莆田一中08高一下期中数学试题
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2015·岳阳模拟) 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A . 14B . 15C . 16D . 172. （2分）若许昌学院共有在校大学生16050名，其中专科生4500人，本科生9750人，研究生1800人，现在需要采用分层抽样的方法调查学生的家庭情况，已知从专科生抽取了60人，则需要从本科生、研究生两类学生分别抽取多少人（）A . 130 ，24B . 260，24C . 390，48D . 130，363. （2分） (2016高二上·宜春期中) 在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a7﹣ a5的值为（）A . 8B . 12C . 16D . 724. （2分）(2019·临沂模拟) 已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（）A . 众数为7B . 极差为19C . 中位数为64.5D . 平均数为645. （2分）(2019·泸州模拟) 某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：学生1号2号3号4号5号6号甲队677877乙队676797则以上两组数据的方差中较小的一个为A .B .C .D . 16. （2分）某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%7. （2分）下列说法中正确的个数是（）①任何一个算法都包含顺序结构；②条件分支结构中一定包含循环结构；③循环结构中一定包含条件分支结构．A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2019高一下·南宁期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分） (2018高三上·三明期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的为（）A .B .C .D .10. （2分）某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中，该射手射击一次不够9环的概率为（）A . 0.48B . 0.52C . 0.71D . 0.2911. （2分） (2017高一下·和平期末) 甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则甲输棋的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·鄂伦春模拟) 如图，矩形的长为，宽为，以每个顶点为圆心作个半径为的扇形，若从矩形区域内任意选取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2018·榆林模拟) 某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，则的值为________．14. （2分）(2018高一下·南阳期中) 已知样本数据的方差，则样本数据的平均数为________．15. （1分）(2018·南京模拟) 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．16. （1分） (2018高二下·海安月考) 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2019高二上·贵阳期末) 从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这些成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在区间内的学生人数；（2）估计这40名学生成绩的众数和中位数．18. （10分）甲、乙等五名学生随机选学一门A、B、C、D四个不同的选修科目，每个科目至少有一名学生参与．（1）求甲、乙两人没有选择同一选修科目的概率；（2）设随机变量x为这五名学生中参加A科目的人数，求x的分布列及数学期望．19. （10分）某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．20. （10分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）被选中且未被选中的概率.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．21. （10分）小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y,（1）在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;（2）规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.22. （15分） (2017高一下·河北期末) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：价格x（元/kg）1015202530日需求量y（kg）1110865（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？参考公式：线性回归方程，其中．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·金华期末) 如果全集，，，则A .B .C .D .2. （2分）已知是等比数列，且，，那么=（）A . 10B . 15C . 5D . 63. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 设函数，则的值为（）A .B . 1C . 2D . 04. （2分）已知a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A . a2>b2>c2B . a|b|>c|b|C . ac>bcD . ab>ac5. （2分）已知中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1,，且满足条件,则的面积的最大值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在等腰△ABC中，AB=AC=1，D是线段AC的中点，设BD=x，△ABC的面积S=f（x），则函数f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·汕头期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位8. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A . 2-B . 2+C . 4-2D . 4+210. （2分）若存在两个正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)11. （2分） (2018高一上·佛山期末) 计算： ________．12. （1分） (2017高一上·定远期中) 若函数f（x）的定义域为[2a﹣1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为________．13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和________。
2021-2021学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2021学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题一、单选题1．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >【答案】D【解析】代入特殊值可探究A,B,C 三个选项是否正确，通过作差法得()23321324a b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，结合已知条件，即可判断33,a b 的大小关系.【详解】A ：例如当0,1,0,1a b c d ==-==-，,a b c d >>成立，但是ac bd >不成立，故A 错误.B ：当0c时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：当2,1a b =-=-时，0a b <<成立，但11112a b-=>=-，故C 错误. D ：()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为a b >，所以()0a b ->，又2213024a b b ⎡⎤⎛⎫++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以330a b ->，即33a b >.故选:D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}2|230B x x x =--<，则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0--【答案】B【解析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可. 【详解】由B 中不等式变形得：()()310x x -+<，解得：13x，即()1,3B =-，∵{}2,1,0,1,2,3A =--， ∴{}0,1,2AB =，故选：B . 【点睛】此题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3．在ABC 中，若BC =sin 2sin C A =，则(AB = )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由sin 2sin C A =利用正弦定理可得2AB BC =，结合BC =可得结果．【详解】利用正弦定理化简sin 2sin C A =，得：2AB BC =，5BC =AB ∴=A ．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4．在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（ ） A ．22 B ．-22C ．16D ．-16【答案】C【解析】由数列的递推关系，带入1a ，2a ，即可求出3a ，再将23,a a 带入，即可求出4a ． 【详解】令2n =，则32120a a a ++=，又12a =，24a =，所以310a =-；再令3n =，则43220a a a ++=，所以416a =，故选C【点睛】本题考查数列的递推公式，对n 赋值，求解数列中的项，属于简单题．5．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2A π=，从而可得结果.详解：ABC ∆中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥， 则()sin 1sin A B B A ⎡⎤-+=≥⎣⎦，sin 1A ∴=， 2A π=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b=-+，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. 7．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．13【答案】A【解析】由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以4561116a q a q a q =+，化简整理可求出q 的值．【详解】由题意知56723a a a =⨯+，又{}n a 为正项等比数列，所以4561116a q a q a q =+，且0q >，所以260q q +-=，所以2q或3q =-（舍），故选A本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．8．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞【答案】A【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出,a b 的值，故不等式20x bx a --<即为2560x x -+<，从而可求其解，从而得到正确的选项． 【详解】∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩.∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<， ∴不等式的解集为()2,3. 故选：A . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.本题属于基础题． 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ） A ．1y=x+xB ．1πy=cosx+(0<x<)cosx 2C．2D ．xx4y=e +2e －【解析】试题分析：时，，故A 错；∵，∴，∴中等号不成立，故B 错；∵，∴22x +22x +2≥中等号也取不到，故C 错；故选D.【考点】基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅【答案】A【解析】先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】解：∵()*12n n n a S n N n ++=∈，∴12n n na S n +=+，① 当2n ≥时，111n n n a S n --=+，② ①－②有1121n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时21113261a S a =+==，故21232a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，∴121n na n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】对任意正整数n ，都有n k a a ≥，k a 为数列{}n a 中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前n 项和公式，即可得出结论. 【详解】等差数列{}n a 中，1202010101021102020200()1010()2S a a a a ==+>+12021202111010100111011112021()0,20210,02a a S a a a a +>==<+<∴，∴101010101011min 101100,||n a a a a a >>->=，，所以对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为1011 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.12．在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A ．B C D ．