论文 随机变量的期望和方差的计算方法

序 言

数学方差和期望比较集中的反映随机变量的某个侧面的平均特性,因此对随机变量的期望和方差的计算具有很深的实际意义.

本论文着重总结了随机变量期望和方差的几种常用计算方法,并通过具体例子阐述在不同情况下应该采用的计算方法,以达到使计算最简便化的目的.

一、 离散型随机变量期望的计算方法

方法一 定义法 [1]

即若已知离散型随机变量ξ的分布列为

则ξ的期望为1111(2)()()p p A B p A B ξ==+

例1 某项考试按科目A 和科目B 依次进行,只有当科目A 成绩合格时,才可继续参加科目B 的考试,已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A 每次考试成绩合格的

的考试机会,记他参加考试的次数为ξ,求ξ的数学期望E ξ.

解 设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ,“科目A 补考合格”为事件2A ,“科目

B 第一次考试合格”为事件1B ,“科目B 补考合格”为事件2B ,已知得ξ=2,3,4注意到各

事件之间的独立性与互斥性,可得

1111(2)()()

21113233114399

p p A B p A B ξ==+=?+?=

+=

对于某些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布、超几何分布等）,则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.

方法二 公式法

设随机变量ξ服从二项分布(,,)B b n p ,其分布列为：

{}(1)

(0,1,2)k

k

n k

n P k C p p k n ξ-===-=???,

则我们有：

01

1

11

11

1

!()(1)

!()!!

(1)!()!

(1)

(1)(1)

n

k n k

k n

k

n k

k n

k k n k

n k n i

i n i n i

i n E k p p k n k n p p k n k np p p np p p np

i k C C

ξ-=-=----=----==

?

--=

--=-=-==-∑

∑

∑

∑

由此便推出服从二项分布的随机变量的数学期望的计算公式为()E np ξ=.

例2 一个实验学科的考察方案：考生从6道选题中一次性随机抽取3题,按题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中考生甲有4

不影响. 分别求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.

解 设考生甲正确完成的题数为ξ,则ξ服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===,

∴3426

nM E N

ξ?=

==

设考生乙正确完成的题数为η,则

2

~[3,]3B η,2323E np η==?

=

方法三 性质法

即利用期望的性质求期望,所用到的性质主要有:

,

()Ec c E k b kE b ξξ=+=+

其中ξ为随机变量,,,k b c 为常数.换而言之,即常数的数学期望等于它本身；要求随机变量的线性组合的数学期望,只需求得随机变量自身的期望即可.

例3 某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为12

,若中奖,商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元

的台式电脑一台,得到奖券4张,设该顾客中奖张数为ξ,购买台式电脑的实际支出为η（元）,用ξ表示η,并求η的数学期望.

解 ∵由题意可知

1

2300100,

~[4,],

2

B ηξξ=-,

142,

2

230010023002002100

E E E ξηξ

∴=?

==-=-=

说明 本题在求η的数学期望时,就是根据运算性质利用ξ的期望E ξ求得,简化了计算过程.

方法四 将事件分解法

[2]

随机变量的期望具有性质()E E E ξηξη±=± （ξ,η相独立）,利用该性质可把所求期望分解为几个易求的相互独立的事件的期望和,达到简化解题的效果.

例4 某市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府,已知从新市政府到老市政府有两条公路,汽车走公路Ⅰ堵车的概率为14

,不堵车的概率为34

,汽车走公路Ⅱ堵车

的概率为13

,不堵车的概率为23

,若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ,丙汽车由于其他原因走公路Ⅱ,

且三辆车是否堵车相互之间没有影响.求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的数学期望.

解 所求数学期望可分解为两条路上被堵车辆的个数的数学期望之和.设第一条路上被堵车辆的个数为η,设第二条路上被堵车辆的个数为ψ,则

1~[2,]4

B η, 112112;014

2

3

3

3

E E ηψ=?

=

=?

+?

=

所以

115236

E E E ξξη=+=

+=

方法五 利用特殊级数求和法[3]

此法是计算离散型随机变量数学期望常用的一种方法, 它是先通过数学手段将

k

k k

x

p ∑转化成某一特殊级数,然后求和获解.

