第二章 方程
2 第二章 薛定谔方程
第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一，并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下，其一般形式为：),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。
第二章不定方程
3、无穷递降法 1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡
尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法. 由于费马的 信并没有发表，人们一直无从了解他的这一方法.直到 1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发 现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法.无穷 递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其 证明模式大致是:先假设方程存在一个最小正整数解，
证：（必要条件）若方程(1)有解x1, x2 , , xn 则a1x1 a2x2 an xn N，
因为d （a1, a2, , an），所以d a1x1 a2x2 an xn N
充分条件：若d N ,用数学归纳法证（1）有解。 当n 2时，已证成立；假定以上条件对n 1元一 次不定方程是充分的。
第二章 不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有 一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中 最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就 开始研究不定方程， 因此常称不定方程为丢番图方程。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共 井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘
x 3t 8t1，y t 3t1， t1 Z t 2000 5t2，z 1000 3t2， t2 Z
将t 2000 5t2代入x, y消去t得
x 6000 15t2 8t1,
y 2000 5t2 3t1,
tZ
z 1000 3t2
就为所求的方程的解。
例2 用整数分离法求解15x 10y 6z 61。
对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。 另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、 代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论
和最优设计中也常常提出不定方程的问题， 这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数 学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
计算方法(2)第二章 方程的近似解法
(1)描图法
例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。
将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与y=cosx
的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
(2)逐步搜索法 运用零点定理可以得到如下逐步搜索法：
先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为 [a,b],从x0=a 出发,以步长
定理2.2（收敛定理） 设方程x=φ(x)，如果 (1)迭代函数φ(x)在区间[a,b]可导； (2)当x[a,b]时，φ(x)[a,b] ； (3)对于任意的x[a,b] ，有| ( x) | L 1 则有 ①方程x=φ(x)在区间[a,b]上有唯一的根α ； ②对于任意的初值 x0[a,b] ，由迭代公式
a o b x
图3
二分法计算过程简单,程序容易实现.可在大范 围内求根，但该方法收敛较慢,且不能求偶数重根和 复根,一般用于求根的初始近似值,而后再使用其它 的求根方法。 二分法收敛速度不快,其收敛速度仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同 。
§2.2
迭代法
求解过程分以下二步： (1) 建立迭代公式。由公式f(x)=0出发将其分解为 等价形式x=φ(x),式中φ(x)叫做方程的迭代函数. (2) 进行迭代计算。由初值x0出发，按迭代函数进
3.若f(x1)· f(b)<0,则x*必在区间 [x1,b]内，此时令x1=a1, b =b1 。
………………
如此重复上述过程可以得到 一系列长度逐次减半的隔根 区间 [a,b]⊃[a1,b1]⊃…⊃[an,bn]⊃… 这些区间将收敛于方程的根α。 因而若k满足(ε为给定的精度)
xn bn an
基本思想
二分法就是将方程 的隔根区间对分，然后 再选择比原来区间缩小 一半的隔根区间，如此 继续下去，直到得到满 足精度要求的根为止的 一种简单的区间方法。
第二章 三类典型的偏微分方程
单位时间内通过 B 端面的热量为：
Q x2k TkT(xx2,t)
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 ,t) T ( x x 1 ,t) ) d t
x2 2T(x,t)
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
等号两边用中值定理：并令 x 0
T2u (xx 2,t)g2u (tx 2,t)F (x,t) 等号两边除以
2tu2 a2x2u2 gf(x,t)
f (x,t) F(x,t)
为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量：x , t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元解读课件)
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
能说明基本不等式的几何解释;能借助二次函数图象，说明二次函数与一元 二次方程、不等式的联系;能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根 画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题， 能将解方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0) 的问题转化为研究函数 y ax2 bx c ，当 自变量为何值时，函数值 y=0的问题，能将解不等式 ax2 bx c＞0 的问题 转化为研究函数 y ax2 bx c ，当自变量在什么范围时，函数值 y>0的 问题
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第二章 一元二次函数、 方程和不等式单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现 实意义 4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的 解集 6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数 的重要性.体会数学的整体性. 7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养
6.利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体 可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应 凑出定和或定积；
第二章 薛定谔方程
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
1 2 2 2 p
或
2 2 p2 2 2
考虑电子双缝衍射 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这 两种状态的叠加。
Ψ1
P
Ψ
S1
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一 个可能状态，其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力 学的态叠加原理。 空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 电子穿过狭 缝１出现在 Ｐ点的几率 密度 电子穿过狭 缝２出现在 Ｐ点的几率 密度 相干项 正是由于相干项 的出现，才产生 了衍射花纹。
微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确 定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的 可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完 全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题 就是要解决以下两个问题：
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。 这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方 程之后得到了圆满解决。
( 2)
(1)–(2)式
p2 对自由粒子， E 2
第二章--风流性质和能量方程
第二章矿井风流的基本性质§2—1 矿井空气的物理性质一、空气的密度指单位体积空气的质量，用ρ表示，单位：kg/m3。
ρ＝vm式中：v—空气的体积，m3；m—v体积空气的质量，kg。
