人教版九年级上册实际问题与一元二次方程解题技巧
数学人教版九年级上册一元二次方程的实际应用
（30-4x)(20-6x)=30×20×
20
30
1
2
3
5
解法五:设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm， 则剩余部分所形成的矩形长为（30-4x)cm,宽 为（20-6x)cm。 （30-4x)(20-6x)=30×20×
20
30
1
2
3
4
你最喜欢 哪种图形 变换？
a
b
c a
b
c
例3 如图所示，某广场一角的矩形花草 区，其长40m，宽26m，其间有三条等宽 的路，一条直路，两条曲路，路以外的地 方全部种上花草，要使花草的面积为864 m2，则路的宽度是多少？
• 思考题：
如图所示，学校课外生物小组的实验园 地是一块长35米，高20米的平行四边形， 为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽 的小道，两条是直的，一条是曲的，要使 种植面积为600平方米，求小道的宽。 （精确到0.1米）
§17.3实际问题与一元二次方程 （与几何图形有关的实际问题）
知识回顾
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题 （2）设未知数 （3）列方程
（4）解方程 （5）检验
（6）写结论
例1 要设计一本书的封面，封面长27cm， 宽21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面 积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽， 左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度。 （精确到0.1cm）
21
萌芽
题目中有哪些数量关系？ 题目中有哪些等量关系？
27
正中央矩形面积=
人民教育出版社
封面面积
四周边衬的面积=
方法3 方法1
封面面积
方法2
人教版九年级上册实际问题与一元二次方程利润问题优秀ppt
练习1、 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈 利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如 果每天盈利1600元,应降价多少元?
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600 分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4___x_) 元,每天 能售出(_2_0__5_x_)件.
解: 设每件服装应降价 x元,根据题意,得 (44 x)(20 5x) 1600.
均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫
解应：降⑴价设多每少件元衬？ 衫（ 2应）降每价天x衬元衫 降⑵价设多 商少 元场时平，均商每场天平盈利
根据均题每意天得盈：利最多？
为y元
（40-x）（20+2x）=1200 则：y= （40-x）（20+2x）
∴ x2-30x+200=0 解之得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存
解: 设每件衬衫应降价 x元,根据题意,得
(40 x)(20 2x) 1200.
整理得 : x2 30 x 200 0. 解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降价20元.
3.某个体经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元 /千克的价格出售，每天可卖出200千克，为了促销，该 经营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0.1 元/千克 ,每天可多售出40千克（每天房租等费用共计 24元），该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜 的售价降低多少元？
例1: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,
平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价
为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要
人教版九年级数学上册《21-3 实际问题与一元二次方程(第3课时)》教学课件PPT初三优秀公开课
原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不
能围成面积为160m²的鸡场.
巩固练习
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方
便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩
形 猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x） ， 宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 . 整理得：x²-17x+52=0. 解方程，得：（x-13）（x-4）=0. 解得：x1=4，x2=13（舍去）. 因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
素养目标
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得： （6+ 2 x ）（ 3 + 2x ）= 2 ×6× 3.
整 理 方 程 得 ：2x ²+ 9 x- 9 = 0.
解得：x1≈0.84 ，x2≈- 5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84 +6≈7.7（尺）.
探究新知
小路所占面积是矩形 面积的四分之一
2x
30-4x
2x
3x
剩余面积是矩形面积 的四分之三
30-4x
4x
20-6x 20㎝
20-6x
3x
6x
30㎝
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= 3 ×20×30. 4
实际问题与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
甲
5000元 3000元
乙
6000元 3600元
知识讲解
难点突破成本Fra bibliotek药品两年前的成本
现在的成本
年平均下降额
年平均下降率
甲
5000元 3000元 1000元
？
乙
6000元 3600元 1200元
？
知识讲解
难点突破
本年成本=前一年成本-前一年成本×年下降率 =前一年成本×(1-年下降率)
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x
2011年平均每公顷产量为 2012年平均每公顷产量为
7200(1+x) kg 7200(1+x)2 kg
由此可列方程： 7200(1+x)2=8450
知识讲解
难点突破
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的 成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
由题意得
5000(1-x)2=3000
年平均下降 率应为小于1
解方程，得
(1-x)2=0.6
的正数
1 x 0.6
x1 1 0.6, x2 1 0.6
x1 0.225, x2 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
知识讲解
难点突破
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
知识讲解
难点突破
成本
药品
年平均下降额
年平均下降率
甲
1000元 22.5%.
