高考文科数学概率与统计题型归纳与训练
高考大题规范解答系列(六)——概率与统计
高考一轮总复习 • 数学
考点一
随机抽样、频率分布直方图及其应用(文)
例 1 (2021·河南质量测评)“不忘
初心、牢记使命”主题教育活动正在全国
开展，某区政府为统计全区党员干部一周
参与主题教育活动的时间，从全区的党员
干部中随机抽取n名，获得了他们一周参
加主题教育活动的时间(单位：时)的频率
所以 E(X)＝0×210＋1×290＋2×290＋3×210＝32．·········6 分 得分点④
第十章 概率(文)
高考一轮总复习 • 数学
(2)当乙盒中红球个数为0时，P1＝0， ··························7分 得分点⑤ 当乙盒中红球个数为1时，P2＝290×16＝430， ···············8分 得分点⑥ 当乙盒中红球个数为2，P3＝290×26＝230， ···················9分 得分点⑦ 当乙盒中红球个数为3时，P4＝210×36＝410， ·············10分 得分点⑧ 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P1＋P2＋P3＋P4＝41． ·····················································································12分 得分点⑨
第十章 概率(文)
高考一轮总复习 • 数学
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 20
9 20
9 20
1 20
·························································································5 分 得分点③
高考文科概率统计大题
高考文科概率统计大题高考文科概率统计大题一、引言高考作为中国教育体系的重要组成部分，对于学生来说意义重大。
其中，文科概率统计是一道常见的考题，对学生的数学思维能力和概率统计知识的掌握程度提出了挑战。
本文将从基本概念、计算方法和实际应用三个方面来探讨高考文科概率统计大题。
二、基本概念在开始解答概率统计大题之前，首先需要了解一些基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性或者程度大小，而统计学则是利用样本数据推断总体的特征。
在解答概率题时，常见的概念包括样本空间、事件、频率和概率等。
理解这些基本概念，能够为我们后续的计算和分析打下基础。
三、计算方法在文科概率统计大题中，计算方法是解决问题的关键。
常见的计算方法包括排列、组合、加法原理、乘法原理等。
通过正确运用这些方法，我们可以快速准确地计算出答案。
此外，还需要掌握条件概率、贝叶斯定理等进阶计算方法，以应对更复杂的问题。
不同的计算方法适用于不同的场景，学生们需要掌握并善于选择合适的方法。
四、实际应用概率统计在实际生活中有着广泛的应用。
在文科概率统计大题中，常涉及到投资、风险评估、信用评分、调查统计等实际问题。
学生们需要通过解答这些实际应用题，了解并应用概率统计在现实生活中的重要性和实用性。
此外，还需要培养对问题分析和解决的能力，将概率统计知识与实际应用相结合。
五、答题技巧解答概率统计大题不仅要掌握基本概念和计算方法，还需要具备一定的答题技巧。
首先，学生们要仔细审题，理解问题要求和限制条件；其次，要对题目进行归类，将抽象问题具象化；还要善于利用已知条件，简化计算过程。
另外，还要注意答题过程中的合理化推测和合理性判断，确保答案的准确性。
六、总结综上所述，高考文科概率统计大题是一道考察学生数学思维和概率统计知识的重要题目。
通过理解基本概念、熟练掌握计算方法、应用实际问题和灵活应用答题技巧，学生们便能够在高考中应对这一考题。
希望本文的内容能够对广大考生在备战高考中有所帮助，实现更好的成绩。
新高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题6概率与统计第1讲_专题训练(含答案解析)
一、选择题1． (2014益·阳模拟 )某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数目之比为1∶ 2∶ 4，现要用分层抽样的方法从中抽取140 件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为()．A ．20B．40C． 60D．80答案B2． (2014湖·北卷 )依据以下样本数据x345678y 4.0 2.5－ 0.50.5－ 2.0 － 3.0^ ^^获得的回归方程为y＝ bx＋ a，则 ()．^^^^A.a >0， b>0 B ． a>0， b<0^^^^C.a<0， b>0 D ． a<0 ，b<0^^分析依据题中表内数据画出散点图(图略 ) ，由散点图可知 b＜ 0， a＞ 0，选 B.答案B3．(2014 西·安五校联考 )在区间 [0,10] 内随机拿出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是 ()．110A. 10B．10ππC.40 D ．4分析将拿出的两个数分别用x，y 表示，则 x，y∈[0,10] ，要求这两个数的平方和也在区间222＋ y2 [0,10] 内，即要求 0≤x＋ y≤10，故本题能够转变为求≤10在地区0≤x1×π× 10{0≤ x≤，104π内的面积比的问题，即由几何概型知识可获得概率为102＝40.答案C4． (2014 合·肥质检 )从 2 名男生和 2 名女生中，随意选择两人在礼拜六、礼拜日参加某公益活动，每日一人，则礼拜六安排一名男生、礼拜日安排一名女生的概率为()．1 B ．5A. 3121 D ．7C.212分析从 2 名男生 (A 1，A 2)和 2 名女生 (B1，B2)中随意选用两人在礼拜六、礼拜日参加某项公益活动，每日一人的基本领件为： A 1A 2，A 1B1，A 1B2，A 2A 1，A 2B1，A 2 B2，B1 A 1，B 1A 2， B1B 2， B2A 1， B 2A 2， B 2B1，共 12 种，此中礼拜六安排一名男生，礼拜日安排一4 1名女生的概率为 P＝12＝3.答案A二、填空题5．(2014 ·南五市模拟豫)如图是甲、乙两名运动员2014 年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为________．分析甲运动员的比赛得分是：17,22,28,34,35,36，此中位数是28＋34＝ 31；乙运动员的2比赛得分是： 12,16,21,23,29,32,33 ，此中位数是 23，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 31＋ 23＝ 54.答案546．(2014广·东卷 )从字母 a，b，c，d，e 中任取两个不一样字母，则取到字母 a 的概率为 ________．分析从 a，b， c，d， e 中任取两个不一样字母的所有基本领件为：ab， ac，ad， ae，bc，bd， be， cd， ce， de，共 10 个，此中取到字母 a 的有 4 个，故所求概率为4＝2. 105答案2 57．(2014 临·沂模拟 )为了判断高中三年级学生选修文科能否与性别相关，现随机抽取50 名学生，获得以下 2×2 列联表：理科文科共计男131023女72027共计203050已知P(K 2≥ 3.841) ≈ 0，.05P(K2≥ 5.024)≈ 0.025依据.表中数据，获得K 2 的观察值k ＝－2≈ 4.844，则有 ________的掌握以为选修文科与性别相关．23×27×20×30答案95%8． (2014·京顺义区统练北)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10 月1 日9 时至14 时的销售额进行统计，其频次散布直方图以下图．已知9 时至10 时的销售额为 3 万元，则 11时至12 时的销售额为________万元．分析由频次散布直方图知，9 时至 10 时的销售额的频次为0.1，故销售总数为3＝30(万0.1元 )，又 11 时至 12 时的销售额的频次为0.4，故销售额为0.4 ×30＝ 12万元．