多自由度系统的固有特性
多自由度系统的振动
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
振动知识点总结
振动知识点总结一、振动的基本概念振动是指物体或系统在围绕某一平衡位置或状态发生往复移动的现象。
振动是一种常见的物理现象，几乎存在于自然界的各个领域，比如机械系统、电气系统、声学系统、光学系统等。
振动的基本特征包括振幅、周期、频率、相位等。
1. 振幅（Amplitude）是指在振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，通常用A表示。
振幅越大，振动的幅度越大。
2. 周期（Period）是指振动完成一个完整的往复运动所需的时间，通常用T表示。
周期与频率有倒数关系，即T=1/f。
3. 频率（Frequency）是指单位时间内振动完成的往复运动次数，通常用f表示。
频率与周期有倒数关系，即f=1/T。
4. 相位（Phase）是指在振动过程中某一时刻相对于参考位置的偏移角度。
相位可以用角度或弧度表示。
振动的种类有很多，基本可以分为自由振动、受迫振动和阻尼振动。
二、自由振动自由振动是指物体在不受外力作用的情况下，由于初位移或初速度引起的振动。
自由振动的特点是振幅大小不受外界影响，周期和频率由系统固有的物理参数决定。
自由振动的系统通常可以用简谐振动模型描述。
1. 简谐振动简谐振动是指物体沿着直线或围绕平衡位置作简谐往复运动的现象。
简谐振动的特点包括振动物体的加速度与位移成正比，加速度与位移的方向相反，振动物体的速度与位移成正弦关系。
简谐振动的运动方程可以用以下公式表示：x(t) = A*cos(ωt+φ)其中，x(t)表示位移与时间的函数关系，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示初始相位。
2. 振幅与能量在简谐振动中，振幅和能量之间存在一定的关系。
振动系统的总能量等于势能和动能之和，在振动过程中，势能和动能不断转化，但总能量保持不变。
振动系统的总能量与振幅的平方成正比，即E=1/2*k*A^2，其中E表示总能量，k表示振动系统的刚度，A表示振幅。
3. 振动的衰减在现实中，自由振动的系统往往受到阻尼和摩擦的影响，导致振动幅度逐渐减小。
机械振动复习提纲
1、组成振动系统的三个基本元件：质量、弹簧、阻尼。
振动现象（简谐运动）三要素：振幅、频率、初相位。
其中强调频率为0并不代表振动函数为0，只是表示其未振动，没有振荡特性，图线是一根直线而已。
(P9)2、振动问题分类：已知系统模型、外载荷、求系统响应，称为响应计算或正问题;已知外载荷响应，求系统特性，称为系统识别或参数识别，也称为第一类逆问题；已知系统特性响应求载荷称为载荷识别，也称为第二类逆问题。
（P3-P4）3、单（多）自由度线性振动系统运动方程由二阶常系数微分方程（组）表示，且自由振动问题由齐次方程表示，受迫振动问题的运动方程为非齐次方程。
（P8）4、弹簧刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需要施加的力。
在振动系统中通常假定弹簧质量为0；线性振动（微幅振动）的范围内，通常认为弹簧总在线性变形的范围内；两弹簧串联后等效弹簧刚度如何计算？并联？（P12）对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是：使弹簧产生单位角位移所需要施加的力矩。
（P14）5、粘性阻尼系数的特点：阻尼器产生的阻尼力与阻尼器两端的相对速度成正比。
（P32-34)6、什么是二阶线性常系数齐次微分方程的通解？非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。
（P20）7、求解无阻尼单自由度系统的自由振动响应，就是确定求系统在给定的初始位移、初始速度下，系统运动方程的一个特解和通解的系数。
8、无阻尼单自由度系统的固有频率，仅取决于系统的刚度、质量，而与系统初始条件、所受外激励无关，是系统的固有属性。
系统的质量越小，刚度越大，固有频率越高。
要求掌握弧度制单位和频率之间的换算关系。
（P10）9、简谐运动的位移、速度、加速度间的关系，速度位移间的相位差为90度，加速度和位移之间的相位差为180度。
其物理意义？（P10）10、两频率不同的简谐振动合成，若两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；若为无理数，合成振动为非周期振动。
多自由度系统近似计算方法
在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。
