旋转式倒立摆数学模型分析和基于状态反馈的控制算法设计与实现
旋转倒立摆设计方案
旋转倒立摆设计方案器件：角度测量使用绝对式编码器（HN3806A5V1024）电机采用（ maxon DC motor 118752 RE25）电机驱动采用L298N，可以承受24V的电压，驱动能力强。
主控为STM32F103其中硬件搭建要注意稳定性，电机的瞬间扭力很大，如果底座不稳定的话会给接下来的软件调试带来很大的麻烦。
系统框图程序设计思想：绝对式编码器不断的读取摆杆实时的角度值，单片机将采集到的角度值与之前预设的值的差经过PID算法，输出一个矫正值，不同矫正值对应这不同的PWM占空比，矫正值的符号与电机的转向相同。
经过这一闭环调节，可以实现摆杆直立。
PID调试经验总结：本次设计核心部分为PID算法，PID的程序是固定的，但是三个参数的不同搭配，会产生各种各样的变化。
因此当PID算法的三个参数选择合适，可以实现理想的效果，我们最后做的效果可以达到摆杆一直不倒，用手轻触，在力不大的情况下可以实现抗干扰，但是由于电机驱动能力等问题，并不能在力较大的情况下实现抗干扰。
P（比例）调节作用，P是按比例反应系统的偏差，系统一旦出现了偏差，比例调节立即产生调节作用用以减小偏差。
比例作用大，可以加快调节，减小误差，但是过大的比例，使系统的稳定性下降，甚至造成系统的不稳定。
I（积分）调节作用，I是系统消除稳态误差，提高无差度，因为有误差，积分调节就进行，直至无差，几分调节停止，积分调节输出一常值。
积分作用的强弱取决与积分时间常数Ti,Ti 越小，积分作用就越强。
反之Ti大则积分作用弱，加大积分调节可使系统稳定性下降，动态响应变慢。
D（微分）调节作用，微分作用反映系统偏差信号的变化率，具有预见性，能遇见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用，在偏差还没有形成之前，已经被微分调节作用消除，因此微分调节可以改善系统的动态性能。
在微分时间选择合适的情况下，可以减少超调，减少调节时间。
微分作用对噪声干扰有放大作用，因此过强的加微分调节，对系统抗干扰能力不利，除此之外，微分反应的是变化率，而当没有变化时，微分作用输出为0。
旋转倒立摆平衡姿态模糊变结构控制算法研究
旋转倒立摆平衡姿态模糊变结构控制算法研究旋转倒立摆是一种典型的非线性系统，其控制问题复杂。
它与人类行为有着密切的关系，即“适应性”问题。
由于现代化的工业生产过程中，设备结构的变化及对自动化、智能化程度要求的提高，给倒立摆的应用带来了新的发展空间。
随着电子技术、信息处理技术的迅速发展，采用人工智能和专家系统等多学科交叉知识和手段来解决倒立摆的控制问题已成为必然趋势。
本文针对倒立摆控制问题，运用专家系统等智能技术实现对倒立摆的有效控制，得到实际的效果。
旋转倒立摆的模糊控制可分为三大类，这些控制方法都可以通过改变控制参数，设计新型控制器实现。
1)模糊滑模控制：为了防止由于参数变化引起的状态波动，利用一个被称为“渐进”（ stepwise）或者“滑模”（ sliding）的准则，利用滑模控制来获取满意的性能。
在这里需要注意的是滑模控制的参数一定要是线性的，而且对象具有非单调的特性。
模糊滑模控制器的开环增益对模糊参数的非线性变化十分敏感，因此它们需要在设计上考虑这些影响因素。
2)分布式协调算法：为了能快速地控制不同时刻的倒立摆姿态，通过模糊控制理论提出一种基于分布式协调算法的倒立摆控制器，并且利用模糊预测控制进行优化设计。
此算法的关键在于建立一种在线性最优控制之后的协调控制模型，它保证了系统在稳态和动态控制中的性能。
该算法也保证了分布式控制系统总能达到性能指标。