答案12三、解答题9． (2014 天·津卷 )某校夏令营有3 名男同学 A ，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级状况以下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识比赛 (每人被选到的可能性同样)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2) 设 M 为事件“选出的2 人来自不一样年级且恰有 1 名男同学和 1名女同学”，求事件 M发生的概率．解 (1)从 6 名同学中随机选出 2人参加知识比赛的所有可能结果为{A ，B} ，{A ，C} ，{A ， X} ， {A ， Y} ， {A ，Z} ，{B ，C} ， {B ，X} ，{B ，Y} ，{B ，Z} ，{C ，X} ，{C ，Y} ，{C ，Z} ，{X ， Y} ，{X ，Z} ，{Y ， Z} ，共 15 种．(2) 选出的 2 人来自不一样年级且恰有1名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为 {A ，Y} ，{A ，Z} ，{B ， X} ，{B ，Z} ，{C ，X} ，{C ，Y} ，共 6 种．所以，事件 M 发生的概率 P(M) ＝6＝2. 15510． (2014 福·建卷 )依据世行2013 年新标准，人均 GDP 低于 1 035 美元为低收入国家；人均GDP 为 1 035～ 4 085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 4 085～ 12 616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家．某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比率及人均GDP 以下表：行政区区人口占城市区人均 GDP人口比率(单位：美元 )A25%8 000B30% 4 000C 15% 6 000 D10% 3 000 E20%10 000(1) 判断该城市人均 GDP 能否达到中等偏上收入国家标准；(2) 现从该城市 5 个行政区中随机抽取2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．解(1)设该城市人口总数为 a ，则该城市人均 GDP 为1a [8 000 0×.25a ＋4 000 ×0.30a ＋ 6 000 ×0.15a ＋ 3 000 ×0.10a ＋ 10 000 ×0.20a]＝ 6 400.由于 6 400∈ [4 085,12 616) ，所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准． (2) “从5 个行政区中随机抽取2 个 ”的所有的基本领件是：{A， B} ，{A，C} ， {A，D} ，{A ， E} ，{B ，C} ， {B ，D} ，{B ，E} ， {C ， D} ，{C ，E} ，{D ，E} ，共 10 个．设事件 “抽到的 2 个行政区人均含的基本领件是： {A ，C} ，{AGDP 都达到中等偏上收入国家标准，E} ，{C ，E} ，共 3 个，”为M ，则事件M 包所以所求概率为P(M) ＝310.11．(2014 潍·坊模拟 )甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动，商场的奖赏方案以下：对购置该商品的顾客两家甲商场： 顾客转动以下图圆盘， 当指针指向暗影部分 (图中四个暗影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，界限忽视不计 ) 即为中奖．乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球 (球除颜色外不加划分)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖．问：购置该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解 假如顾客去甲商场，试验的所有结果组成的地区为圆盘，面积为2πR(R 为圆盘的半径 )暗影地区的面积为224× 15πR πR360＝6.2πR61所以，在甲商场中奖的概率为 P 1＝2＝ .假如顾客去乙商场，记盒子中3 个白球为 a 1， a 2， a 3,3 个红球为 b 1， b 2， b 3，记 (x ， y)为一次摸球的结果，则全部可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3 )，(a1，b1) ，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3 )， (a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a3， b3)， (b1，b2)， (b1， b3)，(b2， b3 )，共 15 种，摸到的 2 个球都是红球有(b 1，b2) ，(b 1， b3)， (b2， b3)共 3 个，所以3 1在乙商场中奖的概率为 P2＝15＝5.由于 P1＜P2，所以，顾客在乙商场中奖的可能性大．。
高中概率与统计专题含解析(文科专用)
专题十二：概率与统计（文科专用）考点43. 随机事件及其概率基础闯关1．（2016春•广西期末）从6个篮球、2个气排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）A．3个都是篮球B．至少有1个是气排球C．3个都是气排球D．至少有1个是篮球【解答】解：从6个篮球、2个气排球中任选3个球，A、B、C是随机事件，D是必然事件，故选：D．【点评】本题考查必然事件，解题的关键是理解随机事件的概念，属于基础题．2．（2016春•定州市期末）一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【解答】解：一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．【点评】本题考查了随机事件，独立事件的定义，是一道基础题．3．（2016春•邵东县期末）对于总数为N的一批零件，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性均为25%，则N=（）A．120 B．150 C．200 D．240【解答】解：∵对于总数为N的一批零件，抽取一个容量为30的样本，每个零件被抽到的可能性均为25%，∴，解得N=120．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意概率定义的合理运用．4．（2016春•东莞市期末）如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（）A．买1000张彩票一定能中奖B．买999张这种彩票不可能中奖C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖D．买1张这种彩票一定不能中奖【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票可能没有一张中奖，故选：C．【点评】本题考查概率的意义及事件的运算，属于基本概念题．5．（2016•衡水校级模拟）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1﹣=．故选D．【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．6．（2016•宁夏校级三模）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是（）A．1个白球2个红球B．2个白球1个红球C．3个都是红球D．至少有一个红球【解答】解：从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，事件A=“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是所取的3个球都是红球．