1.2空间向量在立体几何中的应用新课讲义2021-2022高一数学人教B版(2019)选择性必修一
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 本章总结提升
又 =
.
0,2, 2
, =( 3,3,-z),AF⊥PB,所以 ·=0,即
z=2 3(舍去 z=-2 3),
则=(0,0,2 3),所以||=2 3.
2
6- 2 =0,解得
(2)由(1)知=(- 3,3,0),=( 3,3,0), =(0,2, 3).设平面 FAD 的法向量为
学运算和直观想象素养.
【例 1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设1 =a, =b, =c,
M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 分别表示以下各向量:
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解 (1) =
1
1 + 1 1 + 1 =a+c+2b.
π
,F为PC的中点,AF⊥PB.
3
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
解 (1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
又 AC 平分∠BCD,所以 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向分别为
x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则
量运算就可以较容易地解决问题.
这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标
法这一特色.
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分
别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为
6
4
.
解析 利用空间直角坐标系转化为求向量1 与1 的夹角,建立如图所示的
得
令 y1=1,得 n1=(0,1,-2).
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .
答案:B
2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,
1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量(1)
人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)-C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．⎛⎫⎪⎪⎝⎭ 2．在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（ ）A ．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()C ．()1,1,1D ．()2,2,1-3．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定4．若d =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n =（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直5．若平面,αβ的法向量分别为(1,2,4),(,1,2)a b x =-=--，并且αβ⊥，则x 的值为（ ）A ．10B ．10-C ．12D ．12-6．已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．在空间直角坐标系中，已知三点(1,2,1)A --，(0,3,1)B -，(2,2,1)C -，若向量n 与平面ABC 垂直，且21n =，则n 的坐标为________．8．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是_______．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长的最小值为 ③存在唯一一点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =． 其中正确的命题是___________（填序号）．三、多选题10．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,4,1AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，下列结论正确的有（ ）A ．AP AB ⊥B ．⊥AP ADC ．AP 是平面ABCD 的一个法向量D ．//AP BD11．（多选题）已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点(1,2,3)M ，则平面α的法向量可能是（ ） A ．(1，－4，2)B ．11(,1,)42-C ．11(,1,)42--D ．(0，－1，1)12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B 、P 、D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1AP D P ⊥ C ．当113AC A P =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC A P =时，1A C ⊥平面1D AP四、解答题13．三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=︒，12AB BC BB ===，M ，N 分别是AB ，1A C 的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ． （2）求证：MN ⊥平面11A B C ．14．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，E 为CD 的中点连接AE 交BD 于G ，点F 在侧棱PD 上，且DF 13=PD ．（1）求证：PB ∥平面AEF ；（2）若4cos BPA ∠=，求三棱锥E ﹣P AD 的体积． 15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面PAC ．（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值． （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．16．如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ，使得//FH 平面PAE ？若存在，求出BHBG的值；若不存在，说明理由.17．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，底面BCD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AB BD =，E 是线段AC 上一点．试问：当点E 在什么位置时，平面BDE ⊥平面ADC ？18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平A NA B的值（用含 的代数式表示）.面11A ACC，求11参考答案1．C 【分析】求出,AB AC 的坐标，设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，根据00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，结合选项，可以求出平面ABC 法向量.【详解】(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-,设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C. 【点睛】本题考查了求一个平面的法向量问题. 2．A 【分析】设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y =，利用0n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，求出x 、y 的值，可得出向量n 的坐标，然后选出与n 共线的向量坐标即可. 