幂函数及图像变换
高一数学幂函数图像复习
第三课：幂函数之“三生三世”知识点一、反比例函数1、幂函数a x y =，反比例函数x k y =，两个函数的交集便是xy 1=.2、反比例函数之平移变换)()(a x f y x f y +=−−−→−=左加右减，b x f y x f y +=−−−→−=)()(上加下减 例1：（1）画出131-+=x y 的简图 （2）画出13+=x xy 的简图（3） 画出1425++-=x x y 的简图 （4）你能否说出()0≠++=a bax dcx y 什么性质？例2：求以下函数值域 （1）[)+∞∈-=,1,12x x x y （2）(]2,,32-∞-∈+=x x xy（3）R x x x y ∈++=,5412（4）R x x x xx y ∈+++=,54422例3：求以下情况a 的范围. （1）a x x x f +=2)(在()+∞,3递减 （2）ax xx f +=2)(在[)+∞,3递减练习：（1）a x x x f ++=243)(在()0,1-递减 （2）ax x x f ++=243)(的递减区间为()1,-∞-和()+∞-,1（3）12++=ax x y 在()+∞-,3递增 （4）12++=ax x y 的递增区间为()+∞-,3知识点二、幂函数之“复合”复合函数函数)(u f y =（外函数），而)(x g u =（内函数），从而形成[])(x g f y =称为复合函数，u 是中间变量。
解决复合函数知识点重要在第一步：分解成基本初等函数！ 1、求复合函数定义域例1：（1）822--=x x y （2）()3122-++-=x x y2、求复合函数单调区间步骤：求定义域−→−分解复合函数−→−分析内函数图像单调性−→−分析外函数图像单调性−→−得到复合函数单调性。
例2：（1）822--=x x y （2）()3122++-=x x y练习：（1）()212103---=x x y （2）42323x x x y +-=口诀 ——例3：82)(2++-=x x x f ，求出()22x f -的所有单调区间练习：28)(2+-=x x x f ，求)0(1)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f x g 的所有单调区间例4：求8264+⋅-=xxy 的单调区间。
4.2指数和指数函数(含图像变换)
y=x2 y
A oB x C
将抛物线y=x2向下平移3个单位，平移后交 x轴于A、B两点，交y轴于点C.
（2）将平移后抛物线的图象 在x轴下方的部分沿x轴翻折， 图象的其余部分保持不变，得 到一个新的图象：
①画出示意图；
②写出该函数图象的解析式；
*当一元二次函数自变量有绝对值符号时，按
照⑤做完即可
(6) (7)
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
画出下列函数的图像
(3)
公式： 2(x+m)+1=2x-5 2x+2m+1=2x-5
所以： 2m+1=-5 m=-3
典型例题
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
⑤
注：*当幂函数、指数函数、对数函数自变量中既
有绝对值对称变换又有平移时，先对称后平移；
3.旋转变换 旋转180°呢？
抛物线的旋转
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1) y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
转 化 x 顶点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
1.已知二次函数 y = x2 2x 3.