故选：C．【点评】本题考查事件的对立事件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的定义的合理运用．7．（2016•海南校级一模）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从1号箱中取出白球，其概率为=，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为×=，②、从1号箱中取出红球，其概率为=，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为×=，则从从2号箱取出红球的概率是+=；故选A【点评】本题考查互斥事件的概率的计算，解题时注意B中球数目的变化．8．（2016•廊坊校级模拟）吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：难题能被解决包括三种情况，一是两个人都解决难题，二是甲解决了难题而乙没有解决难题，三是乙解决难题而甲没有解决难题，它的对立事件是两个人都没有解决难题．根据互斥对立事件时发生的概率得到P=1﹣=故选：C【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是从正面来解决问题比较麻烦可以从事件的对立面来解决，本题是一个基础题9．（2015•内江模拟）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（1）求x，y的值．（2）求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．【解答】解：（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；（2）记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟；将频率视为概率可得P（A）=p（A1）+P（A2）==0.3∴一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键，属于中档题10．（2015秋•龙海市校级期末）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解答】（本小题满分12分）解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分）∴，∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…（6分）（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分）∴，∴，…（11分）∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．11．（2016•广东模拟）甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A，B，C．乙挑选的三匹马分别记为A′，B′，C′，已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：A，A′，B，B′，C′，C．比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜．（Ⅰ）若甲、乙两人进行一次比赛，求乙获胜的概率；（Ⅱ）若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数大于甲的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，且胜负情况如下表所示：∴乙获胜的概率p=．（Ⅱ）根据题意，乙分别骑A′，B′，C′时，甲骑手的马共有6种情况与之对应，如下表所示：以上6种情况中，只有③④两种情况乙胜次数多于甲，∴乙获胜次数多于甲的概率p==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．拓展提升1．（2016春•会宁县校级期中）一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）【解答】解：把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的情况是：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）．故选C．【点评】本题考查了列举法，正确确定列举的顺序是关键．2．（2014秋•江岸区校级期中）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是（）A．不可能事件B．必然事件C．对立事件 D．互斥且不对立事件【解答】解：黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，∴事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．故选：D．【点评】本题考查对立事件、必然事件、不可能事、互斥事件的判断，解题时要认真审题，是基础题．3．（2016•宁德模拟）现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A箱中有x个红球，则有（6﹣x）个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×（+），从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×（+），故××2+×（+）+×（+）=，解得x=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查古典概型，分类的时候要做到不重不漏，属于中等题．4．（2016春•枣阳市校级期末）下列说法正确的是（）A．甲、乙两人做游戏；甲、乙两人各写一个数字，若是同奇数或同偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报D．实验：某人射击中靶或不中靶，这个试验是古典概型【解答】解：对于A，奇数和偶数的概率都是，故游戏是公平的；对于B，随着事件次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确；对于C，一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误；对于D，这个实验叫伯努利实验，故不正确．故选：A．【点评】本题主要考查事件的概率、频率，属于基础题．5．（2015•朝阳二模）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．所以甲得到的游戏牌为12×=9，乙得到圆心牌为12×=3；当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，故选A．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．6．（2016•晋中模拟）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B【点评】本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．7．（2016•上海二模）设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题8．（2016•岳阳二模）排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，∴最后乙队获胜的概率：p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．9．（2016春•临渭区期末）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与．