人教版数学九年级上册实际问题与一元二次方程 课件
路面积等于540米2.
解法一: 如图，设道路的
(2)
宽为x米，
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 .
？ 所列的方程是不是 3 2 2 0 (3 2 x 2 0 x ) 5 4 0
注意：横向、纵向路面的重叠部分的面积是x2米2
图中的道路面积不是 32x20x米2. 9
x1
3,
x2
4（ 1 不合题意，舍去） 2
答:小路的宽度为3米.
14
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
再往下的计算、格式书写与解法1相同。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 12
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
练习
： 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑
同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
11
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
如图，设路宽为x米，
横向路面 32x米2 ，
纵向路面面积为 20x米.2
(2)
草坪矩形的长（横向为（32-x)米，
草坪矩形的宽（纵向）(20-x)米.
即 32x20x540.
化简得：x2 5 2 x 1 0 0 0 ,x 1 5 0 ,x2 2
2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
实际问题与一元二次方程(四)图形面积问题(课件)数学九年级上册(人教版)
A.(80+x)(50#43;2x)(50+x)=5400
C.(80+x)(50+2x)=5400
D.(80+2x)(50+2x)=5400
3.一个直角三角形的斜边长为 20，一直角边长是另一直角边长的2倍，则
这个直角三角的面积是( B )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
1.矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为_a_b__m2，周长为_2_(_a_+_b_)_m. 2.梯形的上、下底分别为acm和bcm，高为hcm，则其面积为__12_(_a_+_b_)_h__cm2. 3.圆的半径为rcm，则其面积为π___r_2 cm2，周长为__2_π_r___cm.
备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成
如图所示，所用的篱笆长为36米．
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于 墙的一边的长为多少米？
20米
解：由题意可列方程：
x(36-2x)=144 整理得，x2-18x+72=0 解得x1=6，x2=12 当x=6时，36-2x=24(米)＞20米，不符合题意舍去； 当x=12时，36-2x=12(米)
解得：x1=1，x2=13．
∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1．
答：AE的长为1m．
几何图形与一元二次方程问题
课本封面问题 常见类型 彩条/小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
列方程依据 常见几何图形面积是等量关系.
人教版九年级上册《实际问题与一元二次方程》教案
人教版九年级上册《实际问题与一元二次方程》教案21.3实际问题与一元二次方程(一)学习目标：1、会依据详细问题(按肯定传播速度传播问题、数字问题和利润问题)中的数量关系列一元二次方程并求解;2、能依据问题的实际意义，检验所得结果是否合理;3、进一步把握列方程解应用题的步骤和关键.学习重点：列一元二次方程解决实际问题学习难点：找出实际问题中的等量关系教学过程：●学问回忆1、一元二次方程组的解法有;2、列方程解应用题的一般步骤：1);2);3);4);5)：●课前预习：阅读课本探究1.弄清列一元二次方程组解应用题的根本思想与列一元一次方程解应用题的根本思想一样，一般步骤也一样;理解列一元二次方程组解实际题───设未知数x，找出两个相等关系，列出方程;对于求得的方程组的解，必需检验它是否符合实际意义或题意，再“答”题.●自主学习【问题1】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，⑴开头有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x 个人，用代数式表示第一轮后，共有人患了流感;其次轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示，其次轮后，共有人患流感;⑵依据等量关系列方程：;⑶解这个方程得：;⑷平均一个人传染了个人.⑸假如根据这样的传播速度，三轮传染后，有人患流感.解：●合作探究【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支?【分析】设每个支干长出x个小分支。
则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。
主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。
依题意可列方程：1+x+x2=91解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：1+x+x2=91解这个方程，得：x1=9x2=-10(负根不合题意，合去)答：每个支干长出9个小分支。
人教版九年级(上)实际问题与一元二次方程(1)PPT-公开课
【名师示范课】人教版九年级上册21. 3.1 实际问题与一元二次方程（1）课件- 公开课 课件（ 推荐）
选做题
5、(1)过n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有_(_n_－__3_)_条；
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
2
整理，得 1 x2－12x＝28.