32【答案】B【解析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯，当且仅当tan B =时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】【详解】试题分析：1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=，()13133121334345555555x y x y x y y x y x⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 【考点】基本不等式14．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．【答案】52-. 【解析】分离参数，将问题转化为求函数()1f x x x=--最大值的问题，则问题得解. 【详解】不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，等价于1a x x ≥--对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立．设1()f x x x=--，则max ()a f x ≥． 因为函数()f x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以max 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-． 故答案为：5—2. 【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.15．在ABC 内角,,A B C 的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为______.【答案】3【解析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，由22223a b c +=得：22223a b c +=由余弦定理得222222222223cos 22663a b a b a b c a b C ab ab ab ab ++-+-+===≥= 当且仅当222a b =，即b =时取等号故答案为3【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______.【答案】2020-【解析】用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=⋅，变形可得1111n n S S +-=-，说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值. 【详解】11n n n a S S ++=-，1111111n n n n n S S a S S ++⎛⎫∴-== ⎪-⎝⎭，整理可得11n n n n S S S S ++-=⋅， 则111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n n S S +-=-， 所以，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111nn n S ∴=-+-⋅-=-+，则201912020S =-. 故答案为：2020-. 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. （1）求B 的大小．（2）若a =，5c =，求b . 【答案】（1）π6B =；（2）b =【解析】（1）由正弦定理，可得sin 2sin sin A B A =，进而可求出sin B 和角B ； （2）利用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即可求出b . 【详解】（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，因为sin 0A ≠，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以π6B =． （2）由余弦定理，可得2222cos 272525524572b ac ac B =+-=+-⨯⨯=-=，解得b =． 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =-；（2）21n n T =-.【解析】（1）求{}n a 的通项公式，可先由22a =，58a =求出公差首项，再出通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，利用等比数列的通项公式可求首项1b 及公比q ，代入等比数列的前n 项和公式可求n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵22a =，58a =，∴12a d +=，148a d +=解得10a =，2d =. ∴数列{}n a 的通项公式()1122n a a n d n =+-=-. （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 由（1）知22n a n =-，11b =，223466b b a q q +==⇒+=，∴1q ≠， ∴2q或3q =-（舍去），∴{}n b 的前n 项和122112nn n T -==--.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n 项和的求解，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，*n N ∈. （1）求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析，12n na ；（2）n T =21nn +. 【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，① 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，② ①－②得：12n n a a -=. 由于0n a ≠，当1n =时，11121a S a ==-，即11a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n na .（2）22log 21n n b a n ==-，则：111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+11111111112335212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且3AD =，6CD =，2cos 3B =.（1）求ACD △的面积； （2）若6AB =，求BC 的长. 【答案】（1）45（2）429+【解析】（1）根据2cos 3B =，0B π<<，sin B ，再根据2D B ∠=∠，求得sin D ，然后结合3AD =，6CD =，由1sin 2ACD S AD CD D ∆=⋅⋅求解.（2）由（1）求得cos D ，然后利用余弦定理求得AC ，设BC x =，结合6AB =，利用余弦定理，由222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅求解.【详解】 （1）2cos 3B =，0B π<<， 5sin 3B ∴=， 又2D B ∠=∠，45sin sin22sin cos D B B B ∴===1145sin 364522ACD S AD CD D ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=. （2）由（1）得221cos cos2cos sin 9D B B B ==-=-， 由余弦定理可得2212cos 93623679AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=，设BC x =，6AB =，222222672cos 2263AB BC AC x B AB BC x +-+-===⋅⨯⨯∴，整理得28130x x --=， 解得429x =+或429x =-（舍去）.BC ∴的长为429+.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；【答案】（1）2412(1)x y x -=-（x ＞ 1）；（2）74x =时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低． 【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式24122x y x -=-（，其定义域是(1,)+∞.(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.试题解析：（1）在BCF ∆中,,30,CF x FBC CF BF =∠=︒⊥,所以2BC x =.在ABC ∆中，,1,60AB y AC y ABC ==-∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠， 即 222(1)(2)22cos 60y y x y x （-=+-⋅⋅︒，所以 24122x y x -=-（. 由AB AC BC -<， 得121,2x x >>. 又因为241022x y x -=>-（，所以1x >.所以函数24122x y x -=-（的定义域是(1,)+∞. (2)30(21)40y x =⋅-+ .因为24122x y x -=-（（1x >）， 所以24130(21)4022x M x x -=⋅⋅-+-（即 212310(4-1)1x M x x -=⋅+-（）.令1,t x =-（则. 于是，由基本不等式得，当且仅当34t =（，即74x （=时取等号. 答：当km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()122n n S a n N *=-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围. 【答案】（1）22n n a -=，21n b n =-；（2）()132322n n T n -=+-；（3）(,22-∞. 【解析】（1）由1n =求得112a =，当2n ≥时，通过122n n S a =-与11122n n S a --=-作差，进而整理可知数列{}n a 是首项为112a =、公比为2的等比数列，通过将点()1,n n P b b +代入直线20x y -+=计算可知120n n b b +-+=，进而整理可求得数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法可求得n T ； （3）通过（1）及作商法计算可知数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，进而问题转化为求12λλ+的最小值，利用基本不等式计算即得结论.【详解】（1）对任意的n *∈N ，122n n S a =-. 当1n =时，11122S a =-，即112a =； 当2n ≥时，由122n n S a =-可得11122n n S a --=-， 两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，12n n a a -∴=，则12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为112a =，公比为2的等比数列，121222n n n a --∴=⨯=. 又点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，120n n b b +∴-+=，12n n b b +∴-=，又11b =，所以，数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，()12121n b n n ∴=+-=-；（2）()()2*212n n n n c a b n n N -=⋅=-∈，()21113252212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-，()()2212112325223221n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，两式相减得：()()2211212222212n n n T n ---=++++⋅⋅⋅+-- ()()111112322212322122n n n n n ----=+⨯--=-+--， ()132322n n T n -=+-； （3）由（1）知当1n ≥，222212n n n b n a --=，则()()()12212212112122n n n n n b n a ++-++-+==，12222222121210221421n n n n n nb a n n b n n a +-+++=⋅=⋅>--， 令()2122121212121n n n x n n n -++===+---，则数列{}n c 为单调递减数列，103n c c ∴<≤=，则1222121314214n n n nb a n b n a +++=⋅≤<-， 所以，数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，当1n ≥时，1221n n b b a a ≤=，即2n n b a 最大值为1， 由2221k λλ-+>可得221k λλ<+，12k λλ<+，而当0λ>时，12λλ+≥=λ=时取等号，k ∴<， 因此，实数k的取值范围是(,-∞. 【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.。
数学高一下册期中考试试题
学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 说明： 1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。 卷Ⅰ(选择题 共60分) 一 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.下列命题中，正确的是 （ ）
A．若dcba,，则bcac B．若bcac，则ba C．若22cbca，则ba D．若dcba,，则dbca 2. 在等差数列na中，已知,11,1321aaa则654aaa （ ） A.39 B.42 C.43 D.45
3.△ABC中, a = 2， b =23，A=30°，则B等于 ( ) A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 4．如果等差数列na中，12543aaa，那么721aaa ( ) A．14 B．21 C．28 D．35
5. 设,xyR 且291yx,则xy的最小值为 （ ） A．6 B．8 C．10 D．11 6. 在△ABC中，已知abcba3222，则C= （ ） A. 30 B. 150 C. 60 D.120 7. 如果实数yx,满足：010201xyxyx，则目标函数yxz3的最大值为（ ） Ａ．2 Ｂ．25 Ｃ． 3 Ｄ．27 8. 不等式0121xx的解集为 （ ）
A.1,21 B.1,21 C.,121. D.,121, 9. 若bcacbcba3))((，且CBAcossin2sin， 那么ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10.设{}na是由正数组成的等比数列，nS为其前n项和.已知243aa1=7S，，则5=S （ ）