D
y (0,3) x (0,-3)
2.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
幂函数的象与解析式
幂函数的象与解析式【正文】幂函数是一种基本的数学函数，它的象与解析式是非常重要的概念。
在本文中，我们将探讨幂函数的象及其解析式，并深入了解其特性和性质。
一、幂函数的定义与基本形式幂函数可以表示为 f(x) = x^a 的形式，其中 a 是实数且不等于零。
当 a 大于零时，幂函数呈现递增趋势；当 a 小于零时，则表现为递减趋势。
基于这样的定义，我们可以推导出幂函数的基本形式及其图像。
二、幂函数的图像与特性1. 幂函数的图像特征幂函数的图像在直角坐标系中通常呈现出不同的形态。
当 a 大于1时，函数图像会从原点开始，并随着自变量的增大而逐渐上升；当 0＜a＜1 时，函数图像同样从原点开始，但是它会随着自变量的增大而逐渐下降；当 a 小于-1 时，图像将出现在第三象限和第一象限之间，并在原点附近有一个垂直渐近线。
2. 幂函数的特殊性质幂函数具有一些重要的特性，如奇偶性、单调性以及导数的存在性。
对于 a 为整数的幂函数，其特性更为明显。
例如，当 a 为偶数时，函数图像关于 y 轴对称，即具有偶函数的特点；而当 a 为奇数时，函数图像关于原点对称，并呈现出奇函数的特征。
三、幂函数的解析式推导1. 幂函数的化简与推导通过适当的技巧和运算，我们可以将幂函数的解析式进行推导和化简。
例如，对于幂函数 f(x) = x^a，我们可以通过对 x 进行变换和取对数来简化表达式，得到更加简洁的形式。
2. 幂函数的特殊解析式除了幂函数的一般形式外，还存在一些特殊解析式。
例如，对数函数是幂函数的一种特殊形式，可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中 a 是正实数且不等于1。
对于这种形式的幂函数，我们可以得到其解析式的具体形式和性质。
四、幂函数的应用领域幂函数作为一种常见的数学函数，在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，幂函数可以用来表示成本与产量之间的关系；在物理学中，幂函数可以描述一些物质的特性和变化规律。
通过深入研究幂函数的象和解析式，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
指数、对数、幂函数总结归纳
指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，nnaa =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）， （a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。
幂函数的定义及性质
幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。
其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。
在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。
系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。
指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。
当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。
幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。
当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。
2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。
3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。
4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。
5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。
6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。
以上是幂函数的定义及性质的介绍。
幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。
通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。
幂函数定义
幂函数定义幂函数定义为：在实数集上，任取实数xi，作为自变量，定义一个函数f(x)，其满足f(x)的自变量xi的n次方（n为实数）的关系式，称之为幂函数。
表示为：f(x)=xn其中：f：函数；x：自变量；n：实数，也称幂指数。
二、特点1、当n为正数时，当x>0，f(x)>0，当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)<0。
2、当n为负数时，当x>0，f(x)<0；当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)>0。
3、当n=0时，函数f(x)=1，且f(x)独立于x，也就是说，不论x为什么值，f(x)都是相同的，即f(x)=1。
三、性质1、当n为正数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变大；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变小；2、当n为负数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变小；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变大；3、当|x|越小，则|f(x)|值越大，而当|x|增大，则|f(x)|值越小，即图像向原点收敛；4、当n>1时，f(x)的图象与x的函数图像一致，即，它们同样的开口着向上（当x>0时）或向下（当x<0时），它们同样的单调性；5、当n<1时，f(x)的图象与x的函数图像不一致，即，它们不一样的开口着向下（当x>0时）或向上（当x<0时），它们也不一样的单调性；四、应用在数学中，幂函数在拓扑学，复变函数理论，应用函数性质等方面有重要的应用。
1、应用于拓扑学：幂函数在拓扑学中定义了一类空间变换，如压缩变换，拉伸变换有以下定义：压缩变换：f(xa)=f(x)b；拉伸变换：f(xa)=f(x)b；其中a,b为实数，a≠0，b≠0，其中a表示变换的中心，b表示变换的强度。
2、应用于复变函数理论：幂函数的几何性质在复变函数理论中有重要的应用。
当n是实数，f(z)是复变函数时，它们的极限和它们的导数十分简单：极限：ζ→∞，f(ζ∞)=∞；ζ→0，f(ζ∞)=0；导数：f′(ζ)=nf(ζ)ζn13、应用于函数性质：幂函数的几何性质在复变函数的函数性质中也有广泛的应用。
高中数学必修1课件 第二章基本初等函数之二次函数和幂函数
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同， 开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像 的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为Y=(x-3) 2+2
发展性训练 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换， 可以得到y=3x2的图像. 右移2单位，下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位， 再向下平移３个单位所得图像对应的函 数 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4 Y=(x-2) 解析式为
2、（2002河南两广高考）已知 a>0,f(x)=ax-bx2. (1)b>0时，若对任意x ∈ R都有 f(x)≤ 1,证明a≤ 2 . b (2)b>1时，证明 对任意 x ∈［ 0,1 ］, │ f(x) │≤1的充要条件是 b-1 ≤ a ≤ 2 b
(3)0<b ≤ 1时， 求 对任意 x∈［ 0, 1 ］, │ f(x) │≤ 1的充要条件。
求下列函数的定义域和值域:
x 3 x 4 (1) y= 2 x 3 x 4
2
(2) y= 1 2x x (3) y= 1 x x 3
作函数的图象的常用方法
1. 描点作图法; 2. 变换作图法.