2
解这个方程，得x1＝8，x2＝－7. 合乎实际意义的解为x＝8. 答：应邀请8支球队参加比赛
【名师示范课】人教版九年级上册21. 3.1 实际问题与一元二次方程（1）课件- 公开课 课件（ 推荐）
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1、倍数传播数学模型 传染源是否消失？ 2、握手数学模型 单向、双向？ 3、数字数学模型
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1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组
【名师示范课】人教版九年级上册21. 3.1 实际问题与一元二次方程（1）课件- 公开课 课件（ 推荐）
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1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染， 经过两轮感染后，就会有81台电脑被感染．请你用 学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染 几台电脑？若病毒未得到有效控制，三轮感染后， 被感染的电脑会不会超过700台？
实际问题与一元二次方程知识点讲解2021-2022学年人教版数学九年级上册
21.3实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
知识点二 实际问题中的数量关系一、传播问题设基数为a ,每次由一个个体传播给x 个个体，则一轮传播后有)(ax a +，也就是)1(x a +个个体；二轮传播后共有)1()1(x ax x a +++,也就是2)1(x a +个个体……依次类推，n 轮传播后共有n x a )1(+个个体。
例题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？变式练习1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？二、增长率（下降率）问题设基数为a ,平均增长（下降）率为x ，则一次增长（下降）后的值为()x a a ±,二次增长（下降）后的值为()2x a a ±……依次类推，n 次增长（下降）后的值为()nx a a ±。
例题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）变式练习1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200，2003年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.kg kg2.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）3.某市为了加快廉租房的建设力度，去年市政府共投资2亿人民币建设了廉租房8万平方米，预计明年年底，三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内内年投资的增长率相同。
部编数学九年级上册专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (4)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (5)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (6)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (12)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (14)【题型8 配方法的应用】 (17)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x ﹣2）2+34=0（开平方法）．【分析】先把方程变形为（x ﹣2）2=94，再两边开方得到x ﹣2＝±32，然后解两个一次方程即可．【解答】解：−13（x ﹣2）2+34=0，−13（x ﹣2）2=−34，（x ﹣2）2=94，x ﹣2＝±32，所以x 1=72，x 2=12．【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x +3）2＝（3x +2）2（开平方法）．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2=4 5．【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41−a，当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x 2﹣3x =−32，配方得：x 2﹣3x +94=94−32，即（x −32）2=34，开方得：x −32=解得：x 1=32+x 2=32−（2）方程整理得：x 2+b a x =−c a ，配方得：x 2+b a x +b 24a 2=b 24a 2−c a ，即（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，开方得：x +b 2a =解得：x 1=x 2=【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2=4．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x 2=4，∴x 2﹣+5＝4+5，即（x 2＝9，∴x 3或x =−3，∴x 1＝3x 2＝﹣3+【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x 2﹣8x ﹣7＝0．【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．【解答】解：4x 2﹣8x ﹣7＝0，4x 2﹣8x ＝7，x 2﹣2x =74，配方得x 2﹣2x +12=74+1，（x ﹣1）2=114，x ﹣1＝x ＝∴x1＝1x2＝1【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即（x−54）2=1716，则x−5 4 =∴x【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，整理得：2a2+4a﹣3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40，∴a=∴a1a2=【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，∴x=∴x1x2=【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x=∴x1=x2=【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．【分析】方程利用公式法求出解即可．【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，∵Δ＝49﹣48＝1＞0，∴x=7±1 4，则x1＝2，x2＝1.5．转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2=2 3．【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，解得x1=43，x2=53．