积S＝32c，则ab的最小值为________． 解析：将2ccos B＝2a＋b中的边化为角可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin Ccos B＋2sin Bcos C＋sin B．则2sin Bcos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝－12，
则C＝120°，所以S＝12absin 120°＝32c，则c＝12ab.由余弦定理可得12ab2＝a2＋b2－2abcos C≥3ab，则ab≥12，当且仅当a＝b＝23时取等号，所以ab的最小值为12. 答案：12 8．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________. 解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，
由余弦定理得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC
＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin∠ABC＝sin∠CBD＝154， 所以S△BDC＝12BD·BCsin∠CBD＝12×2×2×154＝152. 因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝12∠ABC， 则cos∠CDB＝ cos∠ABC＋12＝104. 4
答案：152 104 9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解析：因为a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， 所以(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C. 由正弦定理得b2＋c2－bc＝4， 又因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，
所以S＝12bcsin 60°≤12×4×32＝3， 故△ABC的面积的最大值为3. 答案：3 三、解答题 10．(2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝5(a2－b2－c2)． (1)求cos A的值； (2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B，及asin A＝bsin B，得a＝2b. 由ac＝5(a2－b2－c2)及余弦定理，
得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－55acac＝－55. (2)由(1)，可得sin A＝255，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝asin A4b＝55. 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝1－sin2B＝255. 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝45，cos 2B＝1－2sin2B＝35，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A ＝45×－55－35×255＝－255. 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝3bcos A. (1)求角A的大小； 5
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)因为asin B＝3bcos A，由正弦定理得sin Asin B＝3sin Bcos A. 又sin B≠0，从而tan A＝3.
由于0
(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，及a＝7，b＝2，A＝π3， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0. 因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积S＝12bcsin A＝332.
法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B，从而sin B＝217，
又由a>b，知A>B，所以cos B＝277. 故sin C＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sin Bcos π3＋cos Bsin π3＝32114. 所以△ABC的面积S＝12absin C＝332. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝3ccos B. (1)求B； (2)若b＝23，△ABC的面积为23，求△ABC的周长． 解：(1)由正弦定理得， sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝3sin Ccos B， ∴sin Bsin(A＋B)＝3sin Ccos B， ∴sin Bsin C＝3sin Ccos B. ∵sin C≠0，∴sin B＝3cos B，即tan B＝3.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)∵S△ABC＝12acsin B＝34ac＝23，∴ac＝8. 根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20， 6
∴a＋c＝a＋c2＝a2＋2ac＋c2＝6， ∴△ABC的周长为6＋23.
1．在平面五边形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，当五边形ABCDE的面积S∈63，3334时，则BC的取值范围为________．
解析：因为AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°， 由余弦定理可得BE＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos A＝33，且∠ABE＝∠AEB＝30°. 又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°. 又∠C＝120°，所以四边形BCDE是等腰梯形．
易得三角形ABE的面积为934，
所以四边形BCDE的面积的取值范围是1534，63. 在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，则CD＝33－x，且梯形的高为3x2， 故梯形BCDE的面积为12·(33＋33－x)·3x2， 即15≤(63－x)x<24， 解得3≤x<23或43答案：[3，23)∪(43，53] 2.如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光
源照射范围是∠ECF＝π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝π6. (1)若CE＝13，求AE的长； (2)设∠ACE＝α，求该空地种植果树的最大面积． 解：(1)由已知得△ABC为直角三角形，
因为AB＝8，∠ABC＝π6，
所以∠BAC＝π3，AC＝4. 在△ACE中，由余弦定理得，CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos A，且CE＝13， 所以13＝16＋AE2－4AE， 解得AE＝1或AE＝3.