金融资产定价

第一讲：金融资产定价概论

一，金融资产的定义与类型

（一）金融资产的定义

资产是指经济主体拥有或控制的、能以货币计量的、能够给经济主体带来经济效益的经济资源。按资产存在形态分类分为实物资产和金融资产。

金融资产是经济主体所拥有的以价值形态存在的资产, 是一种索取实物资产的权利凭证。权利凭证分为所有权凭证、债权凭证、信托凭证。此外还可衍生出以金融资产为标的的衍生金融资产. （二）金融资产包括一切提供到金融市场上的金融工具。但金融工具并不等于金融资产, 只有当金融工具是持有者的投资对象时方能称做金融资产。基本分为基础金融资产与金融资产衍生品。二，金融资产定价基本原理

（一）基础金融资产定价的原理

任何资产支付的价格应能够反映它预期在未来产生的现金收益的现值.

（二）金融衍生品定价的原理

金融衍生品合理价格为无套利市场条件下的均衡价格。

三，金融资产定价假设条件

（一）有效市场假设（无套利假设）

（二）投资者风险中性假设

四，金融资产评估方法的类型

不同的金融资产评估目的不同, 评估的具体条件不同, 被评估资产的类型也不同, 所以, 不同的资产评估应该选择不同的价格标准和评估方法。以下是与五种金融资产评估计价标准相对应的评估方法。

（一）主要类型

1. 现行市价法

以全新的与被评估资产完全一样的资产的现行市价作为依据, 确定被评估资产的现行市价。运用该方法的条件是, 必须有一个成熟、完备的资产市场, 而且市场资料信息完全、公平。采用现行市价法进行金融资产评估时, 所依据的价格标准是现行市价。

2. 重置成本法

按照被评估资产的现时完全重置成本减去应扣损耗和贬值来确定资产的现行市价的方法。采用重置成本法进行金融资产评估时, 所依据的价格标准是重置成本。

3. 收益现价法

把未来一系列的预期收益流全部折现成现值, 加总求得评估值。这种方法更能反映金融资产评估的本来意义, 但它的前提是资产具有可预测的剩余寿命和收益能力, 并且能产生可计量的收益现金流, 预期收入必须准确。采用收益现值法进行金融资产评估时, 所依据的价格标准是收益现值。

4. 清算价格法

清算价格是指企业破产或清算时, 在规定的时间内以变卖企业资产的方式来清偿债务、分配剩余权益状态下的非正常成本价格, 一般低于资产的重置成本, 更低于市价。清算价格法是对即将破产或清算的企业, 以清算价格作依据评估其资产的价值。该方法的计量条件是企业破产或清算, 对资产的评价是强制性、非协商性的。

5. 历史成本法

它采用被评估资产的账面价值减去它的账、面历史折旧, 得到该项资产的资产的现行市价。采用历史成本法所依据的是历史成本。

（二）成本法在金融资产评估中的应用

成本法是在对评估资产与其重置成本进行比较的基础上对资产进行评估。

两大类：账面价值法

调整账面价值法( 又叫重置成本法）

账面价值法又可分为投资人要求权法和资产-负债法。

价值判断的准确程度取决于资产的账面价值与市场实际价值的差异程度。（存在政府管制的公共设施经营企业比较适合于采用账面价值法）

优点主要有:

(1) 比较充分地考虑了资产的损耗;

(2) 有利于单项资产和特定用途资产的评估;

(3) 在不易于计算资产收益或难以取得市场参照物条件下可广泛地应用;

(4) 有利于企业资产保值。

不足之处：

（1）通货膨胀的存在使一项资产的价值不等于它的历史价值减折旧;

（2）技术迸步使某些资产在寿命终结前已经过时贬值;

（3）由于组织资本的存在使几种资产的组合会超过相应各单项资产价值之和.

