历年高考文科数学解答大题分类归纳

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历年高考文科数学解答大题分类归纳

历年高考函数大题分类归纳

一、函数大题

1.(本小题满分13分)2011

设()nx mx x x f ++=2

33

1.

(1)如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-,求()x f 的解析式; (2)如果()+∈<+N n m n m ,10,()x f 的单调递减区间的长度是正整数,试求m 和n 的值.(注:区间()b a ,的长度为a b -) 解:(1)已知()nx mx x x f ++=

23

3

1,()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值, 则()()()3022222'=?=-+-=-m m g ,又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222

=?-=-+?-+-=-n n g ()x x x x f 233

123

++=

∴ (2)要使()nx mx x x f ++=

23

3

1单调递减,则 ()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数,所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ,b 。即有: b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=

-+=

-N n m n m n m ab b a a b ,2444222

又b-a 为正整数,且m+n<10,所以m=2,n=3或,5,3==n m 符合。

2.(本小题满分12分)2010

设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.

(1)若()f x 的两个极值点为12,x x ,且121x x =,求实数a 的值;

(2)是否存在实数a ,使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.

解: 2

()186(2)2f x x a x a '=+++

(1)由已知有12()()0f x f x ''==,从而122118

a

x x ==,所以9a =; (2)由22

36(2)418236(4)0a a a ?=+-??=+>, 所以不存在实数a ,使得()f x 是R 上的单调函数.

3.(本小题满分12分)2009 设函数

32

9()62f x x x x a =-

+-

(1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值; (2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围

解:(1)

'2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即

2

39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得

34m ≤-

,即m 的最大值为3

4-

(2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;

所以 当1x =时,()f x 取极大值

5

(1)2f a =

-;

当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或

5

2a >

.

4.已知函数43

22411()(0)43

f x x ax a x a a =

+-+> 2008 (1)求函数()y f x =的单调区间;

(2)若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点,求a 的取值范围.

解:(1)因为3

2

2

()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时,()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示

所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与;()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-,

与,

(2)由(1)得到4

5()(2)3f x f a a =-=-极小值,4

7()()12

f x f a a ==

极小值 4()(0)f x f a ==极大值

要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点,只要4

4

571312

a a -<<

或41a <,

即a >

01a ≤<. 5.(本小题满分12分)2007

已知函数2

1(0)()21(1)

x c cx x c f x c x -+<

(1)求常数c 的值; (2

)解不等式()18

f x >

+. 解:(1)因为01c <<,所以2c c <;由2

9()8f c =

,即3

918c +=,12

c =. (2)由(1)得411122()211x x x f x x -??

?+0<< ????

?=?1???+< ??2???

,,≤

由()18

f x >

+得, 当102x <<

时,解得142

x <<;当112x <≤时,解得1528x <≤,

所以()1f x >+

的解集为58x ????

<

. 6.(本小题满分12分) 2006

已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-与1x =时都取得极值.

(1)求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间;

(2)若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.

解:

322(1)(),()32,f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++

22124

()0,(1)320,

3931

,2,2

()32(32)(1),():

f a b f a b a b f x x x x x f x ''-=-+==++==-=-'=--=+-由得函数的单调区间如下表

所以函数()f x 的递增区间为(,)3-∞-与(1,)+∞; 递减区间为(,1)3

-

. [][]32221

(2)()22

222

1,2,,(),

327

(2)2,(2)2.

()(1,2),(2)2,1 2.

f x x x x c x x f x c f c f c f x c x c f c c c =--+∈-=-=+=+=+∈-=+-当时为极大值而则为最大值要使恒成立只须解得或

<> <>

7.(本小题满分12分)2005

已知函数b

ax x x f +=2

)((a ,b 为常数)且方程f (x )-x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)设k>1,解关于x 的不等式;x

k

x k x f --+<

2)1()(.

解:(1)将0124,32

21=+-+==x b

ax x x x 分别代入方程

得 ).2(2)(,218416939

2≠-=???=-=??????

?-=+-=+x x x x f b a b

a b

a 所以解得 (2)不等式即为

02)1(,2)1(222<-++---+<-x

k

x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x

①当).,2(),1(,21+∞?∈<

②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞?∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞?∈>k x k 解集为时当.

