ch2-1 数列极限概念

对于点a任给的邻域(a-, a), •总存在 NN, 当n≤N时, 点xn可能有落在邻域(a-, a)外；
•但当n>N时, 点xn必 全都落在邻域(a-, a)内
a-
n
(
a
) a
从 几 何 意 义 上 看 ， x n a 意 味 着 ： 0, N N 当 n N 时 ， lim 相 应 的 项 x n 都 落 在 邻 域 U ( a ; )内 ； 而 在 U ( a ; ) 之 外 ， 数 列 { x n }中 的 项 最 多 有 有 限 个 (N 个 ).
n
证: (1) 当 a = 1时, 结论显然成立. (2) 当 a > 1时, 令 n a 1 n ( n 0 ), 从而
a (1 n ) 1 C n n C n n C n n
n 1 2 2 n n
> 1+ nn
所以
n
n

- 0 ,只 要
， 即 n
1
1
.
1 则 当 n N时 ， 就 有 n N 1 1
1 1 1 1 , 或 n ,即 - 0 . 1 n

1 取N 1
N ,
n
说明:常数列的极限就等于这一常数.
n
lim x n a 0, NN
n
,
当nN时, |xn-a| .
例4 证 明 lim q n 0, 这 里 | q | 1 .
证明 若 q 0, 则 由 上 例 可 知 ， 结 论 成 立 .
现 设 0 | q | 1 .令 h 1 |q|
25
n
lim x n a 0, NN
,
当nN时, |xn-a| .
n
例3 证
设 x n C ( C 为常数 ), 证明 lim x n C .
任给 0 , 对于一切自然数
n,
xn - C C - C
0 成立 ,
所以,
lim x n C .
因 此 ， 由 B ern o u lli 不 等 式 可 得 ， | q - 0 | | q |
n n
- 1, 则 h 0 .
1 (1 h )
n

1 1 nh

1 nh
.
所 以 ， 0, 要 使 | q - 0 | , 只 要
n
1 nh
， 即 n
1
h
.
n
取N
1
h
0, 则 当 n N 时 ， 就 有 | q - 0 | . 故 lim q 0 .
n
n
例5 证:
证 明 lim
n a
2
2
n
1 . 其 中 a为 常 数 .
n a
2 2
n
-1 n a -n
2 2
由于

| x n - 1 |
n
n
2
a
2
2
3、 下 结 论 ：
则 当 n N 时 ， x n - a | . |
所 以 由 “ - N” 定 义 知
lim x n a .
n
n
lim x n a 0, NN,
n
当nN时, a- xna+.
数列极限 lim
xn a
的几何意义
n( n a
2
n)

a
.
a
2
n
, 即n a
2
所以 >0, 要使 | xn - 1 | < , 只须
取正数N
n a
2 2
n

.
a
2

,
则当 n > N 时,有
故 lim n a
2 2
-1 ,
n
n
1.
n
例6 证 明 lim n a 1 . 其 中 a 0 为 常 数 .
n
lim xn a 或 xn a (n).
如果数列{xn}没有极限, 则称{xn}不收敛.
或说数列{xn }是发散的, 习惯上也说 lim x n 不存在.
•定义1常称为数列极限的-N 定义,简化如下： lim x n a 0, NN, 当nN时, |xn-a| .
a 1.
( a 0 ).
用 “ - N ” 定 义 , 证 明 “ lim x n a” 的 一 般 方 法 ：
n
1、 把 | x n - a | 适 当 运 算 或 放 大 ：
M 因 为 | x n - a | （ 其 中 M 0, 0, n N 0 ). n
a -1 n
.
因此
n
a -1 n
a -1 n
,
故 >0,
只须 a -1 n ,
要使
n
a -1 ,
a -1
即n

即可 .
取正数N
a -1

n
,则 当 n N时,就 有
n
a -1 .
故
lim
n
a 1
( 其 中 a 1).
(3) 当0 < a < 1时,
一般地，我们有下面的概念：
数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn} 收敛于a, 记为 lim xn a .
n
例如
nn lim 1 , lim 1 0 , 1, lim n n 1 n n 1 n 2n n n
1、 具 有 任 意 性 ： 有 不 论 多 么 小 的 含 义 ， 正 是 如 此 ， 不 等 式 | x n - a | 才 能 刻 画 出 x n 无 限 接 近 于 a的 意 思 .
由 于 的 任 意 性 ， 所 以 根 据 需 要 可 用 | x n - a | 可 用 | x n - a | 来 代 替 .
( - 1) n
n-1
观察数列
{1
} 当 n 时的变化趋势
.
播放
通过上面演示实验的观察，可以看到:
n -1 n -1 ( - 1) ( - 1) 当 n 无 限 增 大 时 , 数 列 1 的 通 项 xn 1 n n
无 限 接 近 于 1.
n -1 ( - 1) 我 们 称 数 1 为 数 列 1 的 极 限. n
n
n
n
lim x n a 0, NN,
当nN时, |xn-a| .
下面给出几个用数列极限的 - N定义证明极限的例子。
例1
证明
证 明 lim
由于
1 n

n
0， 这 里 为 正 数 .
1 n

1 n

-0
1
,
1 n

故 0, 要 使
则
1 a
1, 由 ( 2 ) 知 lim
n
1 a
n
1.
因此 >0, N>0, 当n>N时, 有
n
1 a
n
-1 .
即
a -1
n
1
n
a
< . (因 0 < a < 1)
(0 a 1).
lim
n
n
a 1.
综上可得 lim
n
n
33
反 之 ， 若 对 于 任 给 0 , 在 U ( a ; ) 之 外 ， 数 列 { x n }中 的 项 只 有 限 个 ,设 这 有 限 个 项 的 最 大 下 标 为 N， 则 当 n N时 有 x n U ( a ; ), 即 当 n N 时 有 | x n - a | ， 所 以 lim x n a .
n (-(-1-1 -1 n 1)n )n lim lim 1 . . 1 n n nn
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它呢？或者说，如何用不等式刻划它 呢？
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则称数列{xn}收敛于a. •分析 当n无限增大时,xn无限接近于a . 当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于任意给定的 任意小的正数. >0(不论它多么小),NN, 当nN时, 有|xn-a| .
综 合 上 述 分 析 ， 即 可 给 出 数 列 { x n }收 敛 于 a的 精 确 定 义 ：
数列极限的精确定义
定义1 设{xn}为一数列, a为一常数,如果对于任意给 定的正数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn-a |< 总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
9 n
3)
9
9 n
(当 n 3时 ),
故 0, 要 使
3n
2
n -3
- 3 ,只 要
,即 n

.
2
取 N m a x {3, [ ]} , 则 当 n N 时 ， 就 有
9
3n
2

n -3
- 3 .
因此， lim
3n
2
2
n