（4）仅从历史投入角度考虑企业价值, 而没有从资产的实际效率和企业运行效率角度考虑; 另一方面, 对无形资产的价值估计不足，尤其不适用于高新技术企业的价值评估。

调整方法有:

一是通过价格指数调整的重置成本取代资产的账面净值, 即重置成本法。（问题是找不到替代物，忽略了组织资本）。

二是假定将资产直接变卖所获的价格的代替资产的账面净值, 即清算价值法。（需要有发达二手资产市场，也忽略了组织资本）。

三是成本法用于并购，还未考虑控股权溢价。

总之，成本法以资产负债表为价值评估和判断的基础, 不考虑现时资产价格波动, 也不考虑资产收益情况, 因而是一种静态的估价标准。( 两大缺点, 一是账面价和市价存在差异, 二是表外的隐形资产被忽略）。

（三）收益现值法在金融资产评估中的应用

1.收益现值法基本原理

此法基于这样一个原理: 一项财产的价值等于它在未来带给其所有者收入的净现值。它是把被评估资产的预期收益流, 通过适当的折现率进行折现, 从而转换为被评估资产价值的一种资产评估方法。本质是将资产的售价( 价值) 看做买主的投资, 投资应该得到相应回报, 并且希望能尽快收回投资。

资产购买者不仅要求资本增值, 而且还要求补偿机会成本、灵活偏好成本、交易成本、风险成本。这主要由未来收益的折现率和资本化率等指标中体现出来, 否则会导致对资产价值的高估或低估。

采用收益现值法对一项资产进行评估, 必须满足一定的条件

(1) 被评估资产必须是经营性资产, 而且具有继续经营的

能力并不断获得收益。

(2) 被评估资产在继续经营中的收益能够而且必须用货币金额来表示;

(3)被评估资产未来经营风险的各种因素能够转化为数据加以计算,具体体现在贴现率和资本化率中。

2.收益现值法评价

收益现值法优点

比较真实和准确地反映企业本金化的价格,而且与投资决策紧密结合,符合资产评估的本质要求。

收益现值法缺点

预期收益预测的难度较大。收益的预测不仅受主观判断的影响, 而且还直接受到未来收益不可预见因素的影响。这种评估方法一般适用企业整体资产和可预测未来收益的单项生产经营性资

产的评估。最后, 在评估中折现率和资本化率的选择对评估结果影响很大。

3.折现率的确定必参考以下因素:

(1) 市场物价指数的变动状况;

(2) 资本市场的平均利率；

(3)同行业的资金利润率;

(4) 本企业资金利润率的变动趋势。

一般来说, 收益现值法所采用的折现率应大于同期银行利率及国债利息率。这种高出一般安全利息率的利率部分, 通常被称风险补偿利率。投资的基本原则是, 承担一定的风险, 就要求获取一定的风险补偿。

4.资本化率的确定

当被评估资产可以为其持有人带来无限期的收益时, 折现率被资本化率所代因此, 这时准确确定资本化率, 对资产评估的科学合理具有重要意义。

在充分分析通货膨胀率、市场利率、同行业资本利润率、国库券安全利率的基础上, 结合本企业的经营状况, 相互综合比较, 以确定资本化率。也可以采用计算法来确定资本化率。

几种常用方法：

(1). 市场类比法: 市场类比法采用如下公式确定资本化率:

资本化率=资产年收益/资产价格再考虑市场利率及通胀率确定

(2). 比较推定法

比较推定法有两种操作方法: 一种是以市场上已经成交、并处于正常运行的相同资产的资本化率为基础, 推断被评估资产的资本化率。另一种方法是, 在市场上按寻找到比较多的与被评估资产相似的资产, 以这些资产的资本化率的算术平均值或加权平均值来代替被评估资产的资本化率。

(3). 构成分析法

构成分析法要求被评估资产可分解为几个部分, 每一部分都有其资本化率,将各部分资产的资本化率加权平均, 从而得出整体资产的资本化率。

市场比较法

指通过比较被评估资产与市场上类似资产的异同, 针对各项价值影响因素, 将类似资产的市场价格进行调整, 从而确定被评估资产的评估值的一种资产评估方法。

市场比较法应用的前提条件:

(1) 该类或该项资产的市场发育相当成熟, 不存在市场分割, 而且资产的市场定价合理;

(2) 参照资产易于搜寻:

(3) 参照资产的一些经验数据易于观察和处理;

