高三数学数列专项练习

合集下载

高三数学数列试题答案及解析

高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。

【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。

4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。

因为，，所以。

故选Ｂ。

【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。

6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。

（1）求数列的通项公式；（2）证明：。

【答案】（1）；（2）证明见解析。

【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。

专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

所以 x 0, 2023 ，则方程x x 1 由 2022 个根.①④正确，
2 故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位
规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数
a0
a1a2
ak
2
(
k
N
*
）对应的十进制数
记为 mk ，即 mk a0 2k a1 2k1 ... ak1 2 ak 20 ，其中 a0 1 ， ai 0，1（i 1，2，3，，k），
317
4
c13 c23 c33 c173
56 4 c23 16 64 ，
1 所以
c18
4
，所以
7 2
1 c18
4 ，则
1 4
c18
2 7
.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列bn按原顺序分成 1 项，2 项，4 项，…， 2n1 项的各组，再将公差为 2 的等差数列an 的各项依次插入各组之间，得到新数列cn：b1 ，a1 ，
1 2
nt
0
1 2
n
，
若
n
为偶数，此时
1 2
n
0
，则此时不存在 t
N*
，使得
1 nt 2
1 n 2
，
综上：B 选项错误；
设 an 2n 1 ，此时满足 a1 2 1 3 0 ，
也满足 n, s N*, ans 2n s 1， an as 2n 1 2s 1 2n s 2 ，
② n, s N*, ans an as ；③ n N* ，t N*, ant an .定义：同时满足性质①和②的数

高三数学精准培优专题练习12：数列求和(含答案解析)