但是在本文所研究的倒立摆控制中，分布式协调控制算法能够充分利用系统的动态特性，其运算量小，运算速度快，比较适合研究复杂系统的控制问题。
3)组合混沌控制：一个模糊控制器，即控制器由若干个滑模线性化的部件组成。
当控制器受到模糊信息的激励时，各个滑模线性化部件会产生相应的动作。
为了简化算法，也为了提高算法的精度，这些滑模线性化部件通常在模糊控制的基础上进行变结构控制。
通过变结构控制算法，可以对系统的振荡和失稳进行有效抑制。
通过实验表明，在没有模糊控制参与的情况下，无论采用何种控制策略，系统均不能达到满意的性能，而在模糊控制参与之后，系统的性能有了很大的提高，有利于在控制中更好地利用系统的动态特性，从而获得比较好的效果。
轮式倒立摆的数学建模及状态反馈控制
轮式倒立摆的数学建模及状态反馈控制石祥;许哲;何青义;田卡【摘要】轮式倒立摆是检验各种控制理论的理想模型,首先采取牛顿力学分析的方法,依次得出轮式倒立摆中直流电机、车体和摆杆动力学方程,从而基于小角度线性化方法得出轮式倒立摆的近似线性模型:然后基于Matlab进行轮式倒立摆的状态反馈控制,设计出其控制律,验证其可行性,但是轮式倒立摆的数学模型通常是经线性化处理后得出,为了提高仿真准确性,再基于虚拟样机技术,对轮式倒立摆进行Matlab与ADAMS的联合仿真,仿真结果显示系统响应曲线在规定时间内迅速收敛至0附近,此结果不仅验证了联合仿真中状态反馈控制的正确性,而且表明联合仿真是控制理论研究中值得推广的方法.【期刊名称】《机电产品开发与创新》【年(卷),期】2014(027)001【总页数】4页(P11-14)【关键词】轮式倒立摆;状态反馈控制;联合仿真;ADAMS【作者】石祥;许哲;何青义;田卡【作者单位】上海海洋大学工程学院,上海201306;上海海洋大学工程学院,上海201306;上海海洋大学工程学院,上海201306;上海海洋大学工程学院,上海201306【正文语种】中文【中图分类】TP130 引言倒立摆[1～3]作为一类非线性控制系统的典型特例，能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型，目前已有多种控制算法[4～9]应用其中，但是在研究其控制算法之前都存在着建模问题。
目前关于各种倒立摆的研究论文中所给出的数学模型中，通常没有系统微分方程的推理过程，或者模型比较单一，尤其是轮式倒立摆。
轮式倒立摆又称“两轮自平衡机器人[10]”，其模型是建立在由两个车轮左右平行布置、可移动的小车车体上，每个车轮都与电机相连。
当车体运动时，通过控制电机的转速来控制车轮，使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且没有大的振荡。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
《学习控制算法设计及倒立摆控制实现》范文
《学习控制算法设计及倒立摆控制实现》篇一一、引言随着自动化和智能化技术的快速发展，控制算法的设计与实现成为了许多领域的关键技术。
其中，倒立摆控制作为典型的控制问题之一，其算法设计与实现具有很高的研究价值和应用前景。
本文旨在探讨学习控制算法设计的基本原理及在倒立摆控制实现中的应用，为相关领域的研究人员和学生提供一定的参考。
二、学习控制算法设计1. 基本原理学习控制算法是一种基于机器学习和控制理论的算法，其核心思想是通过不断学习和优化，使控制系统能够适应各种复杂的环境和变化。
学习控制算法的设计包括以下几个步骤：确定控制目标、建立数学模型、设计优化算法、实现控制系统等。
2. 常用算法（1）神经网络控制算法：神经网络控制算法是一种基于神经网络的控制算法，通过模拟人脑的神经元结构和功能，实现对复杂系统的控制。