(4) 参照资产和被评估资产在资产性能等方面必须相同或相近。

注意事项：以类似资产的成交价格为基础, 再对差异因素做必要调整, 从而确定被评估资产的现行市价。这里的关键是要确定一个调整系数。

调整系数通常是根据经验来确定。一般来说, 影响的主要因素是:

(1).时间因素

按参照资产成交时间与被评估资产的评估基准日之间的时间差异来调整所导致的价格差异。这里就需要考虑通货膨胀率的影响, 时间差越小越好。

(2). 地域因素

参照资产所处地区或地段与被评估资产所处地区或地段的差异。这一因素对房地产评估最为敏感。

(3). 资产的功能

这是指资产功能过剩和不足对资产价格的影响。比如, 如果机器设备的功能不能满足购买者的要求, 购买者需要对该资产追加投资进行政造, 则对该购买者而言, 相对于同类但功能更齐全的资产, 该设备的估价就要低一些。

（四）贴现现金流量法

贴现现金流量 (DCF) 法的基本思路是 : 1，估计出金融资产的未来现金流量序列 金融资产创造的现金流量也称自由现金流量 , 它是在一段时期内由以金融资产为基础的投资活动创造的。但这些现金流量不包括与筹资活动有关的收入与支 出。因此 , 在一定时期内创造的自由现金流量为

自由现金流量 (CFA) = EBITX (1 - Tc) - WCR 一净资本支出

式中 : EBIT - 息税前收益 ; Tc - 公司所得税率 ;

WCR - 这一时期资本需求的变化量 ;

净资本支出-购置新资产花费的现金与出售旧资产获得的现金之间的差额。 2， 确定折现率 即确定能够反映自由现金流风险的要求回报率。现金流的回报率由正常投资回报率和风险投资同报率两部分组成 , 一般来讲 , 现金流风险越大 , 要求的回报率越高 , 即折现率越高。折现率的确定多采用以下两种方法 ：

● 风险累加法。即 : 折现率=行业风险报酬率十经营风险报酬率 + 财务风 险报酬率 + 其他风险报酬率。这种方法弹性很大。

● 加权平均资本成本 (WACC) 法。

3， 将各年的自由现金流量按照测算出的折现率折现 , 计算出金融资产的价值 优点 :

● 明确 了资产评估价值与资产的效用或有用程度密切相关 , 重点考虑了企业资产未来的 收益能力。

● 能适用于那些具有很高的财务杠杆比率或财务杠杆比率发生变化 的公司。 缺点：

应用的假设前提 , 即企业 经营持续稳定 , 未来现金流序列可预期且为正值。使用 WACC 法确定折现率必 须具备经营风险相同、资本结构不变及股利分配制度稳定在内的严格假设。这样的假设使得 DCF 法在评估实践中往往会因一些特殊情况而受到限制 . ( 五) 期权定价模型在价值评估中的运用

在企业价值评估中 , 资产负债中的资产方和负债方都可能拥有期权。资产方期权主要是开发选择权、固定资产选择权等。当这些选择权的成本低于它所提供的利润时 , 这些期权不仅提供了投资的灵活性 , 而且创造价值。 应用案例

假定 A 公司因为刚刚运营 , 目前没有效益 , 但在试验中有一种产品很有希望成为治疗糖尿病的药物 。A 公司已经申请了专利 , 并拥有 20 年的专利权。该 利产品的资产当前市场价值为 1 亿元 , 资产价值的方差 =0.20, 开发此产品 投资成本现值为 8000 万元 , 如果年无风险利率为 7%, 试评估该企业的价值。

初看起来 , 所给出的信息如果按照传统的评估方法 , 很难估价企业价值 , 但 用期权定价模型可以解决此问题。公司因为刚刚运营 , 现有资产及业务的价值很小 ( 相对于后者 ) 。 所以我们评估公司的价值 , 重点就是评估专利技术的价值。此时 , 公司的产品专利拥有权被看做是一个买方期

权 , 相关参数如下 :

专利产品本身为标的资产 , 而标的资产的现时价值就是现在生产该产品的预期金流的现值 , 即 S=1 亿元 ;资产价值的方差 =0.20, 生产该专利产品的初始投资成本的现值即为这个买方期权的执行价格 , 即 K=8000 万元 ; 期权的期限就是公司拥有该专利产品的有效期 , 即 t=20 年。无风险利率 r=7%