培优点十二数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，，即，解得：，，．（2），①，②得，∴所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．（1）求数列，的通项公式；{}n a n n S {}n b 112a b ==4427a b +=4410S b -={}n a {}n b 1121n n n n T a b a b a b -=+++L n *∈N 12210n n n T a b +=-+31n a n =-2n n b ={}n a d {}n b q 3441127327a b a d b q +=⇒++=34411104610S b a d b q -=⇒+-=332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩32d q =⎧⎨=⎩31n a n ∴=-2n n b =()()231234222nn T n n =-⋅+-⋅++⋅L ()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L -②①()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-L ()10223112n n =⋅---()102231n n =⋅--()210231102nn n a b n =-+=--+⋅={}n a n 23n S n =-{}n b 123512b b b =1133a b a b +=+{}n a {}n b（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）时，，当时，符合上式，，∵为等比数列，，设的公比为，则，而，，解得或，∵单调递增，，．（2），．一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（）A ．10B ．14C ．15D ．17【答案】C 【解析】∵，∴，∴，，故选C ．2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（）()()21nn n n b c b b =--{}n c n n T 63n a n =-+12n n b +=11121n n T +=--2n ≥()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦1n =113a S ==-63n a n ∴=-+{}n b 31232512b b b b ∴==28b ∴={}n b q 21328,8b b b b q q q q====315a =-113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+2q =12q =-{}n b 2q ∴=21222n n n b b -+∴=⋅=()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111212121n n ++=-=----{}n a 918S =240n S =()4309n a n -=>()199599182a a S a +===52a =()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====15n ={}n a 4737a a =10a >n S {}n a n n S n =对点增分集训A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，，，二次函数的对称轴为，开口向下，又∵，∴当时，取最大值．故选C ．3．对于函数，部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则，，，，，则数列是周期为4的周期数列，由于，且，故．故选A ．4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，1a d 14330a d +=10a >()()2111352233n n n da S na n n -=+=-358754n ==.n *∈N 9n =n S ()y f x =x y xy{}n x 11x =n *∈N ()1n n x x +,()y f x =122015x x x ++⋅⋅⋅+=()13f =()35f =()56f =()61f =()13f =L ()1n n x x +,()y f x =11x =23x =35x =46x =511x x =={}n x 201545033=⨯+123415x x x x +++=()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++={}n a n n S 44a =515S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭m 1011m =n S {}n a n d 44a =515S =则，解得，则．由于，则，解得．故答案为10．故选C ．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于，，∴可得，，这样，，，，，，，而，，∴在，，，中最大的是．故选C ．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．∴其前项和为．故选D ．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D【解析】由题意知，，由，4534155a S a =⎧⎨==⎩1d =()44n a n n =+-=()1111111n n a a n n n n +==-++11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++L 10m ={}n a n n S 90S >100S <11S a 22S a L 99S a 11S a 88S a 55S a 99S a ()19959902a a S a +==>()()110105610502a a S a a +==+<50a >60a <110S a >220Sa >L 550S a >660S a <L 990S a <125S S S <<<L 125a a a >>>L 11S a 22S a L 99S a 55S a (){}1n-n nS n nS=()112nn ⎡⎤--⎣⎦()1112n --+()112n-+()112n--(){}1n-1-n ()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--={}n a 11a =()()121211n n n a n a +-=++()()12212141n nn n a n a b n +--+=-12n n T b b b =++⋅⋅⋅+n m T >m 1212121n n n a ab n n +=-+-()()121211n n n a n a +-=++得，∴，∴恒成立，，故最小值为，故选D ．8．数列的前项和为，若，则（）A ．2018B ．1009C ．2019D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列满足，∴，故选B ．9．已知数列中，，则等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设，由，解得，令，故．故选A ．10．已知函数，且，则（）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】，当为偶数时，，当为奇数时，，故()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L L 12n T <12m ≥m 12{}n a n n S ()1nn a n =-⋅2018S ={}n a ()1nn a n =-⋅2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+L L ()()()1234201720181009=-++-+++-+=L {}n a ()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N 2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+()1413n-()1213n-41n -()221n -()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N 1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩12n n a -=214n n n b a -==()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-()223sin 2n f n n -⎛⎫=π ⎪⎝⎭()n a f n =123200a a a a ++++=L ()n a f n =n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭222221232001234199200a a a a ++++=-+-++L L --．故选A ．11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】，∴原式，当时，，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A ．305B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，，()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=L L {}n a 112a =21a =()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-L 3n ≥()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈x []x x []33=[]122-=-．[]121=．{}n a []2log n a n =n n S 0n 2018n S >0n []2log n a n =1n =10a =1222n ≤<231a a ==2322n ≤<4572a a a ====L 3422n ≤<89153a a a ====L 4522n ≤<1617314a a a ====L L L122n n n +≤<12212n n n a a a n ++====L 2n n 1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L 234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L两式相减得，∴，此时，当时，对应的项为，即，故选D ．二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】由可得：当时，有， ①当时，有， ②当时，有， ③有，有，则．故答案为440．14．的最大整数．若，，，，则__________．【答案】，【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，第二个等式，起始数为2，项数为，，第三个等式，起始数为3，项数为，，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅L()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>8n ≥8n =83162a a =0316n ≥{}n a()()112nnn a a n n---=≥n S {}na n 40S =()()112nn n a a n n ---=≥2n k =2212k k a a k --=21n k =-212221k k a a k --+=-21n k =+21221k k a a k ++=++①②22241k k a a k -+=--③①21211k k a a +-+=()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++L L ()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=L 13S =++=210S =++++=321S =++++++=L n S =()21n n +()n *∈N2234121=-=-113S =⨯2259432=-=-225S =⨯22716943=-=-337S =⨯L第个等式，起始数为，项数为，，，故答案为，．15．已知函数，则________；【答案】2018【解析】∵，设， ①则， ②得，∴．故答案为2018．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；【答案】【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，∴，解得，∴，当时，，当时，上式成立，则，∴，，则．故答案为．n n ()22121n n n +-=+()21n S n n =+()n *∈N ()21n S n n =+()n *∈N ()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+①②1201822018403620192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2018S =12nnp p p +++L n 1p 2p L n p {}n a n 15n 5n n a b =12231011111b b b b b b +++=L 1021{}n a n 15n15n n S n=25n S n =115a S ==2n ≥()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦1n =105n a n =-215nn a b n ==-()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 1021。

高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件

数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－－xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增，所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比

