地震动非平稳性与幅值谱和相位差谱的关系
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基于Burg算法的AR模型功率谱估计简介
基于Burg 算法的AR 模型功率谱估计简介 摘要：在对随机信号的分析中，功率谱估计是一类重要的参数研究，功率谱估计的方法分为经典谱法和参数模型方法。参数模型方法是利用型号的先验知识，确定信号的模型，然后估计出模型的参数，以实现对信号的功率谱估计。根据wold 定理,AR 模型是比较常用的模型，根据Burg 算法等多种方法可以确定其参数。 关键词：功率谱估计；AR 模型；Burg 算法 随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是随机信号的重要特征。因此, 用数字信号处理手段来估计随机信号的功率谱也是统计信号处理的基本手段之一。在信号处理的许多应用中, 常常需要进行谱估计的测量。例如, 在雷达系统中, 为了得到目标速度的信息需要进行谱测量; 在声纳系统中, 为了寻找水面舰艇或潜艇也要对混有噪声的信号进行分析。总之, 在许多应用领域中, 例如, 雷达、声纳、通讯声学、语言等领域, 都需要对信号的基本参数进行分析和估计, 以得到有用的信息, 其中, 谱分析就是一类最重要的参数研究。 1 功率谱估计简介 一个宽平稳随机过程的功率谱是其自相关序列的傅里叶变换，因此功率谱估计就等效于自相关估计。对于自相关各态遍历的过程，应有： )()()(121lim *k r n x k n x N N x N N n =? ?????++∞→∑-= 如果所有的)(n x 都是已知的，理论上功率谱估计就很简单了，只需要对其自相关序列取傅里叶变换就可以了。但是，这种方法有两个个很大的问题：一是不是所有的信号都是平稳信号，而且有用的数据量可能只有很少的一部分；二是数据中通常都会有噪声或群其它干扰信号。因此，谱估计就是用有限个含有噪声的观测值来估计)(jw x e P 。 谱估计的方法一般分为两类。第一类称为经典方法或参数方法，它首先由给定的数据估 计自相关序列)(k r x ，然后对估计出的)(?k r x 进行傅里叶变换获得功率谱估计。第二类称为非经典法，或参数模型法，是基于信号的一个随机模型来估计功率谱。非参数谱估计的缺陷是其频率分辨率低，估计的方差特性不好, 而且估计值沿频率轴的起伏甚烈，数据越长, 这一现象越严重。 为了改善谱分辨率，研究学者对基于模型的参数方法进行了大量研究。参数方法的第一步是对信号选择一个合适的模型，这种选择可能是基于有关信号如何产生的先验知识，也可能是多次试验后获得的结果。通常采用的模型包括AR 、MA 、ARMA 模型和谐波模型（噪声中含有复指数）。一旦模型选择好后，下一步就是计算模型的参数。最后将计算得到的参数带
傅里叶变换定律-傅里叶变换定义定律
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ? ?? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
?- = 2 2 0)(1T T dt t x T a ?- = 2 2 0cos )(2T T n tdt n t x T a ω ? - = 2 2 0sin )(2T T n tdt n t x T b ω 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2 /T 。 三角函数展开式的另一种形式： ) cos()(1 00∑∞ =++=n n n t n A a t x ?ωN 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频率 N 次谐波的幅值 信号的均值，直流分量
功率谱估计
功率谱估计及其MATLAB仿真 詹红艳 （201121070630控制理论与控制工程） 摘要:从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。 关键词:功率谱估计;周期图法;AR参数法;Matlab Power Spectrum Density Estimation and the simulation in Matlab Zhan Hongyan （201121070630Control theory and control engineering） Abstract:Mainly introduces the principles of classical PSD estimation and modern PSD estimation,discusses the characteristics of the methods of realization in Matlab.Moreover,It gives an example of each part in realization using Matlab functions. Keywords:PSDPstimation,Periodogram method,AR Parameter method,Matlab 1引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。 功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。 Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,人称矩 阵实验室,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境,成为目前极为流行的工程数学分析软件。也为数字信号处理进行理论学习、工程设计分析提供了相当便捷的途径。本文的仿真实验中,全部在Matlab6.5环境下调试通过;随机序列由频率不同的正弦信号加高斯白噪声组成。 2经典功率谱估计 经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为:相关函数法(BT法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法,其中周期图法应用较多,具有代表性。 1.1相关函数法(BT法) 该方法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n),然后对R(n)进行傅立叶变换,便得到x(n)的功率谱估计。当延迟与数据长度相比很小时,可以有良好的估计精度。 Matlab代码示例1: Fs=500;%采样频率 n=0:1/Fs:1;