全部输入变量都已经得到。代入布莱克斯科尔斯的期权定价公式 则有： 查标准正态分布表得 N(d1) = 0. 965 N(d2) =0.425 C = 1000?0. 965 - 8000?e

20

07.0?-?0. 425 = 8 812 ( 万元 )

因此公司拥有专利权的价值即为买方期权价值 8812 万元。如果这个公司现有账面资产及现有业务的价值为 300 万元 , 那么该公司的评估总价值8812+300=9 112 ( 万元 ) 。

第二讲 ： 金融资产定价理论基础

一、基本概念

（一）确定性、不确定性、风险

1.确定性：投资者的未来收益是确定的、无误差，完全可预见。

2.不确定性：投资者的未来收益完全不能确定。

3. 风险：未来收益发生的概率可预见，但未来收益变化程度不可预见。 风险 系统风险：宏观方面的因素 非系统风险：微观方面的因素 （二）, 投资者偏好与无差异曲线 1. 投资者偏好是指投资者对风险态度

根据期望收益的定义，我们可以求出证券A 、B 、C 预期收益的平均值： 证券A ：期望收益=2 证券B ：期望收益=2 证券C ：期望收益=2.2

收益确定为无风险资产（证券A ），收益不确定为风险资产（证券B 、C ） 在期望收益相同情况下，选择风险小的投资对象，没有与风险对称的风险报酬绝不选择风险资产，这被称之为“风险规避者”.他们选择证券A ，但也会选择证券C ，为得到高收益的机会而愿意以承担高风险为代价，选择高风险证券，被称之为“风险偏好者”（Risk Lover ）。对于风险偏好者，在对证券A 与证券B 作出选择时，即使两者期望收益相同，也会选择风险大的证券B 。 仅以期望收益的大小为标准来选择投资对象，被称之为“风险中立者”。对于风险中立者，由于证券C 的期望收益最大，故选择证券C ，而证券A 和证券B 的期望收益相同，故被视为是无差别的投资对象。

2.无差异曲线对投资者偏好的描述

（1）风险规避者 （2）风险中立者 （3）风险偏好者

(r) (r)

p σ p σ p

3.投资者风险承受能力与无差异曲线的定量描述无差异线表达式

E （r P ）=U i + b б2p U i = E （r P ）- b б2p

Ui — 曲线在收益轴上截距

b — 风险厌恶系数，b 数值大风险厌恶程度高，反之相反。 T — 风险承受能力, T 数值大, 风险承受能力强，反之相反。 T = 1/b b = 1/T

b = (Ers - r f )2/ [2 ×(Er

c - r f )б2S ]

Ers —风险资产组合期望收益率

Erc —风险资产与无风险资产组合后期望收益率 б2S —风险资产组合方差

举例说明:

国债% 股票组合% 期望收益 % `标准差% 0 100 12 15 20 80 11.1 12 40 60 10.2 9 50 50 9.75 7.5 60 40 9.3 6 80 20 8.4 3 100 0 7.5 0

Rf=7.5 % , бs=15 % 代入:

b = (12-7.5)2/ [2 ×(Er

c –7.5)] × 152] = 22.22 Erc –166.67

若50%国债股,50%票组合

b = 22.22 × 9.75 –166.67=50 (%) , E （P r ）= i U + 50 (%) б2p , i U = E （P r ）—50 (%) б2p 因为：T = 1/b = 1/50 (%) ，故 ：

E （P r ）=i U + 2б2p ， i U = E （P r ）—2б2 p

（三）, 投资者偏好与效用比较

收益最大化是所有投资者追求目标，但运用收益最大化原则不能帮助投资者在以下两种证券作选择：

国债B ： 收益 10 ， 概率 1 股票C ： 收益 -8 ， 概率 0.25 收益 16 ， 概率 0.5 收益 24 ， 概率 0.25

因为未来股票C 究竟为哪一个值事先不确定。运用收益最大化原则投资者应选择股票C ，因为股票C 期望收益12，大于国债B 收益10，在进行投资抉择时，若考虑风险，不能说股票C 优于国债B.