高三数学精准培优专题练习12：数列求和

【答案】A
【解析】由题意可知： f 1 3 ， f 3 5 ， f 5 6 ， f 6 1， f 1 3L ，
点 xn , xn1 都在函数 y f x的图象上，则 x1 1 ， x2 3 ， x3 5 ， x4 6 ， x5 1 x1 ，
则数列xn是周期为 4 的周期数列，
an 由
S1 , Sn
n 1 Sn1, n 2 ，解得 an
2n1 ，
令 bn
an2
4n1 ，故 a12
a22
a32
an2
1 3
4n 1
．故选 A．
10．已知函数
f
n
n2
sin
2n 2
3
，且
an
f n，则 a1 a2 a3 L
a200
（
）
A．20100
B．20500
C．40100
，
则m（）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，设公差为 d ， a4 4 ， S5 15 ，
则
a4 S5
4 15
5a3
，解得
d
1 ，则
an
4
n
4
n
．
1 由于 anan1
1
nn 1
1 n
1 n 1 ，则
Sm
1
1 2
1 2
1 3
L
1 1 1 1 10 m m 1 m 1 11 ，
10 2n 23n 112 ， ∴所证恒等式左边 10 2n 23n 1 ，右边 2an 10bn 23n 1 10 2n ，
即左边右边，所以不等式得证．