【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=−2 3．【变式4-3】（2022秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2+0【分析】利用因式分解法把方程化为x=0或x+=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（x x+0，x=0或x+=0，所以x1=x2=【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）；（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）（x+1）2＝144，则x+1＝12或x+1＝﹣12，解得：x1＝﹣13，x2＝11；（2）移项，得：x2﹣8x＝9，配方，得x2﹣8x+16＝25，则（x﹣4）2＝25，即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，解得：x1＝9，x2＝﹣1；（3）a＝2，b＝7，c＝3，△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．则x=−7±54，则x1＝﹣3，x2=−1 2；（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；（4）直接开平方求解即可．【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，所以，x1＝2，x2＝﹣1；（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，即（x﹣2）2＝1，所以，x﹣2＝±1，所以，x1＝3，x2＝1；（3）a＝1，b＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，xx1x2=（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，解得x1＝3，x2＝1．【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）（3）2x2﹣10x＝3（公式法）（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）（5）x2+=26（用换元法解）（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；（5a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后可以运用因式分解法求解．【解答】解：（1）开平方，得2x﹣1＝∴x1x2（2）移项，得2x2﹣7x＝4，化二次项的系数为1，得x2−72x＝2，配方，得x2−72x+4916=2+4916，（x−74）2=8116开平方，得x−74=±94，∴x1＝4，x2=−1 2；（3）移项，得2x2﹣10x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，∴△＝100+24＝124＞0，∴x∴x1x2=（4）移项，得（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0分解因式，得（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1；（5）原方程变形为：x2+30，a，将原方程变形为：a2﹣a＝30，移项，得a2﹣a﹣30＝0，因式分解，得（a+5）（a﹣6）＝0，∴a+5＝0或a﹣6＝0，∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，6，解得：x＝经检验，x＝（6）原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，设2x2+1＝a，则原方程变为：a2﹣a﹣2＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝2，当a＝﹣1时，2x2+1＝﹣1，Δ＜0，原方程无解，当a＝2时，2x2+1＝2，解得：x＝【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：①x2+x+=0（因式分解法）②5x2+2x﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法）④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法）⑤x 1x 2−2x 2x 1=1（换元法）⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．③可以先移项，然后利用配方法解答．④利用直接开平方法解答；⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．⑥利用换元法解答．【解答】解：①x 2+x +0，（x x +0，∴x +=0或x +=0，∴x 1=x 2=②5x 2+2x ﹣1＝0，a ＝5，b ＝2，c ＝﹣1，Δ＝b 2﹣4ac ＝4+20＝24，x所以x 1=x 2③y 2+6y +2＝0，y 2+6y ＝﹣2，y 2+6y +9＝﹣2+9，即（y +3）2＝7，∴y +3∴y 1＝﹣3+y 2＝﹣3④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2，3（x ﹣2）＝±11（x +1），∴3（x ﹣2）＝11（x +1）或3（x ﹣2）＝﹣11（x +1），∴x 1=−178，x 2=−514；⑤x 1x 2−2x 2x 1=1，x 1x 2−2x 2x 1−1＝0，设y =x 1x 2，则原方程为y −2y −1＝0，y 2﹣y ﹣2＝0，解得：y ＝﹣1，或y ＝2，当y ＝﹣1，x 1x 2=−1，此方程无解；当y ＝2，x 1x 2=2，解得：x 1＝1，x 2=−12，经检验，x 1＝1，x 2=−12是原分式方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2=−12．⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0，设y ＝x 2﹣x ，则原方程为y 2﹣5y +6＝0，解得：y ＝3，或y ＝2，当y ＝3，x 2﹣x ＝3，x 1=x 2=当y ＝2，x 2﹣x ＝2，解得：x 3＝2，x 4＝﹣1；所以原方程的解为x 1x 2x 3＝2，x 4＝﹣1．【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0；（2）x 2﹣2x ﹣15＝0．【分析】（1）等式左边可提取公因式（x +4），转化为（x +4）（x ﹣1）＝0求解；（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x +3）（x ﹣5）＝0，由此可得同解方程x +3＝0或x ﹣5＝0，据此求解．【解答】解：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0，将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，即x+4＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1．（2）x2﹣2x﹣15＝0，将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．