【详解】()1,0,2PA =-，()1,1,0AB =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y =， 由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3．A【分析】由已知得AB=（﹣2，﹣2，2），CD=（1，1，﹣1），AB=﹣2CD，从而得到直线AB 与CD平行．【详解】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），∴AB=（﹣2，﹣2，2），CD=（1，1，﹣1），∴AB=﹣2CD，∴直线AB与CD平行．故选A．【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．4．D【分析】判断直线l的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【详解】d n⋅=⨯-+⨯+⨯=，即d 显然d与n不平行，因此直线l与平面α不垂直，又4(1)23302与n不垂直，从而直线l与平面α不平行，故直线l与平面α相交但不垂直．故选D．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．5．B【分析】根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，其数量积为0，计算即得解.【详解】αβ⊥∴平面,αβ的法向量相互垂直(1,2,4)(,1,2)280a b x x ∴⋅=-⋅--=---=10x ∴=-故选：B 【点睛】本题考查了利用向量表示面面垂直，考查了学生转化化归，数学运算的能力，属于基础题. 6．B 【分析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7．(2,4,1)--或()2,4,1- 【分析】先求得,AB AC ，设(),,n x y z =，利用0,0,21n AB n AC n ⋅=⋅==组求得n 的坐标. 【详解】由A ()1,2,1--，()0,3,1B -，()2,2,1C -，可得()()1,1,2,1,0,2AB AC =--=，设(),,n x y z =，根据题意可得0021n AB n AC n ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪=⎩，可得222202021x y z x z x y z --+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 解得241x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以()2,4,1n =--或2,4,1)n =-（.故答案为：()2,4,1--或2,4,1)（-. 【点睛】本小题主要考查平面法向量的求法，考查空间向量数量积和模的坐标运算，属于基础题. 8． 【分析】建立空间直角坐标系，设点(,,0)P x y ，(01,01)x y <<<<，平面1A BM 的法向量(2,1,1)n =--，1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y =---，由题意可知，1n B P ⊥即2y x =，1(,1,1)C P x y =--，则21||C P x ==求解取值范围即可. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 建系如图则1(,0,0)2M ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C .设(,,0)P x y (01,01)x y <<<<，则1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y =---设平面1A BM 的法向量，111(,,)n x y z =，11(,0,1)2MA =，1(,1,0)2MB =，111111·021·02n MA x z n MB x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即11111212z x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取12x =，则(2,1,1)n =-- 若1B P平面1A BM ，则1n B P ⊥即12(1)(1)120n B P x y x y =---+=-=，则2y x = 又1(,1,1)C P x y =--∴1(,21,1)C P x x =--即21||C P x ===01x <<，01y <<，2y x = ∴102x << ∴26265()2555x≤-+<1||2C P ≤< 故答案为： 【点睛】本题考查空间中的距离问题，属于一道较难的题. 9．①②③ 【分析】通过11111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+可判断①；将长方体展开，截面的周长为12BD ，可计算出最小值，根据面面平行性质定理可得四边形1BED F 为平行四边形可得唯一性，进而可判断②；建立如图所示的空间直角坐标系，设点()0,3,,05E λλ≤≤，根据垂直关系解出λ可判断③. 【详解】命题①，易知1//CC 平面11BB D ，点E 到平面11BB D 的距离等于点1C 到平面11BB D 的距离为125， 同理，点F 到平面11BB D 的距离等于点1A 到平面11BB D 的距离为125， 所以11111111111B BED F E BB D F BB D C BB D A BB D V V V V V -----=+=+11121112555520325325=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故正确． 命题②，将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD 中，1BD ==，所以最小值为由面面平行的性质可得四边形1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点，所以②正确；命题③，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则11(4,3,0),(0,0,0),(0,0,5),(4,3,5)B D D B ，则设点()0,3,,05E λλ≤≤， 则(4,0,)BE λ=-，1(4,3,5)D B =-，1(4,3,5)DB =， 因为114433550D B DB ⋅=⨯+⨯-⨯=，所以11D B DB ⊥，即11D B DB ⊥， 要使1B D ⊥平面1BED ，则需1B D BE ⊥，即10DB BE ⋅=， 所以1650λ-+=，解得165λ=，即165CE =，故正确．故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了空间向量在垂直中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 10．ABC 【分析】A ，B 选项，可运算AP AD ⋅，AP AB ⋅是否为零来判断；C 选项，根据法向量的定义，可运算00AP AD AP AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩是否成立来判断；D 选项，得到()2,3,4=+=BD BA AD ,()1,2,1AP =--，再验证是否满足λ=AP BD 来判断。
新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用
CD的长．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，
又∵二面角α － AB － β的平面角为120°，
∴〈CA，BD〉＝60°，
∴|CD|2＝|CD|2＝(CA + AB + BD)2
＝CA2 ＋AB 2 ＋BD2 ＋2(CA·AB + CA·BD + BD·AB)
任一点 与 另 一 图 形 内 的 ________
任一点 的 距 离 中 的
________，叫做图形与图形的距离．
最小值
知识点二
空间中的距离及求法
名称
两点之间的距
离
点到直线的距
离
概念
空间中两个点连线的线段
长
过直线外一点作直线的一
条垂线段的长
点到平面的距
离
过平面外一点作平面的一
条垂线段的长
求法
求向量的模
3
0， ，
2
2
− 1 ，MC1 ＝(－2，3，0)，
MN
所以MC1 在MN上的投影为MC1 ·
MN
所以C1到MN的距离为
d＝
MC1
2
− MC1 ·
MN
MN
2
＝
＝
9
，
13
1144 2 286
＝
.