高三数学练习数列导数数学归纳法

单元练习8 数列极限数学归纳法2002.11 班级：____________；姓名：______________; 成绩：___________.一. 选择题：(每小题4分，共4×14 = 56分)1. 设2 a = 3 ,2 b = 6 ,2 c = 12 ,则数列a ,b ,c(A)是等差数列不是等比数列； (B)是等比数列不是等差数列；(C)既是等差数列又是等比数列； (D)既不是等差数列也不是等比数列；2. 已知数列{an }的前n项和为Sn= 3n + k (k为常数) ,那么下述结论正确的是(A)k为任意实数时{an }为等比数列； (B)k=－1时{an}是等比数列；(C)k=0时{an }是等比数列； (D){an}不可能成为等比数列；3. 已知a,b,c成等比数列，a,x,b和b,y,c都成等差数列，且xy ≠ 0 ,则axcy+的值为(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4 ;4. 在等差数列{an }中，an=22n npn q-+(其中p、q是非零常数)，则p ,q应满足的关系式是(A) p－q = 0 ; (B) p + q = 0 ; (C) p－2q = 0 ; (D) p + 2q = 0 ;5. 若两个等差数列{an },{bn}的前n项和An和Bn满足ABnnnn=++71427(n∈N) ,则ab1111=(A) 74 ; (B) 32; (C) 43; (D) 7871;6. 等差数列{an }中，a1+ a4+ a7= 15 ,a3+ a6+ a9= 3 ,则该数列前9项的和等于(A) 18 ; (B) 45 ; (C) 36 ; (D) 27 ;7. 等差数列{an }中，a10< 0 ,a11> 0 ,且| a10| < a11,Sn为其前n项之和，则(A)S1,S2,…,S10都小于零 ,S11,S12 ,…都大于零；(B) S1,S2,…,S5都小于零 ,S6 ,S7 ,…都大于零；(C) S1,S2,…,S19都小于零 ,S20,S21 ,…都大于零；(D) S1,S2,…,S20都小于零 ,S21 ,S22 ,…都大于零；8. 已知数列a1 ,a2,…,a10的各项均为正数，条件甲：该数列不是等比数列；条件乙：a1 +a10< a5+a6.则乙是甲的(A)充要条件；(B)必要不充分条件；(C)充分不必要条件；(D)既不充分也不必要条件；9. 在0和16间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于(A) 8 ; (B) 10 ; (C) 12 ; (D) 16 ;10. 数列{an }中, a1,a2,a3成等差数列, a2,a3,a4成等比数列, a3,a4,a5的倒数成等差数列, 则a1 ,a3,a5(A)成等差数列；(B)成等比数列；(C)倒数成等差数列；(D)对数成等比数列；11. 已知首项a1为正数，公比| q | < 1的无穷等比数列从第二项起各项之和不大于第一项的一半，则公比q的范围是(A) q <13 ; (B) q ≤13; (C) q ≤13且q ≠ 0 ; (D) －1< q ≤13且q ≠ 0 ;12. 等差数列{an }的首项a1=－5 ,它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是(A) a8 ; (B) a6; (C) a10; (D) a11;13. 已知1 + 2·3 + 3·32 + 4·33 + … + n·3n-1 = 3n (na－b) + c对一切n∈N 都成立，那么a ,b ,c的值为(A) a =12,b = c =14; (B)a = b = c =14; (C)a = 0,b = c =14; (D)不存在 ;14. 下列极限值： limn→∞1121+-=⎧⎨⎪⎩⎪()())n nn为奇数（为偶数; a>b>0 ,lim n→∞a a b a b ban n n nn++++--+1221=1a b-;limn→∞(123n+223n+…+nn23)= 0 ; limn→∞n nn n2222112121+--+--= 2.其中正确的有(A) 0个 ; (B) 1个 ; (C) 2个 ; (D) 3个 ; 二. 填空题：(每小题5分，共5×7 = 35分)15. 在数列{a n }中，已知a 1 = 1 ,a 2 = 5 ,a n+2 = a n+1－a n (n ∈N) ,则a 2002等于____________ .16. 若{a n }是等比数列，a 4a 7 =－512 ,a 3+a 8 = 124,且公比为整数，则a 10 = ________________ .17. 数列{a n } ,{b n }满足a n b n = 1, a n = n 2 + 3n + 2，则{b n }的前十项的和为__________________ .18. 若lim n →∞[ 1+(r + 1)n ] = 1 ,则r 的取值范围是___________________________ .19. 已知数列{a n }满足S n = 4－a n －22-n(n ∈N), 则通项公式a n =________________________ .20. 若lim n →∞(3a n + b n ) = 8 , lim n →∞(6a n －b n ) = 1 ,则lim n →∞(4a n －b n )=_______________________ .21. 