浅谈求不定积分的第一换元积分法

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浅谈求不定积分的第一换元积分法

作者：杨付贵

来源：《科学与财富》2019年第13期

摘要：在微积分中，已知函数需要求它的导数或微分。而在实际应用中，大多数情况是

已知函数需要求它的积分，即微分法的逆运算——积分。由于在积分学中，不定积分是定积分、重积分、曲线积分和曲面积分的基础，因此，学好不定积分十分重要。然而，在学习不定积分过程中发现，不定积分不像求导数或微分那样直观和“有章可循”。不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。在教学中，如何采用简单可行的方法，本文根据自己多年来在教学和学习过程中经验和体会，对不定积分的第一换元积分法的解法首先做了简介，然后进行归纳和总结。为读者在学习不定积分的第一换元积分法时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。

关键词：不定积分；换元法；凑微分法。

不定积分的换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是什么时候使用第一换元法，什么情况下使用第二换元法，以及如何换元，通常情况下一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。由于不定积分的第一换元积分法（凑微分法）是不定积分学中的一类非常重要的、基本的计算积分的方法。也是不定积分中的一个重点和难点。学生们在学习（或复习）不定积分的第一换元法（凑微分法）法时，对其使用并不熟练，特别是对于普通高校文科的学生以及民办高校的学生，用第一换元法（凑微分法）解题的技巧表现得更生硬，他们不知道什么时候用不定积分的第一换元积分法（凑微分法），如何换元，以及怎样才能够更加熟悉，掌握，应用第一换元积分法。下面我结合自己近四十年，在各高校讲授高等数学的经验和体会，谈一下第一换元积分法（凑微分法）的基本思想，然后通过举例，详细介绍不定积分第一换元积分法的求解方法及使用要点与技巧。最后进行归纳，总结。仅供大学生学习不定积分的第一换元积分法（凑微分法）时参考。

一.第一换元法（凑微分法）的基本思想

第一换元积分法也称为凑微分法。它是求不定积分的一种非常重要的方法，对于给定的

直接积分比较困难，而积分较容易积分，使用第一换元法关键是想办法从被积表达式中凑出

一个积分变量，将所给积分变成一个外函数易积，内函数可微的积分，也就是说从被积函数分g（x）中分离出一个因子，即使和凑成某函数的微分，然后，令，则有

而积分或是基本积分表中的某一形式，或可以用其它积分法容易求得，最后再变量还原（当然，这里也可以不用引进中间变量u，而直接将

看成中间变量即可）。从而求得原不定积分。所以，第一换元积分法也称为凑微分法。

因此，要掌握第一换元积分法，就必须十分熟悉基本积分公式表，知道什么样的积分事基本积

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

不定积分换元法例题1

__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????

换元积分法第一类换元法

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

不定积分的第一换元积分法

不定积分的第一换元积分法不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。一、第一换元积分法运用的前提条件由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为 f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。二、第一换元积分法的基本解题思路首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。三、第一换元积分法的具体求解步骤被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。将题中的g(x)写成ku′(x)，即 ∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的公式求出积分： k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c 四、举例例1、∫x(1-3x2)10dx 解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10，其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫x(1-3x2)10dx =-■∫(1-3x2)10(-6xdx) =-■∫u10du =-■·■u10+1+C =-■u11+C=-■(1-3x2)11+C 例2、∫■dx 解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x 其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx =■dx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx =■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C 例3：∫tanxdx 解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。其中■是复合函数，中间变量u(x)=cosx，求中间变量的微分d(cosx)

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1若，且的原函数容易求出，记，则 . 证明若，令，于是有因而得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1求. 解因为即有一个原函数，所以例2 计算积分. 解由于于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且，（1）则（2）

证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得，这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是，定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3用第二换元法求解解令，则

定积分换元法与分部积分法习题

1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。【解法二】应用定积分换元法令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3 π单调变化到π时，u 从 23π单调变化到43π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111[]10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则1 5 dx du = ，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.

§4.2换元积分法(第一类换元法)

§ 换元积分法 Ⅰ 授课题目 § 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?

定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法定理假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续； (2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数； (3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?，则有 []dt t t f dx x f b a ?? '=β α ??)()()(． (1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ?=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算? -2 1 1 dx x x ．解令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时， 1=t ．于是 ??? ?? ? ??+-=?+=-1021022 1 1112211dt t tdt t t dx x x ??? ? ?-=-=412)a r c t a n (210 πt t ．例2 计算? -a dx x a 0 22)0(>a ．

解令t a x sin =，则t d t a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2 π = t ．故 ? -a dx x a 0 22dt t a t a ??=20 cos cos π dt t a )2cos 1(2 20 2 += ? π 20 2 2s i n 212π ??????+= t t a 4 2 a π= ．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算?20 5sin cos π xdx x ．解法一令x t cos =，则xdx dt sin -=．当0=x 时，1=t ；当2 π =x 时，0=t ，于是 6 1 6 1 sin cos 01 6 50120 5= -=-=?? t dt t xdx x π ．解法二也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即 x d x x d x x c o s c o s s i n c o s 20 5 20 5 ?? -=π π 61610cos 61206 =??? ? ?--=-=π x ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ?-π sin 1．解 dx x ? -π sin 1?-=π02 c o s 2s i n dx x x 注去绝对值时注意符号．