其优点是能够处理非线性、时变、不确定等问题，但需要大量的训练数据和计算资源。
（2）模糊控制算法：模糊控制算法是一种基于模糊逻辑的控制算法，通过模拟人的思维方式和经验，实现对复杂系统的控制。
其优点是能够处理不确定、不精确的问题，但需要精确的模糊规则和经验知识。
（3）强化学习算法：强化学习算法是一种基于试错学习的控制算法，通过让系统在环境中进行试错，不断优化策略以达到控制目标。
其优点是能够自适应地适应环境和变化，但需要较长的学习时间和计算资源。
三、倒立摆控制实现1. 倒立摆系统简介倒立摆是一种典型的控制问题，其特点是具有非线性、时变、不稳定等特点。
倒立摆的控制目标是在外部干扰和系统不确定性的影响下，保持摆杆的平衡状态。
2. 倒立摆控制算法设计针对倒立摆的控制问题，可以采用上述的学习控制算法进行设计和实现。
以神经网络控制算法为例，可以通过建立摆杆运动和控制系统输入的数学模型，设计出适合倒立摆控制的神经网络结构，并通过大量的训练数据对神经网络进行训练和优化，最终实现摆杆的平衡控制。
3. 实验结果与分析通过实验验证了所设计的倒立摆控制算法的有效性和可行性。
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
控制实验一级倒立摆的状态反馈设计可以分为以下几个步骤：
1. 系统建模：根据实际倒立摆的物理特性，建立系统的数学模型，包括倒立摆的运动方程和输出方程。
2. 设计状态反馈控制器：根据系统模型，设计状态反馈控制器的反馈矩阵K，使得系统在闭环下能够稳定并达到期望的性能指标。
3. 实施状态反馈控制器：根据设计好的控制器，对倒立摆系统进行实施。
4. 时间响应实验：进行时间响应实验，观察控制系统在不同输入下的响应情况。
可以通过给定不同的参考输入信号，如阶跃信号、正弦信号或任意波形信号等，来测试控制系统的性能。
根据实验结果进行总结时，需要注意以下几个方面：
1. 稳定性分析：观察控制系统是否能够保持稳定状态，即系统是否能够回到平衡位置并保持在该位置。
2. 超调量和调整时间分析：观察控制系统的过渡过程，检查系统是否出现过大的超调量和调整时间是否满足要求。
3. 鲁棒性分析：考察控制系统对参数变化、不确定性以及外部扰动的鲁棒性能。
4. 性能指标分析：根据实验结果，评估控制系统的性能指标，如误差大小、稳态误差、响应速度等。
总结实验时，尽量基于客观的实验数据和分析，对实验结果进行客观的评价和总结。
请注意，以上回答仅涉及到了一级倒立摆的状态反馈控制设计及时间响应实验总结的一般步骤，具体设计和总结要根据具体情境和实验要求进行。
倒立摆控制系统设计
倒立摆控制系统设计倒立摆是一种经典的控制系统设计问题，经常用于教学和研究中。
倒立摆是一个在竖直平衡位置上方的摆杆，通过控制一些关节的力矩使其保持平衡。
以下是一个倒立摆控制系统的设计过程。
第一步：建立动力学模型首先，需要建立倒立摆的动力学模型。
倒立摆的动力学模型可以通过运动方程来表达。
假设摆的长度为l，质量为m，可以得到摆杆的转动惯量I=m*l^2、摆杆在竖直方向上受到重力加速度g作用。
假设摆杆的角位移为θ，角速度为ω，则可以得到如下的转动方程：I*ω' = -mgl*sin(θ)第二步：线性化模型将非线性动力学模型线性化是控制系统设计中的常见做法。
在线性化之前，需要选择一个工作点作为参考点。
假设工作点为竖直平衡位置，因此θ=0，ω=0。
线性化的目的是在工作点处计算摆杆动态的近似线性表示。
通过对转动方程进行泰勒级数展开并忽略高阶项，可以得到线性化的模型：I*ω' = -mgl*θ第三步：设计控制器在线性化的模型中，我们可以引入一个控制器来控制摆杆的角度，并使之保持在竖直位置。
常见的控制器包括比例控制器（P控制器）、积分控制器（I控制器）和微分控制器（D控制器）。