无穷等比数列中，所有奇数项之和等于36，所有偶数项之和为12，则此数列从第________项开始每一项都小于0.1 . 三. 解答题：(4小题共59分)22. 设{a n }是等差数列，a 1 = 1 ,S n 是它的前n 项和，{b n }是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n 项和，如果a 3 = b 2 ,S 5 =2T 2－6 ,lim n →∞T n = 9 ,求{a n } ,{b n }的通项公式 .23. 已知递增等比数列{a n }的前三项之积为512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列. 求证：11a +22a +…+n a n< 1 .24. 已知等差数列{a n }的第三项a 3 = 8，其前20项的和为610. 今从该等差数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，并按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，记数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n . (1). 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2).对一切自然数n ，试比较2S n 与T n 的大小，并证明你的结论.25. 在XOY 平面上有一点列P 1 (a 1, b 1), P 2 (a 2, b 2), …, P n (a n , b n ), …，对每个自然数n ，点P n 位于函数y = 2000(a 10)x (0 < a < 10)的图象上，且点P n 、点(n, 0)与点(n + 1, 0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形. (1) 求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2) 若对每个自然数n ，以b n , b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3) 设B n = b 1b 2…b n (n ∈N). 若a 取(2)中规定的范围内的最小整数，求数列{B n }的最大项的项数. 答案：示:a n =(n+1)/2; b n = 6(1 /3)n-1; 23. 提示：由条件推出a 2 = 8 ,q= 2 ,∴a n = 2n+1,令S n =1/a 1+2/a 2+…+n/a n ,由1/2s n =S n -1/2S n = 1/22 + 1/23 +…+1/2n+1－n/2n+2 , ∴S n = 1-1/2n-n/2n+2< 1 ; 24. 提示：(1).a n = 3n - 1, b n = 3×2n－1; (2). S n = (3n 2+n)/2, ∴2S n = 3n 2+n, T n = 3×2n+1－n －6, 分别计算n = 1, 2, 3时2S n 与T n , 猜想T n > 2S n ，用数学归纳法证明; 25. 提示：(1) a n = n+12, ∴b n =2000(a/10)n+1/2 ; (2) ∵函数y =2000(a 10)x (0 < a < 10)递减∴对每个自然数n 有b n >b n+1 > b n+2 以b n , b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2 + b n+1 > b n .即(a/10)2 + (a/10)－1 > 0 解得5(√5- 1)<a<10; (3) ∵5(√5- 1)<a<10 ∴a =7 b n = 2000(7/10)n+1/2 数列{b n }是一个递减的正数数列. 对每个自然数n > 2, B n = b n B n-1. 于是当b n > 1时, B n > B n-1，当b n < 1时, B n < B n-1，因此，数列{B n }的最大项的项数n 满足b n > 1且b n+1 < 1, 由b n = 2000(7/10)n+1/2 > 1得n < 20.8 ∴n = 20*. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 9+a 15+a 17 = 4 ,则a 11 的值等于______________ . (1) *. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小的角是100︒，最大的角是140︒，这个多边形的边数为________________ . (6) *. 首项是125,第10项起开始比1大的等差数列的公差的范围是__________.(8/75<d ≤3/25)*. 数列1, (1+2), (1+2+22), …,(1+2+22+…+2n-1)的前n项和的表达式为___________.(2n+1-n-2)*. 设f (n) = 1 +12+13+…+1n,是否存在g (n)使等式f (1) + f (2) +…+ f (n－1) = g (n)·f (n)－g (n)对n ≥2的一切自然数都成立?并证明你的结论 .提示：若n=2时满足条件的g (n)存在，则1=g(2)(1+1/2)－g(2) , g(2) = 2 ;若n = 3时g(n)存在，则g(3) = 3 ,猜想g (n)存在且g (n) = n (n≥2) .用数学归纳法证明g(n)=n时等式成立 .。