例5 求参数为λ的普阿松分布(:)0,1,2;0!

k

P k e

k k λ

λ

λλ-==???>的数学期望.

解

1

11

!

()!

(1)!

!

(1)

k k k i

i E k e k e k e i e e

i k λ

λ

λ

λ

λ

λξλλλ

λλλ

∞

-=-∞

-=∞

-=-=

?

=-===-=∑

∑

∑

方法六 条件数学期望公式法

()(|)i

i

E P E x x ξξ=

=∑是计算条件期望的重要公式,可用此公式求得.

例6 设(,)X Y 的联合分布由下表给出,试求(|)E X Y .

解 求(|)E X Y ,即求(|0)E X Y =和(|1)E X Y =,

为此我们先求在条件0Y =下X 的条件分布： 因为

{}{}{}1220|00,0020

54

P X Y P X Y P Y =======

=

{}3621|020

54

P X Y ====

=

所以

(0)(|0)

0{0|0}1{1|0}34

E X E X Y P X Y P X Y ====?==+?===

类似地可以算出

1(1)(|1)2

E X E X Y ====

因此

34012

1

(|){

Y Y E X Y ===

方法七 逐项微分法[4]

对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量,可应用逐项微分法求出其数学方差.设离散型随机变量ξ的概率分布为：

1

(01,1)n

n i i p p =≤≤=∑,其中i p 含有参数(1,2)i n =???,在求E ξ时,可对1

1n

i i p ==∑两边关于

参数求导以达到目的.

例7 设随机变量~[,]B n p ξ,求E ξ. 解 由题设知

(1)

1n

k k n k

n

k p p C

-=-=∑

上式两边同时对p 求导得

1

1

01

1

1

[(1)

()(1)

(1)

(1)

(1)

1

(1)

(1)

(1)

11n

k k n k

k n k n

k n n

n

k k n k

k k n k k k n k n

n

n

k k k n n

n

k

k

n k

k k n k

k k

n k

n

n

n

k k k C

kp

p n k p p kC

p

p n C p p kC

p p n n kC p p C p p C p p p

p

p

----=------===---===----=---+

-=--

-+

-=-

-

∑∑∑∑∑∑∑ 即

11011n E E E p p

p

ξξξ-

+

=--

由上式可得

E np ξ=

亦即

(1)

n

k k n k

n

k kC

p p np -=-=∑

上式两边再同时对p 求导得

2

1

1

2

1

000211

2

1

(1)(1)

(1)(1)

(1)

(1)

n

n

n

k k n k

k k

n k k k n k n

n

n k k k n

n

n

k

k n k

k k n k k

k

n k n n n k k k k

C p p n kC p p k

C p p n

k

C p

p n kC p p k

C p p n

------===------===---+-=---+

-=∑∑∑∑∑∑

即

11011n E E E p p

p

ξξξ-

+

=--

由上式可得（注E np ξ=）

2

2

2

()(1)E np p n p ξ=-+.

二、 连续型随机变量期望的计算方法

方法八 积分法 [5]

根据给定的连续型随机变量ξ的密度函数,判断||()x f x dx +∞-∞

?的收敛性,若收敛,则称

积分()xf x dx +∞-∞

?

为随机变量ξ的数学期望.

例8 设ξ服从2(0,1)N ,求ξ的数学期望. 解 先考虑积分的绝对收敛性

2

2

2

112

2

12

2

||

2||

(

)

2

()

x

x

x

t t

x dx x dx

x

e d e d t +∞+∞-

-

-∞

+∞-=+∞==

=<+∞

?

?

所以积分

||()x f x dx +∞-∞

?

绝对收敛, 于是有

2

12

||

0x

E x dx ξ+∞-

-∞

=

=?

(奇函数在对称区间上的定积分为0).