福建省莆田第八中学高一数学下学期期中试题
2015-2016下学期高一数学期中考试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则ω =（ ）.A.1B.2C.3D.42.若sin θ>0且|cos θ|＝－cos θ，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3.函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈ZD ．R4.给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④5. 若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形6. 已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π87．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 39．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．310．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)11．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34C ．－43D.4312．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13．一个扇形的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则扇形圆心角的弧度数为 14．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为 15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________ 16．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC u u u r ＝3BD u u u r ，|AD u u u r |＝1，则AC u u u r ·AD u u u r＝________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题10分）已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．18．（本题12分）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？19．（本题12分）已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．20．（本题12分）已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①a ·b ，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?21．（本题12分）已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．22．（本题12分）设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.参考答案ABCCC CADAC BD2655－23317．解：(1)∵|OP|＝1，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.18．解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)k a－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为k a－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－13.此时a＋3b＝－3(k a－b)，即此时向量a＋3b与k a－b方向相反．19．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cos x＝2sin x cos x＝sin 2x，∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x≤π2，∴－π3≤2x≤π，则－32≤sin 2x≤1.所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 20．解：(1)①a·b＝4×8×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－16.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. ∴k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．21．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos2β－α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210， ∴sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.22．解:(1)()314sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭22223cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++- 321x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为13,13⎡⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立, 令0k =,于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16.。
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期中考试数学试题一、多选题1．下列各组向量中，能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,2e =-B ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()13,5e = ，()26,10e = D ．()11,2e =- ，()25,7e = 【答案】BD【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可.【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量对于A ，因为()10,0e = ，()21,2e =- ，所以()02010⨯--⨯=，则21,e e共线，故A 不符合；对于B ，因为()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()31233042⨯--⨯=≠，则则21,e e 不共线，故B 符合；对于C ，因为()13,5e = ，()26,10e = ，所以212e e = ，则则21,e e共线，故C 不符合；对于D ，因为()11,2e =- ，()25,7e = ，所以1725170-⨯-⨯=-≠，则则21,e e不共线，故D 符合；故选：BD.二、单选题2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，45A =︒，60B =︒，则=a （）A ．1B ．22C ．2D ．2【答案】D【分析】利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理得sin sin a bA B=，23sin 22sin 32b Aa B⨯∴===.故选：D.3．若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是A ．内的所有直线都与直线a 异面B ．内不存在与a 平行的直线C ．内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面有公共点【答案】D【详解】试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A 错；当时，内必然有直线与直线平行，B 错；从而C也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D正确.【解析】直线和平面的位置关系.4．若i 为虚数单位，复数z 满足(1i)34i z +=+时，则z 的虚部为（）A ．12i B ．12C ．72i D ．72【答案】B【分析】利用复数的除法运算和复数的概念即可求解.【详解】因为复数z 满足(1i)34i z +=+，则34i 7i 71i 1i 222z ++===++，所以复数z 的虚部为12，故选：B.5．已知向量()()23,,2a b x ==，，则“a 与b 的夹角为锐角”是“3x >-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出a 与b 的夹角为锐角时的充要条件是{|3x x >-且4}3x ≠，从而判断出答案.【详解】因为a 与b 的夹角为锐角，则cos ,0a b > 且a 与b不共线.cos ,0a b > 时，2603a b x x ⋅=+>⇒>-，当//a b 时4343x x =⇒=，则a 与b 不共线时，43x ≠，所以a 与b 的夹角为锐角的充要条件是{|3x x >-且4}3x ≠，显然{|3x x >-且4}3x ≠是{|3}x x >-的真子集，即“a 与b的夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件，A 正确.故选：A6．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】B【分析】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为2l ，利用圆锥侧面的面积公式：1222S r l π=⨯⨯即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为2l ，则该圆锥的侧面积12222S r l rl ππ=⨯⨯=，截得的小圆锥的底面半径为2r，母线长为l ，其侧面积11122S r l rl ππ=⨯⨯=，而圆台的侧面积2113222S l πππ=-=-=．故两者侧面积的比值12112332rl S S rl ππ==．故选：B7．在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC == ，且||||||AB AD ACAB AD AC +=，则||BD = （）A ．5B ．10C ．102D ．103【答案】D【分析】由向量相等得ABCD 为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得120BAD ∠= ，且AC 是BAD ∠的平分线，从而易得对角线BD 的长．【详解】(6,8)AB DC ==，则四边形ABCD 为平行四边形，设,,m n p 都是单位向量，m n p += ，则22()m n p += ，2222m m n n p +⋅+= ，1211m n +⋅+=，则1cos ,2m n m n ⋅=-=<> ，所以,120m n <>=︒ ，因此由||||||AB AD ACAB AD AC +=知120BAD ∠= ，且AC 是BAD ∠的平分线，因此ABCD 是菱形，而10AB =，∴||3|103BD AB ==∣，故选：D.8．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12AD AA ==，3AB =，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A ．22B ．13C ．10D ．221+【答案】C【分析】取BC 的中点G ，连接1,AG AD .证明出面1//AD G 面BEF ，得到点P 的轨迹为线段AG .求出AG 的长度，即可得到答案.【详解】如图所示：取BC 的中点G ，连接1,AG AD .在长方体1111ABCD A B C D -，E F 、分别是棱1AA 、11A D 的中点，所以1//EF AD .因为11//BC A D 且11BC A D =,F G 、分别是中点，所以1//BG FD 且1BG FD =,所以四边形1BGD F 为平行四边形，所以1//BF GD .因为1//EF AD ，EF ⊂面BEF ，1AD ⊄面BEF ，所以1//AD 面BEF .同理可证：1//D G 面BEF .因为1//AD 面BEF ，1//D G 面BEF ，1D G ⊂面1AD G ,1D G ⊂面1AD G ,111AD D D ⋂=,所以面1//AD G 面BEF .因为点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，且直线1D P 与平面BEF 无公共点，1//D P面BEF .所以点P 的轨迹为线段AG .已知长方体1111ABCD A B C D -，12AD AA ==，3AB =，G 为BC 的中点,所以1BG =，所以22223110AG AB BG =+=+=.故选：C三、多选题9．与向量(3,1)a =共线的单位向量有（）A ．31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】根据共线向量和单位向量的定义，即可求解.【详解】（方法一）设所求向量为(,)= e m n ，则由已知可得221,3,m n n m ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得3,21,2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3,21,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以31,22⎛⎫= ⎪⎝⎭ e 或31,22⎛⎫=--⎪⎝⎭ e ，故选：AD ．（方法二）与向量a 共线的单位向量||ae a =±，因为(3,1)a = ，所以||2a = ，所以31,22⎛⎫= ⎪⎝⎭ e 或31,22⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ e ，故选：AD ．10．下列命题正确的（）A ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B ．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形D ．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱【答案】AC【分析】根据棱柱的概念，棱台的概念，圆柱的性质，正四棱柱的概念，即可分别求解．【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，则A 选项正确；两个面平行，其余各面都是梯形的多面体，不一定是棱台，还需强调所有梯形的两腰延长线都交于同一点，则B 选项错误；用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形，则C 选项正确；底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱，可能为斜棱柱，则D 选项错误．