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) (2)
(3)
变换作图法
平移变换
对称变换
作 业
画出下列函数的图象:
(1) (2) y=x2+2 x +1 y= x 2 x
2
② y=－x2－2x+3, x∈[－5, 0] ③ y= x 1 x
高一数学幂函数的图像与性质
§4.1幂函数的图像与性质（二）一、教学内容分析教材地位:幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化.教学重点: 幂函数的图像与性质. 教学难点: 以幂函数为背景的图像变换. 二、教学目标设计能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；理解幂函数图像的演进及单调性质；理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。
能以幂函数为背景进行基本的函数图像的平移和对称变换. 三、教学流程设计五、教学过程设计1.情境设置指导学生描画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质.2.探索研究问题：如图所示的分别是幂函数①1a x y =，②2ax y =，③3ax y =，④x1a 2a 3a4a4a x y =,⑤5a x y =,⑥6a x y =,⑦7a x y =在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数7654321,,,,,,a a a a a a a 的范围分别确定出来.3.总结提炼揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系.师生共同整理出规律性结论.4.尝试应用①（1）研究函数21)(,21)(,1)(--=-==x x x h x x g x x f 的图像之间的关系；（2）在同一坐标中作上述函数的图像；（3）由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性. ②已知函数x x x f +=3)(.（1） 试求该函数的零点，并作出图像；（2） 是否存在自然数n ，使)(n f =1000，若存在，求出n ；若不存在，请说明理由.③作函数1||1-=x y 的大致图像. 5.练习回馈课本第83页练习4.1(2) 六、教学评价设计习题4.1——B 组（根据学生具体情况选用）。
第6讲 幂函数与函数图象
第6讲幂函数与函数图象作者：王丽曾凡艳来源：《高中生学习·高三文综版》2014年第09期考情分析图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.在图象变换和方程零点中经常涉及图象问题，是高考热点题型，通常直接考查为一个小题5分，也会在其它题目中用到图象，分值就更多.预计高考中还会加大对图象的考查力度.对于幂函数的考查主要是其定义和常见的几种幂函数图象和性质.命题特点纵观近几年高考题，主要有以下几种题型：（1）知图选式和知式选图，图象变换.（2）基本初等函数的图象特征和图象变换.（3）利用数形结合解决方程根的个数问题和求参数范围问题.（4）幂函数定义及y=x，y=[x12]，y=x2，y=x-1，y=x3的图象和基本性质.1. 知图选式和知式选图：这种题要求根据图象抓本质体现函数关系，根据式子和函数性质确定图象.例1 （1）函数[f（x）=x-12]的大致图象是（）[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x]A B C D（2）函数[y=cos6x2x-2-x]的图象大致为（）[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [A][B][C][D]（3）函数f（x）=axm（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）[y][x] [O][0.5][0.5][1]A. m=1，n=1B. m=1，n=2C. m=2，n=1D. m=3，n=1解析（1）简单考查幂函数的图形，可直接选出答案.（2）函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令[y=0]得[cos6x=0]，所以[6x=π2+kπ]，[x=π12+k6π]，函数零点有无穷多个，排除C项，且[y]轴右侧第一个零点为[（π12，0）]，又函数[y=2x-2-x]为增函数，当[00]，[cos6x>0]，所以函数[y=cos6x2x-2-x>0]，排除B项，选D.（3）本题由图选式，考查导数在研究函数单调性中的应用，代入验证.当m=1，n=2时，通过求导得到单调性和最值与图象相符.答案（1）A （2）D （3）B点拨由解析式选函数图象除了要熟悉基本初等函数图象特征外，还要从函数的性质上加以分析，诸如单调性、奇偶性、对称性、与坐标轴的交点等，都是我们解题的重要手段.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复.2. 通过图象变换作图：这部分题型主要由熟悉的初等函数图象和图象变换规律作函数图象.例2 画出下列函数的图象：（1） y=x2-2x[，x>1；]（2） f（x）=[1x；]（3） y=x|2-x|.解析（1）∵[x>1]，∴x1，图象是两段曲线，如图①.（2） [fx=1x，x>0，-1x，x（3）∵y=x|2-x|=[x2-2x，x≥2，-x2+2x，x[O][y][x] [O][y][x]①②[O][y][x]③点拨作图一般有两种方法：描点法、图象变换法.特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.备考指南1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.2. 熟悉图象变换的基本规律，如平移变换、对称变换、翻折变换等.3. 能有效实现形与数的相互转化.限时训练1. 如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象. 已知n取±2，±[12]四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为（）[y][x][O][1][1][C1][C2][C3][C4]A. -2，-[12]，[12]，2B. 2，[12]，-[12]，-2C. -[12]，-2，2，[12]D. 2，[12]，-2，-[12]2. 若函数y=f（x）的图象如图所示，则y=-f（x+1）的图象大致为（）[1] [y][x][O][y][x][O][1] [y][x][O][-1] [-2] [A][B][C][D] [1][2] [y][x][O] [y][x][O][1][-1]3. 已知函数f（x）=kax-a-x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的大致图象是（）[y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1] [y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1]A B C D4. 