通过控制器，我们可以得到一个控制信号u，作用于系统中的输入来控制倒立摆。
控制器的设计可以基于设计指标，如系统的快速响应性、稳定性和鲁棒性等。
第四步：模拟和验证在完成控制器设计之后，可以进行仿真和实验来验证系统的控制效果。
倒立摆系统通常可以用控制系统设计软件进行建模和仿真。
可以通过改变控制器的参数来观察系统的响应，并对控制器进行调整和优化。
第五步：系统实现和调试在模拟和验证阶段的成功之后，可以将控制器实现到实际的倒立摆系统中。
可能需要选择合适的硬件平台和传感器来实现对系统状态的测量。
实际实施过程中，可能还需要对控制器进行再次调整和优化，以适应实际系统的特点。
综上所述，倒立摆控制系统设计包括建立动力学模型、线性化模型、设计控制器、模拟和验证、系统实现和调试等步骤。
旋转倒立摆设计报告
旋转倒立摆摘要：倒立摆的控制是控制理论研究中的一个经典问题，通过旋转式倒立摆控制系统的总体结构和工作原理，硬件系统和软件系统的设计与实现等方面，对系统模型进行动力学分析，建立合适的状态空间方程，通过反馈方法实现倒立控制，通过反复的实验，记录，分析数据，总结出比较稳定可行的控制方法。
本系统采用STC89C52作为主控制芯片，WDJ36-1高精度角位移传感器作为系统状态测试装置，通过ADC0832将采集的模拟电压量转化为数字量，传送给STC89C52进行分析处理，并依此为依据控制电机的运转状态，间接地控制摆杆的运动状态。
通过不断地测量、分析，并调整系统控制的参数，基本达到了题目的要求，并通过此次的练习，进一步熟悉掌握了单片机的应用，对控制系统的了解和兴趣。
关键词：单片机最小系统； WDJ36-1角位移传感器; 旋转倒立摆；状态反馈；稳定性；目录1.系统方案 (4)1.1 微控制器模块 (4)1.2电机模块 (4)1.3电机驱动模块 (4)1.4角度传感器模块 (5)1.5电源模块 (5)1.6显示模块 (5)1.7最终方案 (6)2.主要硬件电路设计 (6)2.1电机驱动电路的设计 (6)2.2角度检测电路的设计： (7)3.软件实现 (7)3.1理论分析 (7)3.2总体流程图 (7)3.3平衡调节流程图 (9)4 .系统理论分析及计算.................. . (10)4.1系统分析 (10)4.2 摆臂摆角的计算.................. . (10)5．系统功能测试： (10)5.1测试方案 (10)5.2测试结果 (10)5.3测试分析及结论 (10)6.结束语 (11)1.系统方案：1.1 微控制器模块方案一：采用可编程逻辑期间CPLD作为控制器。
CPLD可以实现各种复杂的逻辑功能、规模大、密度高、体积小、稳定性高、IO资源丰富、易于进行功能扩展。
采用并行的输入输出方式，提高了系统的处理速度，适合作为大规模控制系统的控制核心。
单级旋转倒立摆系统
《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度∕1=lm,质量∏71 =Olkg ,横杆的长度厶 =1 m f 质量nt2 =Olkg1重力加速度g =0.98∕π/52O以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面360°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位,这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆M-NI 2=J 2d~θx分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；〃勺为摆杆质量； 厶为摆杆长度；人为摆杆的转动惯量；“为横杆的质量；厶为横杆的长度；厶为 横杆的转动惯量；q 为横杆在力矩作用下转动的角度；g 为摆杆与垂直方向的夹 角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立 摆模型受力分析如图2所示。