一般数列求和(裂项、错位、分组)-2023届高三数学一轮复习专题

一般数列求和一．裂项求和1．已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n c n+2}的前n项和为T n，2．已知数列{a n}满足a1＝3，且a n+1＝2a n﹣n+1．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列；（2）记，求数列{b n}前n项的和S n．3．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．4．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求为数列{b n}的前n项和T n．【裂和】5．已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．二．错位相减法6．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．三．分组求和【并项求和】7．（2021•湖南模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．【分组求和】8．（2020秋•湖北期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N*．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n＝，求数列{b n}的前2n项的和T2n．练习：9．已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．10．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m≥T n恒成立，求m 的取值范围．11．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝25，a2+a5+a10＝31．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）若求数列{b n}的前2n﹣1项和T2n﹣1．答案：1．（2021秋•湖北月考）已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：∵，∴，则＝．又，且，∴数列{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，即，；（2）解：＝，，则＝2＝＜3．要使对任意的n∈N*都成立，只要3，即，解得m≤﹣4或m≥3．∵m＞0，∴m≥3，即m的最小值为3．2．（2020秋•湖北期末）已知数列{a n}满足a1＝3，且a n+1＝2a n﹣n+1．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列；（2）记，S n是数列{b n}前n项的和，求证：．【解答】证明：（1）依题意，由a n+1＝2a n﹣n+1，两边同时减去n+1，可得a n+1﹣（n+1）＝2a n﹣n+1﹣（n+1）＝2（a n﹣n），∵a1﹣1＝3﹣1＝2，∴数列{a n﹣n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，a n﹣n＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n+n，∴＝＝﹣，则S n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝﹣＜，∴不等式成立．3．（2018秋•荆州区校级期末）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ），则，两式相减得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），且，∴{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝2n+1．（Ⅱ）∴＝．4．（2019秋•西湖区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．【解答】解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．4．（2019秋•湖北月考）已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）{}均为等差数列，a1＝．可得2•＝a12+，数列{a n}也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2＝a12+，化为a1＝d＝，则a n＝+（n﹣1）＝n；（2）b n＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•（+），S n＝﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）＝﹣1+（﹣1）n•．6．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1），①∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n﹣1+a n）＝2n（n﹣1），②由①﹣②可得，a n+a n+1＝4n，③，令n＝n﹣1，可得a n+a n﹣1＝4（n﹣1），④，由③﹣④可得2d＝4，∴d＝2，∵a1+a2＝4，∴a1＝1，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n，∴S n＝1+2•（）1+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣1﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2﹣（2n﹣1）•（）n＝3﹣（2n+3）•（）n，∴S n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．7．（2021•湖南模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．【解答】解：（1）证明：因为，所以当n＝1时，，即，解得a1＝2或a1＝﹣1（舍去）．当n≥2时，，则，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，因为a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，则a n﹣a n﹣1﹣1＝0，即a n﹣a n﹣1＝1，（n∈N*，n⩾2）所以数列{a n}是等差数列．（2）由（1）可得a n＝2+n﹣1＝n+1，n∈N*，则，n∈N*，从而，故T2n＝b1+b2+…+b2n﹣1+b2n（4+1）+（4×2+1）+…+（4n+1）＝＝2n2+3n．8．（2020秋•湖北期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N*．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n＝，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【解答】解：（1）证明：∵S n+1＝3S n+2，∴，又S1+1＝3，∴数列{S n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，∴，又当n≥2时，，a1＝2也适合上式，∴，∴，∴T2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝+＝．9．（2019秋•湖北月考）已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）{}均为等差数列，a1＝．可得2•＝a12+，数列{a n}也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2＝a12+，化为a1＝d＝，则a n＝+（n﹣1）＝n；（2）b n＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•（+），S n＝﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）＝﹣1+（﹣1）n•．10．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m≥T n恒成立，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．11．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．（3）在条件（2）下，若不等式λnT n﹣3λn+b n＜0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1，可得1+q+q2＝2（1+q）+1，解得q＝﹣1或q＝2，则a n＝（﹣1）n﹣1；或a n＝2n﹣1；（2）数列{a n}为递增数列，可得a n＝2n﹣1，数列{b n}满足，即为b n＝（2n﹣1）•（）n，前n项和T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得T n＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化为T n＝3﹣（2n+3）•（）n；（3）不等式λnT n﹣3λn+b n＜0对任意正整数n都成立，即为λ（T n﹣3）+＜0，即λ＞恒成立，可令t＝2n﹣1（t为正奇数），可得＝＝，由t+≥4，当t＝1时，t+＝5，t＝3时，t+＝，t＝5时，t+＝，可得t＝3，即n＝2时，取得最大值，则λ＞．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝25，a2+a5+a10＝31．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）若求数列{b n}的前2n﹣1项和T2n﹣1．【解答】解：（1）由S5＝25，得5a1+d＝25①，由a2+a5+a10＝31，得a1+d+（a1+4d）+（a1+9d）＝3a1+14d＝31②，由①②解得，a1＝1，d＝2，所以数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，前n项和S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，所以T2n﹣1＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n﹣2）＝（21+25+29+…+22n﹣1）+（﹣+﹣+…+﹣）＝+（﹣）＝﹣﹣．。

高三数学数学等差数列选择题专项训练试题含答案

一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（）A ．70S >，且80S <B ．70S <，且80S >C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <解析：A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A .2．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A3．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（）A ．9B ．5C ．1D ．59解析：B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B4．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12 B ．20C ．40D ．100解析：B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15 B ．20C ．25D ．30解析：B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B6．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A ．7B ．8C ．7或8D ．9解析：C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24 B ．36C ．48D ．64解析：B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B9．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4S B ．5SC ． 6SD ． 7S解析：B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤，所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21 B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.11．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．675解析：A 【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.12．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49解析：C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C13．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝2解析：C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.15．题目文件丢失！二、等差数列多选题16．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确；当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.17．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小 B ．130S =C ．49S S =D ．70a =解析：BCD【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.18．题目文件丢失！19．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则78S S > D ．若67S S >则56S S >.解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+ {}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.23．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d >B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S解析：BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．24．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．25．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）.A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S = 解析：ACD【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。

高三数学单元测试《数列》

高三数学单元测试《数列》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为（）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0 （） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于（）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于（）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61）（）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%二、填空题（本题每小题5分，共20分）11．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.12．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________. 13．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110f 的值为______ ___.14．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共80分。

高三数学(数列求和)同步练习试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校新安江高级高三数学<数列求和>同步练习一、根底练习1．数列}{n a 的前n 项的和1322+-=n n S n ，那么1054a a a +++ = ；2. 数列,,1614,813,412,211 的前n 项和为〔〕 A ．n n n 21)2(212-++ B ．1211)1(21--++n n n C ．n n n 21)2(212-+- D ．)211(2)1(21n n n -++ 3. 22222210099989721-+-++-= 。