二、三角函数

1.(本小题满分12分)2011

在ABC ?中,C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知C b B c A a cos cos cos 3+=. (1)求A cos 的值; (2)若3

3

2cos cos ,1=

+=C B a ,求边c 的值. 解:(1)由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得:

)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=

及:A A A sin cos sin 3=所以3

1

cos =

A 。 (2)由3

3

2cos cos =

+C B 3

3

2cos )cos(=

+--C C A π展开易得: 3

6sin 3sin 2cos =

?=+C C C 正弦定理:23

sin sin =?=c C c A a 2.(本小题满分12分)2010

已知函数2()(1cot )sin 2sin()sin()44

f x x x x x ππ

=+-+-.

(1)若tan 2α=,求()f α;

(2)若[,]122

x ππ

∈,求()f x 的取值范围.

解:(1)2

()sin sin cos cos2f x x x x x =++1cos 21sin 2cos 222

x x x -=

++ 11(sin 2cos 2)22

x x =++ 由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4

sin 2sin cos 1tan 5

ααααααα===++,

222222

cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5

ααααααα--===-++,所以3

()5f α=.

(2)由(1

)得111()(sin 2cos 2))22242

f x x x x π=

++=++ 由[

,]122x ππ

∈得552[,]4124x πππ+∈

,所以sin(2)[42

x π+∈-

从而11()sin(2)[0,2422

f x x π=++∈.

3.(本小题满分12分)2009

在△ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,6A π

=

,(12c b =.

(1)求C ;

(2

)若1CB CA ?=

a ,

b ,

c .

解:(1

)由(12c b = 得

1sin 2

sin b B c C ==

则有

55sin()

sin

cos cos sin 6

66sin sin C C C

C

C π

ππ

π-

--=

=11cot 2

2C += 得cot 1C = 即

4C π

=

.

(2)

由1CB CA ?= 推出

cos 1ab C =;而

4C π=

,

即得1=+ 则有

12(12sin sin ab c b a c A C

=+??

+=???=?? 解得

12a b c ?=??

=+??=??

4.(本小题满分12分) 2008

已知1t a n 3α=-

,c o s ,β=,(0,

)αβπ∈ (1)求t a n ()αβ+的值; (2

)求函数()s i n ()c o s ()

f x x x αβ=

-++的最大值. 解:(1

)由cos β=

(0,)βπ∈ 得tan 2β=

,sin β=

于是tan()αβ+=1

2

tan tan 3121tan tan 13

αβ

αβ-++==-+.

(2)因为1tan ,(0,)3

ααπ=-∈

所以sin αα=

=

()f x x x x x =

x = ()f x

5.(本小题满分12分)2007

如图,函数π

2cos()(0)2

y x x ωθθ=+∈R ,≤

≤的图象与y

轴相交于点(0, 且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值;

(2)已知点π02A ??

???

,,

点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y , 是PA

的中点,当02

y =

,π[π)2x ∈,时,求0x 的值.

解:(1)将0x =

,y =2cos()y x ωθ=+

中得cos 2

θ=

, 因为π02θ≤≤

,所以π6

θ=. 由已知πT =,且0ω>,得2π2π2T π

ω===. (2)因为点π

02

A ?? ???

,,00()Q x y ,是PA

的中点,0y =

所以点P

的坐标为0π22x ?-

?

. 又因为点P 在π2cos 26y x ?

?=+

??

?的图象上,且0ππ2x ≤≤

,所以05πcos 462x ?

?-= ??

?, 07π5π19π4666x -≤≤,从而得05π11π466x -=或05π13π466

x -=, 即02π3x =或03π

4

x =.

6.(本小题满分12分) 2006

在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,

已知sin ,3

A = (1)求2

2tan sin 22

B C A

++的值; (2)

若2,ABC a S ?=b 的值。 解:(1)因为锐角△ABC 中

,,sin 3

A B C A π++==

,所以1cos 3A =

则2222

2sin (

)

2tan sin sin 222

cos ()2

1cos()11cos 17(1cos ).1cos()21cos 33

B C

B C A A B C B C A A B C A +++==++-++=+-=+=++-

(2)

因为ABC S ?=

又11sin 223

ABC S bc A bc ?==?= 则3bc =.将13

2,cos ,3a A c b

==

=代入余弦定理:2222cos ,a b c bc A =+- 得42690,b b -+=

解得b =7.(本小题满分12分)2005 已知向量x f x x x x ?=-+=+=)()),4

2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令π

ππ.