13
13
题型3 点到平面的距离
例3
如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为a，求点A到平面
PA
2
2
− PA · 0 (其中s0＝ )．
3．计算点到直线的距离的方法有很多，解题时要根据题意灵活选择
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2.1空间中的点直线与空间向量训练含
第一章空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) B.AC C.A 1D D .A 1A解析以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C (0,1,0),B (1,1,0),A (1,0,0),D (0,0,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),E12,12,1,∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =12,-12,1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-1),∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×12+(-1)×-12+0×1=0, CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-32≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1≠0, ∴CE ⊥BD.l 1与l 2的方向向量分别为a 1,a 2,若a 1⊥a 2,则l 1与l 2的位置关系为 .5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是AC 的中点,E 是线段D 1O 上一点,且D 1E=EO.求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值.1,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ,如图所示,则A (1,0,0),O12,12,0,C (0,1,0),D 1(0,0,1),E14,14,12,于是DE⃗⃗⃗⃗⃗ =14,14,12,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),且|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√64,|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 则cos <DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36. 所以异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值为√36. 6.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A ,B 两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB 与轴之间的距离.,直线AB 与轴OO'之间的距离等于轴OO'与平面ABC 的距离,由图形可知,直线AB 与轴OO'之间的距离等于点O'到BC 的距离,∵AB=5,AC=4,且AC ⊥BC ,∴BC=√52-42=3,∴△O'CB 为等边三角形,∴异面直线AB 与轴OO'之间的距离为3√32.关键能力提升练7.已知直线l 1的方向向量a =(2,-3,5),直线l 2的方向向量b =(-4,x ,y ),若两直线l 1∥l 2,则x ,y 的值分别是( ) A.6和-10 B .-6和10 -10 D .6和10l 1∥l 2,得两向量a ,b 平行,即2-4=-3x=5y,所以x ,y 的值分别是6和-10.8.如图,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,M ,N 分别是AB 和SC 的中点,SA=SB=SC ,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为( ) A.√105 B.-√105C.-√1010 D.√1010SA=SB=SC=1,以S 为坐标原点,SA⃗⃗⃗⃗⃗ ,SB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,SC ⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Sxyz ,则相关各点坐标为B (0,1,0),S (0,0,0),M 12,12,0,N 0,0,12. 因为SM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,12,0,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-1,12, 所以|SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22,|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12, cos <SM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√105, 因为异面直线所成的角为锐角或直角, 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为√105. 9.如图,在三棱锥S-ABC 中,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB 与AC 之间的距离为 ..取AB 的中点O ,连接OD 交AC 于点E ,连接OM 交SB 于点F ,由平面几何知识可知,OF=13OM ,OE=13OD ,所以EF ∥13DM.又因为AC ⊥BD ,AC ⊥BM ,所以AC ⊥平面BDM ,AC ⊥DM , 因为EF ∥13DM ,所以AC ⊥EF.同理可证SB ⊥DM ,所以SB ⊥EF.所以EF 是异面直线AC 和SB 的公垂线段.所以EF=13DM=√33. 10.如图是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行;②BD 与MN 为异面直线;③GH 与MN 成60°角;④DE 与MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 .GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE 与MN 为异面垂直. 11.