参数法功率谱估计
参数法功率谱估计 一、信号的产生 （一）信号组成 在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。 （二）程序 N=1024;n=0:N-1; xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024); 这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号 其波形如下
0100200300400500600 -8-6 -4 -2 2 4 6 8 10 (a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形 二、参数模型法功率谱估计 （一）算法原理简介 1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下： ① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。 2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。此模型可以表现
为以下三式：
① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1 )()()(； ② ∑=-+==p k k k z a z A z H 111)(1)(； ③ 212 1)(∑=-+=p k jwk k jw x e a e P σ。 3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下： =)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a p k x k 0=m 时。 （二）两种AR 模型阶次的算法 1．Yule-Walker 算法(自相关法) （1）算法主要思想 Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。公式如下： ① 11 11/])()()([--=-∑+--=m m k x x m m m r k m r k a k ρ； ② )()()(11k m a k k a k a m m m m -+=--；
实验五 傅立叶变换与频率域滤波
实验五傅立叶变换与频率域滤波 一、实验目的 1.理解傅立叶变换； 2.熟悉MATLAB中各种傅立叶变换相关的函数； 3.掌握频域滤波的步骤以及MATLAB的实现方法； 4.理解频域滤波器与空域滤波器的关系。 二、实验内容及步骤 1、傅立叶变换及傅立叶反变换 （1）傅立叶变换相关函数 MATLAB提供了几个和傅立叶变换相关的函数。其说明如下： F=fft2(f); 二维傅立叶变换 real(F); 傅立叶变换的实部 imag(F); 傅立叶变换的虚部 abs(F); 获得傅立叶频谱 fftshift(F); 将变换的原点移至频率矩形的中心 ifft2(F); 二维傅立叶反变换 iffshift(F); 反中心平移 （2）傅立叶频谱 傅立叶频谱反映了图像的频率成分。幅值谱的能量往往集中于中低频部分，并且中低频部分的能量反映了图像的实体。图像的噪声往往集中于高频部分。 下面的例子对课本中123页的图Fig4.03(a).jpg进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱。 例：x=imread('Fig4.03(a).jpg'); F=fft2(x); %二维傅立叶变换 FP=sqrt(real(F).^2+imag(F).^2); %计算傅立叶频谱，或者使用abs()函数 imshow(uint8(FP)) %显示傅立叶频谱，直流成分分布在四个边角 figure(2); imshow(uint8(fftshift(FP))) % 中心平移的频谱图
思考题1：对课本125页的图Fig4.04(a).jpg进行傅立叶变换，得到傅立 叶频谱，为清楚地显示该谱，将其进行对数变换处理，增强其灰度细节。结果类似于图5_1。 图5_1 Fig4.04(a)的傅立叶谱 x=imread('Fig4.04(a).jpg'); F=fft2(x); FP=sqrt(real(F).^2+imag(F).^2); Image=log(1+double(fftshift(FP))); imshow(x); figure(2);imshow(Image,[]); （3）傅立叶变换对
参数法功率谱估计
参数法功率谱估计 一、 信号的产生 （一）信号组成 在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。 （二）程序 N=1024;n=0:N-1; xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024); 这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号 其波形如下 0100200300400500600 -8 -6-4-202468 10(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形
二、参数模型法功率谱估计 （一）算法原理简介 1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下： ① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n ω激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。 2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。此模型可以表现为以下三式： ① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(； ② ∑=-+== p k k k z a z A z H 111) (1 )(； ③ 2 12 1)(∑=-+= p k jwk k jw x e a e P σ。 3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下： =)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1 )( 1≥m 时，=)(m r x 21 )(σ+-∑=k r a p k x k 0=m 时。