求函数f (x )的最大值,最小正周期,并写出f (x )在[0,π]上的单调区间. 解:)4

2tan()42tan()42sin(2cos 22)(π

ππ-+++=?=x x x x b a x f

12c o s 22c o s 2s i n 22

t a n

11

2t a n 2t a n 12t a n 1)2c o s 222s i n 22(2c o s 222-+=+-?-+++=x x x x x

x x x x x

sin cos ).4

x x x π

=+=+

当4

x

π

=

时,

max ()|()

4

f x f π

== 最小正周期为2T π

=

()f x 在0,4π??????是单调增加,在,4ππ??

????

是单调减少

三、概率试题

1.(本小题满分12分)2011

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5 杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工 一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3 杯选对2杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. 2.求此人被评为优秀的概率;

3.求此人被评为良好及以上的概率. 解:(1)员工选择的所有种类为3

5C

,而

3杯均选中共有3

3C

种,故概率为

10

1

3

533=C C . (2)员工选择的所有种类为35C ,良好以上有两种可能①:3杯均选中共有3

3C 种;

②:3杯选中2杯共有1

22

3C

C 种。故概率为

10

7

3

5122333=+C C C C . 解析:本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合,简单题。

2.(本小题满分12分)2010

某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过...的通道,直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率; (2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.

解:(1)设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件,则1()3

P A =

. (2) 设B 表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件,则1111

()6662

P B =++=.

18.(本小题满分12分)2009

某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行

评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1

2.若某人获得两个“支持”,则给

予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求:

(1) 该公司的资助总额为零的概率;

(2)该公司的资助总额超过15万元的概率. 18.解:(1)设A 表示资助总额为零这个事件,则

6

11()264P A ??==

???

(2)设B 表示资助总额超过15万元这个事件,则

666

11111

()15622232P B ??????=?+?+=

? ? ???????

18.(本小题满分12分)2008

因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

解:(1)令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

()0.20.40.40.30.2P A =?+?=

(2)令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

()0.20.60.40.60.40.30.48P B =?+?+?=

19.(本小题满分12分)2007

栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗..,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗.. 的概率分别为0.6,0.5,移栽后成活..的概率分别为0.7,0.9. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗..的概率; (2)求恰好有一种果树能培育成苗..且移栽成活..

的概率. 解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ,2A ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活

为事件1B ,2B ,1()0.6P A =,2()0.5P A =,1()0.7P B =,2()0.9P B =.

(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-?= ;

(2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ,, 则11()()0.42P A P A B ==,22()()0.45P B P A B ==. 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

()0.420.550.580.450.492P AB AB +=?+?=.

解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为

11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=.

18.(本小题满分12分) 2006

某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得二等奖;摸出两个红球可获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率;

(2)甲、乙两人中至少有一人获得二等奖的概率。

解:(1)23

1

999;101010P ????

=?= ? ?????

(2)方法一:2

2

222

1911918118262

10101010101010101000

P ????=?+?+?+?= ? ????? 方法二:2119119262221010101010101000

P =

+??-???= 方法三:291199262

110101*********

P ??=-

??+?=

??? 19.(本小题满分12分)2005

A 、

B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片,否则B 赢得A 一张卡片,如果某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.

解:设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数,正面出现的次数为m ,反面出现的次数为n ,则

||517m n m n ξξ-=??

+=??≤≤?

,可得: 5,00,5,5;m n m n ξ=====当或时

6,11,6,7.m n m n ξ=====当或时 :5,7

ξ所以的所有可能取值为 517

51115(7)(5)(7)2()2()22166464

P P P C ξξξ≤==+==?+=+=

四、立体几何

18.(本小题满分12分)2011

如图,在=2,2

ABC B AB BC P AB π

?∠==中,,为边上一动点,PD//BC 交AC 于

点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ??⊥沿翻折至使平面平面 (1)当棱锥'A PBCD -的体积最大时,求PA 的长;

(2)若点P 为AB 的中点,E 为'

'

.AC B DE ⊥的中点,求证:A

解:(1)设x PA =,则)2(31312

x

x x S PA V PDCB PBCD

A -=?='底面- 令)0(,6

32)22(31)(32>-=

-=x x x x x x f 则232)(2x x f -='

由上表易知:当3

3

2==x PA 时,有PBCD A V -'取最大值。 证明:

(2)作B A '得中点F ,连接EF 、FP 由已知得:FP ED PD BC EF ////2

1

//

? PB A '?为等腰直角三角形,PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.

