大学生数学建模竞赛全国一等奖获奖论文——相机定位

1 数码相机定位 摘要 本文是双目定位的具体模型和方法进行了研究，分别给出了针孔线性模型、椭圆线性回归模型、RAC模型等并对其进行研究。 对于问题一，在针孔线性模型的基础上，通过对数码相机内外部参数的标定，确定靶标到靶标像的坐标转化关系，建立其坐标转换模型。 对于问题二，利用图像处理所得的像素模拟图表确定20组特征点的坐标在世界坐标系和图像坐标系的坐标，代入上述转换关系来确定系数矩阵M，进而求得圆心在像平面的像坐标，然后利用畸变校正模型对结果进行校正。结果为 左上圆（119.0938，69.6890）、中间圆(155.7689,72.4757) 右上圆(234.6404,78.4603)、左下圆(105.4604,185.3796) 右下圆(214.5271,184.9706)。 对于问题三，建立椭圆线性回归模型对靶标的像进行拟合，得到的图像中心坐标即为圆心在像平面的像坐标。结果分析还表明该方法的精度和稳定性都比较好。结果如下： 左上圆（120.0039，69.2536）、中间圆(155.1462,73.0654) 右上圆(236.2001,77.8279)、左下圆(103.4572,182.3599) 右下圆(216.8469,179.6788)。 模型三与模型一的结果相差最大为2.945%。很好地验证了模型一的结果的准确性 对于问题四，利用RAC模型，确定出单个相机的外部参数，得出其旋转矩阵和平移向量，即完成单个相机的定标，然后利用其几何转化由相机各自的旋转矩阵和平移向量求解出两个相机的相对位置。

关键词：针孔线性模型 像素模拟图表 畸变校正 曲线拟合 RAC模型 2

一．问题的重述与分析 已知：一靶标和用一位置固定的数码相机摄的它的像，如题目中图3所示。其中靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如题目中图1.1所示。

图1.1 求解：

（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面； （2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768； （3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

问题分析： 空间物体表面某点的3维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系,是由摄像机成像的几何模型决定的。这些几何模型参数就是摄像机参数。在计算机视觉应用中,比如从计算机图像坐标中导出3维信息( 2D→3D)和由已知3维信息导出2维计算机图像坐标( 3D→2D)等,摄像机参数起着重要作用。 问题一：本题中属于已知3维信息导出2维计算机图像坐标( 3D→2D)的情形。一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时，传统标定方法为首选。传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法，求取摄像机模型的内部参数和外部参数（分为最优化算法的标定方法、利用摄像机透视变换矩阵的标定方法、进一步考虑畸变补偿的两步法和采用更为合理的摄像机模型的双平面标定法）。 3

我们采用摄像机的线性模型，是指经典的小孔模型。 首先通过直接线性定标(DLT)，以最基本的针孔成像模型为研究对象，忽略具体的中间成像过程，用一个3×4 阶矩阵建立起空间物点与二维像点的直接对应关系。 然后，选取特征点的坐标，利用特征点的坐标的对应关系，求解出摄像机内外参数，进而求出靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。 之后，对求取的误差较大的坐标建立畸变补偿模型，进行误差修正。 问题二：利用第一问的模型，对由图2、图3分别给出的靶标及其像，带入已知量，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 问题三：对靶标的像，通过二值化和边界拟合,得知圆或椭圆的方程,进而获取圆或椭圆的几何中心，和问题二的求解结果做对比，来验证模型一的准确性，并对方法的精度和稳定性进行讨论。

问题四：求解双相机的外部参数，确定两相机的相对位置。 二．模型假设 假设 ： （1）针孔模型物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件，畸变在误差允许范围之内。 （2）图目中给出的图像数据均准确。

三．符号说明 符号 表示的意义 （ ） 任意物点P在世界坐标系中的坐标

（x,y,z） P点在相机的坐标系中坐标

（x,y） P点在图像物理坐标系中坐标 (vu,) P点在图像像素坐标系中的坐标

（00,vu） 光轴与图像平面的交点在图像像素坐标系中的坐标

（x，y） 实际的图像点的坐标

四．模型的建立与数据处理 4.1问题一的处理。 模型一：针孔线性模型[1]。 1. 坐标系建立

wwwzyx,, 4

图4.11 在假设基础上建立三个坐标系：三维空间坐标系（也称世界坐标系）、相机平面坐标系以及像平面坐标系。

（1）世界坐标系（wwwzyx,,）以靶标中心为原点o，以靶标平面为xw-yw平面，单位为毫米。 （2）摄像机坐标系(xoy)：由针孔假设可知物点和光学中心的连线与像平面的交点即为像点。以小孔摄像机模型的聚焦中心为原点，以摄像机光轴为zc 轴建立的三维直角坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的xf,yf 平行，且采取前投影模型。 （3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理坐标系两种。图像物理坐标系，其原点为透镜光轴与成像平面的交点，X 与Y 轴分别平行于摄像机坐标系的x 与y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。图像像素坐标系[计算机图像（帧存）坐标系]，固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角, xf,yf 平行于图像物理坐标系的X 和Y轴。对于数字图像，分别为行列方向。 2.坐标系变换关系 定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。 （1） 世界坐标系与摄像机坐标系变换关系 由以上假设及物理成像规律可知，世界坐标系中的点到摄像机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵R 和一个平移变换矩阵T 表示为：

TzyxrrrrrrrrrTzyxRzyxwwwwww333231232221131211 (1) 齐次坐标可表示为：







1101www

TzyxTRz

yx （2） 5

其中，T=T,,zyxttt是世界坐标系原点在摄像机坐标系中的坐标，矩阵R 是正交旋转矩阵,其矩阵元素满足下列条件： 1213212211rrr

1223222221rrr 1233232231rrr 所以正交矩阵实际上只含有三个独立变量，再加上T共有六个参数决定了数码相机光轴在空间坐标系中的位置，这六个参数成为数码相机的外部参数。 （2） 图像坐标系与摄像机坐标系变换关系 如图1 所示，摄像机坐标系中的任意一物点P 在图像物理坐标系中像点Pu 坐标为

zfyYzfxX//

（3）

齐次坐标表是为













101000000001zy

x

ffYXz （4）

将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系 YsdYvvXsdXuuyyxx//

00 （5）

齐次坐标表示为：





110000100YXvsusvuyx

（6）

其中，00,vu是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标，yxdd, 分别为一个像素在X 与Y 方向上的物理尺寸，其中yxdd=d =1／3.78。xxds1，yyds1，分别为X 与Y 方向上的采样频率，即单位长度的像素个数。 由此可得物点P 与图像像素坐标系中像点P 的变换关系。

zyfzyfsvvzxfzxfsuuyyxx////

00 （7）

yxffvu,,,00 四个参数 只与摄像机内部结构有关，因此称为摄像机内部参数。 （3）世界坐标系与图像坐标系变换关系（共线方程） 世界坐标系与图像坐标系变换关系：