故选：AC ．11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22πRB ．圆锥的侧面积为22πR C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:2【答案】CD【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可.【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯=，故A 错误；对选项B ，圆锥的母线为()2225R R R +=，圆锥的侧面积为2152π5π2R R R ⨯⨯=，故B 错误.对选项C ，球的表面积为24πR ，故C 正确.对选项D ，圆柱的体积231π22πV R R R =⨯=，圆锥的体积23212π2π33V R R R =⨯⨯=，球的体积334π3V R =，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为333242π:π:π3:1:233R R R =，故D 正确.故选：CD12．圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为P 的两条相交直线与圆O 相交于AC 与BD ，则PA PC PB PD ⋅=⋅），如下图，已知圆O 的半径为3，点P 是圆O 内的定点，且2OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA ·8PC =-B ．OB ·OD的取值范围是()9,1--C ．当AC ⊥BD 时，AB ·CD为定值D ．AC ⊥BD 时，AC ·BD 的最大值为28【答案】CD【分析】根据题设中的圆幂定理可判断A,C 的正误，取BD 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B 的正误，再取AC 的中点为N ，根据勾股定理结合基本不等式求最值，可判断D 的正误．【详解】如图，设直线PO 与圆O 于E ，F ．则PA PC PA PC PE PF ⋅=-⋅=-⋅ ()()2222235OE POOE PO PO EO =--+=-=-=-，故A 错误；取BD 的中点为M ，连接OM ，因为M 为BD 中点，所以OM BD ⊥，即0,0OM MB OM MD ⋅=⋅= ，222MD OD OM =-，则()()()22222229OB OD OM MB OM MD OM MD OM r OM OM ⋅=+⋅+=-=--=- ，而2204OM OP ≤≤= ，故OB OD ⋅ 的取值范围是[]9,1--，故B 错误；当AC BD ⊥时，()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB PD⋅=+⋅+=⋅+⋅ 22510AP CP PB PD PE PF =-⋅-⋅=-⋅=-⨯=- ，故C 正确；当AC BD ⊥时，圆O 半径3r =，取AC 中点为N ，BD 中点为M，则,ON AC OM BD ⊥⊥，又AC BD ⊥，所以四边形ONPM 为矩形，所以2224OM ON ON +== ，所以()()()()222222222299441641847844ON OMAC BD r ON r OM -+-⋅=-⋅-≤⋅=-= ，当且仅当222OM ON == ，不等式等号成立，所以AC ·BD 的最大值为28，故D 正确．故选：CD ．四、填空题13．已知向量()(),2,1,3a y b =-= ，若a b ⊥，则y =.【答案】6【分析】根据向量垂直列方程，由此求得y 的值.【详解】因为向量()(),2,1,3a y b =-= ，a b ⊥，所以60a b y ⋅=-=，解得6y =.故答案为：6.14．如图，一个水平放置的三角形ABO 的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1B A B O '=''='，那么原三角形ABO 的周长是【答案】422+【分析】根据斜二测画法的规则，与x 轴平行的线段在直观图中与x '轴平行，长度不变；与y 轴平行的线段在直观图中与y '轴平行，长度减半，分别求出,OA OB 的长度，即可求出原三角形的周长.【详解】在直观图等腰直角三角形A B O '''中，1B A B O '=''='，则2A O ''=，根据直观图画出原图如下，则有1OB O B ''==，222OA O A ''==，所以22183AB OA OB =+=+=，所以原三角形ABO 周长是422OA OB AB ++=+.故答案为：422+.15．如图，地平面上有一根旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上取一基线AB ，20m AB =，在A 处测得点P 的仰角30OAP ∠=︒，在B 处测得点P 的仰角45OBP ∠=︒，又测得30AOB ∠=︒，则旗杆的高度是m【答案】20【分析】设OP h =，求出,OA OB ，再在AOB 中，利用余弦定理即可得解.【详解】设OP h =，在Rt AOP △中，30OAP ∠=︒，则3=OA h ，在Rt BOP △中，45OBP ∠=︒，则OB h =，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠，即22234003232h h h h h =+-⨯⨯⨯=，解得20h =，即旗杆的高度是20m .故答案为：20.16．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+ ，则14x y+的最小值为．【答案】92【分析】设AD mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=，可得14114()()2x y x y x y+=++再利用基本不等式计算可得；【详解】解：设AD mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．()()AD AE x AB y AC m AB n AC λμ+=+=+++，则2x y +=， 点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >．∴1411414149()()(5)(52)2222y x y x x y xy x y x y x y +=++=++≥+⋅=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号；所以14x y +的最小值为92．故答案为：92．五、解答题17．已知||1a = ，||2b = ，a b 与 的夹角是60°，计算(1)计算a b ⋅ ，||a b + ；(2)求a b + 和a的夹角的余弦值.【答案】(1)1a b ⋅= ，||7a b += (2)277【分析】（1）利用数量积的定义可求出a b ⋅ ，先求出2||a b + ，即可得出||a b + ；（2）先求出()a b a +⋅ ，根据向量夹角关系即可求出.【详解】（1）由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯= ，222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+= ，所以||7a b += ；（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+= ，设a b + 和a 的夹角为θ，所以()227cos 771a b a a b a θ+⋅===⨯+⋅ .18．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部是2，z 对应的点A 在第一象限，(1)求z 的值；(2)若22z z z z -，，在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC .【答案】(1)1iz =+(2)255【分析】（1）设出i z x y =+，利用复数的模和2z 的虚部列出方程组，求出z 的值；（2）在（1）的基础上，得到BA 和BC 对应的复数，利用复数的除法运算的三角表示及其几何意义求出答案.【详解】（1）设i z x y =+，,R x y ∈，则222z x y =+=，由题意得()2222i 2i z x y x xy y =+=+-，故22222x y xy ⎧+=⎨=⎩，因为z 对应的点A 在第一象限，所以0,0x y >>，解得1x y ==，故1i z =+；（2）由（1）知1i z =+，()221i 2i z =+=，21i 2i 1i z z -=+-=-，BA 对应的复数为1i 2i 1i +-=-，BC 对应的复数为1i 2i 13i --=-，因为()()()()1i 13i 1i 21i 13i 13i 13i 55-+-==+--+，且1i 13i--的辐角为ABC ∠，所以222255cos 52155ABC ∠==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin sin sin A C B c b c a +=--.(1)求角A 的大小；(2)若23a =，且23ABC S = ，求ABC 的周长.【答案】(1)3A π=(2)623+【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得bc 的值，利用余弦定理可求得b c +的值，进而可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：由sin sin sin A C B c b c a+=--，利用正弦定理可得()()()a c c a b c b +-=-，化为222c b a bc +-=，所以，2221cos 22c b a A bc +-==，()0,A π∈ ，3A π∴=.（2）解：23a = ，且1sin 2323ABC bc S π== ，所以，8bc =，由余弦定理可得()222222122cos 33a b c bc b c bc b c bc π==+-=+-=+-，所以，()2312381236b c bc +=+=⨯+=，解得6b c +=，因此，ABC 周长为623a b c ++=+.20．如图所示，正四棱锥S ABCD -，2SA SB SC SD ====，2AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，Q 是SD 的中点，E 是侧棱SC 上的点，且2SE EC =，(1)求正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)求证：平面BEQ ∥平面ACP【答案】(1)272+(2)证明见解析【分析】（1）求出各个面的面积，即可求出正四棱锥S ABCD -的表面积；（2）通过线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得.【详解】（1）由题意在正四棱锥S ABCD -中,2SA SB SC SD ====，2AB =，由几何知识得，2AB BC CD AD ====，()()2222222AC AB BC =+=+=，设O 为AC 中点，则1AO BO CO DO ====，∴侧面的高22214222h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,∴正四棱锥S ABCD -的表面积：1144422227222ABS ABCD S S S =+=⨯⨯⨯+⨯=+ .（2）由题意及（1）得，连接BD 交AC 于点O ，连接OP ，∵3SP PD =，Q 是SD 的中点，∴111,242PD QD SD PD SD QD ====，∴点P 是QD 中点，由几何知识得，点O 是BD 中点，在BDQ △中，1,2OP BQ OP BQ = ，∵BQ ⊂面BEQ ，OP ⊄面BEQ ，∴OP ∥面BEQ ，在SCP 中，QE CP ，又QE ⊂面BEQ ，CP Ë面BEQ ，所以PC ∥面BEQ ，∵OP ⊂面ACP ，PC ⊂面ACP ，OP PC P ⋂=，∴平面BEQ ∥平面ACP .21．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，PA =3，AD =2AB =2，120BAD ∠=︒，C 是 BD上的一个动点.(1)求圆柱的表面积(2)求四棱锥P ABCD -的体积的最大值【答案】(1)14621π3+(2)934【分析】（1）利用余弦定理求出BD ，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r ，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出7BC CD ⋅≤，再利用体积公式求出结果.【详解】（1）如图：连接BD ，在ABD △中，1AB =，2AD =，120BAD ∠=︒，由余弦定理，得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，所以7BD =，设圆柱底面半径为r ，由正弦定理，得72212sin sin1203BD r BAD ===∠︒，所以213r =，故圆柱的表面积()221π21146212π3π333S r r PA ⎛⎫+=+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭圆柱；（2）由（1）知，BCD △中，7BD =，18060BCD BAD ∠=︒-∠=︒，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD=+-⋅∠222BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD =+-⋅≥⋅-⋅=⋅，即7BC CD ⋅≤，当且仅当7BC CD ==时，等号成立，所以1173sin 7sin 60224BCD S BC CD BCD =⋅∠≤⨯︒=△，因为113sin 12sin120222ABD S AB AD BAD =⋅∠=⨯⨯︒=△，又3PA =，所以四棱锥P ABCD -的体积，()111373933333244P ABCD ABCD ABD BCD V S PA S S PA -⎛⎫=⋅=+⋅≤⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△△，故四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -的最大值为934.22．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA .(1)当50OQ =米时，求PQ 的长(2)综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区OPQ △的面积尽可能的大：设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值.【答案】(1)80米；(2)12253平方米.【分析】（1）在OPQ △中，利用余弦定理求解即可；（2）在OPQ △中，先利用正弦定理求出OQ ，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）因为//PQ OA ，所以ππ3PQO AOB ∠=-∠=，在OPQ △中，50,70OQ OP ==，由余弦定理得2222cos OP OQ PQ OQ PQ PQO =+-⋅∠，即24900250050PQ PQ =+-，解得80=PQ 或30-（舍去），所以PQ 的长为80米；（2）因为//PQ OA ，所以OPQ AOP θ∠=∠=，2π2π,0,33POQ θθ⎛⎫∠=-∈ ⎪⎝⎭在OPQ △中，由正弦定理得πsin sin 3OP OQ θ=，所有70sin 140sin 332OQ θθ==，则149002πsin sin sin 233OPQ S OP OQ POQ θθ⎛⎫=⋅∠=- ⎪⎝⎭ 24900314900311cos 2sin cos sin sin 22242233θθθθθ⎛⎫⎛⎫-=+=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4900π1sin 26223θ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，OPQ △面积取得最大值，为12253平方米.。