20.(本小题满分12分) 2010

如图,BCD ?与MCD ?都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平

面BCD

,AB =(1)求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小;

(2)求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

解法一:(1)取CD 中点O ,连OB ,OM ,则OB ⊥CD ,OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD ,所以MO ∥AB ,A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ,则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角.

OB =MO

=

,MO ∥AB ,则

1

2

E O M O E B A B ==

,EO OB =

,所以EB AB ==,故45AEB ∠= .

(2)CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线. 由(1)知,O 是BE 的中点,则BCED 是菱形.

作BF ⊥EC 于F ,连AF ,则AF ⊥EC ,∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角,设为θ.

因为∠BCE =120°,所以∠BCF =60°

.

sin 60BF BC =?

tan 2AB BF θ=

=

,sin θ=

解法二:取CD 中点O ,连OB ,OM ,则OB ⊥CD ,OM ⊥CD ,又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .

以O 为原点,直线OC 、BO 、OM 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图.

OB =OM

则各点坐标分别为O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0

,B (0,

0),A (0,

(1)设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.

因AM =

(0

),平面BCD

的法向量为

_ C _

H _

M _

D _

E _

B _

O _

A _

F

(0,0,1)n = .

则有sin cos ,AM n AM n AM n

α?====?

,所以45α= . (2

)(1CM =-

,(1,CA =-

.

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z = ,由11n CM n CA

?⊥??⊥??

得0

0x x ?-=??

-+=??.

解得x =,y z =,

取1,1,1)n = .又平面BCD 的法向量为(0,0,1n =

则111c o s ,n n n n n n

?<>==?

设所求二面角为θ

,则sin θ==.

20.(本小题满分12分)2009

如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,

PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的

中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . (1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角;

(3)求点O 到平面ABM 的距离.

20.解:方法(一):

(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,

因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD. (2)设平面ABM与PC交于点N,

因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN 是PN 在平面ABM 上的射影,

所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角, 且PNM PCD ∠=∠

z

B

tan tan PD

PNM PCD DC ∠=∠=

=

arctan (3)因为O 是BD 的中点,则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半,

由(1)知,PD⊥平面ABM于M ,则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.

因为在Rt △PAD 中,4PA AD ==,PD AM ⊥,所以M 为PD

中点,DM =O 点到平面ABM

方法二:

(1)同方法一;

(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(0,0,4)P ,(2,0,0)B , (2,4,0)C ,

(0,4,0)D ,(0,2,2)M ,

设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =

由,n AB n AM ⊥⊥ 可得:20

220x y z =??

+=?, 令1z =-,则1y =,即(0,1,1)n =-

.

设所求角为α

,则

sin 3PC n PC n

α?==

,所求角的大小为

arcsin

3.

(3)设所求距离为h ,由(1,2,0),(1,2,0)O AO =

,得:

AO n

h n

?==

20.(本小题满分12分)2008

如图,正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直,且长度均为2.E 、F 分别是AB 、AC 的中点,H 是EF 的中点,过EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长

线分别相交于1A 、1B 、1C ,已知13

2

OA =.

(1)求证:11B C ⊥面OAH ; (2)求二面角111O A B C --的大小.

20.解 :(1)证明:依题设,EF 是ABC ?的中位线,所以EF ∥BC , 则EF ∥平面OBC ,所以EF ∥11B C 。 又H 是EF 的中点,所以AH ⊥EF , 则AH ⊥11B C 。 因为OA ⊥OB ,OA ⊥OC , 所以OA ⊥面OBC ,则OA ⊥11B C , 因此11B C ⊥面OAH 。

(2)作ON ⊥11A B 于N ,连1C N 。 因为1OC ⊥平面11OA B ,

根据三垂线定理知,1C N ⊥11A B , 1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ,则EM ∥OA ,则M 是OB 的中点,则1EM OM ==。 设1OB x =,由

11

1OB OA MB EM

=

得,312x x =-,解得3x =, 在11Rt OA B ?