（1）若甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）若甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．【解答】解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事B，则P（A）=，P（B）=，P（）=，P（）=．甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为A+B，P（A+B）=×+×=，∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为；（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是P′=×××=，∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1﹣=，∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为．【点评】本题看出相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率，本题解题的关键是看清题目中所求的事件的概率的意义，正面来解释比较困难，可以选择应用对立事件来解决．10．（2015•巴中模拟）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．11．（2015•衡阳县校级三模）某市一公交线路某区间内共设置六个站点，分别为A0，A1，A2，A3，A4，A5，现有甲乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i（i=1，2，3，4，5）下车是等可能的．（Ⅰ）求甲在A2站点下车的概率；（Ⅱ）甲，乙两人不在同一站点下车的概率．【解答】解：（Ⅰ）设事件“A=甲在A2站点下车”，由于甲的下车方法总共有5种，则．…（6分）（Ⅱ）设事件“B=甲，乙两人不在同一站点下车”，由于甲，乙两人在同一站点下车的概率为=，则．…（12分）【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，求对立事件的概率的方法，属于基础题．考点44. 古典概率与几何概率基础闯关1．（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．2．（2016春•鸡西校级期末）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．3．（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．4．（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（2015•新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．6．（2016春•沈阳校级期末）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．7．（2016春•沈阳校级期末）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，≈，∴π≈．故选：C．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．8．（2015•山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．9．（2016•四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，log a b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴log a b为整数的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种．两同学相同的选法种数为．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．11．（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．12．（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．（2016•潍坊模拟）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【解答】解：（I）由茎叶图得：，（2分）（4分）解得，x=5，y=7（5分）（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3（6分）记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果（8分）记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种（10分）∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为（12分）【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数及中位数，考查分层抽样方法及古典概型的概率计算，要注意求至少有1人是“高精灵”的选法可用分类法，解答本题的关键是读懂茎叶图14．（2016•安庆三模）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80，90）和[90，100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90，100]恰有1人的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75．（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组[50，60）的频率：0.012×10=0.12，所以n=6÷0.12=50，∴第四组[80，90）的频数：0.024×10×50=12；第五组[90，100]的频数：0.016×10×50=8；用分层抽样的方法抽取5人得：第四组[80，90]抽取：；第五组[90，100]抽取：．记抽到第四组[80，90）的三位同学为A1，A2，A3，抽到第五组[90，100]的两位同学为B1，B2则从5个同学中任取2人的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种．其中分数在[90，100]恰有1人有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），共6种．∴所求概率：．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求众数以及古典概型的概率问题，是基础题．。
高考概率与统计常见题型与解法
高考概率与统计常见题型与解法题型一几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.1、等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都m。
这就是等相等。
如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）=n可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
解 (Ⅰ)由题意可得2183654x y ==所以1,3x y ==， （Ⅱ）记从高校B 中抽取的2人为12,b b ，从高校C 中抽取的3人为123,,C C C 则从高校B 、C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（12,b b ），（11,b c ），（12,b c ），（23,b c ），（21,b c ），（22,b c ），（23,b c ），12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共10种，设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共3种，因此3()10p X =故选中的2人都来自高校C 的概率为310变式1（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。