高层建筑地震作用计算的时域显式随机模拟法
文章编号 5777=4>4?!6758"75=7753=57!"##57<5@774A B587 华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室项目 6753e I75 作者简介 苏成 5?4> ! 男 广东潮阳人 工学博士 教授 X=O'+( 0K0J2$^20$/:1,$:0& 收稿日期 675@年3月 35
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较 摘要： 本文归纳了信号处理中关键的一种分析方法, 即谱估计方法。概述了频谱估计中的周期图法、修正的协方差法和伯格递推法的原理，并且对此三种方法通过仿真做出了对比。 关键词：功率谱估计；AR 模型；参数 引言： 谱估计是指用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的谱。由于谱中包含了信号的很多频率信息，所以分析谱、对谱进行估计是信号处理的重要内容。谱估计技术发展 渊源很长，它的应用领域十分广泛，遍及雷达、声纳、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其内容、方法都在不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。谱估计的理论和方法是伴随着随机信号统计量及其谱的发展而发展起来的，最早的谱估计方法是建 立在基于二阶统计量, 即自相关函数的功率谱估计的方法上。功率谱估计的方法经历了经典谱估计法和现代谱估计法两个研究历程，在过去及现在相当长一段时间里，功率谱估计一直占据着谱估计理论里的核心位置。经典谱估计也成为线性谱估计，包括BT 法、周期图法。现代谱估计法也称为非线性普估计，包括自相关法、修正的协方差法、伯格（Burg ）递推法、特征分解法等等。 原理： 经典谱估计方法计算简单，其主要特点是谱估计与任何模型参数无关，是一类非参数化的方法。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据的观测区间以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，经典法的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。现代谱估计方法使用参数化的模型，他们统称为参数化功率谱估计，由于这类方法能够给出比经典法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法。下面分别介绍周期图法、修正的协方差法和伯格递推法。修正的协方差法和伯格递推法采用的模型均为AR 模型。 （1）周期图法 周期图法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。假设随机信号x(n)只观测到一段样本数据，n=0, 1, 2, …, N -1。根据这一段样本数据估计自相关函数，如公式（1） 对（1）式进行傅里叶变换得到（2）式。 ??? ? ????+=∑-=∞ →2 j j e )(121lim )e (N N n n N xx n x N E P ωω ∑--=+= 1||0 *) ()(1 )(?m N n xx m n x n x N m r
MATLAB中AR模型功率谱估计中AR阶次估计的实现
MATLAB中AR模型功率谱估计中AR阶次估计的实现 （最近看了几个关于功率谱的问题，有关AR模型的谱估计，在此分享一下，希望大家不吝指正） （声明：本文内容摘自我的毕业论文——心率变异信号的预处理及功率谱估计） （按：AR模型功率谱估计是对非平稳随机信号功率谱估计的常用方法，但是其模型阶次的估计，除了HOSA工具箱里的arorder函数外，没有现成的函数可用，arorder函数是基于矩阵SVD分解的阶次估计方法，为了比较各种阶次估计方法的区别，下面的函数使用了'FPE', 'AIC', 'MDL', 'CAT'集中准则一并估计，并采用试验方法确定那一个阶次更好。） ………………………………以上省略…………………………………………………………………… 假设原始数据序列为x，那么n阶参数使用最小二乘估计在MATLAB中实现如下： 复制内容到剪贴板 代码: Y = x; Y(1:n) = []; m = N-n; X = [];% 构造系数矩阵 for i = 1:m for j = 1:n X(i,j) = xt(n+i-j); end end beta = inv(X'*X)*X'*Y'; beta即为用最小二乘法估计出的模型参数。 此外，还有估计AR模型参数的Yule-Walker方程法、基于线性预测理论的Burg算法和修正的协方差算法等[26]。相应的参数估计方法在MATLAB中都有现成的函数，比如aryule、arburg以及arcov等。 4.3.3 AR模型阶次的选择及实验设计
文献[26]中介绍了五种不同的AR模型定阶准则，分别为矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）定阶法、最小预测定误差阶准则 （Final Prediction Error Criterion, FPE）、AIC定阶准则（Akaika’s Information theoretic Criterion, AIC）、MDL定阶准则以及CAT定阶准则。文献[28]中还介绍了一种BIC定阶准则。SVD方法是对Yule-Walker方 程中的自相关矩阵进行SVD分解来实现的，在MATLAB工具箱中arorder函数就是使用的该算法。其他五种算法的基本思想都是建立目标函数，阶次估计的标准是使目标函数最小化。 