中,11A

B ==

1111OA OB ON A B ?==。

所以1

1tan OC ONC ON

∠=

=111O A B C --

为 解法二:(1)以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴,建立空间直角坐标系,O xyz -则

11

(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22

A B C E F H

所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222

AH OH BC =-==-

所以0,0AH BC OH BC ?=?=

所以BC ⊥平面OAH

由EF ∥BC 得11B C ∥BC ,故:11B C ⊥平面OAH

(2)由已知13(,0,0),2

A 设1(0,0,)

B z

则111

(,0,1),(1,0,1)2

A E E

B z =-=--

由1A E 与1EB

共线得:存在R λ∈有11A E EB λ=

x

1

C 1

A

11

32

1(1)(0,0,3)

z z B λ

λ?-=-??=??=-?

∴ 同理:1(0,3,0)C 1111

33

(,0,3),(,3,0)22

A B AC ∴=-=- 设1111(,,)n x y z =

是平面111A B C 的一个法向量,

则3

3023302

x z x y ?-+=????-+=??令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴=

又2(0,1,0)n =

是平面11OA B 的一个法量

12cos ,6

n n ∴<>=

=

所以二面角的大小为arccos 6 20.(本小题满分12分)2007

右图是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC .已知

11111A B B C ==,11190A B C ∠= ,14AA =,12BB =,1

CC =.

(1)设点O 是AB 的中点,证明:OC ∥平面111A B C ; (2)求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小; (3)求此几何体的体积.

解法一:

(1)证明:作1OD AA ∥交

11A B 于D ,连1C D . 则11OD BB CC ∥∥, 因为O 是AB 的中点, 所以1111

()32

OD AA BB CC =

+==. 则1ODC C 是平行四边形,因此有1OC C D ∥,

1C D ?平面111C B A ,且OC ?平面111C B A

则OC ∥面111A B C .

(2)解:如图,过B 作截面22BA C ∥面111A B C ,分别交1AA ,1CC 于2A ,2C ,

A

C

1A

1

1

1B

1

2C

A

作22BH A C ⊥于H ,因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ,则BH ⊥面11AAC C .

连结AH ,则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角.

因为BH =

,AB =

sin BH BAH AB ==∠ AB 与面11AAC C

所成的角为arcsin

BAH =∠ (3

)因为2BH =

,所以222213B AA C C AA C C V S BH -= .111

(13222

=+= .

1112211111

212

A B C A BC A B C V S BB -=== △.

所求几何体的体积为22111223

2

B AA

C C A B C A BC V V V --=+=. 解法二:

(1)证明:如图,以1B 为原点建立空间直角坐标系,则(014)A ,,,(002)B ,,,(103)C ,,,

因为O 是AB 的中点,所以1032O ?? ???

,,,1102OC ?

?=- ??? ,,

易知,(001)n =

,,是平面111A B C 的一个法向量.

由0OC n =

且OC ?平面111A B C 知OC ∥平面111A B C . (2)设AB 与面11AAC C 所成的角为θ. 求得1(004)A A = ,,,11(1

10)AC =- ,,. 设()m x y z = ,,是平面11AAC C 的一个法向量,则由11100A A m A C m ?=??=??

得0

0z x y =??-=?

, 取1x y ==得:(110)m = ,,.又因为(012)AB =--

,,

所以,cos m < ,m AB AB m AB

>==

sin θ=. 所以AB 与面11AAC C 所成的角为 (3)同解法一

1B

x

20.(本小题满分12分)2006

如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直,且1,2,OA OB OC E ===是

OC 的中点.

(1)求O 点到面ABC 的距离;

(2)求异面直线BE AC 与所成的角; (3)求二面角E AB C --的大小;

20.(1)取BC 的中点D ,连AD 、OD

,OB OC OD BC =⊥ 则、,AD BC ⊥ .,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于

则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离

.

BC OD ===

OA OB ⊥ 、OA OC ⊥,

,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥面则

AD ==OAD

中,有OA OD OH AD ?=

==

(另解:由112,363ABC V S OH OA OB OC OH ?=

?=??==知 (2)取OA 的中点M ,连EM 、BM ,则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.

求得

:

2221222

cos ,arccos .

255

EM AC BE BM BE ME BM BEM BEM BE ME =

=====+-∠==∴∠=?

(3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .

,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥ 面又面

则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,

则12EG OH =

= 在直角三角形OAB 中

,OA OB OF AB ?=

=

在直角三角形OEF中

,EF===

6

sin arcsin arccos

3181818

EG

EFG EFG

EF

∠===∠=或表示为方法二:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

则有(0,0,1)

A、(2,0,0)

B、(0,2,0)

C、(0,1,0).