概率大题训练总结(高考经典概率问题文科)
1（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随 机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率． （参考数据：2222222981026109466++++++=，236112136472222222=++++++）2在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？3已知向量()1,2a =-r，(),b x y =r ．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b =-r rg 的概率；（2）若实数,x y ∈[]1,6，求满足0a b >r rg 的概率．4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．5为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：（1）若第六、七、八组的频数t 、m 、n 为递减的等差数列，且第一组与第八组的频数相同，求出x 、t 、m 、n 的值； （2）若从第一组和第八组的所有星期 中随机抽取两个星期，分别记它们的平均 温度为x ，y ，求事件“||5x y ->”的概率．6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.7某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14，……，第五组[]18,17．右图是按上述分组方频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.408070法得到的频率分布直方 图.（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为 良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m ， 求事件“1>-n m ”的概率.8一人盒子中装有4张卡片，每张卡上写有1个数字，数字分别是0，1、2、3。
高考文科数学二轮专项训练专题：10 概率统计
专题10 概率与统计一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A 【解析】通解 设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ．建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A ．优解 因为0.60.372<⨯，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．1x ，2x ，…，n x 的平均数B ．1x ，2x ，…，n x 的标准差C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数B 【解析】由统计知识可知，评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，选B3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A 【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A 错误；选A ．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7A 【解析】甲组：56，62，65，70x +，74，乙组：59，61，67，60y +，78．要使两组数据的中位数相等，则6560y =+，所以5y =，又566265(70)74596167657855x +++++++++=，解得3x =，5．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个D【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D不正确，故选D．6．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a，60，63，a l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B．7．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56 B．60 C．120 D．140D 【解析】自习时间不少于22.5小时的有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=，故选D ．8．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关C 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ky b =+(0)k >，则将0.11y x =-+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b =-++=-++，所以0.10k -<，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C ．9．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3D 【解析】将2名男同学分别记为x ，y ，3名女同学分别记为a ，b ，c ．设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(,)x y ，(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)y a ，(,)y b ，(,)y c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共19种，其中事件A 包含的可能情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共3种，故3()0.310P A ==，故选D ． 10．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7B 【解析】设“只用现金支付”为事件A ，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ，“不用现金支付”为事件C ，则()1()()10.450.150.4P C P A P B =--=--=，故选B ．11．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4πB【解析】设正方形的边长为2a，由题意可知，太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，由几何概率的计算公式，所求概率为221248aaππ=，选B．12．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为102255=．13．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．15C【解析】从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫），而取出的两只中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，所以满足题意的概率为42105=．14．从这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n ，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p ．