以上定阶准则在MATLAB中也可以方便的实现，下面是本文实现FPE、AIC、MDL、CAT定阶准则的程序（部分）： 复制内容到剪贴板 代码: for m = 1:N-1 …… % 判断是否达到所选定阶准则的要求 if strcmp(criterion,'FPE') objectfun(m+1) = (N+(m+1))/(N-(m+1))*E(m+1); elseif strcmp(criterion,'AIC') objectfun(m+1) = N*log(E(m+1))+2*(m+1); elseif strcmp(criterion,'MDL') objectfun(m+1) = N*log(E(m+1))+(m+1)*log(N); elseif strcmp(criterion,'CAT') for index = 1:m+1 temp = temp+(N-index)/(N*E(index)); end objectfun(m+1) = 1/N*temp-(N-(m+1))/(N*E(m+1)); end if objectfun(m+1) >= objectfun(m) orderpredict = m; break; end end orderpredict变量即为使用相应准则预测的AR模型阶次。
傅里叶变换
傅里叶变换及滤波器的设计 图像经过傅里叶变换之后得到的是图像的频域，也就是频率成分。这个频率成分表示的意义是相邻像素之间的变化，也就是说图像在空间中变化越大，他对应在频域上的数值越大。图像经过傅里叶变换，可以提取图像的轮廓或者是边界。 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。 图像傅里叶变换的物理意义 将图像的灰度的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率函数变换为灰度分布函数。 傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。 图像的傅里叶变换的过程 令),(y x f 表示一副图像大小为N M ?的图像，其中1.3,2,1,0-=M x ， 1.3,2,1,0-=N y ，),(y x f 的二维离散傅里叶变换可用下式表示： )//(2101 0),(),(N vy M ux j M x N y e y x f v u F +--=-=∑∑=π ),(v u R 为),(v u F 的实部，),(v u I 为其虚部。
傅里叶变换
基本介绍 ?教材：《数字信号处理原理及实现》王艳芬等编清华大学出 版社 ?讲授内容：绪论、第1~7章 ?学时：48学时，其中讲课40学时，实验8学时。 ?实验第8章，为上机实验，使用软件Matlab，学时分配：3+3+2。 绪论 一、信号 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。。 分类：模拟信号、量化信号、抽样信号和数字信号。
二、数字信号处理及其特点 数字信号处理是用数值计算的方法，完成对信号的处理。因此处理的实质是“运算”，运算的基本单元是延时器、乘法器和加法器。 通过处理，往往可以达到两个目的： （1）对信号在时域及变换域内的特性进行分析，以便对信号有更清楚的认识。 （2）对信号实施处理，以改善其性能，比如滤波。 本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，内容主要包括： 051015 024051015 02 4051015 051015
（1）离散傅里叶变换及其快速算法。 （2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。 特点：灵活性好、精度高、可靠性强、便于大规模集成等。 三、数字信号处理系统的基本组成 （1）前置滤波器 将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，采样后的信号称为离散信号。 四、预备知识 （一）傅里叶变换 傅里叶（Fourier，1768～1830），法国人。 1807年，完成了关于热传导理论方面的研究， 并提出“任何”周期信号都可以利用正弦级数 来表示。1829年，狄里赫利给出了若干精确条 件，为傅里叶级数和积分建立了理论基础。 由于正弦信号在科学和许多工程领域中起着重要作用，因而傅里叶级数和变换在许多领域得到广泛应用。 1．周期信号的频谱——傅里叶级数
傅立叶变换-时域-频域
傅立叶变换，时域，频域一(2012-08-28 15:50:39) 标签： 参考文献： 信号完整性分析 "信息传输调制和噪声"P31， "傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。 目录 信号分析方法概述 时域 频域 时域与频域的互相转换？ 傅立叶变换原理 傅立叶变换分类 傅立叶级数的五个公式(周期性函数) 傅立叶积分(非周期性函数) 振幅谱和相位谱的关系 功率谱 傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质 时间-频率间的对应关系。 对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系
对应关系2，时间周期T 与频谱：呈反比关系 对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系 用脉冲宽度定义带宽 频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱 周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义 离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系 傅立叶变换与正交性 傅立叶变换的思想总结与优点 时域的物理意义 频域的物理意义？ 1，频域的物理意义 2，傅立叶变换与谐波 3，傅立叶反变换与谐波叠加 4，带宽与时钟频率、脉冲宽度 关键技术点解释 1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？ 2，什么是正交正交的条件是什么傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件？ 3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量 4, 频域中幅值与时域中的幅值有什么关系？ 5，采样