E

设平面ABC的法向量为

1

(,,),

n x y z

=

则由

11

:20;

n AB n AB x z

⊥?=-=

11

:20.

n AC n AC y z

⊥?=-=

知取

1

(1,1,2)

n=

,则点O到面ABC的距离为

1

1

n OA

d

n

?

===

(2)(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),

(0,2,1).

EB

AC

=-=-

=-

cos<,

EB AC

>

2

,

5

==-所以异面直线BE与AC所成的角

2

arccos

5

.

(3)设平面EAB的法向量为(,,),

n x y z

=

则由n AB

知:20;

n AB x z

?=-=

由n EB

知:20.

n EB x y

?=-=

取(1,2,2).

n=

由(1)知平面ABC的法向量为

1

(1,1,2).

n=

则cos<1

,n n

>1

1

n n

n n

?

====

.

结合图形可知,二面角E AB C

--的大小为

:arccos

18

.

2018年高考文科数学分类汇编:专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上,贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2,且d 1 d 2 =6,则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇:解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0),则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3,则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60,则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴,y 轴交于A , B 两点,点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ,则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2,过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1

8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为() D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ,B 两点,则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点,贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点(1,0)且垂直于 轴,若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1(a 0)的离心率为 a 4 -1,则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点( 0,0) 1),( 2,0)的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F (c,0)到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中,A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0),以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0,则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P (0,1),椭圆^+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足AP =2"P B ,则 4 当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大.

历年江西高考数学文科卷

2006高等学校全国统一数学文试题(江西卷) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(1)0P x x x =-≥, 101Q x x ??=>?? -??,则P Q 等于( ) A.? B.{}1x x ≥ C. {}1x x > D. {}1x x x <0或≥ 2.函数 4sin 21 y x π? ?=++ ?3??的最小正周期为( ) A.π 2 B.π C.2π D.4π 3.在各项均不为零的等差数列{}n a 中,若2 110(2)n n n a a a n +--+=≥,则214n S n --=( ) A.2- B.0 C.1 D.2 4.下列四个条件中,p 是q 的必要不充分条件的是( ) A.:p a b >,22 :q a b > B.:p a b >,:22a b q > C. 22 :p ax by c +=为双曲线,:0q ab < D.2 :0p ax bx c ++>, 2: 0c b q a x x -+> 5.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足(1)()0x f x '-≥,则必有( ) A.(0)(2)2(1)f f f +< B.(0)(2)2(1)f f f +≤

C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D.(0)(2)2(1)f f f +> 6.若不等式2 10x ax ++≥对一切 102x ??∈ ???,成立,则a 的最小值为( ) A.0 B.2- C.52- D.3- 7 .在 2n x ?? ?的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12 8.袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取 10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A.1234481216 1040C C C C C B.2134 481216 1040C C C C C C.2314481216 1040C C C C C D.1342481216 1040C C C C C 9.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题 中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1200OB a OA a OC =+,且A B C ,,三点共线(该直 线不过点O ),则200 S 等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 11.P 为双曲线22 1916x y -=的右支上一点,M ,N 分别是圆22(5)4x y ++=和 22 (5)1x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2 ,n ∈A },则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ={x |x =n 2 ,n ∈A }={1,4,9,16}, ∴A ∩B ={1,4}. 2.(2013课标全国Ⅰ,文2) 2 12i 1i +(-)=( ). A. B .11+ i 2 - C . D . 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=1 1+i 2 -. 3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ). A .12 B .13 C .14 D .16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为 13 . 4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0) C 的渐近线方程 为( ). A . B . C .1 2 y x =± D . 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =,即2254 c a =.