4.化简)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n 结果是〔〕 A ．12+n n B ．1+n n C ．12+n n D ．122+n n 5.数列}{n a 的通项公式为n n a n ++=11，且1101-=n S ，那么=n ； 6.设数列11,(12),,(122),n -++++的前n 项和为n S ，那么n S 等于〔〕 7.求和：n n n n 221232221132+-++++- = ；二、例题讲练类型1.分组求和法例 1. 数列}{n a 的前n 项是,,1212,129,126,123432⋅⋅⋅-+-+-+-+写出数列}{n a 的通项公式，并求其前n 项和n S变式：数列}{n a 的前n 项是5，55，555，5555，…，写出数列}{n a 的通项公式，并求其前n 项和n S 类型2.裂项相消法例2.在数列}{n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S变式：正数数列{a n }的前n 项的和为S n 且满足12+=a S n n〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕设b n =a a n n 11+,数列{b n }的前n 项的和记为B n ，求证: B n <21 类型3.错位相减法例 3. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．变式：数列}{n a 满足1a ，,,,,,12312 ----n n a a a a a a 是首项为1，公比为2的等比数列. 〔1〕求n a 的表达式；〔2〕如果n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项的和类型4.并项求和法例4.求22222227069684321+-+⋅⋅⋅-+-+-的值三、稳固练习1. 11+103+1005+……+[10n+(2n －1)]的值为：〔〕 A.2)110(910n n +- B.21)110(910n n +-- C.21)110(91n n +-+ D.2)1()110(910-+-n n 2.等比数列{a n }前n 项和为S n 且S 5=2, S 10=6，那么a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于：〔〕A 、12B 、16C 、32D 、543. 数列9，99，999，9999，……的前n 项和为4.数列}{n a 的前项的和)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，那么=-1122S S ；5.假设)12()12(4+-=n n a n ，那么}{n a 的前n 项的和n S 是；6、1)1(11411311212222-+++-+-+-n 的值为〔〕 A 、)2(21++n n B 、)2(2143++-n n C 、)2111(2143+++-n n D 、211123+-+-n n 7. 求和=-+++=-1212231n n n S 8..数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项n S 和满足)21(2-=n n n S a S 〔1〕求n S 的表达式；〔2〕设12+=n S b n n ，求数列}{n b 的前n 项的和9.正项数列}{n a 的前n 项的和为n S ，方程0442=-+n S x x有一根为1-n a .〔1〕求数列}{n a 的通项n a ；〔2〕令n n S S S S T 1111321+⋅⋅⋅+++=，求n T .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三数学数列专项练习一．填空题 1. 等比数列{an}的公比q>0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________． 3. 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________. 4. 若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________. 5. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)的前n项和为________． 6. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝________. 7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________T16

T12

成等比

数列． 8. 等差数列前p项的和为q，前q项的和为p，(p≠q)则前p＋q项的和为________． 9. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋2an－1，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝________. 10. 设a1，a2，…，a50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且 (a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为________． 11. 设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________. 12. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值时的n值是________． 13. 数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是________．

14. 已知数列{an}(n∈N*)满足an＋1＝ an－tan≥t，t＋2－anan2，an＋k＝an(k∈N*)，则实数k的最小值是________．

二．解答题 15. 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝b12＋b222＋…＋bn2n，求数列{bn}的前n项和Sn.

16. 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列． (1) 证明：an＋2＝anq2； (2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列； (3) 求和：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋…＋1a2n－1＋1a2n. 17. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(1＋λ)－λan，其中λ≠－1,0. (1) 证明：数列{an}是等比数列； (2) 设数列{an}的公比q＝f(λ)，数列{bn}满足b1＝12，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求数列{bn} 的通项公式； (3) 记λ＝1，cn＝an1bn－1，求数列{cn}的前n项和Tn.