如图,在四面体ABOC 中,OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P 为AC 的中点,Q 在AB 上且AB=3AQ ,证明:PQ ⊥OA.,连接OP ,OQ ,PQ ,取O 为坐标原点,过点O 作OD ⊥OA ,以OA ,OD ,OC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示).则A (1,0,0),C (0,0,1),B -12,√32,0.∵P 为AC 中点,∴P12,0,12.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32,√32,0,又由已知,可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,√36,0.又OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,√36,0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,√36,-12. ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即PQ ⊥OA. 12.如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA 1=2,M ,N 分别为A 1B 1,A 1A 的中点.(1)求cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值; (2)求证:BN ⊥平面C 1MN.C 为原点,CA ,CB ,CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系Cxyz. (1)依题意得A 1(1,0,2),C (0,0,0),B (0,1,0),B 1(0,1,2), ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0+(-1)×1+2×2=3,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,∴cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3010. (2)证明:依题意得C 1(0,0,2),N (1,0,1),∴M (12,12,2),∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0),C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12×1+12×(-1)+1×0=0,C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+0×(-1)+(-1)×1=0,∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BN ⊥C 1M ,BN ⊥C 1N ,且C 1M ⊂平面C 1MN ,C 1N ⊂平面C 1MN ,C 1M ∩C 1N=C 1. ∴BN ⊥平面C 1MN.学科素养拔高练ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求A 1B 与D 1B 1的距离.解在A 1B 上任取一点M ,作MP ⊥A 1B 1,PN ⊥B 1D 1,则MN ⊥B 1D 1,只要求出MN 的最小值即可.设A 1M=x ,则MP=√22x ,A 1P=√22x.所以PB 1=a-√22x ,PN=a-√22x sin45°=12(√2a-x ),MN=√PM 2+PN 2=√22√32√2323.当x=√23a 时,MN min =√33a.因此A 1B 与D 1B 1的距离为√33a.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
.
解析:以 D 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空
间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 1,则
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴1 =(1,0,1),=(1,1,0),1 =(-1,0,1).
得=(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),由 ·=0, ·1 =0,
知为平面 BB1D1D 的一个法向量.
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,
则 sin θ= cos
依题意有
π
-
2
2
2+2 ×
2
=
=
|·|
角;
π
④直线与平面的夹角的范围是 0, 2 .
(2)斜线与平面所成角的性质
①如图,OA'是OA在平面α内的射影,OM⊂α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA
与OA'所成的角,θ2是OA'与OM所成的角,则cos θ=cos θ1cos θ2.
②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最
2
5
2
在 Rt△OAE 中,∵AE= + 2 = 2 a,
AO=
2
2
+
5
2
2
6
= 2 a,
6
∴sin∠OAE= = .
6
答案:C
二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系
1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向
量,<v,u>和l与α所成的角θ有什么关系?
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量课件新人
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，在 CC1 上求一点 P，使平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，
设正方体棱长为 2，且 P(0，2，a)，则 D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，
【解析】1.选 A.两个向量A→B ＝(1，2，3)，A→C ＝(3，2，1)， 设平面 ABC 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
n·→AB＝x＋2y＋3z＝0 则n·A→C＝3x＋2y＋z＝0 ，取 x＝－1，得平面 ABC 的一个法向量为(－1，2，－
1).
2．选 B.设 P(x，y，z)，则A→P ＝(x－2，y＋1，z－2)； 由题意知，A→P ⊥n，则 n·A→P ＝0； 所以 3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，化简得 3x＋y＋2z＝9. 验证得在 A 中，3×1－1＋2×1＝4，不满足条件；
所以x－y＝0， －x－y＋z＝0，
令 x＝1，则 y＝1，z＝2.