2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计

2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计 1(2019北京文科).改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下: 支付 金额 支付方式 不大于 (Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率; (Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由. 【答案】(Ⅰ)400人; (Ⅱ)1 25 ; (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数; (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率; (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由图表可知仅使用A的人数有30人,仅使用B的人数有25人,由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人, 所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540 ---=,

所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400100 ?=(人). (Ⅱ)因为样本中仅使用B 的学生共有25人,只有1人支付金额大于2000元, 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为 125. (Ⅲ)由(Ⅱ)知支付金额大于2000元的概率为1 25 , 因为从仅使用B 的学生中随机调查1人,发现他本月的支付金额大于2000元, 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的,所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化,且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用,概率的定义与应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.(2019全国1卷文科)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案. 【详解】详解:由已知将1000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到, 所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ,公差10d =, 所以610n a n =+()n *∈N , 若8610n =+,则1 5 n = ,不合题意;若200610n =+,则19.4n =,不合题意; 若616610n =+,则61n =,符合题意;若815610n =+,则80.9n =,不合题意.故选C . 【点睛】本题主要考查系统抽样. 3.(2019全国1卷文科)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

高考数学文科分类--集合与简易逻辑

2014年高考数学文科分类------集合与简易逻辑 (安徽)2命题“0||,2 ≥+∈?x x R x ”的否定是( ) A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 北京1.若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A B =I ( ) A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 5.设a 、b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 (福建卷)1若集合}42|{<≤=x x P ,}3|{≥=x x Q ,则=Q P I 等于( ) A .}43|{<≤x x B .}43|{<

高考文科数学练习题高考常考的6大题型

第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂,高中阶段一般不涉及),其实质是:当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步: 一选:选择变量,定点问题中的定点,随某一个量的变化而固定,可选择这个量为变量(有时可选择两个变量,如点的坐标、斜率、截距等,然后利用其他辅助条件消去其中之一). 二求:求出定点所满足的方程,即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程. 三定点:对上述方程进行必要的化简,即可得到定点坐标. [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右焦点F (3,0),长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,若点B 在以线段MN 为直径的圆上,证明直线l 过定点,并求出该定点的坐标. [解] (1)由题意得,c =3,a b =2,a 2=b 2+ c 2, ∴a =2,b =1, ∴椭圆C 的标准方程为x 24 +y 2 =1. (2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 联立,得? ???? y =kx +m ,x 2+4y 2=4,消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0. ∴Δ=16(4k 2+1-m 2)>0,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-4 4k 2+1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上, ∴BM ―→·BN ―→ =0. ∵BM ―→·BN ―→=(x 1,kx 1+m -1)·(x 2,kx 2+m -1)=(k 2+1)x 1x 2+k (m -1)(x 1+x 2)+(m -1)2 =0, ∴(k 2+1) 4m 2-44k 2 +1+k (m -1)-8km 4k 2+1 +(m -1)2=0, 整理,得5m 2-2m -3=0, 解得m =-3 5 或m =1(舍去).

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:概率

概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式.

1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -= . 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b =1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n , (2≥n ), 当n=1时也满足,所以1)3 4 (31-=-n n b . 2.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

选做题全国高考文科数学历年试题分类汇编

全国高考文科数学近三年试题分类汇编 大题分类之选做题 (1)坐标系与参数方程 1.(2015卷1)在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆222:(1)(2)1C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程;(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ= ∈,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN ?的面积. 2.(2015卷2)在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t αα =??=?(t 为参数,且0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,3:C ρθ= (1)求23,C C 交点的直角坐标;(2)若1C 与2C 相交于A ,1C 与3C 相交于B ,求AB 的最大值. 3.(2016卷1)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程cos 1sin x a t y a t =??=+? (t 为参数,且0a >),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ= (1)说明1C 是哪种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程; (2)直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求0α.

4.(2016年卷2)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++= (1)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (2)直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα =?? =?(t 为参数),l 与C 相交于,A B 两点,AB =l 的斜率. 5.(2017年卷1)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程3cos sin x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方程为41x a t y t =+??=-?(t 为参数), (1)若1a =-,求C 与l 交点的坐标;(2)若C 上的点到l ,求a . 6.(2017年卷2)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ= (1)M 为曲线1C 的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2, )3π,点B 在曲线2C 上,求OAB V 的面积的最大值.

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 (08年)如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知28BD AD ==,245AB DC == (Ⅰ)设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积. (09年)如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB 11111 (10年)(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==. (I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ; (II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. (11年)(本小题满分12分) 如图,在四棱台 1111 ABCD A B C D -中, 1D D ABCD ⊥平面,底面 ABCD 是平行四边形, 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= (Ⅰ)证明:1AA BD ⊥; (Ⅱ)证明:11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

(12年) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC . (13年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AC , AB ⊥PA ,AB ∥CD ,AB=2CD ,E ,F ,G , M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点。 (Ⅰ)求证,CE ∥平面PAD; (Ⅱ)求证,平面EFG ⊥平面EMN 。 (14年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD -中,,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 (Ⅰ)求证:BEF AP 平面// (Ⅱ)求证:PAC BE 平面⊥ P A C D E