本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。
1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。
自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。
位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
汽车振动与噪声控制1概述答案
噪声可使机械设备、建筑等产生声疲劳。
2020/5/3
13
1，声与噪声
噪声污染是工业化所带来的直接后果，随工业发展进程 的加快，噪声污染所涉及的范围仍不断扩大，同时随着生 活水平的提高，对环境的要求越来越高，所以为噪声的控 制提出了更高的要求。
庞剑等，汽车噪声与振动－理论与应用，北京理工大 学出版社，2006
赵玫等，机械振动与噪声学，科学出版社，2004
马大猷，噪声控制学，科学出版社，1987
马大猷，噪声与振动控制工程手册，机械工业出版社，
2002
2020/5/3
2
专题书籍有：
王治国，MSC.ACTRAN工程声学有限元分析理论与应 用，国防工业出版社，2007
为什么振动会对人体造成危害？
2020/5/3
26
2，振动
人体是一个复杂的系统，该系统包含着若干线性 和非线性部件，人与人在身高、体重、骨骼、肌肉等 方面有很大差别，所以各部件的性能也各不相同。但 各部件有各自的固有频率，当激振的频率与固有频率 相近时发生共振，这将使人很不舒服，甚至会使身体 受到伤害。
汽车噪声分析与控制202038朱孟华内燃机振动与噪声控制国防工业出版社1995靳晓雄汽车噪声的预测与控制同济大学出版社2004庞剑等汽车噪声与振动理论与应用北京理工大学出版社2006马大猷噪声与振动控制工程手册机械工业出版社2002202038王治国mscactran工程声学有限元分析理论与应用国防工业出版社2007周广林扫描声强测量技术哈尔滨工程大学出版社2007蒋孝煜连小珉声强技术及其在汽车工程中的应用清华大学出版社2001张绍栋熊文波噪声与振动测量技术杭州爱华仪器有限公司2005日计量管理协会噪声与振动测量中国计量出版社1990周新祥噪声控制技术及其新进展冶金工业出版社2007202038噪声控制的声学基础
车辆动力总成悬置系统振动耦合及解耦理论详解
动力总成悬置系统振动耦合及解耦理论详解动力总成悬置系统作为汽车振动系统的一个重要子系统，其振动的传递特性对汽车的NVH性能有很大影响。
多自由度振动中的耦合振动扩大了引起共振的频率范围，增加了振动的响应方向，不利于控制系统的振动,因此谈到悬置系统设计都绕不过解耦的问题，这篇文章就来详细介绍一下这两个概念。
耦合是指两个振动模态在某一振动模态下（或在某一广义坐标方向上）的振动输入，导致另一振动模态下（或另一广义坐标方向上）的响应。
使耦合分离称为解耦。
解耦的目的是使各个自由度上（即各振动模态）的振动相对独立或分离，这样可对隔振效果不佳的自由度独立采取措施而不影响其他自由度方向上的有关性能。
当各自由度独立后，可能产生共振的频率比存在耦合时要小，特别在激振能量大的方向上要保证解耦。
振动耦合不利于隔振，因为两个耦合振动的模态可能产生相互激励，导致振动放大，并使某些自由度的振动频带变宽，从而使隔振性能下降。
例如四缸发动机在怠速工况下产生的扭矩波动可能同时激起动力总成俯仰(Pitch)和垂向（Z）振动，这将导致车身振动增加，并且俯仰(Pitch)运动(Pitch)又可能和其它刚体运动模态相互耦合，从而引发车身振动变形，造成整车噪声增大、舒适性变差、零部件早期损坏等现象。
对于动力总成悬置系统来说，耦合振动可以在多个自由度之间发生，如果在合理的位置和方向上布置动力总成悬置以及设计合适的悬置系统的刚度可以减小或消除耦合振动。
悬置系统能量法解耦分析理论1、动力总成悬置系统坐标系统如图1所示，把发动机动力总成视为一个具有六自由度的刚体，它通过悬置支撑在车架上，悬置被视为具有三向刚度的弹性阻尼组件。
图1 动力总成悬置系统动力学模型图2为悬置件简化模型，一般可将悬置件简化为三个沿主轴方向的弹簧-阻尼系统，并且每一主轴与动坐标轴之间存在图中所列的夹角关系。
图2 悬置动力学模型2、动力总成悬置系统动力学方程根据自由振动的Lagrange方程：(1)式中T为系统动能;V为系统势能;qj为系统的广义坐标。
第六章多自由度系统的自由振动(2011版)
135第六章 多自由度系统的振动（一）6.1 引言所谓多自由度系统．．．．．．是指有限个多自由度的系统，它包括前述2自由度系统，但不包括后面要讲的弹性体（或称分布参数系统）。
后者属于无限多个自由度的系统。
实际的工程结构都是弹性体结构，但通过适当的抽象化，往往可以归结为多自由度系统。
所以说，多自由度系统振动的理论是解决工程振动问题的基础。
