高考数学公式大全

1. 集合

包含关系

A B A A B B =?=B A ??

集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1

个；非空的真子集有2n –2个.

二次函数，二次方程

方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

闭区间上函数的最值 只能在0)(='x f 处及区间的两端点处取得。

二次函数0)(2

>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件

是 ?

??<->040

2ac b a .

2. 简易逻辑

真值表

ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

常见结论的否定形式

原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或q

p ?且q ? 对任何x ， 不成立

存在某x ， 成立 p 且q

p ?或q ?

P ?

:否定一个含有量词(?或?)的命题,不但要改变量词(?改为?)，

还要对量词后面的命题加以否定，但作用范围不变。

3. 函数

函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>-- 上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

.

两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)函数)(a mx f +与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=

对称. ()()f a mx f b mx ?+=-

()()f a b mx f mx ?+-=

(3)函数)(x f y =和)(1

x f y -=的图象关于直线y=x 对称.

若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

对数的换底公式

log log log m a m N N a =

. 推论 log log m n

a a n

b b m

=.

对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈.

设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的定义域为R ,

则0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验.

4. 数列

等差数列的通项公式11(1)()

n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)

2

n n na d -=+. 等比数列的通项公式1

11()n n

n a

a a q q n N q

-==?∈；

其前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

分期付款(按揭贷款)

每次还款(1)(1)1

n

n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).

数列的通项公式与前n 项的和的关系

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?

5. 三角函数

常见三角不等式

（1）若(0,

)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2

x π

∈，则1sin cos 2x x <+≤. (3) |sin ||cos |1x x +≥.

同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin ，tan 1cot θθ?=. 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=.

sin cos a b αα+=

22sin()a b α?++(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b

a

?= ).

二倍角公式

sin 2sin cos ααα

=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-.

2

2tan tan 21tan α

αα

=- 三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+的周期2T π

ω

=

；函数

tan()y x ω?=+的周期T πω

=

. 正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C ===. 余弦定理 222

2cos a b c bc A =+-;

面积定理

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==

6. 向量.

a 与

b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.

向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b(b ≠0)12210x y x y ?-= a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 线段的定比分公式

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则

12

1211x x x y y y λλ

λλ

+?=??+?+?=?+?

?1

21OP OP OP λλ+=+ ?12

(1)OP tOP t OP =+-（1

1t λ=+）. 三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ?的外心（中垂线）2

2

2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心（中线）0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心（高）OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心（角平分线）0aOA bOB cOC ?++=.

7. 不等式

常用不等式：

（1）,a b R ∈?2

2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈?

2

a b

ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）柯西不等式 ))(()(2

221222122211b b a a b a b a ++≤+，(当且仅当i i b a λ=时取“=”

号)．

（4）b a b a b a +≤+≤-.

8. 直线方程

两条直线的平行和垂直 ①121212||,l l k k b b ?=≠;

②12121l l k k ⊥?=-.

两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=；即：12l l ⊥?12120A A B B += 点到直线的距离

002

2

d A B

=

+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

圆

直线的参数方程?

??+=+=αα

sin cos 00t y y t x x . （t 为参数）

圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+??=+?. （θ为参数）

椭圆

椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

.（θ为参数）

焦点三角形：P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，则三角形12PF F 的面积

S=2

12tan ;2PF F b ∠?特别地，若12,PF PF ⊥此三角形面积为2b ；

在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上存在点P ，使12PF PF ⊥的条件是c≥b,即椭圆的离

心率e 的范围是2

[,1)2

； 双曲线

双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与122

22=-b

y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴

上，0<λ，焦点在y 轴上）.

焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值）

9. 抛物线 焦点与准线

22(0),(,0),;

44(0),(),;

44

a a

y ax a x a a

ay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y 焦半径公式

抛物线2

2(0)y px p =>，C 00(,)x y 为抛物线上一点，焦半径02

p

CF x =+. 过抛物线px y 22

=（p>0)的焦点

F 的直线与抛物线相交于

2

11221212(,)(,),,4,

1

(4

A x y

B x y y y p x x p O =-=OA OB 则有即k .K =-为原点) 4,4/2

21-=?=?OB OA K k p x x 即。

直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co αα=+-=-+=-+ 比如在椭圆中：

112222

112222

222222

012122

212120

(,),(,),M(0,0),:

1(1)1(2)(1)(2)()()A x y B x y x y x y a b x y a b

x y y x x b b x x y y a y a +=+=-+-?=?-=?---中点则有

（1）-（2）)(2

20

02121a

b y x x x y y k -?=--=

10. 立体几何

直线的方向向量为a ,直线与平面所成的角为θ,平面的法向量为u ，直线与平面法向量的夹角为φ,则 u

a u a ??=

=φθcos sin

二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。 异面直线间的距离

||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

.点B 到平面α的距离 ||

||

AB n d n ?=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.

面积射影定理 'cos S S θ

=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'

S ，它们所

在平面所成锐二面角的为θ). 球的半径是R ，则其体积3

43

V R π=

,其表面积24S R π=． 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64

a . 柱体、锥体的体积

1

3V Sh =柱体Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

组合数公式

m n

C =m n m m

A A =m m n n n ???+-- 21)

1()1(=！！！)(m n m n -?.

二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b

C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式

r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.

11. 统计与概率

n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率

()(1).k k

n k n n P k C P P -=-

离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=;

（2）121P P ++

=.

数学期望 1122n n E x P x P x P ξ=++++

数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 方差

()()()22

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

标准差 σξ=ξD .

方差的性质 (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 正态分布密度函数

()()()2

2

261

,,26

x f x e x μπ--

=

∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示

个体的平均数与标准差.

标准正态分布密度函数()()2

21

,,26

x f x e x π-=∈-∞+∞.

对于2(,)N μσ，6826.0)(=+≤<-σμσμX P .

9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，9974.0)33(=+≤<-σμσμX P

回归直线方程

y a bx =+，其中()()()1122211n n

i i i i i i n n

i

i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?

--??

=-?∑∑∑∑. 点),(y x P 在回归直线上。

不能期望回归方程得到y 的预报值就是预报变量y 的精确值。

相关系数 |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。|r|75.0≥时认为两变量有很强的线性关系。

列联表独立性分析 2

1212

211222112

)(++++-=n n n n n n n n n χ

01.0)635.6(2≈≥χP （99％的把握） 05.0)841.3(2≈≥χP （95％的把握）

12. 导数

几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.

(2) '1

()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x

x

a log 1)(log ='. (6) x

x e e =')(; a a a x

x

ln )(='.

导数的运算法则（1）'''

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. .复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''

()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =?，或写作

'''(())()()x f x f u x ??=.

.判别)(0x f 是极大（小）值的方法 当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.

13. 复数

复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +22a b +