由理想气态方程，对于干空气：ρ干＝3.484TP对于湿空气：ρ湿＝（3.458~3.473）TP式中：P—空气绝对大气压力，kPa；T—热力学温度，T＝（273.15＋t）K；t—空气的温度，℃。
将标准大气压力P ＝101.325 kPa，t＝0℃，φ＝0代入上式，得ρ干＝1.293 kg/m3。
将标准大气压力P ＝101.325 kPa，t＝20℃，φ＝60%代入上式，得ρ湿＝1.20 kg/m3。
二、空气的重度指单位体积空气的重力，用γ表示，单位：N/m3。
γ＝vW式中：v—空气的体积，m3；W—空气的重力，N。
将W＝mg代入上式，得γ＝ρg N/m3因此，对于干、湿空气γ干＝1.293×9.81＝12.684 （N/m3）γ湿＝1.20×9.81＝11.772 （N/m3）三、空气的比容指单位质量的空气具有的容积，用ν表示，单位：m3/kg。
ν＝V/m＝1/ρ显然，空气的比容与空气的密度互为倒数。
四、空气的比热指质量为1 kg的空气，温度升高（或降低）1℃时，所吸收（或放出）的热量，单位：k.J/kg. ℃。
五、空气的粘性指空气抗拒剪切力的性质，是空气在流动时产生阻力的内在因素。
由于空气的粘性，空气在巷道中流动时靠近巷道轴部流速快，靠近巷道边沿流速慢。
V小V大§2—2 井巷中的风速与测定一、井巷断面风速分布井巷风速指风流单位时间内流过的距离，用V表示，单位：m/s或m/min。
由于空气的粘性，空气在巷道轴部流动速率快，靠近边沿流速慢，我们所说的风速是指巷道的平均风速。
平均风速与最大风速的比值叫风速分布系数，用k速表示，即k速＝V均/V大，一般在0.7~0.9之间。
对于不同的巷道砌碹巷道：k速≈0.83；木棚支护巷道：k速≈0.73；无支护巷道：k速≈0.75。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
第二章一元二次方程-配方法、公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法和公式法这两个重点。对于难点部分，如配方法的转化思想和公式法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图形或实物演示配方法的基本原理。
课堂上的实践活动和小组讨论非常活跃，学生们能够积极参与，提出自己的观点。我尝试作为一个引导者，提出一些开放性问题，让学生们思考一元二次方程在实际生活中的应用。从成果分享来看，学生们对于这个话题有很深的思考，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生可能过于依赖同伴，没有独立思考。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们在讨论中提出自己的见解，提高他们的自主学习能力。
c.能够运用配方法求解典型的一元二次方程。
（2）掌握一元二次方程求解公式的推导和应用：公式法是求解一元二次方程的通用方法，重点在于：
a.理解韦达定理的推导过程；
b.掌握一元二次方程求解公式的形式；
c.学会使用公式法求解一元二次方程，包括计算判别式、求解根号内部分等；
d.能够根据实际问题选择合适的求解方法。
具体内容包括：
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1 第二章 方程（组）和不等式 课时7．一元一次方程及其应用 【课前热身】 1．在等式367y的两边同时 ，得到313y. 2．方程538x的根是 . 3．x的5倍比x的2倍大12可列方程为 . 4．写一个以2x为解的方程 . 5．如果1x是方程234xm的根，则m的值是 .
6．如果方程2130mx是一元一次方程，则m . 【考点链接】 1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果ba，那么ca ； ② 如果ba，那么ac ；如果ba0c，那么ca . 2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方
程叫做一元一次方程；它的一般形式为 0a. 3. 解一元一次方程的步骤： ①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 4．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21x，1222xx等不是一元一次方程. （2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号. 【典例精析】 例1 解方程
（1） 3175301xxx； （2）21101136xx.
例2 当m取什么整数时，关于x的方程1514()2323mxx的解是正整数？ 2
例3 （08福州）今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表： 班级 （1）班 （2）班 （3）班 金额（元） 2000 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题： （1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数． 【中考演练】
1．若5x－5的值与2x－9的值互为相反数,则x＝_____．
2． 关于x的方程0)1(2ax的解是3，则a的值为________________. 3. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x元，则得到方程( )
A.15025%x B. 25%150x C.%25150xx D. 15025%x
4．解方程16110312xx时，去分母、去括号后，正确结果是（ ） A. 111014xx B. 111024xx C. 611024xx D. 611024xx
5．解下列方程：
(1) 3175301xxx； （2）121253xxx.
6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 3
课时8．二元一次方程组及其应用 【课前热身】 1. 在方程yx413＝5中，用含x的代数式表示y为y＝ ；当x＝3时，y＝ .
2．如果x＝3，y＝2是方程326byx的解，则b＝ . 3. 请写出一个适合方程13yx的一组解： . 4. 如果xyyxbaba2427773和是同类项，则x、y的值是（ ） A.x＝－3，y＝2 B.x＝2，y＝－3 C.x＝－2，y＝3 D.x＝3，y＝－2 【考点链接】 1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解. 4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤：
二元一次方程组 方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析： （1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值； （2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 【典例精析】 例1 解下列方程组：
（1）4519323abab （2）2207441xyxy
例2 某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：
消元 转化 4
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
例3 若方程组31xyxy与方程组84mxnymxny的解相同，求m、n的值. 【中考演练】 1． 若11yx是方程组1242ayxbyax的解，则______________ba． 2. 在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=___；若x、y都是正整数，这个方程的解为_____． 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．9114yxyx B．75zyyx C．6231yxx D．1yxxyyx
4. 关于x、y的方程组myxmyx932的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m=（ ） A．2 B．-1 C．1 D．-2 5．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表： 捐款(元) 1 2 3 4 人 数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组
A．272366xyxyB．2723100xyxyC．273266xyxy D．2732100xyxy 6．解方程组：
①1392xyyx ②1213343144yxyx
7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？ 5
课时9．一元二次方程及其应用 【课前热身】 1．方程3(1)0xx的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于x的一元二次方程1(3)(1)30nnxnxn中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230xx的根是 . 4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .
5. 关于x的一元二次方程225250xxpp的一个根为1，则实数p=（ ） A．4 B．0或2 C．1 D．1 【考点链接】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()xmn的形式，⑤如果是非负
数，即0n，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是 221,2
4(40)2bbacxbaca.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0a. （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】 例1 选用合适的方法解下列方程：