1自由度系统与多自由度系统总称集中参数系统．．．．．．，因为它们都是用集中参数模型从实际工程结构简化而来的。
一般来说，一个n 自由度的系统，它的运动可以用n 个独立坐标来描述。
这时，系统的运动规律通常由n 个二阶常数微分方程来确定。
2自由度振系的分析与多自由度振系的分析，二者不存在本质的区别；但随着系统自由度的增加，计算工作大为复杂化；因此，必须采用与之相适应的数学工具，由于矩阵一方面可以为多变量问题提供简洁的表式，这种表式可以鲜明的显示出振动系统的基本特征；另一方面矩阵还可以为解题提供系统而规则的算法；所以，矩阵自然就成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。
对于大型复杂的工程系统，例如飞机与船体结构、坝体与高楼大厦等等，在细致的振动分析中往往需要归结为上百个自由度的振动系统。
对于这类系统的分析，必须求助计算机。
以矩阵与有限元法为基础的、振动问题的矩阵计算机解法已发展成一种通用的工程分析方法。
本书所阐述的机械振动的一般规律为它提供必要的振动理论基础。
本章限于论述多自由度系统振动的基本理论。
第2—9节讨论系统的自由振动，目的在于阐明固有频．．．率与主振型的理论．．．．．．．．。
第10—14节讨论系统的强迫振动，重点在于介绍主坐标分析法．．．．．．（亦称主振型叠加法．．．．．．或模态分析法．．．．．．）。
6.2自由振动举例本节通过3自由度振系的实例分析，说明前述2自由度振系的理论可推广应用于多自由度振系，并由此引出相应的矩阵表式。
试考察图6.2-1所示3自由度系统的自由振动。
两自由度振动系统
2.2 主振型
对应固有频率时的 x1，x2 的振幅之间有两个确定的比值，这个比值称为振幅比。振动 过程中， 系统各点的位移的相对比值都可以由振幅比确定， 振幅比决定了整个系统的振动形 态。 振幅比就称为系统的主振型。 第一主频率对应第一主振型； 第二主频率对应第二主振型。 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型做振动时，即成为系统的主振动。 主振型和固有频率只取决于系统的固有性质，与初始条件无关。
K1
K1x1
m1 x1
m1
系统的两个分振动的频率不一定是有理数， 合成的振动不一定呈周期性， 一般是非周期的复 杂运动或似周期运动。
2. 固有频率与主振型
2.1 固有频率
两自由度系统的固有频率有两个
2 wn 1,2 =
a+c a−c 2 ∓ （ ） + bc 2 2
将小的那一个固有频率称为第一主频率或第一阶固有频率， 第二个称为第二主频率或第二阶 固有频率。
两自由度系统振动
两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振 动系统。
两自由度系统的自由振动 1. 系统运动微分方程
m1 x1 + k1 x1 − k 2 x2 − x1 = 0 m2 x2 + k 2 x2 − x1 = 0 令 a=(k1+k2)/m1;b=k2/m1;c=k2/m2 简化为， x1 + ax1 − bx2 = 0 x2 − cx1 + cx2 = 0 K2(x2-x1) K2(x2-x1) x2 m2 m2
2.3 振动分析
求出两个质量块的振动后，可知2 小于零， 1 大于零，第一主振动中两个支点的相位 相同，即若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同向运动，同时经过平衡位 置同时达到最大偏离位置。 若系统以第二主振型进行振动， 两个质点就同时向相反的方向运 动，当质量 1 达到最低位置，质量 2 就达到最高位置。所以，他们一会分离一会相向运动， 这样在联系质量 1 和质量 2 之间的弹簧上就会出现一个点， 它在整个第二主振动的任意一瞬 间的位置都不改变，称为节点。由于节点的存在就限制了振幅的增大。
第二章 多自由度模态分析理论ppt课件
H lp()H lR p()jH lIp()
（2—47）
式中
H
R lp
(
)
及
H
I lp
(
)
分别为频响函数的实部与虚部。
H lR p()rN 1K 1er(1r2)12 (r2 2rr)2 （2—48）
H lIp()rN 1K 1er(1r2 )2 2r( 2rrr)2
（2—49）
下面不讲
由复模态提取实模态
对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的 自由系统则是半正定的。当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵 C对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的 自由系统则是半正定的。
.