2018-2019学年福建省莆田一中高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=52．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直4．若直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ay﹣2=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，α∥β，则m∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥m，则n⊥α所有正确说法的序号是（）A．②③④B．①③C．①②D．①③④7．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．8．设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是（）A．B．2 C．3 D．49．已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4（0≤x＜1）C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=4（0≤x＜1）10．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N 分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+211．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知棱长为l的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF ∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷的相应位置.13．若||=1，||=2，（ +）•=3，则与的夹角为．14．已知，则sin2x=．15．若曲线与曲线C2：（y﹣1）•（y﹣kx﹣2k）=0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN 将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2）（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．19．已知向量，，，函数，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．21．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA 所成的角的正弦值为？证明你的结论．22．已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．2018-2019学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心坐标与半径，找出圆心C关于直线y=x的对称点坐标，即为对称圆心坐标，半径不变，写出对称后圆的标准方程即可．【解答】解：圆C方程变形得：（x+2）2+y2=5，∴圆心C（﹣2，0），半径r=，则圆心C关于直线l：y=x对称点坐标为（0，﹣2），则圆C关于直线l对称圆的方程为x2+（y+2）2=5．故选D．2．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2=2．故选A．3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】以CD所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE ∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠DCE=60°故选C4．若直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ay﹣2=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】根据直线平行求出a的值，根据平行线间的距离公式计算即可．【解答】解：若直线l 1：x ﹣2y +1=0与l 2：2x +ay ﹣2=0平行，则=≠，解得：a=﹣4，故l 1：x ﹣2y +1=0与l 2：x ﹣2y ﹣1=0的距离是：d==，故选：B ．5．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面． 且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC 的高PB===故其侧面积是S=S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD==故选A6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β②若m ∥α，α∥β，则m ∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥m，则n⊥α所有正确说法的序号是（）A．②③④B．①③C．①②D．①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由垂直于同一直线的两平面平行，即可判断①；运用线面的位置关系，以及面面平行和线面平行的性质即可判断②；运用线面平行、垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断③；运用线面的位置关系，结合线面平行的性质，即可判断④．【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，①若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α∥β，故①正确；②若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故②错；③若m∥β，过m的平面与β交于n，可得m∥n，由m⊥α，可得n⊥α，n⊂β，则α⊥β，故③正确；④若m∥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α或n与α相交，故④错．故选：B．7．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C．D．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．8．设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解之可得ω的范围，结合选项可得答案．【解答】解：由题意可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解得ω≤，结合选项可知只有A符合，故选A9．已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4（0≤x＜1）C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=4（0≤x＜1）【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J3：轨迹方程．【分析】结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答．【解答】解：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，割线ABC的方程：y=k（x﹣4）；作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x2+y2﹣4x=0如图故选B．10．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N 分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+2【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN||﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN||﹣|PM|最大值是（|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）=|PF|﹣|PE|+4，再利用对称性，求出所求式子的最大值．【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心E（1，﹣1），半径为1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9的圆心F（4，5），半径是3．要使|PN|﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN|﹣|PM|最大值是（|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）=|PF|﹣|PE|+4F（4，5）关于x轴的对称点F′（4，﹣5），|PN|﹣|PM|=|PF′|﹣|PE|≤|EF′|= =5，故|PN|﹣|PM|的最大值为5+4=9，故选：B．11．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．12．已知棱长为l的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF ∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】由已知条件推导出l∥EF，从而得到l∥面ABCD；由MN是运动的，得到面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，从而平面MEF与平面MPQ不垂直；EF∥BD，l∥EF，EF与AC所成的角为90°，从而l与AC垂直；M是一个确定的点，从而当x变化时，l是定直线．【解答】解：对于A，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，∵QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD，故A结论正确；对于B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC，故B结论正确．对于C，∵MN是运动的，∴面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，∴平面MEF与平面MPQ不垂直，故C不正确；对于D，∵M是AA1的中点，是一个确定的点，∴当x变化时，l是过M与EF 平行的定直线，故D正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷的相应位置.13．若||=1，||=2，（ +）•=3，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的余弦值，可得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵若||=1，||=2，（ +）•=3，∴（+）•=+=1•2•cosθ+4=3，cosθ=﹣，∴θ=，故答案为：．14．已知，则sin2x=．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．15．若曲线与曲线C2：（y﹣1）•（y﹣kx﹣2k）=0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为（，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出两曲线图象，根据交点个数判断直线的斜率范围即可．【解答】解：由y=1+得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1（y≥1），曲线C1表示以（1，1）为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y=1与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点．∴直线y=kx+2k=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，当直线y=k（x+2）经过点（0，1）时，k=，当直线y=k（x+2）与半圆相切时，=1，解得k=或k=0（舍），∴当＜k＜时，直线y=k（x+2）与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN 将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F 是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2）（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆心为C（﹣1，1），半径，求出AB的斜率，直线CD的斜率，然后求解直线CD的方程．（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，通过圆心C到直线的距离求解即可；②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，通过圆心C到直线的距离求解即可；【解答】解：（Ⅰ）依题意得，圆心为C（﹣1，1），半径，，∴直线CD的斜率为：，∴直线CD的方程为：y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y﹣1=0．（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，则圆心C到直线的距离为，解得k=1，得直线为y=x，②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，则圆心C到直线的距离为，解得a=±2，得直线为x+y=2或x+y=﹣2，综上所述，直线方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0或x+y+2=0．18．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用查三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域，根据f（x）的图象和直线y=m在区间上有两个不同的交点，结合f（x）的图象求得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，=，故函数f（x）的最小正周期为；由，求得，∴函数f（x）单调递增区间为．