定积分换元法与分部积分法习题教学文稿

定积分换元法与分部积分法习题

1 ?计算下列定积分: ⑴ g 3)dx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式【解法二】化到 sin( x 3 )dx sin(x 3 3 [cos( 应用定积分换元法于是有 dx ； 2(11 5x)3；【解法一】应用牛顿 u，则dx du ， sin(x )dx 3 3 [cos 3 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)31 (1 1 2 【解法二】应用定积分换元法令11 5x u，变化到16,于是有 1 dx 3 2(11 5x) 3)d(x 3)cos(x 3) cos(—一)] [ cos 3 3 3 当x从3单调变化到 4 2 3sinudu 3 (cos3)] 3 5x) 3d(11 1^(11 5 1 1)2 cosu 4 3 2 3 5x) 1(11 2 (11 5 2)2] 则dx 1du， 5 (cos )] 。 3 2 时，u从3单调变 [cos4 3 cos2] 3 5x) 2 1( 12 1) 10 162 51 512 当x从2单调变化到1时，u从1单调 16 u 1 3du 1 5 2 16 1 1o（卡1）誥。

⑶ 0%in cos 1 2 3 d ；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 4 4 [cos cos 0] 4 2 【解法二】应用定积分换元法单调变化到0,于是有 ⑷ o (1 sin 3 )d ；由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对 sin 3 d 的积分, 这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 1 -cos 3 1] 令cos u ， sin du ，单调变化到 2时，u 从1 2 sin cos 3 :u 3du 0u 3 du (1 cos 2 )d cos 便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种: 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 0 (1 sin )d 1d °sin 2 sin d 0 o (1 cos 2 )d cos (cos (cos cos0) 1 (cos 3 3 cos 3 0) 【解法二】应用定积分换元法 1) 1(1 1) 2 ? 3 2 sin cos d 2 3 2 cos dcos 1 4 cos 4 【解】被积式为(1 sin 3 )d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、方法简介
设 f (x) 具有原函数 F(u) ，即 F'(u) f (u) ， f (u)du F(u) C ，如果U 是
中间变量， u (x) ，且设(x) 可微，那么根据复合函数微分法，有
dF[(x)] f [(x)]'(x)dx 从而根据不定积分的定义得
则有定理：
f [(x)]'(x)dx F[(x)] C [ f (u)du]u(x) .
设 f (u) 具有原函数， u (x) 可导，则有换元公式
f [(x)]'(x)dx [ f (u)du]u(x)
由此定理可见，虽然
f
[ ( x)] ' ( x)dx
是一个整体的记号，但如用导数记号
dy dx
中的 dx 及 dy 可看作微分，被积表达式中的 dx 也可当做变量 x 的微分来对待，从
而微分等式'(x)dx du 可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式：
○1
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d (ax
b)
(a 0) ；
○2 f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x ， f (cosx)sin xdx f (cosx)d cosx ，
f
(tan x)
dx cos2
x
f
(tan x)d
tan
x，
f
(c ot x)
dx sin 2
x
f
(c ot x)d
cot x ；
○3
f
(ln
x)
1 x
dx
f
(ln
x)d
ln
x，
f
(ex )exdx
f
(ex )dex
；
○ 4
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn (n 0) ， n
f
(1) x
dx x2
f (1)d(1) xx
，
f(
x)
dx x
2
f
(
x )d (
x)；
○5 f (arcsin x)
dx 1 x2
f (arcsin x)d arcsin x ；

不定积分换元法例题

用换元法求不定积分

用换元法求不定积分()f x dx ? 一、用第一类换元法 1、1()()()f ax b dx f ax b ax b dx a '+=++?? 1 ()f u du a u ax b =+? 例如 2、2221()()()2xf ax b dx f ax b ax b dx a '+=++?? 21 () 2f u du a u ax b =+? 例如 111()()()()n n n n n x f ax b dx f ax b a u x b dx f u du na na ax b -'+=++=+??? 3、sin (cos )(cos )(cos )xf x dx f x x dx '=-?? (os )c f u du u x -=? 例如 sin cos x e xdx ? cos (sin )(sin )(sin )xf x dx f x x dx '=?? sin ()f u u u x d =? 例如 ()32cos 1sin cos xdx x xdx =-?? 4、1()()()x x x x e f ae b dx f ae b ae b dx a '+=++? ? 1 ()x u ae f u a b du =+? 例如 e ? (ln )1(ln )(ln )f a x b dx f a x b a x b dx x a +'=++?? 1 ln ()f u du a u a x b =+? 例如 ()12ln 3dx x x +? 5、2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x x dx x '=+? ? arct an ()u f u u x d =? 2(arccot )(arccot )(arccot )1f x dx f x x dx x '=-+?? arc cot ()u f u du x =-? (arcsin )(arcsin )f x x dx '=?

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知 f(u)du F(u) C 【求不定积分 g (x)dx 的第一换元法的具体步骤如下：】 (1) 变换被积函数的积分形式： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx (2) 凑微分： g(x)dx f( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) (3) 作变量代换 u (x)得： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du (4) 利用基本积分公式 f(u)du F(u) C 求出原函数： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) C (5) 将u (x)代入上面的结果，回到原来的积分变量 x 得： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du F(u) C F ( (x)) C 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量 u (x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 , , sin x , sin xdx d cosx 3(1) tan xdx ------------- dx ------------- -------------- (5x 7)9d (5x 7) 1 1 (5x 5 10 7)10 C — (5x 7)10 50 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, dx 1 gd(5x 7) 2、 ln x , —dx x In x d In x .1 .. ln x — dx ln x x 1 2 2 (ln x) d In x 1 2 - ^(lnx) C 1 【汪】(lnx)'- x d(ln x) 1dx, x 1dx x d(ln x) cosx cosx cosx cosx 求 g(x)dx f( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) F( (x)) C 【凑微分】 C 【做变换，令u 【变量还原，u (x),再积分】 (x)】 d cosx

浅谈求不定积分的第一换元积分法

换元积分法(第一类换元法)

不定积分换元法例题1

换元积分法第一类换元法

不定积分的第一换元积分法

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

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