依据对风险的不同偏好，追求效用最大化还是收益最大化是有区别的，投资效用的决定取决于投资收益水平与风险程度两个因素

在不确定性条件下；期望效用是由期望收益与风险所决定的投资效用，用公式表示如下：

E(u) = f[E(r), ]

该公式表示，如果风险不变，期望收益的增加会引起投资者期望效用的增大，或者如果风险减少，而期望收益不减少时，也将会引起期望效用增大，计算期望效用公式为：

E(u i ) =

∑=n

i i P 1

u

i

必须了解效用函数的概率分布，以便找到每一种选择对象的期望效用。在不确定性条件下，投资者能够扩大的仅仅是其期望效用。由于不同的投资者对风险的容忍程度不同，同一投资对象给他们带来的效用也各不相同，反映在效用函数的图型上，其形状也各不相同。

假定有证券Z ，其期初价格为10元，未来价格的变动情况如下：

该项投资的期末期望价值为1/2*9+1/2*11=10，即期望收益等于期初的价格，也就是说，该项投资的净收益为0.所以，从期望收益角度分析，投资者无法作出是否购入的决策。然而，从期望效用理论来看，投资者是否购入该种证券，完全依赖他对风险的态度，即对收益不确定证券的偏好程度。风险回避者为凹型效用函数，都满足其一阶导数非负，即，二阶导数为负，即的条件。加一个单位，期望效用也随之提高，但其程度呈递减趋势。

EU(r)=1/2U(9)+1/2U(11)

风险回避者不会购买期望价值与购入价格相等的收益不确定的证券，凹型效用函数把货币收益为0的情况解释为效用损失。风险偏好者为获取高收益不惜以承担巨大风险为代价，风险偏好者的

效用函数呈凸型，意即随着风险偏好者财富或收益的增长，边际效用也增长。

特殊的效用假定，即投资者的效用函数是线性函数，投资者将会依据期望收益最大化原则作出投资选择。已知购入价格为10元，预期期末价值为11元时，概率是1/2；为9元时，概率也是1/2，也即得到1元收益与遭受1元损失的概率相同。

U(X)

10

11

9 9

10

N

11

9.7 M U(9)

U(X) U(X)

X

该投资选择的期望效用是：EU(x)=1/2U(9) + 1/2U(11)

并且已经知道它是由图中的点C表示。由于：EU(x)=EU(10)

在此，依据期望效用最大化原则还是期望收益最大化原则进行投资选择是无差别的。如果购入价格低于10元，投资者会投资购入：购入价格高于10元，投资者则决不会购入。只有其净期望收益为正时，该投资者才会选择购入.风险偏好者，即使是净期望价值为0，也总愿意冒风险；风险回避者则不同，他们总难以接受风险；对与效用函数为线性型的投资者来说，任何风险都是无差别，此类投资者称之为风险中立者。

风险规避者投资ABC 三证券期望效用计算

从三者的期望效用看，由于投资选择C 的收益变动性最小，即其风险最小，风险回避者对投资选择C 的满意程度最高。

E[U(A)] =

∑=2

1

i i P U(r

i

) = 1/2 [U(-0.03)] + 1/2[U(0.09)] = 1/2?(-3.045) + 1/2?8.595 = 2.785

E[U(B)] = 1/2[U(0)] + 1/2[U(0.06)] = 0+ 1/2?5.82 = 2.91 E[U(C)] = 1[U(0.03)] = 1?2.955 = 2.955

风险中立者即风险无差别投资者的期望效用值也可以算如下 ： E[U(A)] =1/2 [U(-0.03)] + 1/2[U(0.09)] =1/2?(-3) + 1/2?9=3 E[U(B)] = 1/2[U(0)] + 1/2[U(0.06)]= 0+ 1/2?6 =3 E[U(C)] = 1[U(0.03)]=1?