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴1≤f（x）≤3，由函数g（x）=f（x）﹣m在区间上有两个不同的零点，可知f（x）=m在区间内有两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=m的图象有两个不同的交点．在区间上，2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，f（x）=2sin（2x+）+1∈[1，3]，结合图象可知，当时，两图象有两个不同的交点，∴实数m的取值范围是．19．已知向量，，，函数，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义，正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的图象经过点M，求得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）依题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）=sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ）+3，由题可知，，∴T=4，∴由得．又∵函数f（x）经过点，∴，∴，∵，∴，即，∴函数f（x）的解析式为f（x）=．（Ⅱ）先将函数y=f（x）=﹣cos（x+）+3图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，可得y=﹣cos（x+）+3的图象；再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y==的图象．∵函数g（x）关于原点对称，∴函数g（x）为奇函数，即，∴，∵m＞0，∴当k=﹣1时，m的最小值为，∴综上所述，实数m的最小值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【考点】LS ：直线与平面平行的判定；MK ：点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，只要证明MN ∥PA ，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离．【解答】解：（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC=90°，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…当M 为PC 的中点，即PM=MC 时，MN 为△PAC 的中位线， 故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ ．…（2）由（1）可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ﹣BMQ =V A ﹣BMQ =V M ﹣ABQ ， 取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，，…又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ． 又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，… 所以V P ﹣BMQ =V A ﹣BMQ =V M ﹣ABQ =.，… 则点P 到平面BMQ 的距离d=…21．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA 所成的角的正弦值为？证明你的结论．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O 的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量为，求出平面AB'C的法向量为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空间向量的距离公式求解即可．解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出即P为AB'的中点．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，…解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设平面B'OC的法向量为，可得设平面AB'C的法向量为，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为：．…（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点证明如下：设…又平面B'OA的法向量，依题意得…解得舍去）…解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P为AB'的中点…22．已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2，求出λ，然后求解比值．法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则，取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则，通过令，存在这样的定点N满足题意，则必为，然后证明即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m（3x﹣y）+（x+y﹣4）=0，令3x﹣y=0且x+y﹣4=0，得x=1，y=3∴直线l过定点A（1，3），（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，∴，得，∴由得m=﹣1，∴圆心到直线的距离为，∴最短弦长为．（Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意，则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2∴（x+3）2+（y﹣4）2=λ2（x﹣t）2+λ2（y﹣4）2∴（x+3）2+4﹣x2=λ2（x﹣t）2+λ2（4﹣x2）整理得，（6+2tλ2）x﹣（λ2t2+4λ2﹣13）=0∵上式对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴6+2tλ2=0且λ2t2+4λ2﹣13=0解得或t=﹣3，λ=1（舍去，与M重合）综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则令，解得或t=﹣3（舍去，与M重合），此时若存在这样的定点N满足题意，则必为，下证：点满足题意，设圆上任意一点P（x，y），则（y﹣4）2=4﹣x2∴==，∴综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数．。
精品解析：福建省莆田第一中学2022-2023学年高一下学期期初学科素养能力竞赛数学试题(原卷版)
莆田一中2021-2022学年度下学期期初学科素养能力竞赛考试高一数学必修第一册一，单选题（本大题共8小题,每题5分,共40.0分）1. 已知集合{}1,0,1M =-,{}2N y y x ==,则M N = （ ）A. {}0 B. {}1,1- C. {}0,1 D. {}1,0,1-2. 已知点()sin ,tan P αα在第二象限,则角α地终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 方程3log 4x x =-一个实根所在地区间是A. ()2,3 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,74. 已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ,则命题p 地否定为（ ）A.,21x x x ∃∈>+N B.,21x x x ∃∈≥+N C. ,21x x x ∀∈≤+N D. ,21x x x ∀∈>+N 5 已知0.32=a ,0.43b =,0.2log 0.3c =,则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c>>6. 函数21xy x =-地图象大约是（ ）A. B. C.D.7. 某地新能源汽车工厂2023年生产新能源汽车地年产量为260万辆,依据前期市场调研,为满足市场需求,以后每一年地产量都比上一年产量提高25%,那么该工厂到哪一年地产量才能首次超过800万辆（参考数据：lg1.250.097,lg1.30.11,lg 40.60≈≈≈）（ ）A. 2023年B. 2023年C. 2023年D. 2023年的.8. 设函数f(x)是定义在R 上地偶函数,且f(x ＋2)＝f(2－x),当x∈[－2,0]时,f(x)＝1x-,则在区间(－2,6)上有关x 地方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0地解地个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二，多选题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分）9. 若0a b <<则下面结论中错误地有（ ）A.11a b< B. 01a b << C. 2ab b > D.b a a b>10. 下面有关函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭表达正确地是（ ）A. 周期为π B. 增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 图像有关点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象有关直线23x π=对称11. +地值可能为（ ）A. 3B. 3- C. 1 D. 1-12. 已知函数3log (1),1()1,13xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,下面结论正确是（ ）A. 若()1f a =,则4a =B. 202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若()3f a ≥,则1a ≤-或28a ≥D. 若方程()f x k =有两个不同地实数根,则13k >三，填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 52cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭等于____________.14. 已知0x >,0y >,24xy x y =++,则x y +地最小值为______．15. 已知()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间(],0-∞上单调递增,若实数a 满足()(212a f f ->,的则a 地取值范围是______．16. 已知函数()4cos f x x =()[0,]x π∈图像与函数()15tan g x x =地图像交于A ,B 两点,则OAB （O 为坐标原点）地面积为_______．四，解答题（本大题共6小题,共70+6分）17. 化简与求值：（1）已知(),0x π∈-,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -地值。
福建省莆田第八中学高一下学期期中考试数学试题(答案
命题人:陈志强 2014.4一、选择题：本大题共12小题-每小题5分-共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．时间经过10分钟，钟表的分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π62．，则是（ ）A ．第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 3.角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55B.255C ．－55D ．－2554. cos(－20π3)的值等于( )A.12B.32 C ．－12 D ．－325.已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)且a ·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10B ．10C ．－ 5D. 56．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37.等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π39. 已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，＝(1，－1)，且·＝2，则·等于( ) A ．－2 B ．2 C ．0D ．2或－210.已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)11. 设3sin 52πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，，则的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．12.函数f(x)＝3sinx ＋cosx 在区间上的最大值为（ ）．A ．1B ．C ． 2D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 13.函数的相邻两条对称轴的距离为，则= .14. 32sincos cos sin 552x x ππ+=若则锐角x ＝________.15. 设OA →＝，OB →＝，若与不共线，且点P 在线段AB 中点上，如图所示，若OP →＝,则 .16.要得到函数的图象，只需将函数的图象：（1）先将每个x 值缩小到原来的倍，y 值不变，再向右平移个单位。
福建省莆田第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 答案和解析