方法九 特征函数法[6]

由于随机变量ξ的特征函数定义为()()it f t E e ξ=),又有性质()

1()(0)k

k k

E f

i

ξ=

,于是

若随机变量ξ的数学期望存在, 只须对它的特征函数求一阶导数即可,因此特征函数提供了一条求数学期望的捷径.下面我们以正态分布为例

例9 设2

~(,)N ξμσ,求E ξ 解 因为正态分布的特征函数为

2212

()iut t

f t e

σ-= ,

于是

22

22

1'

2

12

2

01()|11[(2)]|2

iut t

t iut t

t E e

i iu t e

i σσξσμ

-=-==

=-

?=

方法十 条件数学期望公式法

()()()m n E E x x dx ξξ?==是计算条件期望的重要公式,可用此公式求得.

例10 设~[0,1]U ξ,当k ξ=时,~[0,]U x η,求()E η. 解 由题意

(|),012

x E x x ηξ==

<<,

于是

()1(){|}2

4

x x E E x dx dx ξηηξφ+∞+∞-∞

-∞

=

==

=

?

?

方法十一 逐项微分法

设连续型随机变量x 的分布密度为()x ?,且()x ?含有参数,则在求E ξ时,可对

()1x dx ?+∞-∞

=?

两边同时对参数求导以达到目的.

例11 设随机变量2~(,)N a ξσ,求E ξ. 解 由题设有可知

2

2()22

1x x a

e dx σσ

σ

--+∞-∞

-=,

两边同时对a 求导得：

2

2

2

2

2

2()22

()()220

x x x x a

e

dx xe dx e

dx

σσ

σσσ

σ

σ

--

+∞-∞

---

-+∞+∞-∞

-∞

-==

??

即

E a ξ=

三、离散型随机变量方差的计算方法

方法一 定义法[7]

若要求随机变量的方差D ξ,先要求出随机变量的期望E ξλ=,再利用公式

2

()

D E E ξξξ=-即可求出其方差.对于离散型随机变量,若概率分布为

(),(1,2k P k p k ξ===

???,则2

1

()k

k k D x

E p ξξ+∞

==

-∑.

例12 求服从于参数为λ的泊松分布的随机变量ξ方差D ξ.

解 由常见随机变量期望的公式可知E ξλ=,这里不再详细解答；接下来我们求出

2

2

01

1

2

(

)!

(1)!!

!

k

k k k k

k

k k E k

e

k k e

k k

e

e

k k λ

λ

λ

λ

λ

ξ

λ

λλ

λ

λλλλ

∞

-=-∞-=∞

∞

--===?=

-=+=+∑∑∑∑

则

2

2

2

()()D E E ξξξλλλλ=-=+-=

方法二 逐项微分法

对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量,可应用逐项微分法求出其数学方差.设离散型随机变量屯的概率分布为：

1

(01,1)n

n i i p p =≤≤=∑,其中i p 含有参数(1,2)i n =???,可先对1

1n

i i p ==∑两边关于参数求导

以求出E ξ,再对E a ξ=（a 是上面求出之值）两边关于参数求导以得2

()E ξ,再由

2

()D E E ξξξ=-得出结果.

例13 设随机变量~[,]B n p ξ求E ξ. 解 由题设知

(1)

1n

k k n k

n

k p p C

-=-=∑

上式两边同时对p 求导得

1

1

01

1

1

[(1)

()(1)

(1)

(1)

(1)

1

(1)

(1)

(1)

11n

k k n k

k n k n

k n n

n

k k n k

k k n k k k n k n

n

n

k k k n n

n

k

k

n k

k k n k

k k

n k

n

n

n

k k k C

kp

p n k p p kC

p

p n C p p kC

p p n n kC p p C p p C p p p

p

p

----=------===---===----=---+

-=--

-+

-=-

-

∑∑∑∑∑∑∑ 即

11011n E E E p p

p

ξξξ-

+

=--

由上式可得

E np ξ=

亦即

(1)

n

k k n k

n

k kC

p p np -=-=∑

上式两边同时对p 求导得：

2

1

1

2

1

000211

2

1

(1)(1)

(1)(1)

(1)