【分析】（1）利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，x所以x1=x2=（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2．【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x ﹣3＝0或x +2＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣2；（2）∵4（x ﹣1）2＝9（x ﹣5）2，∴4（x ﹣1）2﹣9（x ﹣5）2＝0，∴[2（x ﹣1）+3（x ﹣5）][2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）]＝0，则2（x ﹣1）+3（x ﹣5）＝0或2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）＝0，解得x 1＝13，x 2=175．【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）12x 2﹣5＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程移项得：2x （x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，分解因式得：（x ﹣1）（2x ﹣3）＝0，所以x ﹣1＝0或2x ﹣3＝0，解得：x 1＝1，x 2=32；（2）方程整理得：x 2＝10，配方得：x 2+8＝18，即（x 2＝18，开方得：x =解得：x 1=x 2＝﹣【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =±当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =±所以原方程的根为x 1=x 2=x 3x 4=以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=x2=【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=x2=x3＝2，x4＝﹣2．以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；（2）已知实数a满足（a2+2﹣3a2＝2的值．【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−1 2，再把y＝2和−12分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）设y ＝a 2y 2﹣3y ﹣10＝0，运用因式分解法解得y 1＝﹣2，y 2＝5，再把y ＝5代y ＝a 2得到a 2+5，即可求得a 2＝52的值．【解答】解：（1）设y ＝x 2+3x ，则2y 2﹣3y ﹣2＝0，则（y ﹣2）（2y +1）＝0，解得y 1＝2，y 2=−12，当x 2+3x ＝2，即x 2+3x ﹣2＝0时，解得x =当x 2+3x =−12，即x 2+3x +12=0时，解得x =综上所述，原方程的解为x 1=x 2x 3x 4=（2）（a 2+2﹣3a 2＝a 22﹣3（a 2﹣10＝0，设y ＝a 2+y 2﹣3y ﹣10＝0，则（y +2）（y ﹣5）＝0，解得y 1＝﹣2，y 2＝5，当y ＝﹣2时，则a 2+=−2，无意义，舍去；当y ＝5时，则a 2+5，得到a 2＝5∴2=53﹣故2的值为3﹣【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x +y ﹣3）（x +y +4）＝﹣10，求x +y 的值．解：设t ＝x +y ，则原方程变形为（t ﹣3）（t +4）＝﹣10，即t 2+t ﹣2＝0∴（t +2）（t ﹣1）＝0得t 1＝﹣2，t 2＝1∴x +y ＝﹣2或x +y ＝1已知（x 2+y 2﹣4）（x 2+y 2+2）＝7，求x 2+y 2的值．【分析】根据举例进行解答即可．【解答】解：设t ＝x 2+y 2＞0∴（t ﹣4）（t +2）＝7t 2﹣2t ﹣15＝0，解得：t 1＝5，t 2＝﹣3（舍去）∴x 2+y 2＝5．【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0．解：设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0．解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5．所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．上述解法称为“整体换元法”．（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x ﹣5）2﹣（2x ﹣5）﹣2＝0；（2）已知x 2﹣xy ﹣y 2＝0，求x y 的值．【分析】（1）先设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，运用因式分解法解得y 1＝2，y 2＝﹣1，再把y ＝2和﹣1分别代y ＝2x ﹣5得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，可得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，类似（1）的减法可得x y 的值．【解答】解：（1）设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，解得y 1＝2，y 2＝﹣1，当y ＝2时，即2x ﹣5＝2，解得x ＝3.5；当y ＝﹣1时，2x ﹣5＝﹣1，解得x ＝2．所以原方程的解为x 1＝3.5，x 2＝2；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，解得m 1m 2∴x y 的值为【题型8 配方法的应用】【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a ，b ，c 满足a 2+2b ＝7，b 2﹣2c ＝﹣1，c 2﹣6a ＝﹣17，则a +b ﹣c 的值为（ ）A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故选：A．【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故选：A．【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝+则a+b+c的值是 ．【分析】先将条件配方成)2)2)2=0，根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可．【解答】解：∵a+b+c+3＝++∴+++1=0，即)2)2)2=0，1＝0=0=0，解得a＝1，b＝5，c＝3．∴a+b+c＝1+5+3＝9．故答案为：9．【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据上面的方法解决下列问题：（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9，∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．故答案为：﹣9；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．故答案为：5．。