福建省莆田第一中学【最新】高一下学期期中考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．圆()2225x y ++=关于直线y x =对称的圆的方程为( )A ．()2225x y -+=B ．()2225x y +-=C ．()()22225x y +++=D ．()2225x y ++=2．如图，正方形////O A B C 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A ．22B ．1C ．22D ．42 3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为（ ）A ．平行B ．相交成60°角C ．异面成60°角D ．异面且垂直4．若直线l 1：x –2y +1=0与直线l 2：2x +ay –2=0平行，则l 1与l 2之间的距离为 A ．5 B ．25 C ．15 D ．255．某几何体的三视图如下图所示，则其侧面积为（ ）A BC D ．32+ 6．已知m , n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列说法中：①若,m m αβ⊥⊥，则α∥β ②若m ∥α,α∥β,则m ∥β③若,m α⊥ m ∥β，则αβ⊥ ④若m ∥α，n m ⊥，则n α⊥所有正确说法的序号是（ ）A ．②③④B ．①③C ．①②D ．①③④ 7．直线230x y --=与圆22(2)(3)9x y -++=交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ）A ．32B ．34C ．D ．58．设0>ω，函数()2cos f x x ω=在2[0,]3π上单调递减，那么ω的值可以是（ ） A ．12 B ．2C ．3D ．4 9．圆224x y +=，过点(4,0)A 作圆的割线ABC ，则弦BC 的中点的轨迹方程为（ ） A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y -+= (01)x ≤<C ．22(2)4x y -+=D ．22(2)4x y -+= (01)x ≤< 10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．911．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且33OA OB AB +≥，则k 的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．12．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段1111A B A D 、上,且11,01A P AQ x x ==<<，设面MEF ⋂面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线二、填空题13．若()1,2,3a b a b b ==+⋅=，则b 与a 的夹角为______．14．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin2x 的值为________.15．若曲线1:1C y =2:(1)(2)0C y y kx k -⋅--=有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为__________.16．已知等边三角形ABC 的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，沿MN 将ABC ∆折成直二面角，则四棱锥A MNCB -的外接球的表面积为 .三、解答题17．已知圆C ：22+220x y x y +-=的圆心为C ，(4,0)A ，(0,2)B -（Ⅰ）在ABC ∆中，求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程18．已知函数()cos(2)cos(2)2sin cos 166f x x x x x ππ=++-++ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数()()g x f x m =-在区间[0,]3π上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围. 19．已知向量()()sin ,2a x ωϕ=+，()()1,cos b x ωϕ=+，(0,0)4πωϕ><<，函数()()()f x a b a b =+-，已知()y f x =的图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的解析式（Ⅱ）先将函数()y f x =图像上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m (0)m >个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若函数()g x 的图像关于原点对称，求实数m 的最小值.20．如图，四棱锥，底面为直角梯形，，底面，为的中点，为棱的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）已知，求点到平面的距离.21．如图，ΔABC 中，O 是BC 的中点，AB =AC ，AO =2OC =2．将ΔBAO 沿AO 折起，使B 点与图中点重合． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使CP 与平面B ′OA 所成的角的正弦值为？证明你的结论．22．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.参考答案1．D【解析】()2225x y ++=圆心为（-2,0）关于y=x 对称则对称圆的圆心为（0，-2）半径不变，故选D2．C【解析】由图可知''B O =故原图的长为''1A O =在x 轴上所以原图长度不变，由题图可得原图为平行四边形且''A O ⊥''B O ,所以原图面积为：1⨯3．C【解析】由图可知还原立体图像为：所以可知AB ，CD 异面，因为CE 平行AB ，所以∠DCE 为所求角，因为三角形CDE 为等边三角形，故∠DCE=60°选C4．B【详解】根据平行线可得4a =-，所以2:210l x y --== 故选：B5．A【解析】试题分析：由题意得，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形，其中三角形PBC 的高为223PB PD BD =+=，其侧面积为PAB PBC PCD PADS S S S S ∆∆∆∆=+++11122322=⨯⨯+⨯⨯11326121122+++⨯⨯+⨯⨯=．考点：几何体的三视图及四棱锥的侧面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可知原几何体为底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形的四棱锥，即可求解该几何体的侧面积． 6．B【解析】①若,m m αβ⊥⊥，则α∥β，显然一条直线垂直两不同平面，则这两个平面平行，所以正确，②若m ∥α,α∥β,则m ∥β，这种情况要排除m 不在面β内，所以错误，③若,m α⊥ m ∥β，则αβ⊥，显然成立，④若m ∥α，n m ⊥，则n α⊥，此种情况n 可以和α平行或相交故错误，故选B7．D【解析】分析：由题意分别求得三角形的底面和高，然后计算面积即可.详解：由题意可知EF 边上的高为圆心到直线的距离：263514d +-==+，直线被圆截得的弦长为：2222954EF R d =-=-=，则ECF ∆的面积为145252S =⨯=本题选择C 选项.点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-.8．A【解析】由题可知()2cos f x x ω=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2[0,]3x πωω∈则23πωπ≤所以32ω≤，故选A 9．D【详解】如图：，设中点为（x,y ）,过A 的斜率为k ，割线ABC 的方程为:(4)y k x =-,中点与圆心得连线与割线垂直，方程为：0x ky +=，因为交点就是弦的中点，他在这两条直线上，故BC 的中点的轨迹方程为：()2224(01)x y x -+=≤<，所以选D10．D【分析】 求出P 点到两圆心的距离，圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，由()PF R PE r +--为最大值．再求得E 关于x 轴的对应点E '，PF PE -＝PF PE '-FE '≤，由此可得最大值．【详解】圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，半径为r =1， 圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，半径是R =3， 要使||||PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小， ||PN 最大值为3PF +，||PM 的最小值为1PE -，故||||PN PM -最大值是(3)(1)4PF PE PF PE +--=-+，(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -=-≤='='， 故4PF PE -+的最大值为549+=，故选：D .【点睛】结论点睛：设P 是圆C 外一点，圆C 半径为r ，则P 到圆上点的距离的最大值为PC r +，最小值为PC r -，直线PC 与圆的两个交点为最大值点和最小值点．11．B【详解】设AB 中点为D ，则⊥OD AB ，∵33OA OB AB +≥，∴323OD AB ≥，∴23AB OD ≤，∵221||44OD AB +＝，∴2||1OD ≥，∵直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴224,4||1OD OD <∴≥>，∴241>≥，∵0k >，∴k ≤< B.12．D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111A C B D ,交于点1O 由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD 因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF ⋂面MPQ=l ，EF ⊂平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂平面ABCD ,所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确； 连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥， 所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质． 13．23π【解析】()2cos 43a b b a b ba b θ+⋅=⋅+=+=⇒12cos 23πθθ=-⇒=14．725【分析】利用二倍角的余弦函数公式求出cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用诱导公式化简，将cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值代入计算即可求出值． 【详解】 解：∵3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，2187cos 212sin 1242525x x ππ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2x ＝cos 22x π⎛⎫-⎪⎝⎭=725，故答案为725. 【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 15．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题可知曲线1:1C y =+22(1)(1)1(1)x y y ⇒-+-=≥表示上半圆，曲线()()2:120C y y kx k -⋅--=表示y=1和y=k(x+2),显然y=1与半圆有两个交点，则只需y=k(x+2)与半圆有两个交点即可，当过（-2，0）的直线与圆相切时为一个临界值，此时d=r314k =⇒=，当直线过（0,1）时为临界值此时k=12，当k=12时由两个根，所以k 的范围为13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：首先明白曲线曲线1:1C y =然后曲线()()2:120C y y kx k -⋅--=表示y=1和y=k(x+2),显然y=1与半圆有两个交点，则只需y=k(x+2)与半圆有两个交点即可，再找出与之两个交点临界值求解即可16．52π 【解析】试题分析：设外接球的球心为O ,四边形MNCB 的外接圆的圆心为1O ,点到平面MNCB 的距离为d ,即d OO =1,设等边三角形的高与MN 的交点为P ,则⊥PA 平面MNCB ,且3=AP ,1//OO AP ,如图,故9)3(22+-=d R ,又因四边形MNCB 的外接圆的圆心1O 是BC 的中点,则1222+=d R ,联立9)3(22+-=d R 与1222+=d R 可得13,1==R d ,所以四棱锥的外接球的面积ππ52134=⨯=S .1AP考点：多面体的几何性质与外接球面积的计算．【易错点晴】多面体的外接球的体积面积问题一直以来都是教与学的难点.解答这类问题的关键是求半径,也是解答这类问题的难点值所在.本题在解答时充分借助题设条件,先搞清楚了四边形MNCB 的外接圆的圆心1O 的位置,再求出外接圆的半径.再结合球心与截面圆的半径之间的关系,建立了方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=129)3(2222d R d R ,求出了外接球的半径13=R 最后运用球的面积公式求出了外接球的面积为π52.17．（1）210x y +-=（2）①y x =② 0x y -=或20x y +-=或20x y ++= 【解析】试题分析：（1）先求出AB 的斜率，然后直线AB 与CD 垂直，斜率之积为-1得出CD 的斜率（2）截距相等要考虑两种情况，当截距都为0时和截距不为0时当两截距均为0时，设直线方程为y kx =则圆心C到直线的距离为2121k k +=+解出k ，当两截距均不为0时，设直线方程为x y a += 则圆心C =，解出a 即可得出方程试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，圆心为()1,1C -，半径r =()021402AB k --==-，、 ∴直线CD 的斜率为：12CD ABk k -==- ∴直线CD 的方程为：()121y x -=-+，即210x y +-=（Ⅱ）当两截距均为0时，设直线方程为y kx =则圆心C=1k =，得直线为y x =当两截距均不为0时，设直线方程为x y a += 则圆心C=解得2a =±，得直线为2x y +=或2x y +=-综上所述，直线方程为0x y -=或20x y +-=或20x y ++=18．（1）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈（2）1,3) 【解析】试题分析：（1）先将原式化简为2sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的周期公式及单调增区间算法求解即可（2）先求出函数()f x 的值域，然后根据()f x m -在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，可知()f x m =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点结合图像可得结果 试题解析：解：依题意得，()11cos2sin2sin2sin212222f x x x x x x =-++++sin212sin 213x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴函数()f x 单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）03x π≤≤∴233x πππ≤+≤ ∴ 0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴ ()13f x ≤≤由函数()()g x f x m =-在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，可知()f x m =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点13m ≤<时，两图像有两个不同的交点∴实数m 的取值范围是)1,3+点睛：先将三角函数化简然后再由周期公式可求周期，然后令化简得括号整体放入函数增区间求解即可，对于零点问题可转化为图形交点个数问题，先求出f （x ）的值域然后由图形可得m 取值范围达到满足题意，此种问题注意多结合数形结合做题19．