故选：B ．15．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23 D ．13【答案】D 【解析】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个， 因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=.故选：D.二、填空题16．(2018全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．分层抽样【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段客户对公司服务的客观评价．17．(2018江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．110999890【解析】由茎叶图可得分数的平均数为8989909191905++++=． 18．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件．19．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．①16；②29 【解析】①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA13914220．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．乙数学【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙．②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．21．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．310【解析】记2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c ，则从中任选2名学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab ，ac ，bc ，共3种情况，故所求概率为310． 22．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）660【解析】由题意可得：总的选择方法为：411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．23．记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率是 ．59【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--． 三、解答题24．（2018全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 3m的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【解析】(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m的概率的估计值为0.48．(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48 50=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35 50=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m)-⨯=．25．（2018全国卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.841 6.63510.828P K kk≥【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．(2)由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515(3)由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．26．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：新养殖法旧养殖法频率/组距箱产量/kg箱产量/kg频率/组距35404550556065700.0680.0460.0440.0200.0100.0080.0047065605550454035302500.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．一、统计与统计案例1.抽样方法三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围总体中的个体数较简单随机抽样抽样过程中将总体均分成几部分，每个个体被系统抽样抽取的概率部分抽取相等将总体分成几层，分层分层抽样进行抽取2.统计图表(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数x＝(x1＋x2＋?＋xn)．n1－2－2－22方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝bx＋a，则?^?b＝－?? ?x－x??^－^－?a＝y－bxni＝1nii＝1－－? ?xi－x??yi－y?＝－－?xiyi－nxyi＝1nn22i－nx?x2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(x，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n? ?xi－x??yi－y?i＝1－－r＝n，叫做相关系数．? ?xi－x?2? ?yi－y?2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为x1 x2 总计2y1 a c a＋c 2y2 b d b＋d 总计a＋b c＋d a＋b＋c＋d ?a＋b＋c ＋d??ad－bc?则K＝，?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?若K3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B 互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2021课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度. D的测度1 41C．2A．Bπ 8πD．4B．【变式探究】(2021・江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．5 93－?－2?52由6＋x－x≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－?－4?9【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，?，xn，y1，y2，?，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n2m2nB.mC.4mn2m D.nCmπ4m4m由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2021・全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )。
高考文科数学二轮专项训练专题：10 概率统计
绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫），而取出的两
只中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共 4 种，所以满足题意