(1)

n

n

n

k k n k

k k

n k k k n k n

n

n k k k n

n

n

k

k n k

k k n k k

k

n k n n n k k k k

C p p n kC p p k

C p p n

k

C p

p n kC p p k

C p p n

------===------===---+-=---+

-=∑∑∑∑∑∑

即

11011n E E E p p

p

ξξξ-

+

=--

由上式可得：（注E np ξ=）

2

2

2

()(1)E np p n p ξ=-+

从而

2

2

()()()(1)D E E np p ξξξ=-=-

方法三 性质法[8]

我们经常利用()D D D ξηξη+=+和2

()D k k D ξξ=这两个公式,使得求方差的计算简化.

例14 设η,ξ相互独立,~[0,1]N ξ且~[1,2]N η,令2ζξη=+,求,E D ζζ. 解 利用期望和方差的性质可知：

(2)20212E E E E ζξηξη=+=+=+?= (2)41429D D D D ζξηξη=+=+=+?=

四、 连续型随机变量方差的计算方法

方法四 公式法

对于连续型随机变量,若其密度函数为()f x ,则

2

2

2

2

2

2()()(2())()()2()()

()D x E f x dx

x xE E f x dx x f x dx E xf x dx E f x dx

E E ξξξξξξξξ

+∞-∞+∞-∞+∞+∞+∞-∞

-∞

-∞

=

-=-+=

-+=-???

?

?

例15 设二维随机变量(,)X Y 的分布为22

2

2

1

,1,0,

1,

(,){x y x y f x y π

+≤+>=试求D X .

解 先求E X

2

2

2

2

1

1

(,)x y x y

x

EX x f x y dxdy dxdy

π+≤+≤=

?=

??

??

利用极坐标很容易算出上述二重积分为零,即0E X =,从而可得

2

2

2

2

2

1

1

21

2

2

()(,)1

cos 14

x y x y D X x EX f x y dxdy x

dxdy

d r r dr

ππ

θθπ+≤+≤=

-=

=???=

?????

?

方法五 逐项微分法

设连续型随机变量毛的分布密度为()x φ,且()x φ含有参数, 则在求E ξ时,可对

()1x dx φ+∞-∞

=?

两边同时对参数求导以达到目的.而在求D ξ时,可对E a ξ=（a 是上面求

出之值）两边关于参数求导以得2

()E ξ）,再由2

()D E E ξξξ=-得出结果.

例15 设随机变量2~(,)N a ξσ,()D ξ. 解 先求E ξ, 由题设有可知

2

2()22

1x x a

e dx σσ

σ

--+∞-∞

-=,

两边同时对a 求导得：

2

2

2

2

2

2()22

()()2

2

22()

1x x x x x a e

dx x e

dx xe

dx σσ

σσσ

σ

σ

σ

--

+∞-∞

---

-+∞+∞-∞

-∞

-=-

=

即

E a ξ=,

2

2

()2x xe dx a σσ

--

+∞-∞

=两边同时对a 求导得

2

2

2

2

2

2()22

()()2

2

22()

1x x x x x a e

dx x e

dx xe

dx σσ

σσσ

σ

σ

σ

--

+∞-∞

---

-+∞+∞-∞

-∞

-=-

=?

即

2

2

2

2

()E aE a ξσ

ξσ

=+=+

2

2

2

()()()D E E ξξξσ=-=

五、 随机变量的期望和方差的计算技巧

技巧一 将X 分解为n 个简单的随机变量之和[9]

将X 分解为n 个简单的随机变量之和,运用期望和方差的性质,从而简化计算.

例16 袋中有n 张卡片,记号码为1,2,……n ,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号

码之和X 的数学期望及方差.

解 以i X 表示第i 次抽到卡片的号码则12k X X X X =++???,由于是有放回地抽取,所以各个独立,且

1{}1,2,1,2P X j i k j n n

==

=???=???

011(1)1

()22

n

i j n n n E X j n n =++=

?

=

?=

∑

2

2

1()1(1)(21)

6(1)(21)

6

n

i j E X j n

n n n n n n ==

?

++=?