图2倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程：NM I 牛甸/+O + ? Sina) (∕2-横杆的转动弧长即位移)摆杆垂直方向受力平衡方程：〃2 I I卑g=卑 2叶一寸COSq)Ur 2 2摆杆转矩平衡方程：横杆转矩平衡方程:XX考虑到摆杆在设定点q,Q=o 附近做微小振动，对上式进行线性化，即• ml JSi 吨≈q, cos^2 ≈1 ‘心0,其中八〒，近似线性化得到,JlN = OΛ-(Θ +OM (IV ・//-0.98 = 0 1 /1If)——= H ∙0.5IN ∙0.5∙l 30 dfM-N = -^∙30 dr整理上式可得倒立摆的状态方程:1 ∙∙ ∙∙—q —0 + 14.70—15M<4 ∙∙ 1 ∙∙-<91 + -6>2-10M =O l3 2本文参数代入计算可得：& =-4.642Q+11.05 3M Q= 12.3790—9.474M■x=q=[ι 0 0 0]■■ ■X =■ qO I■O^Λ ^^0χ2OO -¾.OO"P ■O 尤2 + 11.053 1O O9.474取状态变量如下：故1 OO -4.642 O O O 12.3793稳定性和能控性分析3.1稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
《学习控制算法设计及倒立摆控制实现》范文
《学习控制算法设计及倒立摆控制实现》篇一一、引言随着现代工业和科技的发展，控制算法的设计与应用在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，倒立摆控制作为控制理论中的经典问题，具有高度的理论价值和实际应用价值。
本文旨在探讨学习控制算法设计的基本原理及其在倒立摆控制实现中的应用。
二、控制算法设计基础1. 控制算法的基本概念控制算法是一种通过数学模型描述系统行为，并利用计算机或其他设备对系统进行控制的算法。
其基本思想是通过测量系统的状态，计算出一个控制量，以改变系统的行为，使其达到预期的目标。
2. 控制算法的分类控制算法包括多种类型，如开环控制、闭环控制、线性控制、非线性控制等。
这些算法在设计和应用中各有其特点，需要根据具体的系统和应用需求进行选择和设计。
三、倒立摆系统概述倒立摆系统是一种典型的非线性控制系统，其特点是在一个水平面上安装一个垂直的杆或圆筒，通过一定的方式使其在一个水平方向上产生运动。
倒立摆系统在控制理论研究和实际应用中具有重要地位，被广泛用于检验和控制算法的性能。
四、倒立摆控制实现1. 系统建模在实现倒立摆控制之前，首先需要对系统进行建模。
通过分析系统的物理特性和运动规律，建立数学模型，为后续的控制算法设计和实现提供基础。
2. 控制算法设计根据系统模型和实际需求，选择合适的控制算法进行设计。
在倒立摆控制中，常用的控制算法包括PID控制、模糊控制、神经网络控制等。
这些算法各有优缺点，需要根据具体情况进行选择和优化。
3. 控制器实现控制器是实现倒立摆控制的核心部分。
通过计算机或其他设备实现控制器，将控制算法应用于实际系统中，实现对倒立摆的控制。
在控制器实现过程中，需要考虑系统的实时性、稳定性和可靠性等因素。
五、实验与结果分析为了验证所设计的控制算法在倒立摆控制中的有效性，进行了一系列实验。