（1）()f x cos()326x ππ=-++（2）43π 【解析】试题分析：（1）先化简函数表达式为()cos 223x ωϕ-++，再由图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭求出未知量得解析式（2）先根据题意平移伸缩变化得11cos 226x m π⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，再由图像关于原点对称得()223m k k Z ππ=--∈取适当m 值求解 试题解析：解（Ⅰ）()()()22f x a ba b ab =+-=- ()()22sin 41cos x x ωϕωϕ=++--+()cos 223x ωϕ=-++由题可知，14T =， ∴ 4T = ∴由242T πω==得4πω= 又函数()f x 经过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 7cos 12322πϕ⎛⎫-⋅++= ⎪⎝⎭∴ 1cos 222πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭04πϕ<<∴2223ππϕ+=即12πϕ=∴函数()f x 的解析式为()f x cos 326x ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）依题意知，()()1cos 26g x x m π⎛⎫=--+⎪⎝⎭ 11cos 226x m π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 函数()g x 关于原点对称 ∴函数()g x 为奇函数，即()1262m k k Z πππ-+=+∈ ∴ ()223m k k Z ππ=--∈ 0m > ∴当1k =-时，m 的最小值为43π ∴综上所述，实数m 的最小值为43π 20．（I ）证明见解析；（Ⅱ）2【解析】试题分析：（I ）连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，可知N 为AC 的中点，利用三角形中位线性质可得MN ∥PA ，利用直线与平面平行的判定定理可得平面．（Ⅱ）由（I ）可知， PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，计算得13P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---===， BMQS ∆=P 到平面BMQ 的距离32P BMQ BMQV d S -∆==. 试题解析：（I ）证明连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为090ADC ∠=， Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ .（II ）解由（1）可知， PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ， 112MK PD ==.又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD . 又112BC AD ==， 2PD DC ==，所以1,2AQ BQ ==，1MQ NQ ==，所以13P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---===，BMQ S ∆=则点P 到平面BMQ的距离32P BMQ BMQV d S -∆==考点：直线与平面平行的判定定理；点到平面的距离． 21．（Ⅰ）∵AB =AC 且O 是BC 中点， ∴AO ⊥BC 即AO ⊥OB ′，AO ⊥OC ， 又∵；（Ⅱ）13；（Ⅲ）存在，且为线段AB ′的中点 证明如下:设，又平面B ′OA 的法向量n ⃗ =(0,1,0)，依题意得|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=23⇒1√5λ2−8λ+5=23⇒20λ2−32λ+11=0解得舍去）.【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证，需证明垂直平面内两条直线， 在三角形ABC 中，因为AB =AC ，O 是BC 的中点，所以； 又因为在折叠的过程中，保持不变，即，，所以结论成立；（Ⅱ）在平面B ′OC 内，作B ′D ⊥OC 于点D ，则由（1）及已知可得当D 与O 重合时，三棱锥B ′−AOC 的体积最大，并过O 点作OH ⊥B ′C 于点H ，连AH ，则为二面角A −B ′C −O 的平面角.在中，易得的值，即为所求；（Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段上中点，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为，求出平面B′OA的法向量n⃗=(0,1,0)，根据CP与平面B′OA所成的角的正弦值为建立等式关系，即可求得结论.试题解析：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB′，AO⊥OC，又∵；（Ⅱ）在平面B′OC内，作B′D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B′D⊥OC又OC∩OA=O，∴B′D⊥平面OAC，即B′D是三棱锥B′−AOC的高，又B′D≤B′O，所以当D与O重合时，三棱锥B′−AOC的体积最大，过O点作OH⊥B′C于点H，连AH，由（Ⅰ）知，又B′C⊆平面B′OC，∴B′C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B′C⊥平面AOH，∴B′C⊥AH∴∠AHO即为二面角A−B′C−O的平面角.RtΔAOH中，AO=2，OH=√22，∴AH=3√22，∴cos∠AHO=OHAH=13故 二面角A−B1C−O的余弦值为13（Ⅲ）存在，且为线段AB′的中点证明如下：设，又平面B′OA的法向量n⃗=(0,1,0)，依题意得|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=23⇒√5λ2−8λ+5=23⇒20λ2−32λ+11=0解得舍去）.考点：线面垂直；二面角的求法；空间向量在立体几何中的应用.22．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为（3）在直线MC上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32．【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标； （2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r ，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值. 【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=， 令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==， ∴直线l 过定点A （1，3）；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，43101AC k -∴==--，得1111l AC k k --===-， ∴由3111m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=，∴圆心到直线的距离为||d AC ==∴最短弦长为==；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，()222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，整理得，()()2222624130t x tλλλ+-+-=，∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，解得 43,32t λ=-=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合）， 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32.【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.。
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莆田一中2007~2008学年下学期第一学段考试试卷
高一 数学必修4
命题人：林天洪 审题人：林文杰
一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．下列命题正确的是（ ）
A．若cbba，则 ca ；
B. ||||baba，则0ba ；
C.若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量 ；
D. 若0a与0b是单位向量，则0a0b1 ；
2．已知平行四边形ABCD满足条件0)()(ADABADAB，则该四边形是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形
3已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3), c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c等于
（ ）
A．(1，38) B．(813，38) C．(313，34) D．(－313，－34)
4．已知点P(cosα＋sinα，tanα＋cotα)在第四象限内(α∈[0，2π])，则
α的取值范围是（ ）
A．(2，43)(47，2π) B．(2，43)(π，45)
C．(4，2)(π，45) D．(4，2)(47，2π)
5．已知),5,0(),1,2(21PP且点P在线段21PP的延长线上，且||2||221PPPP，
则点P的坐标（ ）
A.)11,2( B.)1,34( C.)3,32( D.)7,2(
6．若sinx＋cosx＝1，那么sinnx＋cosnx的值是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．不能确定
7．已知α、β为锐角，且cosα＝101，cosβ＝51，则α＋β＝（ ）
A. 4 B. 43 C. 4或43 D. 32或3
8．如图, △ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，
它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ）
（A）BEBG32 （B）AGDG21
G
D
F
E
C B
A
（第8题图）
（C）FGCG2 （D）BCFCDA213231
9．在y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋2)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－2)四个
函数中，既是以为周期的偶函数，又是区
间(0，2)上的增函数个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数BxAy)sin(的一部分图象
如右图，如果2||,0,0A，则（ ）
A.4A B.1 C.6 D.4B
11．设p＝sinαsinβ，q＝cos22＋，则下列结论正确的是( )
A．1≤p＋q≤2 B．0≤p＋q≤1 C．－1≤p＋q≤0 D．以上结论皆不对
12．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时，f(x)= x－2，
则（ ）
A．f(sin21)
C．f(sin1)
二、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
13. 函数3tanxy的定义域是______________________________。
14.向量a与b的夹角为120，且5||,3||ba，则b在a方向上的投影是__ 。
15．边长为2的正三角形ABC中，设AB=c, BC=a, CA=b,
则a·b+b·c+c·a等于 。
16．给出下列命题：
①函数)225sin(xy是偶函数；
②函数)4sin(xy在闭区间]2,2[上是增函数；
③直线8x是函数)452sin(xy图象的一条对称轴；
j
i
a
④将函数)32cos(xy的图象向左平移3单位，得到函数xy2cos的图象；
其中正确的命题的序号是： ；
三、解答题：本大题共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（
17．化简或求值：
⑴化简8sin128cos22
⑵求值： 20cos1)10tan31(10sin50sin2
18．已知α、β∈(0,π)，且cos(2α＋β)－2cos(α＋β)cosα＝53，
求sin2β的值。
19．如图 ，在同一平面内，向量a与单位向量i、j的夹角分别为30、90，
已知34||a.
⑴以i和j为基底，表示a； ⑵若
jib2
，求a与b的夹角的值；
20．奇函数f(x)在其定义域(21,21)上是减函数，且f(1-sinα)+f(1-sin2α)<0
求角α的取值范围
21．
设函数baxf)(，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.
⑴若f(x)=1－3且x∈[－3，3]，求x；
⑵请说明如何平移函数y=2sin2x的图象后得到函数y=f(x)的图象。
附加题：（10分）
二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),
已知无论α,β为任何实数,f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.
①求证：b+c= －1.
②求证：c≥3
③若f(sinα)的最大值为8,求f(x)的解析式.
莆田一中2007~2008学年下学期第一学段考试试卷
答题卷
高一数学(必修4)
一、选择题：（3×12＝36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：（共3*4=12分）
13、 . 14、 . 15、 .
16、 ；
三、解答题：（共52分）
17、(6+6=12分)
（1）
（2）
j
i
a
18、(8分)
19、(10分)
20、(10分)
21、(12分)
22附加题：（10分）