3=3

利用同样方法，风险偏好者的期望效用可计算如下:

E[U(A)] =1/2 [U(-0.03)] + 1/2[U(0.09)] =1/2?(-2.055) + 1/2?9.405 = 3.225

E[U(B)] = 1/2[U(0)] + 1/2[U(0.06)] = 0+ 1/2?6.18=3.09

E[U(C)] = 1[U(0.03)]=1?3.045=3.045

由于风险偏好者喜欢收益变动性较大的资产，故认为资产A的期望效用最大。

U=100r - 50r U=100r+50r

U=100r

风险中立者效用函数曲线

X X

I 1I* E(I) I

2

I

1

I* E(I) I

2

风险偏好者效用函数确定风险规避者效用函数确定

X X

I 1I

3

I

2

I

4

I

1

E(I) I

2

风险规避者效用函数双重性风险规避者主观效用函数确定(四) 未来收益的随机性及概率分布

收益率r =

00

1 W W

W

P

（1）收益率的两种类型：离散型与连续性

离散型：收益率在未来取得有限个数值

0 r

0.2 0.3 0.5

二、单一证券期望收益率与风险

(一)、单一证券收益率的期望值

股票S1：收益 1r 2r 3r …….. n r 概率 1p 2p 3p ……. n p

期望收益率 = 1r 1p + 2r 2p + ….. + n r n p =

∑=n

i i

i p

r 1

e.g.. 有3种证券 A . B. C 证券的相应收益率和概率分布情况如下

A.B.C 三个股票 预期收益率 ：

E (r A ) = 0.3 *50% +0.4*10% +0.3*(-30%) =10% E (r B ) = 0.3*15% +0.4*10% +0.3*5% =10% E (r C ) = 0.3*25% +0.4*20% +0.3*15% =20% （二），单一证券方差、标准差 方差：描述收益率的离散程度

Var (r ) = б2( r ) = { r i - E ( r )}2 P i

以上表为例计算方差

Var (r A ) =0.096 бA =30.98% Var (r B ) =0.0015 бB =12.25% Var (r C ) =0.0015 бC =12.25%

（三）、协方差、相关系数

①协方差：描述不同证券间的相互关联性的指标

бAB = COV(r A ,r B ) = E[(r A - E (r A )][ r B - E(r B )] ②相关系数：ρAB = B

σσσA AB

，ρAB ∈〔-1,1〕

ρAB = 1, 完全正相关

ρ

AB

= -1, 完全负相关

ρ

AB

= 0，不相关

三、风险资产组合的收益与风险

（一）两种风险证券投资组合的收益与风险的关系证券组合权重（Portfolio Weight）：

A B

X

A X

B

（X

A

+ X

B

= 1）

1、两种风险证券投资组合期望收益率E（r P）：

E（r

P ）= E（X

A

r

A

+ X

B

r

B

）= X

A

E（r

A

）+ X

B

E（r

B

）

2、两种风险证券投资组合的风险测定（r P）

Var(r

P ) = E [r

P

- E(r

P

)] = X2

A

б2

A

+ X2

B

б2

B

+ 2 X

A

X

B

Cov(r

A

,r

B

)

= X2

A

б2

A

+ X2

B

б2

B

+ 2 X

A

X

B

ρ

AB

б

A

б

B

ρ

AB = Cov（r

A

,r

B

）/ б

A

б

B

影响组合风险的因素包括：

--- 证券之间相关性

--- 组合中各证券本身的方差(σ2i)大小 --- 各证券在组合中所占权重

--- 组合证券数目多少

3、两种风险证券组合线（X

A + X

B

= 1）

E（r

P ）= X

A

E（r

A

）+ X

B

E（r

B

）= X

A

E（r

A

）+（1 - X

A

）E（r

B

）

Var（r

P ）= X2

A

б2

A

+ X2

B

б2

B

+ 2 X

A

X

B

Cov（r

A

,r

B

）

= X2

A

б2

A

+ （1 - X

A

)2б2

B

+ 2 X

A

（1 - X

A

) Cov（r

A

,r

B

）

= X2

A

б2

A

+（1 - X

A

)2б2

B

+ 2 X

A

（1 - X

A

)ρ

AB

б

A

б

B

①A、B完全正相关若ρ

AB

= 1, 公式简化为:

б

P = [ X2

A

б2

A

+（1 - X

A

)2б2

B

+ 2 X

A

（1 - X

A

)ρ

AB

б

A

б

B

] 2/1= | X AбA+（1- X A）бB|

E（r

P ）与X

A

、X

B

是正线形关系，

б

P 与X

A

、X

B

也是正线形关系，

б

P 与E（r

P

）是正线形关系，б

P

数值最大

②A 、B 完全负相关：ρAB = - 1，公式简化为:

бP = [ X 2A б2A +（1 - X A )2

б2B - 2 X A （1 - X A )ρAB бA бB ]

2

/1= | X A бA -（1- X A ）бB |

бP 与E （r P ）是负线形关系，бP 数值最小。

③A 、B 不完全相关 ：-1〈│ρAB │〈1,бP 与E(r P )是双曲线关系,бP 数值中性。ρAB = 0。

公式简化为: бP = [ X 2A б2A +（1 - X A )2б2B ]

2/1 结论： （1）相同收益下，两种证券相关性越低，ρAB 越小，组合风险越小 （2）相同风险下，ρAB 越小，组合收益越大

E （r P

） ρAB = - 0.5

ρAB = 1

ρAB = 0.5

ρAB = -1 ρAB = 0

相关系数越小，分散的效果就越强。相关系数为-1时，分散效果最强。通常人们把这一现象称为“风险分散效果”。即使构成组合中处于完全正相关，随着放入组合中的证券数目增加。风险同样可以逐渐减小，这称之为 “风险的联营效果”。 （二）多种风险证券组合收益风险关系

Var （r P ）=

∑=n i 1

∑

=n

j 1

X i X j （ i # j ）

例：A 、B 、C 、D 四个股票

四种股票的相关系数及协方差如下：

{0.2×[0.2×0.0016+0.3×0.00192-0.4×0.0064+0.1×0.0024+0.3×[0.2×0.00192+0.3×0.0036-0.4×0.0096+0.1×0.0036+0.4×[0.2×-0.0064-0.3×0.0096+0.4×0.0064-0.1×0.0072+0.1×[0.2×0.0024+0.3×0.0036-0.4×0.0072 +0.1×0.01}

б

= 0.0014662/1= 3.83%

p

四、风险资产最优投资组合

1.写出投资者无差异曲线（前已论述）

2、求风险资产组合时的有效边界

（1）导出有效边界三条规则

①对于相同收益率，不同标准差的证券组合，投资者偏好标准差小的组合

②对于标准差一样的资产组合，投资者偏好收益率高的组合

③若一种投资组合比另一种证券组合具有较高的收益率和较高的标准差，则由投资者偏好定（2）E（r）——σ准则

E

E（r）——σ准则

（3）N种证券有效边界的确定可利用拉格朗日乘数法求极值方法导出（或矩阵求解）.为简便起见，以下我们以3个证券为例，用图解法导出有效边界。

设证券A、B和证券C组成一个证券组合，x A+ x B+ x C= 1，x A、x B、x C为3种证券的组合权数。r A、r B和r C为相应的收益率，σA、σB和σC为相应的标准差，σAB、σBC和σAC 为各证券的协方差。

下图描述了3个证券的投资权数图，图中横坐标为x A，纵坐标为x B。图中三角形内部表示组合中每种证券权数为正；边界线MN线段上，C证券投资权数为零；纵轴的左上方，表示证券A做空；横轴的下方，表示证券B做空，MN线段的右上方延长线表示证券C做空。

X

B

X A

等收益线

标准差相同时，不同投资比例的证券组合在组合权数图上的情况。将x C = 1- x A - x B 代入方差公式，得：

2

P σ= 22A A x σ+22B B x σ+ (1- x A - x B )22C σ+ 2 x A x B AB σ+ 2 x A (1 - x A - x B )AC σ+ 2 x B (1 - x A - x B )BC σ

化简得 ：

2P σ= x 2A (2A σ-2AC σ+2C σ) + x 2B (2B σ-2BC σ+2C σ)+2 x A x B (AB σ-AC σ-BC σ)2