18．已知数列{an}的首项为a(a≠0)，前n项和为Sn，且有Sn＋1＝tSn＋a(t≠0)，bn＝Sn＋1. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 当t＝1时，若对任意n∈N*，都有|bn|≥|b5|，求实数a的取值范围；

(3) 当t≠1时，若cn＝2＋i＝1nbi，求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对(a，t)． 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且－1，Sn，an＋1成等差数列，n∈N*，a1＝1.函数f(x)＝log3x. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设数列{bn}满足bn＝1n＋3[fan＋2]，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较

Tn与512－2n＋5312的大小．

20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2的图象上，数列{bn}满足bn＝6bn－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)，且b1＝a1＋3. (1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 证明列数bn2n＋1是等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (3) 设数列{cn}满足对任意的n∈N*，均有an＋1＝c1b1＋2＋c2b2＋22＋c3b3＋23＋…＋cnbn＋2n成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 011的值．寒假作业数列部分 1. 等比数列{an}的公比q>0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________. 152 解析：a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，∴ q2＋q＝6(q＞0)，∴ q＝2，则S4＝152.

2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．

4 解析：设公差为d，则 4a1＋4×32d≥10，5a1＋5×42d≤15.即 2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，由线性规划可知a1＝1，d＝1时，a4取最大值4. 3. 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________. 212 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝33＋2(1＋2＋…＋(n－1))＝

n2－n＋33，ann＝n＋33n－1，数列ann在1≤n≤6，n∈N*时单调减，在n≥7，n∈N*时单调增，∴ n＝6时，ann取最小值． 4. 若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.

4 解析： kk＋423k≥k－1k＋323k－1，kk＋423k≥k＋1k＋523k＋1，10≤k≤1＋10，k∈N*，∴ k＝4. 5. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)的前n项和为________． 2n＋1－n－2 解析：an＝2n－1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2

6. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝________. 2＋lnn 解析：累加可得． 7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以

上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________T16T12成等比数列． T8T4 T12

8. 等差数列前p项的和为q，前q项的和为p，(p≠q)则前p＋q项的和为________．

－p－q 解析：由求和公式知q＝pa1＋pp－12d，p＝qa1＋qq－12d，因为p≠q，两式

相减得到－1＝a1＋p＋q－12d，两边同时乘以p＋q，则－(p＋q)＝(p＋q)a1＋p＋qp＋q－12d，即Sp＋q＝－(p＋q)． 9. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋2an－1，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝________.

2n＋1 解析：由条件得bn＋1＝an＋1＋2an＋1－1＝2an＋1＋22an＋1－1＝2an＋2an－1＝2bn且b1＝4，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＝4·2n－1＝2n＋1. 10. 设a1，a2，…，a50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为________． 11 解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则(a21＋a22＋…＋a250)＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴ a21＋a22＋…＋a250＝39，故a1，a2，…，a50中数字0的个数为50－39＝11. 11. 设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.

15 解析：S4a4＝a11－q41－qa1q3＝1－q41－qq3＝15. 12. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值时的n值是________． 20 解析：an＝41－2n，a20＞0，a21＜0. 13. 数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是________．

[24,36] 解析：an＝6n－(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a≤36.

14. 已知数列{an}(n∈N*)满足an＋1＝ an－tan≥t，t＋2－anan2，an＋k＝an(k∈N*)，则实数k的最小值是________． 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a2＝a1－t，a3＝t＋2－a1＋t＝2t＋2－a1，a4

＝a3－t＝t＋2－a1，a5＝t＋2－a4＝a1，故实数k的最小值是4.

15. 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16. (1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝b12＋b222＋…＋bn2n，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1) 设公差为d，则 a1＋2da1＋5d＝55，2a1＋7d＝16，解得 a1＝1，d＝2.或 a1＝15，d＝－2.(舍去) ∴ an＝2n－1(n∈N*)． (2) n＝1时，a1＝b12，a1＝1，∴ b1＝2，

n≥2时，an－1＝b12＋b222＋…＋bn－12n－1，2＝an－an－1＝bn2n(n≥2)，bn＝2n＋1(n≥2)，

∴ bn＝ 2n＝1，2n＋1n≥2，n∈N*，Sn＝2n＋2－6(n∈N*)． 16. 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列． (1) 证明：an＋2＝anq2； (2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；