的概率为
4
2
．
10 5
14．从
这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）
A． B． C． D． 【答案】B【解析】从 1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，
②这三天售出的商品最少有_______种．
①16；②29 【解析】①由于前二天都售出的商品有 3 种，因此第一天售出的有 19-3=16 种商品第二天未 售出；答案为 1 6． ②同①第三售出的商品中有 14 种第二天未售出，有 1 种商品第一天未售出，三天总商品种数最少
时，是第三天中 14 种第二天未售出的 商品都是第一天售出过的，此时商品总数为 29．分别用
D【解析】将 2 名男同学分别记为 x ， y ，3 名女同学分别记为 a ， b ， c ．设“选中的 2 人都是女同学”
为事件 A ，则从 5 名同学中任选 2 人参加社区服务的所有可能情况有 (x, y) ， (x, a) ， (x, b) ，
(x, c) ， ( y, a) ， ( y,b) ， ( y, c) ， (a,b) ， (a, c) ， (b, c) 共 19 种，其中事件 A 包含的可能情况有 (a,b) ， (a, c) ， (b, c) 共 3 种，故 P( A) 3 0.3 ，故选 D．
抽取
件．
18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 60 300 18 件． 1000
19．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三
高考文科数学复习 专题14 概率与统计(选择题、填空题)(教师版)
专题14 概率与统计（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生D ．815号学生 【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．15【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63105，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】设2名男同学为A 1,A 2，3名女同学为B 1,B 2,B 3，从以上5名同学中任选2人总共有A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3，共3种可能， 则选中的2人都是女同学的概率为P =310=0.3，故选D ．【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式P(A)=mn 求出事件A 的概率．6．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π 4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221π()π228a a ⨯⨯=，选B．【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．7．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B ．【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．8．【2017年高考山东卷文数】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A【解析】由题意，甲组数据为56，62，65，70x +，74，乙组数据为59，61，67，60y +，78． 要使两组数据的中位数相等，则6560y =+，所以5y =，又平均数相同，则566265(70)74596167657855x+++++++++=，解得3x=．故选A．【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．9．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，可知每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A错误；折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，D正确．所以选A．【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；（3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据．10．【2017年高考天津卷文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P==．故选C．【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n APnΩ=即可得解．11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：12345 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为102 255=．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： （1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=， 其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________． 【答案】分层抽样【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样．14．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 15．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________． 【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为8989909191905++++=．16．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种， 因此所求概率为310． 17．【2017年高考江苏卷】记函数2()6f x x x =+-D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解．18．【2017年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．。
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高考文科数学概率与统计题型归纳与训练
2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
题型归纳
古典概型
例1：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中
的概率为（）。
A。
55.B。
25.C。
9.D。
128
解析：可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：
甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法，其中只有前4种是甲被选中，
所以所求概率为4/10=2/5.故选B。
例2：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排
成一行，则2本数学书相邻的概率为________。
解析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语；数1，语，数2；数2，数1，语；数2，语，数1；语，数2，数1；语，数1，数2共有6种，其中2本数
学书相邻的有4种，则其概率为：p=4/6=2/3.