当a≠0时，y=ax+b与y=（ba）x的图象大致是（）[y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [A][B][C][D]5. 已知f（x）= [x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，]则函数g（x）=f（x）-ex的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.函数[y=x2-2sinx]的图象大致是（）[O][y][x] [O][y][x]A B[O][y][x] [O][y]C D7. 已知函数f（x）=[4x+2-1]的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）共有（）A. 2对B. 5对C. 6对D. 无数对8. 设a是方程[1x]-log2x=0的实数根，则有（）A. aC. 029. 已知函数f（x）=[1ex]-tanx，[-π2A. 大于1B. 大于0C. 小于0D. 不大于010. 如图，正方形ABCD的顶点A[0，22]，B[22，0]，顶点C，D位于第一象限，直线l：x=t（[0≤t≤2]）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数S=f（t）的图象大致是（）[y][x][O] [A][D][C][B][l] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O]A B C D11. 函数y=[x-2x+2]的图象关于对称.12. 设函数f（x）=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为 .13. 函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可以找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得[f（x1）x1=][f（x2）x2=…=f（xn）xn]，则n的取值集合是 .[y][x][O][a][b]14. 函数y=[11-x]的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 .15. 已知函数f（x）=|x2-4x+3|.（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有四个不相等的实根}.16. 设函数f（x）=x+[1x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的图象为C1，C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，C2对应的函数为g（x）.（1）求函数y=g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.17. 设函数f（x）=[1，1≤x≤2，x-1，2（1）求函数h（a）的解析式；（2）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值.18. 已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0.（1）求g（x）的解析式；（2）设函数G（x）= [fx，x≤0，gx，x>0，]若方程G（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。
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象．
)
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Hale Waihona Puke 第二章函 数已知 P 为圆 x2 ＋ (y － 1)2 ＝ 1 上任意一点 ( 原点 O 除外 ) ，
直线 OP 的倾斜角为 θ 弧度，记 d ＝ |OP|. 在图中的坐标系中， 画出以(θ，d)为坐标的点的轨迹大致图形．
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第二章
函 数
一般幂函数图象的形状特征及其分布．
对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝x的图象是直
线；当 α ＝ 0 时， y ＝ x0 ＝ 1(x≠0) 的图象是直线 ( 不包括 (0,1) 点)．其它一般情况的图象如下表：
难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
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第二章
函 数
知识归纳 一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函数 2 2 2．图象：(只作出第一象限图象)
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函 数
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第二章
函 数
一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图
形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形
②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向
上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到． (2)对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称． ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
( )
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
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第二章
函 数
解析：幂函数y＝x
－
1
3 在(0，＋∞)上为减函数，函数值
y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y<0. a＋1<0 ∴有a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或 ，∴ 3－2a>0 2 3 <a< 或a<－1 3 2 2 3 即a的取值范围为( ， )∪(－∞，－1)． 3 2 2 3 答案：( ， )∪(－∞，－1) 3 2
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(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一
点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上． (2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关