X 及 F 分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均
为 N 1 阶矩阵。即
x1
X
x2 M
x N N 1
r 1
l 式中 l r 为第 个测点、第 r 阶模态的振型系数。
由N个测点的振型系数所组成的列向量为
1
r
2 M
N r
.
（2—10）
2.3多自由度系统模态分析 在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态 正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。这里我们 要讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系， 即频响函数的各种表达式。
力，在 l 点产生的复响应。由此可见，频响函数
H lp ( ) 与激励力的大小无关。
我们可对上式稍作变换，可得
Hlp()rN 1Ker[1r21 )j2rr （2—38）
式中
K er
Kr
lr pr
（2—39）
称
K
为等效刚度。它与测量点和激励力有关。与模态
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多自由度系统的固有特性
第一步 写出运动微分方程
多自由度系统的固有特性
第二步 求出质量矩阵和刚度矩阵
整理得：
多自由度系统的固有特性
特征方程为：
化简得： 解得：
多自由度系统的固有特性
展开成方程组：
{
}
多自由度系统的固有特性
第六步 写出固有频率所对应的主振型
从主振型的示意图可看出，第2阶主振型有1个节点，第3 阶主振型有两个节点，反映了第r阶主振型有r-1个节点的 正确性。
振动理论已经证明，多自由度系统的第r阶主振型一般有r-1个 节点。这就是说，高一阶的主振型比前一阶的主振型多一个节点 。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增 大。相反，低阶的主振动由于节点数，振动容易被激起。所以， 在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。
关于多自由度系统主振型一些结论
多自由度系统的固有特性
固有频率：
这是一个二阶齐次线性矩阵微分方程，故设方程的解为：
多自由度系统的固有特性
将上式分别求一阶和二阶导数，代如微分方程式，化简得： 要使{A}有非零解，则上式{A}中的系数行列式必须为零： 其行列式形式为：
上面两个式子都称为系统的特征方程或频率方程
多自由度系统的固有特性
(3-54)
将（3-25）-（3-54）得：
(3-55)
将（3-56）代回（3-52）得：
(3-56) (3-57)
多自由度系统的固有特性
正交性的物理意义 双自由度系统的正交性，几何意义是指两个主振动方向相互垂
直，而在多自由度系统中，这种几何意义并不不明显，但是它的 物理意义比较明显。
主振型正交性的物理意义就是：每一个主振动相当于一个独 立的单自由度系统，各阶主振动之间的能量不能传递，彼此式独 立的。
1.主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性质，而与 初始条件无关 2.系统主振型的个数与固有频率个数相同，并且一一对应。 3.任意两个主振型分别对质量矩阵和刚度矩阵正交。
多自由度系统的固有特性
主振型的正交性
(3-50) (3-51)
(3-52) (3-53)
多自由度系统的固有特性
刚度矩阵和质量矩阵均为对称阵，所以将（3-35）转置得：
多自由度系统的固有特性
主振型
{
多自由度系统的固有特性
多自由度系统的固有特性
归一化
多自由度系统的固有特性
所以，我们把由这n个具有确定相对比值的振幅所组成的 列阵，称为系统的第r阶主振型，即：
第一阶
第二阶
第n阶
…多自由度ຫໍສະໝຸດ 统的固有特性节点节点为振型中位移为零的点，在多自由度系统的高阶主振型中 存在节点，而在第一节主振型中却不存在节点。