所以平面 PAO 的一个法向量为 n＝(1，1，2).
若 BQ∥平面 PAO，则 n⊥BQ，
所以 n·B→Q ＝0，即－2＋2c＝0，所以 c＝1，
故当 Q 为 CC1 的中点时，BQ∥平面 PAO.
本例若把“Q 是 CC1 上的点”改为“Q 是 CC1 的中点”，其他条件不变，求证：平面 D1BQ∥平面 PAO.
答案：P→A －P→B ＋P→C －P→D
求平面 ABC 的一个法向量的方法 1．平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一 个方向向量即为所求．
2．待定系数法：步骤如下：
1.1.2空间向量基本定理(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.向量共面的条件 ①向量a 平行于平面α的定义
已知向量a, 作 0 A=a, 如 果a的基线OA_ 平行于平面α或在a内 则就说向量a平行于平面α,记作
·
②共面向量的定义
平行于同一平面_的向量，叫做共面向量. ③共面向量定理 如果两个向量a,b _不共线， 则 向 量c与向量a, b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x,y, 使c=x a+yb.
确定在下列各条件下，点M是否与A, B, C三点共面：
答案：共面 解 析 ：原式可变形为：
∵A,B,C 三点不共线， ∴M在平面ABC内 .
解析 答案
(2)OM=20A-OB-0C.
答案：不共面 解析：原式可变形为： OM=(0A-OB)+(OA-0C)=BA+CA, 于是OM// 平面ABC. 又∵O≠平面ABC, ∴直线OM// 平面ABC.
答案
(2)
如图所示，已知直三棱柱ABC 一 A₁B₁C 中 ，D 为A₁C1的中点，
∠ABC=60°,AB=2,BC=CC₁=1,求AB₁·CD.
答案
状元随笔借助图形寻找所求向量与a,b,こ 的关系，利用三角形
法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.
方法归纳
用基底表示向量的步骤 1.定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底.
(2)已知直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，
C∠C₁A=B1C, =求60A°,ABB₁=·B2,CBC₁.=
解 析：取基底向量{BA,BC,BB₁}
AB₁=BB₁-BA,BC₁=BB₁+BC,
由条件知BB ₁ ·BC=BA ·BB₁=0
高中数学人教B版 选择性必修第一册 空间向量基本定理 课件
―→ PS
＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则
―→ GH
＝________．(用
a ，b ，c表示) 解析：如图，―G→H ＝―PH→－―P→ G ＝12 (b＋c)－23 a.
答案：－23 a＋12 b＋12 c
4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若
1．1.2 空间向量基本定 理
本节课的学习目标要时刻牢记哦！
1.了解共面向量定理以及空间向量基本定理， 并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 2.了解空间向量的基底、基向量及向量的线性 组合的概念，并能应用其解决有关问题.
让我们一起来开启知识大门吧！！！
一、共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量a， b，c共面的充要条件是，存在唯一的
题的个数是 A．1
B．2
C．3
D．4
()
解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基 底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由―B→A ，―BM→，―B→N 共面且 过相同点B，故A，B，M，N共面． 下面证明①④正确．
①假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，
5.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设
―→ AB
＝a
，
―→ AD
＝b
，
―→ AA1
＝
c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a ，b ，c}表示以下向量： (1)―A→P ；(2)―AM→．
解：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 连接AC，AD1(图略). (1)―A→P ＝12 (―A→C ＋―AA→1 ) ＝12 (―A→B ＋―A→D ＋―AA→1 ) ＝12 (a＋b＋c). (2)―AM→＝12 (―A→C ＋―AD→1) ＝12 a＋b＋12 c.