)
于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．
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函 数
[例2]
设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象
)
如图(1)所示，则导函数y＝f ′(x)的图象为(
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轴的交点)；⑤描点，连线．
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函 数
图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向 左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．
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象限为
减
函数．
(
(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去 (0,1)点)．
)
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第二章
函 数
二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函 数的性质 ( 奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域 ) ；④ 列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标
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第二章
函 数
[例3]
作出下列函数的图象
x＋2 x3 (1)y＝|x|； (2)y＝ ； x－1 (3)y＝|log2x－1|; (4)y＝2
|x－1|
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解析：设幂函数f(x)＝x
α
(x∈R)，则3
3＝
3 α ， 3
)
答案：B
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第二章
函 数
幂函数y＝ (m∈Z)的图象如右图所示，则 m的值为 ( ) A．－1<m<3 B．0 C．1 D．2 解析：∵y＝xm2－2m－3在第一 象限为减函数 ∴m2－2m－3<0即－1<m<3 又m∈Z ∴m的可能值为0,1,2. 代入函数解析式知，当m＝1时，为偶函数，∴选C. 答案：C
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函 数
(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个
单位，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(3)． (4) 先作出 y ＝ 2x 的图象，保留 x≥0 部分，再关于 y 轴对 称得到y＝2|x|图象，然后右移一个单位，即得y＝2|x－1|的图
偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y＝sin|x|.
)
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第二章
函 数
2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺 序为①→ ②时，由 y ＝ g(x) 的图象变换成 y ＝f(x) 的图象则是
相反的变换且顺序也相反，即②→①.
3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三 种情况：α>0，α＝0和α<0.
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第二章
函 数
分析：观察两个数的特征可以发现，指数相同，都是
1 1 － － ，底数不同，故可视作幂函数y＝x 3 的两个函数值，利 3 用幂函数的性质求解．
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函 数
2．识图
绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本 功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇 偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外 有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面 ，要注
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已知幂函数 f(x) ＝ xm2 － 6m ＋ 5 (m∈Z) 为奇函数，且在 区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x)的解析式为________． 解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－6m＋5<0，∴1<m<5. ∵m∈Z，∴m＝2或3或4. ∵f(x)是奇函数，∴m2－6m＋5应为奇数． 当m＝2或4时，m2－6m＋5＝－3是奇数； 当m＝3时，m2－6m＋5＝－4不是奇数； ∴m＝2或4，f(x)＝x－3. 答案：f(x)＝x－3
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意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这
些参数．
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3．用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系 提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结 果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 4．图象对称性的证明
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第二章
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解析： 依题意，设圆与 y 轴的另一
交 点 为 D ， 则 D(0,2) ． 从 而 |OP| ＝ |OD|·sinθ ， ∴ d ＝ 2sinθ(θ∈(0 ， π)) ．其 图象为正弦曲线一段．故作简图如右 图．
第二章
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