重庆市历年高考文科数学真题及答案详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(文史类) 数学试题(文史类)分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 k n k k n n P P C k P- - =) 1( ) ( 第一部分(选择题共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.圆 5 )2 (2 2= + +y x关于原点(0,0)对称的圆的方程为() A. 5 )2 (2 2= + -y x B.5 )2 (2 2= - +y x C. 5 )2 ( )2 (2 2= + + +y x D.5 )2 (2 2= + +y x 2. = + -) 12 sin 12 )(cos 12 sin 12 (cos π π π π ()A.2 3 - B.2 1 - C.2 1 D.2 3 3.若函数 ) (x f是定义在R上的偶函数,在]0, (-∞上是减函数,且0 ) (= x f,则使得x x f的 ) (<的取值范围是() A. )2, (-∞B.) ,2(+∞ C. ) ,2( )2 , (+∞ - -∞ D.(-2,2) 4.设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于()A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4 D.(-2,-2)

高考文科数学试题解析分类汇编

2013年高考解析分类汇编16:选修部分 一、选择题 1 .(2013年高考大纲卷(文4))不等式 222x -<的解集是 ( ) A .()-1,1 B .()-2,2 C .()()-1,00,1U D .()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ,所以?????->-<-222222 x x ,所以402 <2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______. 【答案】R 考察绝对值不等式的基本知识。函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为:

(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页,满分150分。 考生注意: 1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B .A I B =? C .A U B 3|2x x ? ?=

2020年高考文科数学分类汇编:专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇:解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C :22 214 x y a +=的一个焦点为(20), ,则C 的离心率为 A .1 3 B .12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A .y = B .y = C .y = D .y = 3.【2018全国二11】已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥, 且2160PF F ∠=?,则C 的离心率为 A .1 B .2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆 () 2 222x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是 A .[]26, B .[]48, C . D .?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>:,,则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B .2 C . 2 D . 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d

和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A .(?2,0),(2,0) B .(?2,0),(2,0) C .(0,?2),(0,2) D .(0,?2),(0,2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则 AB =________. 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ,则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________. 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点

高考试题文科数学分类汇编导数

2012年高考试题分类汇编:导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 2.【2012高考浙江文10】设a >0,b >0,e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ,则a >b B. 若e a +2a=e b +3b ,则a <b C. 若e a -2a=e b -3b ,则a >b D. 若e a -2a=e b -3b ,则a <b 【答案】A 3.【2012高考陕西文9】设函数f (x )=2x +lnx 则 ( ) A .x=12为f(x)的极大值点 B .x=12 为f(x)的极小值点 C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12 x 2-㏑x 的单调递减区间为

(A)(-1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞)(D)(0,+∞) 【答案】B 5.【2102高考福建文12】已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C. 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8【答案】C 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3ln x+1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】3 4- =x y 8.【2012高考上海文13】已知函数() y f x =的图像是折线段ABC,其 中(0,0) A、 1 (,1) 2 B、(1,0) C,函数() y xf x =(01 x ≤≤)的图像及x轴围成 的图形的面积为【答案】 4 1。

2020高考文科数学各类大题专题汇总

2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2:函数

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2:函数 一、选择题 1 .(2019年高考重庆卷(文))函数21 log (2) y x = -的定义域为 ( ) A .(,2)-∞ B .(2,)+∞ C .(2,3) (3,)+∞ D .(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 .(2019年高考重庆卷(文))已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = ( ) A .5- B .1- C .3 D .4 【答案】C 3 .(2019年高考大纲卷(文))函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 ( ) A . ()1021x x >- B .()1 021 x x ≠- C .()21x x R -∈ D .()210x x -> 【答案】A 4 .(2019年高考辽宁卷(文))已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 ( ) A .1- B .0 C .1 D .2 【答案】D 5 .(2019年高考天津卷(文))设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 ( ) A .()0()g a f b << B .()0()f b g a << C .0()()g a f b << D .()()0f b g a << 【答案】A 6 .(2019年高考陕西卷(文))设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 ( ) A .(-∞,1) B .(1, + ∞) C .(,1]-∞ D .[1,)+∞ 【答案】B 7 .(2019年上海高考数学试题(文科))函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是

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