+2 x A (AC σ+2C σ)+2 x B (BC σ+2C σ)+2C σ

关于x A 和x B 的二次方程，在组合权数图上则是一个斜椭圆曲线

越大，等收益线与纵轴截距越处于横轴的下方，因而等收益线沿左下是递增的方向，即E 1＜E 2…

＜E 6，一般风险和收益率变动一致，因此21σ＜22σ＜23σ＜2

4σ。

等收益曲线和等方差椭圆的左切点， 表示收益一定时最小方差的组合点。 这些切点位于同一条直线上，这条直线叫临界线。

最小方差组合权数求临界线

图中E左边的等收益线和等方差椭圆的切点符合均值方差准则，即收益一定，方差最小；方差一定，收益最大。这些切点都是有效切点，对应于下图中的曲线AE段。而E右边的临界线部分用虚线绘出。尽管它们也由切点组成，但不能满足均值方差准则，故它们不是有效切点，这些点对应于下图中的EF部分。

B A

●

C ●

D ●

E

〇F

有效边界线（虚线部分无意义）

（4）无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合。

4、最优投资组合

与有效边界相割切线非最优选择与有效边界不相切的无差异曲线属不可行

图B为一般风险规避者最优选择

图A为高度风险规避者最优选择

总之，求最优投资组合，一般遵循以下步骤：

1. 找出投资者效用函数表达式

2. 确定投资组合中各风险资产的期望收益率、风险（标准差）及协方差。

3. 求出N种风险资产组合的期望收益率与风险及各风险资产的组合权数，写出有效边界的表达式并在E(r)-σ图上绘出有效边界。（引入无风险资产后，有效边界转变为直线，这在以后部分介绍）

4. 通过建立拉格朗日函数求得投资者效用最大化时的最优投资组合，或通过找出投资者无差异曲线与有效边界的切点确定最优投资组合。

五、引入无风险资产再组合

（一）无风险资产的标准差、方差、协方差均为零

б2

F = 0 ，б

F

= 0 ，Cov

iF

= 0

（二），无风险资产与风险资产组合收益组合方差1，无风险资产与单一风险资产（A）组合

两资产组合收益率：E（r

P ）= X

A

E（r

P

）+ X

F

r

f

图示

∵X

F = 1- X

A

E（r

A

）

∴E（r

P ）= r

f

+ X

A

[E（r

A

）- r

f

]

两资产组合方差：

б2

P = X2

A

б2

A

+2 X

A

X

F

Cov

AF

+ X2

F

б2

F

Cov

AF = 0 , б

F

= 0

б2

P = X2

A

б2

A

, б

P

= X

A

б

A

r

f

此式转为X

A

=

A

P

σ

σ

, 代入前式得：

C

σб

A B

σ

E（r

P

）= r

f

+

A

σ

]

r -）

r

（

[E

f

A* б

P

斜率为

A

σ

]r -） r （[E f A （单位风险补偿），截距为r f 。

向右上倾斜直线表明бP 越高，E （r P ）越大，两者为正相关。 A 点为100% 持有A 股票，F 点为100% 持有无风险资产，C 为A 股票与无风险资产F 的不同组合，B 代表卖空F 买入A 。引入

无风险资产后，该线为有效边界线。 2，无风险资产与风险资产组合的再组合

设A 、B 股票为风险资产组合，（更多股票组合相同），形成新组合T 。

E （r T ）= Y A E （r A ）+ Y B E （r B ）

σ

T

= （Y 2A σ2

A + Y 2

B σ2

B +2 Y A Y B σ

AB ）

2

/1

引入无风险资产F ，组合收益与组合风险为：

E （r P ）= r f +

T

σf

T r -） r （E P σ ， P σ = X T σT

这一组合就是对F 、A 、B 进行组合。

r f

由风险资产组合N 与无风险资产F 形成资本线为最优线，N 为最优风险组合。位于最优线上的每一组合均由F 与N 构成。在这条线上，在相同风险水平上有最大期望收益率；在相同收益率水平上有最小风险。由此，引入无风险资产后，资本线成为有效边界，它与原风险型有效边界的切点（N ）就是最优风险资产组合。

以两个风险资产组合为例求最优投资组合 1.计算风险资产E （r ）、i σ及ij σ

2.确定最优先风险组合中多风险资产组合权数

确定最优风险资产组合N 实际上就是在 y A + y B = 1 时，求出CAL 斜率最大时的资金分配比例 y A 与 y B