傅立叶变换的缺点 ================================= 信号分析方法概述 通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。 也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。 思考： 原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。 人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。 但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。 时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。
傅里叶变换常用公式
（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
傅立叶变换
傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行
● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中，?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(
● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换
● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f
● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π
傅里叶变换基础知识 (2)
傅里叶变换基础知识 1. 傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1 周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1.1.1 狄利克雷（dirichlet ）条件 狄利克雷（dirichlet ）条件为： （1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）； （2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值； （3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00 /2 /2()dt T T x t -?应为有限值。 1.1.2 间断点 在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点）： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。 0a 、n a 、n b 分别表示为： 式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。 合并同频项也可表示为 式中：信号的幅值n A 和初相位n θ分别为 1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是n A ω-（或n A f -）和n θω-（或n f θ-）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值n A 随ω（或f ）的变化关系，用n A ω-（或n A f -）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n θ随ω（或f ）的变化关系，用n θω-（或n f θ-）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0ω或0f ，各频率成分都是0ω或0f 的整数倍； （6）基波：0ω或0f 对应的信号； （7）n 次谐波： 0(n 2,3,...)n ω=或0(n 2,3,...)nf =的倍频成分0c o s ()n n A n t ω?+或0cos(2)n n A nf t πθ+；
快速傅里叶变换实验
快速傅里叶变换实验
实验七快速傅里叶变换实验 2011010541 机14 林志杭 一、实验目的 1．加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”；“窗函数”（截断）……“泄漏”；“非整周期截取”……“栅栏”。 2．加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。 3．对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。 二、实验原理 为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析――计算信号的频谱。由于计算机只能进行有限的离散计算（即DFT），因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。
时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满足采样定理，即：采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍（ fs＞ 2fc）。因此在信号数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。 频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散（如由一个δ（f）变成一个sinc（f），而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。时域截断还会引起“栅栏效应”，对周期信号而言，它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。 综上所述，在信号数字化处理中应十分注意以下几点： 1．为了避免“混叠”，要求在采样时必须满足采样定理。 为了减少“泄漏”，应适当增加截断长度和选择合适的窗 对信号进行整周期截取，则能消除“栅栏数应”。增加截断长度，则可提高频率分辨率。