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AB n⋅典例解析考点一：空间中的点线例1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,1,5),(4,3,1)A B -，点P 为线段AB 的中点，则点P 的位置向量的坐标是（ ） A ．7,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．(12,3,5)-D ．14,,233⎛⎫- ⎪⎝⎭变式1．若(1,0,1),(1,4,7)A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)变式2．已知点(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上一点且||13||AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭例2．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BB 1，DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 的夹角为( ) A.6πB.3π C.4πD.2π变式1：把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形的中心，则折起后，直线OE 与OF 的夹角的大小是( ) A.3πB.2π C.32πD.65π变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；PABCDE例3．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，PAD ABCD ⊥,AD BC //，CD ⊥AD ，AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．变式1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.变式2：正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面夹角的正弦值等于( )A.46B.410C.22D.23EDCBPA例4．在四棱锥S ABCD —中，底面ABCD 为矩形，SD ABCD ⊥平面，2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上，=60ABM ∠。
（1）证明：M 在侧棱SC 中点；（2）求二面角S AM B ——的余弦值大小。
变式1：在四棱锥P ABCD —中，底面ABCD 为矩形，已知3AB =，2AD =，2PA =，22PD =，=60PAB ∠。
（1）证明：AD PAB ⊥平面（2）求异面直线PC 与AD 所成角的正切值 （3）求二面角P BD A ——的正切值大小。
变式2．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若E 为线段BD 中点，求二面角D –AE –C 的余弦值.例5.如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB=AC=2,，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点（1）证明： 1A D ⊥平面1A BC ； （2）求直线B A 1和平面11BB C C 所成的角的正弦变式1.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥ （1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值。
变式2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AED ABCD ⊥平面平面，//EF AB ，2AB =，1BC EF ==，6AE =,3DE =，60BAD ∠=，G 为BC 的中点。
（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值。
例6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C ．233D ．43变式1．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D ．32变式2．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是 （ ）A ．32B ．22C ．3D ．32巩固练习1.已知四棱锥P ABCD —中，底面ABCD 为菱形，PA ABCD ⊥平面，=60ABC ∠，,E F 分别是BC ，PC 的中点。
（1）证明：AE PD ⊥（2）若PA AB =，求二面角E AF C ——的余弦值。
2.如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=，112BC AC CC ===，．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）若D 为直线AC 的中点，求二面角1A AB C --的余弦值．3.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=，2,1,2AB CD DE BE AC =====。
（1）证明：DE ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD E --的大小。
E DCBA4.（2017北京，理）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA=PD=6，AB=4． （1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B-PD-A 的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．5.（2015广东理，18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =。
点E 是CD 边的中点，点G F ,分别在线段,AB BC 上，且2, 2AF FB CG GB ==。
（1）证明：FG PE ⊥；（2）求二面角C AD P --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值。
6.（2015安徽理）如图所示，在多面体DCBA D C B A 1111-中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F 。
（1）证明：1//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --的余弦值。
7.（2016新课标2理,）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=． （1）证明：D H '⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．8．（2016天津理）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==. （1）求证：//EG 平面ADF ； （2）求二面角O EF C --的正弦值； （3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.9.（2015重庆理）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,,,2ABC PC ACB D E π=∠=分别为线段,AB BC上的点，且2,22CD DE CE EB ==== （1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值。
10.（2014新课标1）如图，三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠==60,,11BAA AA AB CB CA 。
（1）证明C A AB 1⊥；（2）若平面ABC ⊥平面2,11==CB AB B B AA ，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。
1111.（2013浙江20）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2,7,3,120AB BC AD CD PA ABC =====∠=，G 是线段PC 上的点．（1）证明：BD ⊥平面APC ；（2）若G 是线段PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；（3）若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值．12.（2015湖南）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点（1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积。
13.（2016浙江理）如图,在三棱台ABC DEF -中, =90ACB ∠,123BE EF FC BC AC =====，，,平面BCFE ⊥平面ABC .（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.1214. 如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD＝2 ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 的中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．15. 已知Rt △ABC 如图（1），∠C ＝90°，D.E 分别是AC ，AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起到PDE 位置（即A 点到P 点位置）如图（2）使∠PDC ＝60°．（1）求证：BC ⊥PC ；（2）若BC ＝2CD ＝4，求点D 到平面PBE 的距离．16. 如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．15。