易错点：列举不全面或重复，就是不准确。
思维点拨：直接列举，找出符合要求的事件个数。
几何概型
例1：如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）。
解析：不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半。
由几何概型概率的计算公式得，所求概率为1/2πa^2=π/4a^2.故选B。
例2：在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程
x^2+2px-3p^2=0有两个负根的概率为________。
解析：方程x^2+2px-3p^2=0有两个负根的充要条件是
Δ=4p^2-4(3p-2)x<0，即3p^2-x^2<2.因为x^2<p，所以3p^2-
p^2<2，即p∈(0,1]∪[2,5]，又因为p∈[0,5]，所以使方程
x^2+2px-3p^2=0有两个负根的p的取值范围为(√3,1]∪[2,5]，故所求的概率为(5-√3)/5.
220度，中位数是235度。
3）根据分层抽样的原理，应从月平均用电量在
220,240的用户中抽取
11
0.011100
1.21户，取2户．
0.045
因为该区间的频率为0.011，总共需要抽取的样本数为11户，所以应该抽取1.21户，即大约1户。
但是实际上无法抽取1户，所以应该抽取2户。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。
根据题目所给的数据，我们可以进行以下分析：
1）由折线图中数据和附注中参考数据得，2008年至2014年我国生活垃圾无害化处理量分别为4.76亿吨、5.21亿吨、5.89亿吨、6.68亿吨、7.52亿吨、8.07亿吨、8.63亿吨。
根据计算，与生活垃圾无害化处理量的相关系数近似为0.999，说明二者的线性相关程度相当高，因此可以用线性回归模型拟合它们的关系。
2）根据所给数据，我们可以得到以下信息：A、B两变量的相关系数分别为0.85、0.92；四位同学的残差平方和分别为115、106、124、103.由此我们可以进行独立性检验，判断A、B两变量之间是否存在显著的线性相关性。
根据计算，甲、乙、丙、丁四位同学的残差平方和之和为448，自由度为6-2=4，查表可知在0.05的显著性水平下，临界值为9.49.因为448<9.49，所以我们可以认为A、B两变量之间不存在显著的线性相关性。
易错点】没有读懂题意，计算错误；没有进行独立性检验或检验方法不正确。
思维点拨】在进行回归分析时，要注意选择合适的模型和方法，同时要进行独立性检验，判断所得结果是否可靠。
在计算过程中，要注意数据的精度和计算公式的正确性。
1.若有m个数对满足两数的平方和小于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）。
A。
1/m
B。
m/4
C。
m/2
D。
4/m
解析：题目给出的条件是两数的平方和小于1，因此这些数对都在以原点为圆心、半径为1的圆内。
我们可以通过在一
个边长为2的正方形内随机生成点来模拟这个过程，然后计算在圆内的点的数量，从而得到圆的面积，进而得到圆周率的值。
根据几何概率的定义，圆内的点数与正方形内的点数之比应该接近于圆的面积与正方形面积之比，即π/4.因此，答案为___。
2.下图是古希腊数学家___研究的几何图形，由三个半圆
构成，其中三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC。
三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分
记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则有p1=p2.
解析：首先可以发现，整个图形的面积等于直角三角形ABC的面积加上三个半圆的面积之和。
因此，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三
个区域的面积之和应该等于整个图形的面积。
由于Ⅱ区域是黑色的，因此比较容易计算出它的面积，而Ⅰ和Ⅲ的面积可以通过直角三角形ABC的面积和三个半圆的面积之和减去Ⅱ的面
积得到。
由于整个图形是对称的，因此在随机取点的过程中，每个区域被选中的概率应该是相等的，即p1=p2=p3.因此，答
案为A。
3.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为多少？
解析：计算平均数的公式是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
因此，这组数据的平均数为(4+6+5+8+7+6)/6=6.
4.某电子商务公司对名网络购物者2014年度的消费情况
进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示。
直方图中的a=3；在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6000.
解析：根据直方图中的信息，我们可以计算出每个区间的频率，然后将它们相加，应该等于1.因此，
0.2a+0.8+1.5+2+2.5+0.1a=1，解得a=3.由于[0.5,0.9]这个区间的频率等于0.2a+0.8+2+3=0.6，因此在名购物者中，这个区间内
的购物者人数为0.6*=6000.。