通过实验数据的分析和比较，得出以下结论：所设计的控制算法在倒立摆控制中具有良好的性能和稳定性，能够有效地实现对倒立摆的控制。
基于状态反馈控制的倒立摆系统分析和设计
研 究 与 开 发
基 于状 态反 馈控 制 的倒 立摆 系统分析 和设 计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基才状 态反馈控制 的倒立摆 系统 分析和 设计
易 杰
（ 南工 学 院 电 气与 信 息 工程 系 ，湖 南 衡 阳 ４ １０ ） 湖 ２ ０ ８
摘 要 ： 对 多输 入 多输 出 的倒 立摆 系统 平衡 控 制 ， 用 牛 顿 一 拉 方 法 建 立 了直 线 型 一 级 倒 立摆 系 统 的 数 学 模 型 。在 针 利 欧 分 析 的 基 础 上 。 用状 态反 馈 控 制 中极 点 配 置 法设 计 了 用 于 直 线 型 一 级 倒 立 摆 系统 的 控 制 器 。通 过 采 用 Ｍ Ｔ Ａ 采 Ａ Ｌ Ｂ仿 真 及 其 对 实 际 系统 的 调 试 验证 ， 明 了该 控 制 器 的设 计是 合 理 的 。 表
力 的水 平 和 垂 直 方 向 分 量１ ２ １ 。
值 得 注 意 的是 ：在 实 际 倒 立
摆 系 统 中检 测 和执 行 装 置 的
正 负 方 向 已确 定 ．因 而 矢 量
．
稳 定 的 系统 ， 使其 保 持 稳 定 ， 且 可 以 承受 一 定 的 干 扰 ， 为 并 采 用 极 点 配置 法 设 计 用 于 直 线 型 一 级 倒 立 摆 系统 的控 制 器 。
系统 本 身所 具 有 的高 阶次 、 稳 定 、 变 量 、 线 性 和 强 耦 合 不 多 非 特性 。 多 现 代 控 制 理 论 的 研 究 人 员 一 直 将 它 视 为 典 型 的 研 许
究 对象 ． 断从 中 发 掘 出 新 的 控 制 策 略 和 控 制 方 法 。 控 制 器 不 的设 计 是 倒 立 摆 系 统 的核 心 内容 ， 为 倒 立 摆 是 一个 绝 对 不 因
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一、实验名称：旋转式倒立摆数学模型分析和基于
状态反馈的控制算法设计与实现
二、实验目的：
1、认识XZ-Ⅱ旋转式倒立摆系统，学习系统构成、工作原理、使用方法、注意事项和软件操作平台使用方法。
2、对旋转式倒立摆系统建立数学模型，并对其进行仿真研究。
3、学习旋转式倒立摆系统的状态反馈控制方法，在MATLAB平台上进行仿真研究。
4、学习实际系统的调试方法，对旋转式倒立摆系统进行在线控制。
三、实验环境
X-Ⅱ旋转式倒立摆系统，Matlab软件环境
四、实验类型
综合性实验。
本实验包括利用分析力学知识建模，非线性模型的显性化，线性系统的能控能观性分析、分定性分析，系统根轨迹的绘制，极点位置的选择，利用极点配置法设计状态反馈的控制律。
五、实验内容与实验步骤：
1、一级旋转式倒立摆的建模：
利用机理建模的方法对倒立摆系统进行数学建模。
对倒立摆系统进行理论分析得到：可以忽略各种摩擦对倒立摆系统的影响，它可抽象成动力学模型。
其中系统的主要机械参数及变量如下表所示。
在建模过程中，需要的参数还有旋臂绕轴转动的转动惯量J1以及相应的摩擦力矩系数f1，摆杆绕轴转动的转动惯量J2以及相应的摩擦力矩系数f2。
这几个参数要通过测量和计算得到。
倒立摆的机械参数如下表：
旋臂位置θ1摆杆位置θ2
旋臂质量 m1 0.200 Kg 摆杆质量 m2 0.052 Kg 旋臂长度 R 0.20m 摆杆长度 R2 0.25m
旋臂的质心到转轴距离 L1 0.10 m 摆杆质心到转轴距离L2 0.12 m
电机力矩系数 Km 0.0236 N·m/V电机反电势系数 Ke 0.2865 V·s 对于m1，其坐标为：