++=

∑

由此得

2

2

2

2()()(())

(1)(21)

(1)64

1(1)

12i i i D X E X E X n n n n =-+++=-

=

-

因此

1()()(1)2

k

i i E X E X k n ==

=

+∑

2

1

()()(1)12

k

i i D X D X k n ==

=

+∑

技巧二 取有限n [10]

将n 取为有限个数,观察并总结规律，验证其适用于所有给定随机变量后，再运用这个规律求解.[11]

例17 从数字0,1,2,……n 中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

解 设X 为所选的两个数字之差的绝对值,则X 的所有可能取值为1,2,3,……n,于是

2

1

21

{1}{2}n n n P X C n P X C ++====

一般地

21

1{},1,2n n k P X k k n C

+-+==

=???

于是

12

1

1

2

1

(){}

12

((1))

(1)

23

n

k n

k n n

k E X kP X

k n k k C n k k

n n n ==+==

=-+=

=+-++=

∑∑

∑

技巧三 灵活运用公式[12]

将计算方差的公式进行改写：22()()()E X D X EX =+，这样就只要算出随机变

量X 的数学期望和方差，便可以求得2X 的数学期望.

例18 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射击中幕布奥的概率为0.4,求

2

X 的数学期望2

()E X .

解 由题意知,~(10,0.4)X B ,于是有

()100.44E X =?= ()100.40.6 2.4D X =??=

从而

2

2

()()()

2.41618.4

E X D X EX =+=+=

技巧四 利用幂级数的求和函数的方法求某些随机变量的期望和方差.

[13]

例19 对一批产品进行检验,如果检查到第0n 件时仍未发现不合格品,就认为这批产品合格,如果尚未抽到第0n 件时已查到不合格品,即停止继续检查,且认为这批产品不合格.设

产品数很大,可以认为每次检查到不合格品的概率都是p,问平均每批要检查多少件？

解 设每批要检查X 件,则X 的分布列为

（其中1q p =-,第0n 件可能是不合格品）. 因此

0000

01

101

1

0000()2()

(12)11(1(1))

n n

k n n k n n n n

E X p qp kq

p n pq q p q kq n q

n q

q n pq n q

p

p p

----=++???++???++=++???++???++--=+=--

说明 本题中的求和是这样得到的：设1()12n f x x nx -=++???+,则

20

()(1)1x n

n

f t dt x x x

x x x

=++???-=

-?

故

2

(1)()11(1)

(1)

n

n

n x x f x x

x nx x x -=

----=

-

再取x q =即可.

技巧五 灵活运用求和公式1

111k

k q q

∞

==

--∑和2

1

1(1)

k

k kq q ∞

==

-∑[14]

例20 设X 服从几何分布,它的分布律为1

{}(1),1,2k P X k p p k n -==-=???

求()E X 及()D X . 解：

1

1

1

1

2

()(1)

(1)

n

k k n k k E X kq

p q p p kq p q -=-==

=-==

-∑∑

2

2

1

1

21

1

3

2

()(1)

1(1)1n

k k k k E X k

q

p q p p k q q p

q q p

-=∞-==

=-=+=-+=∑∑

所以

2

2

2

2

2()()()

11D X E X E X q p p

q p

=-+=-

=

说明：在本题的求解过程中,使用了两个求和公式：12

1

1(1)

k k kq q ∞

-==

-∑和

21

3

1

1(1)

k k q k q

q ∞

-=+=

-∑

.他们只需分别在等式

1

111k

k q q

∞

==

--∑

和2

1

(1)

k

k q kq q ∞

==

-∑

的两边关于q 求导即得.

六、总结

求随机变量的期望和方差对我们解决实际问题有很深的意义，而它的计算方法又有很多，本论文着重总结了一些求期望和方差常用的方法和技巧，因此，掌握并能灵活运用这些方法对我们解决实际问题有很大的帮助。

参考文献

[1]魏宗舒,概率论与数理统计[M].高等教育出版社,2006,96~112.

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[3]同济大学数学教研室主编,概率论[M].高等教育出版社,1992,67~75.

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