,
;
对于m2，其坐标为：
,
;
所以对于m1有：
,
;
对于m2有：
,
;
设整个系统的动能为：
以电机轴为基准，系统的势能为：
系统的动势，即系统的拉格朗日函数为：
据分析力学中的拉格朗日方程：
最后得到的非线性数学模型为：
2、对模型进行分析及线性化
根据上一节中的非线性模型（式2-1），令θ1→0 ，θ2→0,则倒立摆系统在平衡点处的线性化模型为：
代入系统参数，得到系统的状态空间描述如下：
，其中
，
其中，
，
，
3、一级旋转式倒立摆系统的能控性、能观性和稳定性分析
考察系统的可控性和能观性，通过利用MATLAB计算可以得到：
系统的极点位置可通过求解系统特征方程或画出系统根轨迹方法得到：
Matlab指令为：
eig(A);%求系统的特征根；
[num,ben]=ss2tf(A,B,C,D,1);
sss1=tf(num(1,:),ben); sss2= tf(num(2,:),ben); %将状态方程化为传函形式；
rlocus(sss1);rlocus(sss2);%画出系统输入u对y1,y2的根轨迹。
系统的特征根，即得开环系统极点如下：
10.5913 5.9926 -10.5913 -5.9926；
系统的开环零点可从根轨迹图中读出。
下图中左图表示u对y1的根轨迹；右图表示u对y2的根轨迹。
从系统根轨迹可知开环系统存在不稳定的极点，所以开环系统在平衡点附近是不稳定的，这与我们对倒立摆系统的直观认识是一致的。
在本次实验中，为使倒立摆能够保持直立状态，就需要设计反馈控制律对系统的极点位置进行重新配置，使系统稳定在平衡点附近。
六、实验过程与分析
1、利用Matlab进行系统极点配置和系统仿真
倒立摆系统在平衡位置线性化系统的数学方程主要形式为：
在系统的状态方程中，引入状态的线性反馈：
式中v为参考输入向量在此处参考输入量为0，K为常值反馈增益矩阵，通过极点配置方法得到。
引入状态反馈后的系统如下：
我们根据期望的极点位置，设计状态反馈矩阵K。
Matlab指令指令如下：
K=place(A,B,P)，其中P为系统的期望极点。
系统的闭环系统极点位置不允许随意确定，状态反馈控制律设计过程应充分考虑倒立摆系统本身力学特性以及执行装置固有特性，即设计过程中需要考虑电机的时间常数，考虑电机的最大允许电压，考虑倒立摆装置本身的时间常数，考虑D/A转换过程的时间等因素。
整个闭环系统的闭环极点可配置为： p=[-8+6i -8-6i -4+3i -4-3i], 在Matlab中使用place命令得出反馈增益矩阵K=[4.7895 -57.7487 -
3.7603 -6.6983]。
闭环系统的仿真结果为：
闭环系统的根轨迹曲线为：
由闭环系统根轨迹可以看出，系统具有稳定的极点，但是系统的具有右半平面的零点，说明系统为非最小相位的，从系统的时域响应曲线上可以看出，系统存在反调现象，这从另一方面也说明系统u到y1的传递函数具有右半平面的零点。
而u到y2的传递函数不具备这一特点。
由控制律（也就是加在力矩电机两端的电压）虽时间变化的曲线可知，U的幅值不超过20V，其上升时间大于电机时间常数，且可使仿真系统稳定，说明此极点位置的配置是可行的。
2、实际系统调试
将得到的反馈矩阵代入到实际系统中观察悬臂摆杆状态，以及控制律随时间变化曲线。
并给系统施加扰动，观察系统的鲁棒性及抗扰能力。
下图是用状态反馈法控制一级旋转式倒立摆的控制效果图。
红色曲线表示悬臂的角度，蓝色曲线表示摆杆的角度。
七、实验结论
1、倒立摆系统稳定性方面的结论
2、非线性系统线性化方法方面的结论
3、系统期望极点配置方面的结论
4、倒立摆系统中非最小相位方面的结论
5、调试过程中所遇到的问题及分析。